大学物理答案（上、下）（北京邮电大学第3版）

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大学物理习题及解答 习题一

v=

2?dx??dy???????dt??dt?222及

1-1 ｜?r｜与?r有无不同?

drdt和

drdt有无不同?

dvdt和

dvdt有无不同?其不同在哪里?试举例说明．

你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐

a=

?d2x??d2y???dt2?????dt2??????解：（1）

?r

是位移的模，

?r?r2?r1（2）

，

???r?r2?r1?r；

是位矢的模的增量，即

drdt是速度的模，即

drdsdt?v?dt.

drdt???r?xi?yj，

标系中，有

??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt

故它们的模即为

只是速度在径向上的分量.

?drdrdr??r?r?（式中r?叫做单位矢）dtdt ∵有r?rr，则dtdr式中dt就是速度径向上的分量，

drdr与dtdt不同如题1-1图所示∴

?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y222

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 .

?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????2

题1-1图

(3)表示加速度的模，即

上的分量.

dvdt??dva?dtdrd2rv?a?2dtdt

drd2r与2dt误作速度与加速度的模。在1-1题中其二，可能是将dtdr已说明dt不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，

dv，dt是加速度a在切向

d2rdt2也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分

??v?v?(?表轨道节线方向单位矢）∵有，所以

??dvdv?d????vdtdtdt

dv式中dt就是加速度的切向分量.

???d??dr?与dtdt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) (

1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速

dr22x?y，然后根据v=dt，

度和加速度时，有人先求出r＝

2?d2r?d??????a径?2?r?dtdt??????。或者概括性地说，前一种方法只考

?虑了位矢r在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位

??vr矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。

1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为

d2r2及a＝dt而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再

合成求得结果，即

1x=3t+5, y=2t+3t-4.

式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢

2

量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解：（1）

1

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(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m

???r2?11j?4jm

??????r?r2?r1?3j?4.5jm

??????r?5j?4j,r?17i?16j 4(3)∵ 0∴

即

?????????rr4?r012i?20jv????3i?5jm?s?1?t4?04

????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)

? ??v?3i?7j m?s?1

则 4??????v?3i?3j,v?3i?7j 4(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44

???dva??1jm?s?2dt(6)

这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，

?1v如题1-4图所示．当人以0(m·s)的速率收绳时，试求船运动

vdsldll???v0?0dtsdtscos?

lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或

v将船再对t求导，即得船的加速度 v船??s

dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss

2a的1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，

单位为m?s10m?s?1?2，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为

,试求质点在任何坐标处的速度值．

a?解： ∵

dvdvdxdv??vdtdxdtdx

2?d??adx?(2?6x)dx

分离变量：

的速度和加速度的大小．

12v?2x?2x3?c两边积分得 2

v?10,∴c?50

由题知，x?0时，03?1v?2x?x?25m?s∴

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t始运动时，x＝5 m，

置．

m?s?2，开

v=0，求该质点在t＝10s 时的速度和位

a? 图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知

l?h将上式对时间t求导，得

22dv?4?3tdt 解：∵

分离变量，得 dv?(4?3t)dt

?s2

3v?4t?t2?c12积分，得 v?0,∴c1?0

由题知，t?0,0

3v?4t?t22 故

dx3v??4t?t2dt2 又因为

3dx?(4t?t2)dt2分离变量，

题1-4图 1x?2t2?t3?c2根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， 2积分得

dldsx?5,∴c2?5

v绳???v0,v船??由题知 t?0,0dtdt ∴ 1x?2t2?t3?52故

dlds2l?2sdtdt

2

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所以t?10s时

v10?4?10?3?102?190m?s?121x10?2?102??103?5?705m2

3t?∴当

v0b时，a?b

v0沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘

(?t?sin?t)，y＝

1-9 半径为R的轮子，以匀速

上任意点B的运动方程为x＝R1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，

?式中以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝2 s

和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

??v0/R是轮子滚动的角速度，R(1?cos?t)，式中当B与

水平线接触的瞬间开始计时．此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)求B点速度和加速度的分量表示式．

解：依题意作出下图，由图可知

d?d??9t2,???18tdtdt 解：

?2a?R??1?18?2?36m?st?2s? (1)时，

??

an?R??1?(9?2)?1296m?s222?2

题1-9图

atan45????1οan(2)当加速度方向与半径成45角时，有

2R??R?即

x?v0t?2Rsin?v0t?Rsin??2cos?2(1)

22(9t)?18t

亦即

y?2Rsin?t3?则解得

29?R(?t?Rsin?t)(2)

22?R(1?cos?)?R(1?cos?t)

sin?

