高鸿业西方经济学微观部分第6版课后习题详解第3章消费者选择

高鸿业《西方经济学（微观部分）》（第6版）第3章 消费者选择

课后习题详解

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1．已知一件衬衫的价格为80元，一份肯德基快餐的价格为20元，在某消费者关于这两种商品的效用最大化的均衡点上，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率MRS是多少？

解：按照两商品的边际替代率MRS的定义公式，可以将一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率写成：

?Y ?X其中，X表示肯德基快餐的份数；Y表示衬衫的件数；MRSXY表示在维持效用水平不

MRSXY??变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐消费时所需要放弃的衬衫的消费数量。

在该消费者实现关于这两种商品的效用最大化时，在均衡点上有：

MRSXY?PX PY即有：MRSXY?20?0.25 80它表明，在效用最大化的均衡点上，对于该消费者来说，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率为0.25。

2.假设某消费者的均衡如图3-8所示。其中，横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，线段AB为消费者的预算线，曲线U为消费者的无差异曲线，E点为效用最大化的均衡点。已知商品1的价格P1?2元。

图3-8 消费者效用最大化

（1）求消费者的收入；

（2）求商品2的价格P2； （3）写出预算线方程； （4）求预算线的斜率； （5）求E点的MRS12的值。

解：（1）图3-8中的横截距表示消费者的收入全部购买商品1的数量为30单位，且已知P1?2元，所以消费者的收入I?2?30?60元。

（2）图3-8中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品2的数量为20单位，且由（1）已知收入I?60元，所以商品2的价格P2?I60??3元。 2020（3）由于预算线方程的一般形式为：

P1x1?P2x2?I 所以，由（1）、（2）可将预算线方程具体写为：2x1?3x2?60。

22（4）将（3）中的预算线方程进一步整理为x2??x1?20,显然，预算线的斜率为k??。

33（5）在消费者效用最大化的均衡点E上，有MRS12?值即MRS等于预算线斜率的绝对值

P1，即无差异曲线的斜率的绝对P2PP21。因此，在E点, MRS12?1=。 P2P23

3．请画出以下各位消费者对两种商品（咖啡和热茶）的无差异曲线，同时请对（2）和（3）分别写出消费者B和消费者C的效用函数。

（1）消费者A喜欢喝咖啡，但对喝热茶无所谓。他总是喜欢有更多杯的咖啡，而从不在意有多少杯的热茶。

（2）消费者B喜欢一杯咖啡和一杯热茶一起喝，他从来不喜欢单独只喝咖啡，或者单独只喝热茶。

（3）消费者C认为，在任何情况下，1杯咖啡和2杯热茶是无差异的。 （4）消费者D喜欢喝热茶，但不喜欢喝咖啡。 答：（1）根据题意，对消费者A而言，热茶是中性商品，因此，热茶的消费数量不会影响消费者A的效用水平。消费者A的无差异曲线如图3-9（a）所示。图3-9中的箭头均表示效用水平增加的方向。

（2）根据题意，对消费者B而言，咖啡和热茶是完全互补品，其效用函数是U?x1,x2??min?x1,x2?。消费者B的无差异曲线如图3-9（b）所示。

（3）根据题意，对消费者C而言，咖啡和热茶是完全替代品，其效用函数是。消费者C的无差异曲线如图3-9（c）所示。 U?x1,x2??2x1?x2（4）根据题意，对消费者D而言，咖啡是厌恶品。消费者D的无差异曲线如图3-9（d）所示。

图3-9 关于咖啡和热茶的不同消费者的无差异曲线

4．对消费者实行补助有两种方法：一种是发给消费者一定数量的实物补助，另一种是发给消费者一笔现金补助，这笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分析法，说明哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。

答：相对而言，发放现金补助的方法能给消费者带来更大的效用。分析如下： 发放现金补助，消费者可根据自己的偏好选择自己需要的商品，而发放一定数量的实物补助，则可能此实物不是消费者所需要或最需要的，这时，消费者就难以得到最大的满足了。分析如图3-10所示。在图3-10中，MN线代表实物和其他商品的价格一定时，发放一笔现金补助所形成的预算线。如发实物，该消费者最佳消费点为C点，消费y1数量的实物和x1数量的其他商品，所获效用为U1；如发放现金补助让消费者根据偏好自由选购，该消费者最佳消费点为E点，消费y2数量的实物和x2数量的其他商品，所获效用为U2。可以看出，U2?U1，即用发放现金补助的方法能给消费者带来更大的效用。

