北京邮电大学数字信号处理习题答案第5章

FIR数字滤波器设计

本章知识点：

对于一个离散时间系统H(z)??bn?0Mn?1N-1nz?n,若分母多项式中系数a1?a2???aM?0，

1??anz?n则此系统就变成一个FIR系统H(z)??bn?0N?1nz?n，其中系数b0,b1.?,bN-1即为该系统的单位取样

响应h ( 0 ) , h ( 1 ) ,… h ( N-1 ),且当n > N-1时，h ( n ) = 0。

FIR系统函数H(z) 在Z平面上有N-1个零点，在原点z=0处有N-1个重极点。这类系统不容易取得较好的通带和阻带特性，要想得到与IIR系统类似的衰减特性，则要求较高的H(z)阶次。

相比于IIR系统来说，FIR系统主要有三大突出优点：1）系统永远稳定；2）易于实现线性相位系统；3）易于实现多通带（或多组带）系统。

线性相位FIR滤波器实现的充要条件是：对于任意给定的数值N（奇数或偶数），冲激响应h[n] 相对其中心轴

N?1必须成偶对称或奇对称，此时滤波器的相位特性是线性的，且群延时均为常数 2??N?1。由于h(n) 有奇对称和偶对称两种情况，h(n)的点数N有奇数、偶数之分。因此，h（n）2可以有4种不同的类型，分别对应于4种线性相位FIR数字滤波器：h[n] 偶对称N为奇数、h[n] 偶对称N为偶数、h[n] 奇对称N为奇数、h[n] 奇对称N为偶数。四种线性相位FIR滤波器的特性归纳对比于表5.１中。

表5.1 线性相位FIR滤波器特性 偶对称 h (n) = h ( N-1-n ) 奇对称 h(n) = - h (N-1-n) N-1?N-1?(?)?-??(?)?-? 相222位θ(ω) θ(ω) 函数 ω 幅度函数 : H(?)?相N为奇数 a(n)?h(N-12N?12n?1ω （n?）?a(n) cos(n?) 幅度函数: H(?)??c(n)sinn?0 H??? Oπ N?1) n?0 ?N?1?2c(n)?2h??n? n=1, 2, …, (N-1)/2 ?2?N?1a(n)?2h(?n) n?0 2 H???2πO2ππ??N为偶数 NN 221 幅度函数 : H(?)?b(n) cos? (n-1)?? 幅度函数：H(?)?d(n)sin（n-）? ??? 2???n?12n?1相N?N?b(n)=2h(-n)，n=1, 2, …N/2 d(n)?2h?n?? n=1, 2, …, N/2 2 H???2πOπ?2? H????Oπ2π?一．FIR DF设计方法

FIR DF的设计实现不能像IIR DF设计那样借助于模拟滤波器的设计方法来实现，其设计方法主要是建立在对理想滤波器频率特性进行不同程度逼近的基础上，主要的逼近方法有三种：窗函数法；频率抽样法；最佳一致逼近法。

1． 窗函数法

窗函数法是设计FIR滤波器的最直接方法，它通过采用不同时宽的窗函数，对理想滤波器的无限长冲激响应hd(n)进行截短，从而得到系统的有限长冲激响应 h (n)，这一过程可用式5－1来描述：

N-1?|n|??hd(n), h(n)?hd(n)wR(n)＝?2 （5.1）

?其它?0, j?其中WR(n)是时宽为N的窗函数。

由分析可知，加窗处理使所得滤波器的频响H(e)与理想滤波器频响Hd(ej?)之间产生差

异，具体表现在过渡带和波动的出现。我们希望所设计的滤波器尽量逼近理想滤波器，就要设法减

小波动的幅值，同时使过渡带变窄。因此为了改善滤波器的性能，要求窗函数尽量具有以下特性：

1） 主瓣宽度尽可能地窄，以获得尽量陡的过渡带。

2） 最大旁瓣相对于主瓣尽可能地小，即能量尽可能集中于主瓣内，以使肩峰和波动减小。 对于窗函数，以上两个要求是相互矛盾的，不可能同时达到最佳，要根据需要进行折衷的选择，通常是以增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。下面是几种常用的窗函数及其频谱特性： ? 矩形窗

?1, 0?n?N?1w(n)?? （5.2）

?0, 其它

j??jN?1?2WR(e)?e

?N??sin??2?? (5.3) ???sin???2?? 三角窗（或巴特利特 Bartlett 窗）

N－1?2n, n?0,1,...,??N－12w(n)?? (5.4)

???2－2nN?1, n?N2,...,N?1

??N?2N?1?sin?1?????W(ej?)?2?j(2)???4??N?1e????sin?????2???? ??N2 ?2?j(N?1?sin??????2)???4??Ne????? (N??1)?sin??2?????? 汉宁（Hanning）窗 —— 升余弦窗 w(n)?sin2??n???N?1???0.5?0.5cos??2n???N?1?? n?0,1,2,...,N?1

?N-1?W(ej?)???0.5W??2???2????-j?2????R(?)?0.25??WR????N?1???WR????N?1?????e????2??? ?-j?N-1??0.5W??2?????2??? (N??1)?R(?)?0.25??WR????N???WR????N?????e?? 汉明（Hamming）窗 —— 改进的升余弦窗

w(n)?0.54?0.46cos??2n???N?1?? n?0,1,2,...,N?1

?N-1?W(ej?)???0.54W?0.23W?2???2???-j?2????R(?)R????N?1???0.23WR????N?1????e? ??-j??N-1??0.54W?2???2????2????R(?)?0.23WR????N???0.23WR????N????e? 布莱克曼（Blackman）窗——又称二阶升余弦窗

w(n)?0.42?0.5cos??2n???N?1???0.08cos??2??N?12n??? n?0,1,2,...,N?1 ?N-1?W(ej?)???0.42W??2???2????-j??2???R(?)-0.25?WR??-????N-1???WR????N-1?????e??N-1? ?0.04??W?4???4???-j?2????R???-N-1???WR????N-1????e?