于是角位移为

2??2?3t3?2?3??2.679rad

1v0t?bt221-8 质点沿半径为R的圆周按s＝的规律运动，式中

s为质点离圆周上某点的弧长,v0，b都是常量，求：(1)t时刻

质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b．

ds?v0?btdt解：（1） dva????bdtv2(v0?bt)2an??RR

v?22n2dx?R?(1?cos?t)dtdy??Rsin?t)dt

dv?R?2sin?t?xdtdvy?R?2cos?t?dt ?1v1-10 以初速度0＝20m?s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔?vx????vy???ax????ay???60°的夹角，

求：(1)球轨道最高点的曲率半径1；(2)落地处的曲率半径(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．

RR2．

(v0?bt)4a?a??a?b?R2则

加速度与半径的夹角为

??arctan(2)由题意应有

a??Rb?an(v0?bt)22

题1-10图

(1)在最高点，

(v0?bt)4a?b?b?R2即

(v0?bt)4b?b?,?(v0?bt)4?02R

22v1?vx?v0cos60o

an1?g?10m?s?2

3

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an1?又∵

v12题1-13图

22?1v?v?v?50km?h12由图可知 21

?1v12(20?cos60?)2?1??an110∴

(2)在落地点，

??arctan方向北偏西

?10m???v?v1?v2，(2)小船看大船，则有12依题意作出速度矢量图如题

1-13图(b)，同上法，得

v13?arctan?36.87?v24

v2?v0?20m?s?1,

v12?50km?h?1

oa而 n2?g?cos60

∴

1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为

?22v2(20)2?2???80man210?cos60?

方向南偏东36.87

1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界

-1

线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m·s，求轮船的速率． 解： 依题意作出矢量图如题1-14所示．

oβ=0.2

rad·s，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．

?1解：当t?2s时，???t?0.2?2?0.4rad?s

题1-14图

?1则v?R??0.4?0.4?0.16m?s

an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2

a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2

???v?v?v雨船 ∵ 雨船???v?v雨船?v船

∴ 雨由图中比例关系可知

?2a?a?a??(0.064)?(0.08)?0.102m?s1-12 如题1-12图，物体

2n222

v船?v雨?8m?s?1

习题二

2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为

A以相对B的速度v＝2gy沿斜面

滑动，y为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为h处，B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度．

v?y?hA?2ghA解：当滑至斜面底时，

，则

,

中又受到B的牵连运动影响，因此，

m1的物体，另

物运动过程

一边穿在质量为2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑

动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a?下滑，求1，2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．

解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为

m???'vA地?u?vAA对地的速度为

mm???(u?2ghcos?)i?(2ghsin?)j

a1，其对于m2m2对地

则为牵连加速度，又知2对绳子的相对加速度为a?，故加速度，由图(b)可知，为

ma2?a1?a?①

题1-12图 1-13 一船以速率

又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力的张力T，由牛顿定律，有

②

③

联立①、②、③式，得

f在数值上等于绳

v1＝30km·h

-1

-1

沿直线向东行驶，另一小艇在其

前方以速率2＝40km·h

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?

vm1g?T?m1a1

???v?v2?v1，依题意作速度矢量图 解：(1)大船看小艇，则有21如题1-13图(a)

T?m2g?m2a2

4

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(m1?m2)g?m2a?a1?m1?m2(m?m2)g?m1a?a2?1m1?m2mm(2g?a?)f?T?12m1?m2

a?a2表示柱体与绳之间无相对滑动．

讨论 (1)若a??0，则1?(2)若a?2g，则T?f?0，表示柱体与绳之间无任何作用

力，此时

235vx?vx0??axdt??2??2??m?s?10842?77vy?vy0??aydt??2??m?s?10168

于是质点在2s时的速度

5?7??v??i?jm?s?148

(2)

m1, m2均作自由落体运动．

题2-1图

2-2 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度0运动，0的方向与斜面底边的水平线

示，求这质点的运动轨道．

?1?1?r?(v0t?axt2)i?ayt2j22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j2821613?7???i?jm48

2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为

t=0时质点的速度为v0，常数)作用，证明(1) t时刻的速度为v＝

vvAB平行，如图所

v0e?(k)tm；(2) 由0到t的时间内经过的距离为

?(k)tm解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取?v0方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.