图3-10 实物补助与现金补助

5．已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的价格分别为P1?20元和P2?30元，该消费者的效用函数为U?3X1X22，该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？

2解：（1）据题意有：I?540，P1?20，P2?30，U?3X1X2

根据消费者效用最大化的均衡条件：MU1/P1?MU2/P2 其中，由U?3X1X22可得：

MU1??U2?3X2 ?X1MU2??U?6X1X2 ?X23X2220?于是有： 6X1X230整理得：

4X1 ① 3将①式代入预算约束式P1X1?P2X2?M，即：20X1?30X2?540

X2?解得：X1??9，X2??12

因此，该消费者每年购买X1和X2这两种商品的数量分别为9和12。 （2）将以上最优的商品组合代入效用函数，得：

U??3X1??X2???3?9?122?3888

2即该消费者最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为3888。

d?20?4P和6．假设某商品市场上只有A、B两个消费者，他们的需求函数各自为QAdQB?30?5P。

（1）列出这两个消费者的需求表和市场需求表。

（2）根据（1），画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线。

d?20?4P，可编制消费者A的需求表；由消费者B答：（1）由消费者A的需求函数QAd?30?5P，可编制消费者B的需求表。至于市场需求表的编制可以使用两种的需求函数QB方法，一种方法是利用已得到消费者A、B的需求表，将每一价格水平上两个消费者的需求

数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者A和B的需求函数加总来求得市场需

dd?QB??20?4P???30?5P??50?9P，然后，运用所得到的求函数，即市场需求函数Qd?QA市场需求函数Qd?50?9P（P?5），来编制市场需求表。这两种方法所得到的市场需求表是相同的。

按以上方法编制的三张需求表如下所示。

表3-2 消费者A的需求表

表3-3 消费者B的需求表

表3-4 市场的需求表

（2）由（1）中的三张需求表，所画出的消费者A和B各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图3-11所示。

图3-11 从单个消费者的需求曲线到市场需求曲线

需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格P?5和需求量Qd?5的坐标点位置。对于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来解释：一个角度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在P?5的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到；而当P?5时，只有消费者B的需求曲线发生作用，所以，它的需求曲线就是市场需求曲线。另一个角度是从需求函数看，在P?5的范

dd?QB?50?9P成立；而当P?5时，只有消费者B的需求函数才构围，市场需求函数Qd?QAd?30?5P。 成市场需求函数，即Qd?QB

7．假定某消费者的效用函数为U?x1x2，两商品的价格分别为P1、P2，消费者的收入为M。分别求该消费者关于商品1和商品2的需求函数。

解：建立拉格朗日函数：L?x1,x2,???U?x1,x2????Px11?P2x2?M?。 效用最大化的一阶条件为：

?L3?x2? ?????P1?0?x18?x1??L5?x1??????P2?0 ?x28?x2??L?Px11?P2x2?M ??38583858由上式联立可得：x1??3M5M??，x2。

8P8P21此分别为商品1和商品2的需求函数。

8．令某消费者的收入为M，两商品的价格为P、P2。假定该消费者的无差异曲线是１线性的，且斜率为?a。求该消费者的最优商品消费组合。

解：据题意，可知预算方程为：P1x1?P2x2?M，预算线斜率为?P1。 P2由于无差异曲线是直线，且斜率为?a，所以无差异曲线斜率的绝对值为：

MRS12??dX2?a dX1所以，该消费者的最优商品消费组合为： （1）当a?

P1

时，边角解是预算线与横轴的交点，如图3-12（a）所示。 P2

M P1这时，x2??0由预算方程得：x1??即最优商品组合为（（2）当a?

M，0）。 P1P1

时，边角解是预算线与纵轴的交点，如图3-12（b）所示。 P2

这时，x1??0 由预算方程得：x2??M P2M）。 P2即最优商品组合为（0，（3）当a?