(5.5)

(5.6)

（5.7）

(5.8)

(5.9)

(5.10) (5.11)

? 凯瑟（Kaiser）窗

2???2n????I0??1??1????N?1??????, w(n)? 0?n?N?1 (5.12)

I0???表5.2列出了以上各窗函数的综合性能指标。表5.3给出了不同β值下的凯瑟窗性能总结。

表 5.2 常用窗函数的性能指标 窗函数 矩形窗 汉宁窗(升余弦窗) 汉明窗(改进升余弦窗) 布莱克曼窗(二阶升余弦窗) 凯塞窗（β=7.865） 旁瓣峰值 衰减（dB） -13 -31 -41 -57 -57 窗函数 主瓣宽度 4π/N 8π/N 8π/N 12π/N 10π/N 加窗后滤波器过渡带宽（△ω） 1.8π/N 6.2π/N 6.6π/N 11π/N 10π/N 加窗后滤波器阻带 最小衰减（dB） -21 -44 -53 -74 -80

表 5.3 不同β值下的凯瑟窗性能 β 2.120 3.384 4.538 5.658 6.764 7.865 8.960 10.056 加窗后滤波器 过渡带（△ω） 3.00π/N 4.46π/N 5.86π/N 7.24π/N 8.64π/N 10.0π/N 11.4π/N 12.8π/N 加窗后滤波器阻带 最小衰减（dB） -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 用窗函数法设计FIR滤波器的实现步骤如下：

(1) 根据所要设计滤波器的性能指标（阻带最小衰减、过渡带宽），通过查表来选定窗函数w(n)，通过计算求得窗的宽度N：

带??相应的窗函数精确过渡N???滤波器过渡带??????上取整

根据所要设计线性相位FIR滤波器的类型来决定最终N取奇数或偶数，一般情况下取奇数。 (2) 根据相应的频率响应函数Hd(ej?)，求傅立叶反变换，得到hd(n)。

(3) 按所得窗函数求出FIR滤波器的冲激响应：h(n)=hd (n) w(n) n= 0, 1, 2, …, N – 1。

(4) 利用h(n)计算FIR滤波器的频响H(ej?)，并检验各项指标，如不符合指标，则重新修改N及w(n)。

2．频率取样法

窗函数法是在时域内，以有限长冲激响应 h(n)去近似所要求的理想冲激响应hd(n)，从而实现FIR滤波器的设计。而频率取样法则是在频域内，以有限个频率响应取样，去近似所要求的理想频率响应Hd(ej?)的方法。

FIR数字滤波器的频率响应可以用其冲激响应h(n) 的DFT值 H(k)，通过内插公式来得到，即：

H(ejw)?e?j(N?1)N?1w2k?0?H(k)ej(N?1)k?/Nsin?N(??2?k/N)/2? （5.13）

?(??2?k/N)/2?Nsin

定义内插函数为： S(?,k)?e

则频率响应为：

H(ejwj(N?1)k?/Nsin?N(??2?k/N)/2? （5.14） Nsin?(??2?k/N)/2?)?e?j(N?1)N?1w2k?0?H(k)S(w,k) （5.15）

H(k)可以通过对理想频率响应Hd(ej?)函数进行取样离散来确定，即令：

H(k)?Hd(ej2?kN) k?0,1,2,...,N?1 （5.16）

由H(k) 经过内插即可得到滤波器的频率响应H(ej?)。这时的H(eiω) 即为对理想频率响应

Hd(ej?)的近似。在H(k)这些取样频率点上，二者具有相同的频响。即：

H(e)?H(k)?Hd(k)?Hd(e)

但在两个取样点之间，频率响应则是由各取样点间的内插函数加权确定，因此，存在着逼近误差，误差的大小取决于理想频率响应Hd(ej?)的曲线形状和取样点数N的大小。

同样，要保证FIR数字滤波器的线性相位特性，就必须对频域取样值H(k) 提出相应的约束条件，而不能任意指定。四类线性相位滤波器对H(k)的约束条件如下： h(n)偶对称、长度N为奇数时：

Hk?HN-k θk??h(n)偶对称，长度N为偶数时：

j2?kNj2?kNN?1k? （5.17） N?k?- Hk?-HN-k h(n)奇对称，长度N为奇数时：

N-1k? （5.18） N-Hk?-HN-k ?k?h(n)奇对称，长度N为偶数时：

?N-1k? （5.19）

2N-Hk?HN-k ?k?

?N-1k? （5.20）

2N二. FIR DF的实现结构

FIR滤波器传输函数的不同数学表达形式，对应有不同的系统实现结构。实现FIR数字滤波器常用的几种结构如下：

? 直接型

由线性系统输入输出间的卷积关系得到如图5.1所示的直接型结构，图5.2为图5.1的转置结构。

y(n)??h(i)x(n?i)?h(n)?x(n) （5.21）

i?0N?1x(n)

h(0) z?1z?1z?1z?1h(1) h(2) 图 5.1 直接型结构（一） ?1?1?1z zz 图 5.2 直接型结构（二）

h(N-1) y(n)

z?1y(n)

h(0) h(N-1)

x(n)

h(1) ? 级联型

现将FIR数字滤波器的传输函数H(z)写成二阶因式乘积的形式，即可到得到如图5.3所示的级联型结构：

H(z)?x(n)