题2-2图

mv0()k；)［1-e］；(3)停止运动前经过的距离为

1t?mk时速度减至v0的e，式中m为质点的质量．

(4)证明当

?kvdva??mdt 答: (1)∵

分离变量，得

mv0x＝(kX方向： Fx?0 x?v0t

①

方向： ②

dv?kdt?vmv

YFy?mgsin??mayt?0时 y?0 vy?0

1y?gsin?t22

由①、②式消去t，得

1y?2gsin??x22v0

2-3 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，

力的分量为-2 m·s，当t＝2 s

-1

t?kdtdv??v?0m

即 0vv?ktln?lnemv0

∴ (2)

v?v0ek?mt

x??vdt??v0e0tk?mtkmv0?mtdt?(1?e)k

(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，

fx＝6 N，fy＝-7 N，当t＝0时，x?y?0，vx＝vy＝0．求

(1)位矢；(2)速度．

故有

x???v0e0?k?mtdt?mv0k

m (4)当t=k时，其速度为

fx63ax???m?s?2m168解：

fy?7ay??m?s?2m16

(1)

5

v?v0e1v即速度减至0的e.

km?m?k?v0e?1?v0e

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mmmm2-5 升降机内有两物体，质量分别为1，2，且2＝21．用

细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略

????p?mv?mv0

由矢量图知，动量增量大小为

1mm不计，当升降机以匀加速a＝2g上升时，求：(1) 1和2相

mm对升降机的加速度．(2)在地面上观察1，2的加速度各为多少?

解: 分别以(1)设

?mv0m1,m2为研究对象，其受力图如图(b)所示．

2-7 一质量为m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?

解: 由题知，小球落地时间为0.5s．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为大小亦为

，方向竖直向下．

m2相对滑轮(即升降机)的加速度为a?，则m2对地加速度

a2?a??a；因绳不可伸长，故m1对滑轮的加速度亦为a?，又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以m1在水平方向对

地加速度亦为a?，由牛顿定律，有

v1?gt?0.5g，小球上跳速度的

m2g?T?m2(a??a)

T?m1a?

大小 碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．

v2?0.5g．设向上为y轴正向，则动量的增量

????p?mv2?mv1方向竖直向上，

??p?mv2?(?mv1)?mg?F?(10?2t)iN，式

2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为

中t的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及??6jm·s

?p1??向， ?t力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度的物体,回答这两个问题．

解: (1)若物体原来静止，则

题2-5图

联立，解得a00-1

??g方向向下

???4Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?s?1i,沿x轴正

m(2) 2对地加速度为

a2?a??a?g2 方向向上

????p1?v1??5.6m?s?1im???I1??p1?56kg?m?s?1i

m1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即??'?a绝?a相?a牵

g25a1?a??a?g??g42∴

a1??arctan?arctan?26.6oa?2，左偏上．

?vm2-6一质量为的质点以与地的仰角?=30°的初速0从地面抛

222m?s?1初速，则

?tFt??????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt0m0于是

t??????p2?p?p0??Fdt??p10,

?????v2??v1,I2?I1

同理，

若物体原来具有?6这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．

(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即

出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量． 解: 依题意作出示意图如题2-6图

I??(10?2t)dt?10t?t20t

亦即 t解得

题2-6图

在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对动量的增量为

2?10t?200?0

t?10s，(t??20s舍去)

2-9 一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为

y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30o，则

6

求质点的动量及t＝0 到量和质点动量的改变量． 解: 质点的动量为

t??2??? ?r?acos?ti?bsin?tj

????p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)

?t?2?分别代入上式，得 将t?0和

????p1?m?bj,p2??m?ai,

则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为

72

2T?(v1?v)2km

v1?v?于是有

将其代入④式，有

2Tkm 2kTm??????I??p?p2?p1??m?(ai?bj)