P1

时，无差异曲线与预算线重叠，预算线上各点都是最优商品组合点，如P2

图3-12（c）所示。

图3-12 最优商品组合

9．假定某消费者的效用函数为U?q0.5?3M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：

（1）该消费者的需求函数。 （2）该消费者的反需求函数。

（3）当p?1/12,q?4时的消费者剩余。

解：（1）由题意可得，商品的边际效用为：

MU??U?0.5q?0.5 ?q货币的边际效用为：

???U?3 ?M于是，根据消费者效用最大化条件MU??，有：

p0.5q?0.5?3 p整理得需求函数为q?（2）由需求函数q?1。 36p21可得反需求函数为： 36p2p?16q

（3）由反需求函数p?16q可得消费者剩余为：

q?1?11112qCS???dq?pq?q|0?pq?q2?pq ?0??33?6q?将p?1/12和q?4代入上式，则得消费者剩余：

1111CS??42??4?

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10．设某消费者的效用函数为柯布-道格拉斯类型的，即U?x?y?，商品x和商品y的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，?和?为常数，且????1。

（1）求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。

（2）证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。

（3）证明消费者效用函数中的参数?和?分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。

解：（1）由消费者的效用函数U?x?y?，可得：

MUx?MUy??U??x??1y? ?x?U??x?y??1 ?y消费者的预算约束方程为

Pxx?Pyy?M ①

根据消费者效用最大化条件：

?MUxPx?MU?P ② yy??Px?Py?My?x得：

??x??1y?Px????1?Py ③ ??xy?Px?Py?My?x解方程组③，可得：

x??M ④ Pxy??MPy ⑤

关系式④和⑤即为消费者关于商品x和商品y的需求函数，其图形如图3-13所示。

图3-13 商品x和商品y的需求曲线

（2）当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，相当于消费者的预算线变为：

?Pxx??Pyy??M ⑥

其中?为一非零常数。

此时消费者效用最大化的均衡条件变为：

??x??1y?Px?????1Py ⑦ ?xy???Px??Py??My?x由于??0，故方程组⑦化为：

??x??1y?Px????1?Py ⑧ ??xy?Px?Py?My?x显然，方程组⑧就是方程组③，故其解就是式④和式⑤。

这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变。 （3）由消费者的需求函数④和⑤，可得：

??Pxx ⑨ M ⑩ M关系式⑨的右边正是商品x的消费支出占消费者收入的份额。关系式⑩的右边正是商品y的消费支出占消费者收入的份额，故结论被证实。

??Pyy

11．假定肉肠和面包卷是完全互补品。人们通常以一根肉肠和一个面包卷为比率做一

个热狗，并且已知一根肉肠的价格等于一个面包卷的价格。

（1）求肉肠的需求价格弹性。

（2）求面包卷对肉肠的需求交叉弹性。

（3）如果肉肠的价格是面包卷的价格的两倍，那么，肉肠的需求价格弹性和面包卷对肉肠的需求交叉弹性各是多少？

解：假设肉肠的需求量为X，面包卷的需求量为Y，二者的价格分别为PX、PY。 （1）由于假定肉肠和面包卷为完全互补品，则有X?Y，根据PX?PY，有PXX?PYY。假定消费者在肉肠和面包卷，即热狗上的消费总额为I，则PXX?PYY?I，可以解得肉肠的需求函数为X?1。

PX?PY肉肠的需求价格弹性edx??dXPX1???2dPXX?PX?PY?PX1?。 12?PX?PY?（2）根据（1）易知Y?1，则面包卷对肉肠的需求交叉弹性为：

PX?PYeXY?dYPX1??-?2dPXY?PX?PY?PX1?? 12?PX?PY?11Y?，。

PX?PYPX?PY（3）如果PX?2PY，X?Y，将其代入PXX?PYY?I，可以解得X?肉肠的需求价格弹性edx??dXPX1???2dPXX?PX?P?YPX2?。 13?PX?PY?面包卷对肉肠的需求交叉弹性eXY?dYPX1??-?2dPXY?PX?PY?PX2??。 13?PX?PY?

12．已知某消费者的效用函数为U?X1X2，两商品的价格分别为P1?4，P2?2，消费者的收入是M?80。现在假定商品1的价格下降为P1?2。求：

（1）由商品1的价格P1下降所导致的总效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

（2）由商品1的价格P1下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

（3）由商品1的价格P1下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

解：（1）消费者效用最大化的问题是：

max?U?X1X2s..t?P1X1?P2X2?80

??当P1?4，P2?2时，可得出最优消费束为（X1,X2）=(10,20)，此时消费者的效用水

平为：U?X1X2?200。

当P1下降到2元时，可得出此时最优消费束为（X1?,X2?）=（20,20），此时消费者的效用水平为：U?X1X2?400。

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