?h(n)zn?0N?1?n ??(?0i??1iz?1??2iz?2) （5.22）

i?0Kzz?1?1???011121?02 ?1 z?12?1 z?22 图5.3 级联型结构

zz?1?1???0Ky(n)

1K2K? 频率取样型

基于FIR DF传输函数H(z)的内插表达形式5.23，能够得到FIR数字滤波器的递归型结构即频率取样型结构如图5.4所示。

1?z?N H(z)?N其中：

?N?1?H(k)1 （5.23） ?H(z)H(z)??ek???k?1Nk?01?WNZ?k?0?H(k)

1?WN?Kz?1N?1?N He(z)?1 ?z

Hk(z)? (5.24)

Hx(n)

0(z)H1(z)1/N y(n)

?rzN?NHHK(z)(z)N/2

图 5.4 频率取样型的网络结构（N为偶数）

二． 线性相位FIR DF的系统结构 ? 偶对称N为偶数

此时传输函数可进行如下分解：

H(z)??h(n)zn?0N/2?1N?1?nN/2?1???h(n)zn?0N/2?1?n?n?N/2?h(n)zN?1?n

??h(n)z?n?h(N?1?n)z?(N?1?n) (5.25)

n?0n?0N??n?z?(N?1?n)]n?/2?1h(n)[z?0

其结构为图5.59所示：

x(n)z?1z?1z?1 z?1z?1z?1 z?1

h(0)h(1)h(2)h(N 2?2)h(N2?1)y(n)

图5.5 h(n)偶对称N为偶数时的线性相位滤波器结构

? 偶对称N为奇数：

N?1N?1N?1H(z)??N?1h(n)z?n?2?1(n)z?n??n?h??N?1??2n?0n?h?0?h(n)zn?N?1

?2??z2?1 N?11??2?1N?h(n)[z?n?z?(N?1?n)]?h??N?1??2n?0?2??z

其网络结构为图5.6所示：

x(n)z?1z?1z?1 z?1z?1z?1

N?3 h(0)h(1)h(2)h()h(N?1) 22 y(n)

图5. 6 h(n)偶对称N为奇数时的线性相位滤波器结构

(5.26)

? 奇对称N为偶数

此时有：

N/2?1 H(z)?

?h(n)[zn?0?n?z?(N?1?n)] (5.27)

z?1?z?1x(n)z?1z?1?z?1?z?1?z?1h(0)y(n)h(1)h(2)h(NN?2)h(?1)22图5. 7 h(n)奇对称N为偶数时的线性相位滤波器结构

? 奇对称N为奇数

此时有：

H(z)?N?1?12n?0?h(n)[z?n?z?(N?1?n)] (5.28)

其结构如图5.8所示。 x(n)z?1z?1z?1 ?z?1?z?1?z?1?z?1

N?3 h(0)h(1)h(2)h()2

y(n)

图5.8 h(n)奇对称N为奇数时的线性相位滤波器结构

习题

5.1 已知图p5.1(a)中的 h1?n? 是偶对称序列N＝8，图p5.1(b)中的h2?n?是h1?n?圆周移位（移

N=4位）后的序列。设 H1?k??DFT??h1?n???,2H2?k??DFT??h2?n???

(1) 问H1?k??H2?k?成立否？ ?1?k?与?2?k?有什么关系？

(2) h2?n?、h1?n?各构成一个低通滤波器，问它们是否是线性相位的？延时是多少？ (3) 这两个滤波器性能是否相同？为什么？若不同，谁优谁劣？ h2(n) h1?n? 0 1 2 3 4 5 6 7 n 图p5.1 0 1 2 3 4 5 6 7 n 解：

(1) 根据题意可知

(a)

(b)

h2??n??8?h1??n?4??8

则

H2?k???h1??n?4??8W8nkR8?n?

n?037~~ki4k4ki?n?4?h1??iW8W8?W8?h1??iW8ki

i??4i?07?H1?k?W令

4k8?e?j2?k?48H1?k??e?jk?H1?k????1?H1?k?

kH1?k??H1?k?ej?1?k? H2?k??H2?k?ej?2?k?

则由上式可以看出

H2?k??H1?k?

?2?k???1?k??2??4k??1?k??k? 8(2) h1?n? 及 h2?n?都是以n＝（N－1）/2 ＝ 3.5为对称中心的偶对称序列，故以它们构成的两个低通滤波器都是线性相位的，延迟为：

??N?17??3.5 22(3) 要知两个滤波器的性能，必须求出它们各自的频率响应的幅度函数，并根据通带起伏以及阻带

衰减的情况加以比较。由于N＝8是偶数，又是线性相位，故有：

H?w????N?1??2hncos?n????w???2??n?0??3??7????2h?n?cos?w??n????n?0??21?????N???2h??n?cos?w?n???2???2?n?1??1??????2h?4?n?cos?w?n???2??n?1????w??3w??5w??7w???2?h?3?cos???h?2?cos??h1cos?h0cos???????????2??2??2??2???4N/2N/2?1（p5-1）

可以令：

h1?0??h1?7??1 ，h1?1??h1?6??2 h1?2??h1?5??3 ，h1?3??h1?4??4

及

h2?0??h2?7??4，h2?1??h2?6??3 h2?2??h2?5??2，h2?3??h2?4??1

代入式p5-1可得

??w??3w??5w??7w??H1?w??2?4cos???3cos???2cos???cos???

2222????????????w??3w??5w??7w??H2?w??2?cos???2cos???3cos???4cos???