?1vm?s2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为0，当子弹在枪筒内被

加速时，它所受的合力为 F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子

弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．

解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

v2?v?又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取

v1?v?证毕．

2kT2T,v2?v?mkm

F?(a?bt)?0,得

(2)子弹所受的冲量

t?ab

???F?7i?6jN．(1) 当一质点从原点运动到

2-12 设合?????r??3i?4j?16km时，F求所作的功．(2)如果质点到r处

时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．

t1I??(a?bt)dt?at?bt202

?F解: (1)由题知，合为恒力，

∴

at?b将

代入，得

(3)由动量定理可求得子弹的质量

a2I?2b

Ia2m??v02bv0

2-11 一炮弹质量为m，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为

???????A合?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)

??21?24??45J

A45P???75w?t0.6(2)

?Ek?A??45J

(3)由动能定理，

2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．

解: 以木板上界面为坐标原点，向内为则铁钉所受阻力为

y坐标正向，如题2-13图，

v+

证明: 设一块为

2kTm, v-

2Tkm

题2-13图

m1，则另一块为m2， m1?km2及m1?m2?m

f??ky

1kmmm1?,m2?k?1k?1 于是得

A第一锤外力的功为1

① 又设

m1的速度为v1, m2的速度为v2，则有

1112T?m1v12?m2v2?mv2222A1??f?dy???fdy??kydy?ss0k2②

①

?式中f是铁锤作用于钉上的力，

f是木板作用于钉上的力，在

③

联立①、③解得

dt?0时，f???f． mv?mv?mv1122

A设第二锤外力的功为2，则同理，有

v2?(k?1)v?kv1

②

由题意，有 7

④

将④代入②，并整理得

A2??kydy?1y212kky2?22

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1kA2?A1??(mv2)?22③

解: (1)设在距月球中心为r处

有

F月引?F地引，由万有引力定律，

12kkky2??22 即 2所以，

于是钉子第二次能进入的深度为

G经整理，得

mM月r2r??GmM地?R?r?2

y2?2

M月M地?M月R

?y?y2?y1?2?1?0.414cm

2-14 设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势

nE(r)?k/rP能为, 试求质点所受保守力的大小和方向．

7.35?1022=

5.98?1024?7.35?1022?3.48?108

dE(r)nkF(r)???n?1drr 解:

?方向与位矢r的方向相反，即指向力心．

k2-15 一根劲度系数为1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为

6?38.32?10m

则P点处至月球表面的距离为

h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?107m (2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为

k2的轻弹簧B，B的下端

一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 能之比． 解: 弹簧

EP??G11M月r?GM地?R?r?

A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有

2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为

7.35?10225.98?1024?11??6.67?10??6.67?10?7?38.4?3.83??103.83?10?1.28?106J

m1和m2的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧

m2与桌面间的摩

m1静止于A点，AB＝BC＝h，绳已拉直，

的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，擦系数为?，最初现令滑块落下

m1,求它下落到B处时的速率．

解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有

题2-15图

FA?FB?Mg

F?k1?x1

又 A所以静止时两弹簧伸长量之比为

11(m1?m2)v2?[m1gh?k(?l)2]22

式中?l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则

??m2gh?联立上述两式，得

?l?AC?BC?(2?1)h

FB?k2?x2

?x1k2??x2k1v?

2?m1??m2?gh?kh2m1?m2?2?1?2

弹性势能之比为

12k?xEp1211k??2Ep21k12k2?x22 m2-16 (1)试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点P，距

月球表面的距离是多少?地球质量5.98×10kg，地球中心到月822

球中心的距离3.84×10m，月球质量7.35×10kg，月球半径1.74

6

×10m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少?

8

24

题2-17图

72

v2-18 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度0＝3m·s

-1

222v?v?v012即

从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹

簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．

解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

①

12?1?kx??mv2?mgssin37??2?2? 12mv?mgssin37??frs2k?12kx2

式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解

?frs?得

题2-20图(a) 题2-20图(b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有

???mv0?mv1?mv2

???v?v01?v2亦即

②

由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾

k?1390N?m-1

???vvv股定理，且以0为斜边，故知1与2是互相垂直的．

2-21 一质量为m的质点位于(

题2-18图

再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?