?2??2??2????2?H1?w?、H2?w? 的图形如图p5-2所示：

图p5-2

分析图p5-2可看出，对于阻带特性，H1?w?阻带衰减大，而H2?w?的阻带衰减小，这一点上

H1?w?优于H2?w?；对于带通特性，它们都是平滑衰减，但H1?w?的通带要比H2?w?的通带宽一

些。

5.2 用汉宁窗设计一个线性相位高通滤波器

?e?j?w????,?Hd?ejw????0,???wc?w??

0?w???wcjw求出h（n）的表达式，确定α与N的关系，并画出20 lg｜H(e＝51）。

)｜的曲线。（设 wC＝0.5π，N

分析：注意，这道题只给出了Hdejw在(0~?)内的表达形式，而求解h(n)时要用Hdejw在内的分布式进行。 (0~2?)或（??~?）解：

根据题意有

????1hd?n??2?2??01Hd(ejw)ejwndw?2???w??wc??e?j?w????ejwndw?wc1j??cjw?n????eedw?2???wc?jw?n?????wc?1j??1?e?e???wc?2?j?n????ejn??ejwc?n????e?jwc?n??????j2??n?????ejn?

wcsin???n???wc????n???wcn

???1?所以

sin??wc?n???????n???h?n??hd?n?w?n?

?1??2?n??nsin?wc?n??????1?cos??1，0?n?N?1??????2? ??N?1?n???????0，n为其它值?其中w?n?为窗函数。

N?1按照线性相位滤波器条件，有：??

2代入N＝51，得α＝25，则

?1???n??nsin?0.5?n?25?????1?cos－1,????h?n???2???25?n?25?????0，?此高通滤波器的幅频响应曲线如图p5-3所示。

图p5-3 5.3 用汉眀窗设计一个线性相位带通滤波器

0?n?50n为其它值

Hde??jw?e?jw?,???0,

?wc?w?w0?wc0?w?w0?wc,w0?wc?w??jw

求出h?n?的表达式并画出20 lg｜H(e)｜的曲线。（设 wc?0.2?， w0?0.5?，N＝51 ）

分析：可先根据要设计的线性相位带通滤波器的频域表达式，经过傅里叶反变换得到它的时域函数，

根据已知的截短长度N得到相应的汉明窗函数，将此窗函数加在先前得到的滤波器时域函数上，即可得到所要求的FIR滤波器的冲激响应h(n)。最后用matlab画图画出FIR滤波器的频响。 解：

可求得此滤波器的时域函数为

1hd?n??2?1?2????????H?d(ejw)ejwndwe?jw?wc?w0ejnw?wc?w01dw?2??w0?wc?w0?wc?e?jw?ejwndw11?ej?n????w0?wc??ej?n????w0?wc??ej?n????wc?w0??ej?n?????w0?wc?? ??2?j?n????1sin???w0?wc??n??????sin???w0?wc??n???????n?????2sin??n???wc??cos???n???w0????n????

采用汉眀窗设计时

??2?2?n??0.54?0.46cos??????n???sin??n???wc?cos??n???w0?,0?n?N?1h?n????N?1?????0,n为其它值?其中

?＝N?1 2

代入N=51,得α＝25，则

??2??????n????0.54?0.46cossin??n?25??cos??n?25??,0?n?50?????h?n????5?2??25????n?25????0,n为其它值?其幅频响应曲线如图p5-4所示。

图p5-4

5.4 设计满足下列指标的低通FIR滤波器。指标为：阻带衰减40 dB、通带边缘频率3 kHz、 阻带边缘频率3.5 kHz、取样频率12 kHz。

分析：先根据所要设计的滤波器的性能指标（包括阻带衰减和过度带宽，本题的过渡带宽 可由已知的通带与阻带边缘频率求得），通过查表来确定所需的窗函数以及窗函数的宽度。

求出截至频率后可得到滤波器时域函数，将所得的窗函数加到此时域函数上，即可得所求低通滤波器的冲击响应。

解：

根据题意可知，过渡带宽：

?f?fc?fp?3.5?3?0.5KHZ

转换为数字频率过渡带：

?w?2??f?? fs12?f?3.25KHZ 2该滤波器的截止频率：

fc?fp?数字截止频率：

wc?2?fc3.25?2??0.54? fs12所以，由此可得冲激响应：

hd?n??sin??n???wc?sin?0.54??n???? ??n?????n????因为阻带衰减40dB，通过查表可选择汉宁窗：

?2?n?w?n??0.5?0.5cos??

?N?1?由过渡带宽确定窗口长度：

?6.2??N????75 ?w??则：

??N?1?37 2所以，此滤波器的冲激响应为：

?sin?0.54??n?????w?n?,??n????h?n??hd?n?w(n)???0,?0?n?74其它

5.5 用25项矩形窗设计低通FIR滤波器，要求通带边缘位于2 kHz，取样频率20 kHz ：

(1) 确定过渡带宽度（Hz） (2) 画出滤波器的幅频特性图

(3) 求出并画出具有下列指标的滤波器的幅频特性：低通、通带线性相位、取样频率16 kHz、

通带边缘频率4.5kHz、阻带边缘频率6 kHz、阻带衰减75dB。

分析：根据矩形窗引起的过度带宽与窗宽之间的关系，可得到滤波器的过渡带宽，由此可得到

所要设计滤波器的截至频率，从而可得到对应时域函数，将矩形窗加到移位之后的时域函数之上，即可得到滤波器冲击响应。（3）的解题步骤与上一题相似。

解：

(1) 根据N与过渡带宽的关系可知，数字频率过渡带宽为：

?w?又因为

1.8??0.072?， 25?w?2?可得过渡带宽：

?f fs?f??w?fs?0.72KHZ 2?（2）低通滤波器的截止频率为：

fc?fp?转换为数字频率

?f?2.36KHZ 2wc?2?fc?0.236? fs由窗函数公式可得到冲激响应

hd?n??N?1sin?0.236??n?????12 ,0?n?24, ??2??n???其幅频特性如图p5-5所示：

图p5-5

(3) 过渡带宽：

?f?fs?fp?1.5KHZ

则其截止频率为：

fc?fp?fs2?5.25KHZ

转换为数字频率：

wc?2?得冲激响应为：

fc?0.66? fsh?n??sin??n???wc?sin?0.66??n???? ??n?????n????1.5?0.1875? 16过渡带宽?w?2??由于阻带衰减要求为75dB，所以选用布莱克曼窗，查表可得

?10??N????54，N取奇数，取N=55 ?w??由此可得窗函数表达式为： w(n)?0.42?0.5cos(

最后得到：

n?2n?)?0.08cos() 2727?sin?0.66??n?27??w?n?,??n?27??h?n????0,其它?该滤波器幅频特性如图p5-6所示;

图p5-6

0?n?55

5.6 有79项的低通滤波器用β＝6的凯塞窗实现，通带边缘频率为6 kHz，如果取样频率为11.025 kHz：

(1) 过渡带宽度是多少？ (2) 阻带边缘频率是多少？ (3) 阻带边缘增益是多少？

分析：根据β的值，可得到加窗后滤波器过渡带?w与N之间的对应关系，从而可求出过渡带宽。根据通带边缘频率与已求出的过渡带宽可得到阻带边缘频率。根据所设计的滤波器的性能指标可确定凯塞窗函数，以及低通滤波器的冲击响应，查表即可得到所要求的阻带边缘增益。 解：

(1) 由β＝6，查凯塞窗表可得过渡带宽： ?w? ?f?8.64? 79?w?fs?0.6KHz 2?(2) 截止频率：fc?fp?Δf?6.6KHz，wc?2?(3) β＝6时，

fc?1.2? fs?n2I0?61?(1?)?39?w?n??I0?6?????

其中I0?x?为第一类变形零阶贝赛尔函数。

hd?n??最后可得

N?1sin?1.14??n?????39 , ??2??n?????n2?I61?(1?)?0?39?h?n???hd?n???I0?6???o,?????,0?n?78 其它所以可查表得到阻带边缘增益为 -63dB。

5.7 取样频率为10 kHz，设计低通FIR滤波器，通带边缘在2 kHz，阻带边缘在3 kHz，阻带衰减20 dB，求滤波器的脉冲响应和差分方程。

分析：根据已知条件求出FIR滤波器的相关指标，根据阻带衰减选择窗函数，求得阶数N，得到其冲激响应，进而可求得差分方程。 解：

由题意可知：

?f?3KHz?2KHz?1KHz

转换为数字频率过渡带：

Δw?2πΔfπ? fs5?f?2.5KHz 2则该滤波器的截止频率为：

fc?fp?转换为数字截止频率：

wc?2π可得

fc?0.5π fssin0.5π(n?τ)

π(n?τ)hd(n)?由于阻带衰减为20dB，故选择矩形窗。 可得

N?1?1.8?????4 , N???9?2??w??sin(0.5π(n?4))w(n),?(n?4)πh(n)???0,?求解差分方程

0?n?8

其它H(w)?h(0)?h(1)e?jw?h(2)e?2jw???h(8)e?8jw

??0.053e?jw?0.16e?3jw?0.5e?4jw?0.16e?5jw?0.053e?7jw

y?n??h?0??h?1?x?n?1????h?8?x?n?8???0.053x?n?1??0.16x?n?3??0.5x(n?4)?0.16x?n?5??0.053x?n?7?

5.8 布莱克曼窗设计一个理想线性相位90o移项带通滤波器

?je?jw?,?Hd?ejw????0,?w0?wc?|w|?w0?wc

0?|w|?w0?wc,jww0?wc?|w|??求出h（n）的表达式，并画出20 lg｜H(ejw)｜的曲线。（ 设wc?0.2?，w0?0.4?，N＝51 ）

分析：由频域Hd(e)可得出时域函数hd(n)，加布莱克曼窗即得h(n)。 解：

可求得此滤波器的时域函数为：

1hd?n??Hd(ejw)ejwndw ?2????1?2?wc?w0?wc?w0?je?jw?ejwn1dw?2??w0?wc?w0?wc?je?jw?ejwndw

?11?j?n????w0?wc?jn??w?wjn??w?wjn???w?w?e?e???0c??e???c0??e???0c??

?2??n????11jn??w?w?jn??w?wjn??w?w?jn??w?w?[e???0c??e???0c?]?[e???0c??e???0c?] 2??n??? ????jsin???n????w0?wc????sin???n????w0?wc???

??n??????2jsin??n???wc?cos??n???w0?

??n???采用布莱克曼窗设计时（N＝51）

?＝N?1?25 2h?n??hd?n?w?n?

???2n???2???0.42?0.5cos?0.08cos2n???????N?1N?1????????2j???sin?cos??n???wc??n???w0???????n?????0,??将N=51,?=25,wc?0.2?,w0?0.4?代入上式得，

，0?n?50 ,其他???n???2n???0.42?0.5cos?0.08cos???????2525????????2j??2??????sin??n?25??cos??n?25??h?n?????n?25??5?5?????0,??其幅频响应曲线如图P5-7所示

图P 5-7

，0?n?50 ,其他此滤波器是90移相的线性相位带通滤波器（或称正交变换线性相位带通滤波器）。

5.9 如果一个线性相位带通滤波器的频率响应为

0HBP?ejw??HBP?w?ej??w?