作用在质点上的力为

, 质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相

对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩． 解: 由题知，质点的位矢为

???v?vxi?vyjx1,y1)处，速度为

???r?x1i?y1j

??f??fi

1?frs??mgs?sin37o?kx22

?代入有关数据，得 s?1.4m,

则木块弹回高度

所以，质点对原点的角动量为

???L0?r?mv ?????(x1i?y1i)?m(vxi?vyj)h??s?sin37?0.84m

作用在质点上的力的力矩为

o??(x1mvy?y1mvx)k

2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离

题2-19图

2-19 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．

解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有

为

???????M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk

10

r1＝8.75×10

m 时的速率是

2

v1＝5.46×10

-1

4

m·s，它离太阳

-1

2多最远时的速率是2＝9.08×10m·s

少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)

解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

vr11mgR?mv2?MV222

又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，

水平方向有 联立，以上两式，得

∴

r1mv1?r2mv2

mv?MV?0

v?2MgR?m?M?

r1v18.75?1010?5.46?104r2???5.26?1012m2v29.08?10 ??2-23 物体质量为3kg，t=0时位于r?4im,

??????1v?i?6jm?s，如一恒力f?5jN作用在物体上,求3秒

后，(1)物体动量的变化；(2)相对z轴角动量的变化． 解: (1)

02-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直． 证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有

??3???p??fdt??5jdt?15jkg?m?s?1

121212mv0?mv1?mv2222

9

(2)解(一)

x?x0?v0xt?4?3?7

72

1215at?6?3???32?25.5j2?2?3?? ?r?4i,r2?7i?25.5j

即 1y?v0yt?vx?v0x?1

?0????r??M1gmr0M1gM1?M23()mr0M125vy?v0y?at?6??3?11??3?? ??v?i1?6j,v2?i?11j

即 1∴

∴

???????转动，转速为900rev·min．现利用一制动的闸杆，在闸杆的一L1?r1?mv1?4i?3(i?6j)?72k

??????端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如??L2?r2?mv2?(7i?25.5j)?3(i?11j)?154.5k

?-1

M1?M2M1g??r0?m?M1?M2

2-25 飞轮的质量m＝60kg，半径R＝0.25m，绕其水平中心轴O?????L?L2?L1?82.5kkg?m2?s?1

dzM?dt 解(二) ∵

??t?t??L??M?dt??(r?F)dt∴

300题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数惯量可按匀质圆盘计算．试求：

=0.4，飞轮的转动

(1)设F＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?

(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力F?

解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中N、N?是

正压力，

?152???????(4?t)i?(6t?)?t)j??5jdt023????3??5(4?t)kdt?82.5kkg?m2?s?10Fr、Fr?是摩擦力，Fx和Fy是杆在A点转轴处所受支

承力，R是轮的重力，P是轮在O轴处所受支承力．

题2-25图（a）

题2-24图

2-24 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为

M1的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为r0M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题

题2-25图(b)

杆处于静止状态，所以对则有

时重物达到平衡．今在

2-24图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少?

解: 在只挂重物时

M1，小球作圆周运动的向心力为M1g，即

A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，

N??l1?l2Fl1M1g?mr0?0① 挂上

2F(l1?l2)?N?l1?0

M2后，则有

对飞轮，按转动定律有

???FrR/I(M1?M2)g?mr???2r0mv0?r?mv? ?r02?0?r?2??

度?方向相反．

，式中负号表示?与角速

②

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即 ③

联立①、②、③得

Fr??N N?N?

l?lFr??N???12Fl1∴

∵

又∵

I?1mR2,2

10

72

???∴ ① 以FFrR?2?(l1?l2)?FImRl1

?100N等代入上式，得

??由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为

?2?0.40?(0.50?0.75)40?100??rad?s?260?0.25?0.503

t???0900?2??3??7.06s?60?40

题2-26(a)图 题2-26(b)图

(1)

这段时间内飞轮的角位移为

1900?2?91409?????(?)22604234?53.1?2?rad 可知在这段时间里，飞轮转了53.1转．

2??0?900?rad?s?160(2)，要求飞轮转速在t?2s内减少

???0t??t2?

m1,m2和柱体的运动方程如下：

T2?m2g?m2a2 ① m1g?T1?m1a1 ②

??T1R?T2r?I? ③

式中

一半，可知

?0??2??0tT1??T1,T2??T2,a2?r?,a1?R?I????02t??15?rad?s?22

用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为

F???mRl1?2?(l1?l2)而 由上式求得

11MR2?mr222

???2-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴

60?0.25?0.50?15?2?0.40?(0.50?0.75)?2?177N

Rm1?rm2gI?m1R2?m2r20.2?2?0.1?2OO?转动．设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为Mmmmm和m．绕在两柱体上的细绳分别与物体1和2相连，1和2则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示．设R＝0.20m, r＝0.10m，m＝4 kg，M＝10 kg，