(1) 试证明一个线性相位带阻滤波器可以表示成

HBR?ejw????1?HBP?w????ej??w?,0?w??

(2) 试用带通滤波器的单位冲激响应hBP?n?表达带阻滤波器的单位冲激响应hBR?n? (1) 证明

由于HBPejw?HBP?w?ej?w，且是线性相位带通滤波器。则

?????0,HBP?w????1,对于线性相位带阻滤波器：

0?w?wl,wh?w??wl?w?wh

HBR?ejw??HBR?w?ej??w?

?1,HBR?w????0,因而

0?w?wl,wh?w??wl?w?wh

HBR????1?HBP???

所以带阻滤波器可以表示成

HBRejw??1?HBP?w???ej??w?

(2) 解： 由题意可得

??1?jwjwnHeedw BP2????1?j??w?jwnHBP(w)eedw ＝

2????hBP?n????可推出

hBR?n??????1HBR?ejw?ejwndw2??1?HBP?w???e??????j??w?1?2?1?2?1?2?ejwndw?1j??w?jwneedw????2?

BP??H?(w)ej??w?ejwndw????ej????w??wn??dw?hBP?n?

考虑到??w?的线性特性，有如下结论 (a) 当

?N?1???w?????w

2??有

1hBR?n??2???e???N?1?j?(?w)?wn?2??dw?hBP?n?N?1)?]12???hBP?n?

N?12?j(n?)2N?1sin[(n?)?]2??hBP?n?N?1(n?)?22jsin[(n????1?n?1sin??N?1??/2??hBP?n?,?????n??N?1?/2???h?n?,?BP

(b) 同理当

N?偶数N?奇数

??N?1???w?????w＋时

2?2?有

?j??1?n?1sin??N?1??/2??hBP?n?,?hBR?n?????n??N?1?/2???h?n?,?BPN?偶数N?奇数

5.10 FIR 低通滤波器具有如下指标：阻带衰减50 dB，通带边缘1.75 kHz、过渡带宽 度1.5kHz、取样频率8kHz。

(1) 写出滤波器的差分方程

(2) 画出滤波器的幅度响应[ (dB)对Hz ]的曲线，验证它满足指标 解：

(1) 根据题意，设计该滤波器截止频率：

fc?fp??f1.5?1.75kHz??2.5kHz 22转换为数字截止频率：

wc?2?fc?0.625? fs可得

hd?n??sin[0.625??n???]

??n???由阻带衰减50dB，选择汉眀窗；

N?1?6.6?????9 ,希望N为奇数，因此取N＝19，N???18?2?w??采用汉眀窗设计时

w?n??0.54?0.46cos(2n?)N?1 n??0.54?0.46cos()9???n???sin[0.625?n????], 0?n?18??0.54?0.46cos???9n??最后得到：h?n???? ??????0 , 其它?

可求得滤波器的差分方程：

y?n??h?0??h?1?x?n?1????h?18?x?n?18???0.0082?0.0248x?n?2????0.0248x(n?16)?(?0.0082)x?n?18?

其中：h(1)=h(17)=0。 (2)

由（1）可画出幅频响应曲线如图P5-8所示：

图P5-8

5.11 为了评测10 Hz 取样系统中应变仪的动态质量，必须将大于1Hz的所有频率虑除，设计适当的滤波器来实现这一目标。

分析：根据题意可知，要设计一低通滤波器以虑除1Hz以外的频率分量，并且截止频率和取样频

率已经知道，自己选择适合的过渡带宽与阻带衰减进行设计。 解：

由题意，fs?10Hz,fc?1Hz，

不妨假设过渡带宽：?f?0.1Hz，并以阻带衰减50dB来设计此低通滤波器。 转换为数字频率：

wc?2? 可得

fcΔf=0.02π ?0.2?, Δw=2πfsfshd?n??sin[0.2??n???]

??n???由于所选阻带衰减50dB，故选择汉明窗：

?6.6??N???330，希望N为奇数，因此取N＝331 ???w? ??汉眀窗函数

N?1?165 2

?n??w?n??0.54?0.46cos??

165??可得此滤波器的冲激响应为：

????n???sin[0.2?n????]0.54?0.46cos, 0?n?330 ?????? ? h?n??????n????165????0 , 其它??

当然，根据不同的阻带衰减和滤波器阶数的要求，可以应用其它窗函数以满足要求。

5.12 设计满足下列指标的FIR带通滤波器，取样频率16 kHz、中心频率4 kHz、通带边缘在3 kHz和5 kHz、过渡带宽度900 Hz、阻带衰减40 dB。求出并画出滤波器的脉冲响应。

分析：根据带通滤波器的设计思想，一个带通滤波器相当于两个截止频率不同的低通滤波器相减。 解：

过渡带宽：?f＝900HZ＝0.9KHZ 转换为数字频率：?w＝2?截止频率：

?f2??0.9??0.1125? fs16fl?flc-fh??f?3-0.45?2.55KHZ 2?ffhc??5?0.45?5.45KHZ

2转换为数字截止频率：

wl?2?wh?2?冲激响应为：

fl?0.1594? fsfh?0.3406? fssin[wh?n???]?sin[wl??n???]??n???sin[0.3406??n???]?sin[0.1594??n???]??n???hd?n???