11?10?0.202??4?0.102?2?0.202?2?0.10222?6.13rad?s?2 (2)由①式 由②式

2-27 计算题2-27图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M，半径为r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设kg,M＝15 kg, r＝0.1 m 解: 分别以

?9T2?m2r??m2g?2?0.10?6.13?2?9.8?20.8N

m1＝m2＝2 kg，且开始时m1，

T1?m1g?m1R??2?9.8?2?0.2.?6.13?17.1N

m1＝50

m2＝200

m2离地均为h＝2m．求：

(1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力． 解: 设

kg，

a1,a2和β

分别为1,

方向如图(如图b)．

mm2和柱体的加速度及角加速度，

m1,m2滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对

m2g?T2?m2a ① T1?m1a ②

m1,m2运用牛顿定律，有

对滑轮运用转动定律，有

1T2r?T1r?(Mr2)?2③

又， a联立以上4个方程，得

11

?r? ④

72

a?m2gm1?m2?M2?200?9.8?7.6155?200?2m?s?2

解: (1)设小球的初速度为

为?，而小球的速度变为v，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：

v0，棒经小球碰撞后得到的初角速度mv0l?I??mvl①

121212mv0?I??mv222② 上两式中

I?题2-27(a)图 题2-27(b)图

12Ml3，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的

?30o，按机

角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度?械能守恒定律可列式：

12lI??Mg(1?cos30?)22③

由③式得

题2-28图

2-28 如题2-28图所示，一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过?角时的角速度. 解: (1)由转动定律，有

1212

?3g3??Mgl????(1?cos30?)???(1?)?Il2????由①式

v?v0?④

由②式

I?ml

mg11?(ml2)?23

??∴

(2)由机械能守恒定律，有

3g2lI?2v?v?m220

⑤ 所以

l11mgsin??(ml2)?2223

3gsin???l∴

(v0?求得

I?212)?v0??2mlm

v0??l?Il1M(1?2)?(1?)?223mml6(2?33m?M12mgl

0(2)相碰时小球受到的冲量为

?Fdt??mv?mv?mv由①式求得

题2-29图

2-29 如题2-29图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置

上．现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度??30°处．

?Fdt?mv?mv0????I?1??Ml?l3

6(2?3)M6gl

负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．

(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速(2)相撞时小球受到多大的冲量?

v0的值；

题2-30图

12

72

2-30 一个质量为M、半径为R并以角速度?转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．

(1)问它能升高多少?

(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能． 解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度

∴ (2)

??m0v0sin?(m?m0)R

v0?R?

设碎片上升高度h时的速度为v，则有

令v?0，可求出上升最大高度为

2v0122H??R?2g2g 1I?MR22(2)圆盘的转动惯量，碎片抛出后圆盘的转动惯量

1I??MR2?mR22，碎片脱离前，盘的角动量为I?，碎片刚

脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即 式中??为破盘的角速度．于是

2v2?v0?2gh

2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系

-12

数为2.0 N·m；定滑轮的转动惯量是0.5kg·m，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长．

解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有

mvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2???1Ek0m?m02m0v02121212mv?I??kh222

又 ??v/R

mgh?(2mgh?kh2)k2v?mR2?I故有

I??I????mv0R

得????(角速度不变)

圆盘余下部分的角动量为

11MR2??(MR2?mR2)???mv0R22 11(MR2?mR2)??(MR2?mR2)??22

1(MR2?mR2)?2

(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42?6.0?0.32?0.5?2.0m?s?1

转动动能为

题2-32图 题2-33图

AC自由转动，如题2-33图所示，其

I?转动惯量为0，环半径为R，初始角速度为0．质量为m的小

2-33 空心圆环可绕竖直轴

题2-31图

Ek?2-31 一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮

mv缘上，可绕轴自由转动．另一质量为0的子弹以速度0射入轮缘(如题2-31图所示方向)．

(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值? (2)用m,之比．

11(MR2?mR2)?222

A点，由于微小的干扰，小球向下滑动．设圆环

内壁是光滑的，问小球滑到B点与C点时，小球相对于环的速率

球，原来静置于各为多少?

解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时，有

I0?0?(I0?mR2)?