窗函数：阻带衰减40dB，可以选择汉宁窗， 即： w?n??0.5?0.5c?os窗口长度：

?2n????N?1?n?0，…，,1,2－1 N?6.2??N????56，希望N为奇数，因此取N＝57， ?w???＝N?1?28 2此时滤波器得冲激响应为：

?sin?0.3406??n?28???sin?0.1594??n?28???w?n? , 0?n?56? h?n???n?28?????0 , 其它其幅频响应如图P5-9所示：

图P5-9

5.13 24 kHz取样系统里，要从传感器信号中提取2 kHz到8 kHz之间信号，所需滤波器至少要有50 dB的阻带衰减，过渡带宽度不大于500 Hz。计算确定滤波器的脉冲响应。

分析：同上题，根据带通滤波器的设计思想，一个带通滤波器相当于两个截止频率不同的低通滤波器相减。 解：

过渡带宽：?f＝500HZ＝0.5KHZ 转换为数字频率：?w＝2?截止频率：

?f2??0.5??0.0417? fs24fl?flc-fh??f?2-0.25?1.75KHZ 2?ffhc??8?0.25?8.25KHZ

2转换为数字截止频率：

wl?2?flfh ?0.1458? wh?2??0.687?5fsfs冲激响应为：

sin[wh?n???]?sin[wl??n???]hd?n????n????sin[0.6875??n???]?sin[0.1458??n???]??n???

窗函数：阻带衰减50dB，可以选择汉明窗， 即： w?n??0.54?窗口长度：

?2n??0.46?cos??N?1?n?，…，0,1,2－1 N?6.6??N???159， ??w???＝N?1?79 2此时滤波器得冲激响应为：

?sin[0.6875??n?79?]?sin[0.1458??n?79?]?w?n? , 0?n?158????n?79?h?n???

?0 , 其它?其幅频响应如图P5-10所示：

E2M2?a0?A0???2??an?1M0?An????bn?Bn??22n?1Mn?M?1??a?2n2 ?bn?E由于上式中每一项都是非负的，所以，只有当A0?a0,An?an,Bn?bn,n?1,2,?,M时，

2M才最小。当我们利用Hejw来近似Hdejw时，欲使近似误差为最小，Hejw的单位抽样响应必须是Hdejw的傅立叶系数。这也说明，有限项傅立叶级数是在最小平方意义上对原信号的最佳逼近，其逼近误差为：

????????E?2Mn?M?1?h?n?

2d2M?自然，M越大，误差E越小（因为hd?n?值愈小）。

但如果我们把截短后的hd?n?再乘以非矩形窗w?n?后，He??已经不是在最小平方意义上对

jwHdejw的最佳逼近了。故得证。

5.18要设计一个理想线性相位带通滤波器

??

?e?jw?,?Hd?ejw????0,?w0?wc?w?w0?wc

0?w?w0?wc,w0?wc?w??若需阻带衰减大于(1) 50dB；(2) 60dB。

试用窗函数法设计这两个滤波器（取w0?0.5?，wC?0.1?）。 解：

（1）阻带衰减大于50dB，选择汉眀窗可满足要求； 根据题设，过渡带宽至少必须满足：

6.6??0.1?,N即N?66

我们取N＝67（当然，还可选取更大的N值以提高精度，但运算量也会响应加大）。 并且

1hd?n??2???H?e?ejw?d?jwndw

2?sin??n???wc??cos???n???w0????n????其中 ??可得：

N?1?33 2??2??n??0.54?0.46cos????????n?33?sin?0.5??n?33???cos?0.5??n?33??33?????? h?n??hd?n?w?n???0?n?66?0,其它???(2) 阻带衰减60dB选择凯塞窗（β＝5.658）即可满足要求；

根据题设，过渡带宽至少必须满足：

7.24??0.1?,N即N?72.4，

选取N＝73，并由（1）可得到hd?n? 所以可得：

??n2?I5.6581?(1?)??0?36?2???sin?0.5??n?33????cos?0.5??n?33??,?I0?5.658???n?33????h?n??hd?n?w?n???0?n?72?0,其它?????

5.19滤波器单位脉冲响应为

?0.2n 0?n?5 h(n)??0 others ?求横截型结构。

解：

根据题目所给的差分表达式，可得

y?n???h?m?x(n?m)m?0N?1

?x(n)?0.2x(n?1)?0.04x(n?2)?0.008x(n?3)?0.24x(n?4)?0.25x(n?5)

所以横截型结构如图P5-13所示： z?1z?1 x(n) 0.2 0.04 1 z?10.008 z?10.0016 z?10.00032

图P5-13

y(n) 5.20用横截型和级联型网络实现下面传递函数。

?1?2 H(z)?(1?1.41z42?z?1?)(z1

)解：

（1）根据题意：

H(z)?(1?1.4142z?1?z?2)(1?z?1)?1?0.4142z?0.4142z?z?1?2?3

可画出其横截型结构如图P5-14所示： ?1?1?1zzz x(n)

1 -0.4142 1 -0.4142 y(n)

图P5-14

（2）由H(z)的的表达式，直接画出级联型结构如图P5-15所示：（差两个箭头）

x(n) y(n) 1 ?1?1zz

-1.414?1 z

1

图P5-15

5.21用横截型和级联型网络实现下面传递函数。 H(z)?(1?1.41z42?z解：

（1）根据题意：

?1?2?1?)(z1

)H(z)?(1?1.4142z?1?z?2)(1?z?1)?1?0.4142z?0.4142z?z?1?2?3

由传输函数可写出其对应的系统差分方程：

y(n)=x(n)－0.4142x(n-1)－0.4142x(n-2)－x(n-3)

可画出其横截型结构如图P5-16所示： ?1?1z?1zz x(n)

1 -0.4142 1 -0.4142 y(n)

图P5-16

（2）由H(z)的的表达式，直接画出级联型结构如图P5-17所示：

x(n) y(n) 1 ?1?1zz

-1.414 z?1

1

图P5-17

5.22试求下图所示网络的转置网络，且证明原网络与转置网络的传递函数相同。

z-1 z-1

x(n) a b c y(n)

解：

（1）转置网络如图P5-18所示

c z ?1z ?1 y(n) b x(n)a

图P5-18

（2）证明：

由（1）可写出转置后的传递函数

H'?z??cz?1?bz?2?a?a?bz?cz显然 H?z??H?z?