①

该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为

m0和?表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能

vB，以B点为重力势能零点，则有

11122I0?0?mgR?(I0?mR2)?2?mvB222 ②

联立①、②两式，得

解: (1)射入的过程对O轴的角动量守恒

Rsin?m0v0?(m?m0)R2?

13

72

22I0?0RvB?2gR?I0?mR23-3 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标

分别为1=6×10m,1=2×10s，以及2=12×10m,2=1×-4

10s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2) 少? 解: 设(SI?I0 ∴?c??0

(2)当小球滑至C点时，∵c故由机械能守恒，有

x4

t-4

x4

t1mg(2R)?mvc22

v?2gR

∴ c请读者求出上述两种情况下，小球对地速度．

习题三

3-1 惯性系S′相对惯性系S以速度u运动．当它们的坐标原点O与O?重合时，t=t?=0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程．

解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：

S?系中测得的两事件的空间间隔是多

?)相对S的速度为v，

(1)

???(t1?t1vx)21c

vx2)c2

??0 t??t1由题意 2???(t2?t2则

故

t2?t1?v(x2?x1)c2

x?y?z?(ct)

x?2?y?2?z?2?(ct?)2

2222v?c2(2)

t2?t1c????1.5?108x2?x12m?s?1

由

洛

仑

兹

变

换

???(x1?vt1),x2???(x2?vt2) x1??5.2?104m x??x1代入数值， 23-4 长度

l0=1 m

S′系中，与x轴的夹角

′

题3-1图

3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差． 解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢(S

?'=30°，S′系相对S系沿x轴运动，在S系中观测者测得米尺

?与x轴夹角为??45． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速

度.(2)S系中测得的米尺长度． 解: (1)米尺相对S?静止，它在x?,y?轴上的投影分别为：

?)系时空坐标为

?L0sin???0.5m??L0cos???0.866mL?Lx，y

米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而

l?,t1?)?(l,)(x1c，在车站(S)系：

ulu?lu??2x1?)??(?2l)?(1?)t1??(t1cccc c?光信号到达后门为事件2，则在车厢(S)系坐标为

l?,t2?)?(?l,)(x2c，在车站(S)系：

u?lu??2x2?)?(1?)t2??(t2cc c?lut2?t1??22c 于是

或

y方向的长度不变，即

故

v2?1?2,Ly?L?Lx?Lxyc

tan??LyLx?L?yLx?L?yv2?1?2Lxc

把??,L?y?45ο及Lx代入

??x2??2l ?t??0,?t?t1?t2,?x??x1?t??(?t??uu??x)??(2l)22cc

v20.51?2?0.866 c则得

者

故 v?0.816c

(2)在S系中测得米尺长度为

L?Lysin45??0.707m

14

72

ll3-5 一门宽为a，今有一固有长度0(0＞a)的水平细杆，在门

外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认少为多少?

为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至

(1)∴

?t???(?t?v?x)???tc21v1?()2c?t

ul?l01?()2c解: 门外观测者测得杆长为运动长度，

，当

1?aa?l0时，可认为能被拉进门，

解则

?

v2?t41?2????t5 c出

u1?()2cv?c1?(

au?c1?()2l0解得杆的运动速率至少为：

?t243)?c1?()2?c?t?55

?1.8?108 m?s?1

?t?5?,?x?0?t4

(2)

?x?????x?v?t?,??∴

题3-6图

3-6两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则O?测

得两者经过多少时间相遇? 解: O测得相遇时间为?t

5345??0． x??x1负号表示2?x????v?t???c?4??3c??9?108m

3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 解:

L20?t?0?v0.6c

O? 测得的是固有时?t?