'?1?2

5.23试问用什么结构可以实现以下单位脉冲响应：

h(n)??(n)?3?(n?3)?5?(n?7)

解：由题设，

h?n????n??3??n?3??5??n?7? h?0??1,h?3???3,h?7??5, 其它为零。

可知

所以可由横截型结构实现如下：

x(n) 1z?3 z?4 5 -3 y(n)

5.24 FIR 数字滤波器的 h(n) 是圆周偶对称的，即 N = 6 h(0) = h(5) = 1.5 h(1) = h(4) = 2 h(2) = h(3) = 3 求滤波器的卷积结构。 解：

卷积结构如图P5-19所示:

z?1z?1z?1z?1 x(n) 2 3 3 1.5 2 图P5-19 5.25 FIR 数字滤波器的 h(n) 是圆周奇对称的，即 N = 7 h(0) = -h(6) = 3 h(1) = -h(5) = -2 h(2) = -h(4) = 3 h(3) = 0

求滤波器的卷积结构,试问这两题结构能否少用乘法器？ 解：

卷积结构如图P5-20所示：

x(n) 3 z?11.5 y(n) z?1-2 z?13 z?1z?1-3 z?12 z?1-33 y(n) 图P5-20

经分析，由于h(n)是圆周对称，可以利用此对称性来减少乘法器，改进的卷积结构如下：

x(n)z?1z?1z?1z?1z?1y(n)1.523

同理：

x(n)z?1z?1z?1?z?1?z?1?z?1y(n)3-23

5.26 用频率取样结构实现传递函数

5?2z?3?3z?6H(z)? ?11?z取样点 N = 6，修正半径 r = 0.9。

分析：已知H（Z）前提下，由序列Z变换H（Z）与序列的DFT之间的关系，可得到序列的DFT的值H（K），根据已知的修正半径与求得的H（K）对题给的H（Z）进行适当的变换，既可得到所要求得频率取样结构形式。 解：

N为偶数时，

H(z)?1He(z)[?2H(k)Hk(z)?H0(z)?HN2(z)]Nk?1

N?12He(z)?(1?rNz?N)

因为N＝6，所以根据上述公式可得

1H?z??1?r6z?66??2????????Hz?Hz?Hz?3k?0?

k?1???3?5?3z??1?z???5?3z??1?z由所给条件，H?z???3?3?11?z?1?z?2

?由离散傅立叶变换和Z变换的关系可得：

H?k??H?z?z?ej2?kN??5?3ej?k?2??jk?jk????1?e3?e3? ??因而

H?0??24,H?3??2,H?1??2?23j,H?4??0,H?2??0

H?5??2?23j

则

H?0?24? ?1?11?r?z1?0.9zH?3?2H3?z???

1?r?z?11?0.9z?1H0?z??然后求Hk?z?。 K＝1时

?01??11z?1 H1?z??2???1?2z?1r?cos???r2z?2?N??01?2Re?H?1???2Re2?23j?4 ?11???2???0.9??ReH?1?w16?3.6

4?3.6z?1H1?z?? ?1?21?0.9z?0.81zK＝2时

?????02??12?0H2?z??014?3.6z?1242?6?H(z)?(1?0.96z)[??]61?0.9z?1?0.81z?21?0.9z?11?0.9z?1结构如图P5-21所示：

24 x(n) 0.9 z?12 16yn()z?6?0.96-0.9 z?14 z?1z?10.9 3.6 -0.81 z?1

图P5-21

5.27 FIR 数字滤波器 N = 5

h(n)??(n)??(n?1)??(n?4)

计算一个 N = 5 的频率取样结构，修正半径 r = 0.9。 解：

N为奇数时，

H(z)?1He(z)[?2H(k)Hk(z)?H0(z)?HN2(z)] Nk?1N?12He(z)?(1?rNz?N)

因为N＝5，h(n)??(n)??(n?1)??(n?4) 可得

H?z??1?z?1?z?4

由上式可得

?j2?k5?j8?k5H?k??H?z?所以

z?ejN2?k?1?e?e

H?0??1,H0?z???2?H?1??1?2jsin???,?5?

???H?2??1?2jsin??

?5?H(0)1?1?r?z?11?0.9?z?1?0k??1kz?1Hk?z??,?2??1?z?12r?cos?k??r2z?2?N?其中 ?0k?2ReH?k?

k ?1k???2??r?ReH?1?wNk?1,2

????所以，当k＝1时，

?01?2Re?H?1???2

22???11???1.8???cos??2sin2????3.8

55??可得

2?3.8z?12?3.8z?1 H1?z????1?22???1?0.56z?0.81z1?1.8?z?1cos???0.81z?2?5?同理

?02?2,?12?(?2)?r?Re[H(2)W52]?0.21

2?0.21z?12?0.21z?1H2?z????4??1?1.46z?1?0.81z?2?21?1.8?z?1cos??0.81z??5?112?3.8z?12?0.21z?11?5?5H?z??(1?0.95z)[H0(z)?H1(z)?H2(z)]?(1?0.95z)[??]?1?2?1?2551?0.56?z?0.81z1?1.46?z?0.81z1?0.9z?1

结构如图P5-22所示：

z?10.924.30.2y(n)z?5z?1-0.950.56-3.8-0.81z?123z?1-1.46-0.810.21z?1

图P5-22

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