L01??2?t????v∴

?t?8?8.89?10s，

3l??3?l01??2?51??2,则?1??25

94v?1?c?c255 ∴

3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时． 证: 设在

??v?0.6c ， 1??0.8 ，

Lv

S系A、B事件在a,b处同时发生，则

?x?xb?xa,?t?tA?tB，在S?系中测得

??t??t?B?tA??(?t?v?x)2c

? ?t?0,?x?0，

或者，O?测得长度收缩，

L?L01??2?L01?0.62?0.8L0,?t??0.8L00.8?20??8.89?10?8s80.6c0.6?3?10

3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S?中，甲测得在

?t???t??0 ∴

即不同时发生． 3-10 试证明：

(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．

(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短． S?系中，两事件A、B在同一地点发生，则

?x??0，在S系中，?t???t???t?，仅当v?0时，等式成立，∴?t?最短．

(2)若在S?系中同时发生，即?t??0，则在S系中，?x???x???x?，仅当v?0时等式成立，∴S?系中?x?最

解: (1)如果在

短．

3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少? 15

同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求：

(1) S?相对于S的运动速度．

(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离． 解: 甲测得

?t?4s,?x?0,乙测得?t?5s，坐标差为

??x1?′ ?x??x2

72

解: 以脉冲星为S?系，?x??0，固有周期

?t???0.地球为S系，则有运动时1，这里1不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行

?t???t??tA以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船B以0.6c

的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在B飞船的观测者测得两

3-14 飞船

颗信号弹相隔的时间间隔为多少?

解: 取B为S系，地球为S?系，自西向东为x(x?)轴正向，则

v?t1远离信号的传递时间，c

v?t1v???t????t则A对S系(B船)的速度为 cc∴ ′ vv?0.8c?0.6cx?u???t?(1?)v???0.946cxc uv?1?0.481?2x11c???

0.60.8c2?发射弹是从A的同一点发出，其时间间隔为固有时?t?2s， 1?()c

?t0.5?0??t???v0.8c?(1?)(1?)?cc则

0.50.3题3-14图 ???0.1666s11.8∴B中测得的时间间隔为： (1?0.8)0.6?t?2

?t???6.17s?v3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个介子以速度=0.998c22v1?0.946飞向地球．假定该?介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿1?xc2 命2×10s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和?介子

3-15 (1)火箭A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+x静止系中观测者来判断?介子能否到达地球．

?6和-x方向飞行．试求由火箭B测得A的速度．(2)若火箭A相对?t?2?10s?0解: 介子在其自身静止系中的寿命是固有

地球以0.8c的速度向+y方向运动，火箭B的速度不变，求A相(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰

对B的速度． 变前经历的时间为

?t0 解: (1)如图a，取地球为S系，B为S?系，则S?相对S的速?5?t??3.16?10s2v?0.8c，则A相对v度u?0.6c，火箭A相对S的速度x1?2S?(B)的速度为： c

vx?u0.8c?(?0.6c)这段时间飞行距离为d?v?t?9470m

v????0.946cxu(?0.6c)(0.8c)d?6000m因，故该?介子能到达地球． 1?2vx1???vcc2或在介子静止系中，介子是静止的．地球则以速度接近介 ?td??v?t0?599m 或者取A为S?系，则u?0.8c，B相对S系的速度

子，在0时间内，地球接近的距离为

vx??0.6c，于是B相对A的速度为： d?6000m?t??t1?-6

Av??0.8c，S?系对S系的速度为u?0.6c，

对S?系的速度x0经洛仑兹收缩后的值为：

??d0d0?d??d0，故?v21?2?379mc

介子能到达地球．

3-13 设物体相对S′系沿x?轴正向以0.8c运动，如果S′系相对

S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少?

vx?u?0.6c?0.8c???0.946cu(0.8c)(?0.6c)1?2vx1?cc2

(2)如图b，取地球为S系，火箭B为S?系，S?系相对S系沿?x方向运动，速度u??0.6c，A对S系的速度

v?x?为,

u?0.8c,v?x?0.8c 解: 根据速度合成定理，

∴

vx?0,vy?0.8c,由洛仑兹变换式A相对B的速度为：

v??u0.8c?0.8cvx?x??0.98cuv?0.8c?0.8c1?2x1?c2c

16

v?x?vx?u0?(?0.6c)??0.6cu1?01?2vxc

72

u21?2vycv??1?0.62(0.8c)?0.64cy?u1?2vxc

∴A相对B的速度大小为

??0.88cv??v?x?v速度与x?轴的夹角??为

22y?9.1?10?31?(3?108)2(121?0.1?4.12?10?16J=2.57?103eV

?1)

(2)

??Ek?Ek?(m2c2?m0c2)?(m1c2?m0c2)?Ek21?m2c2?m1c2?m0c2()

11?vc222?11?vc212)tan???v?yv?x???46.8ο

?1.07

?9.1?10?31?32?1016(?5.14?10?143-18

1?子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命

-6

-6

1?0.92J?3.21?105eV

?11?0.82题3-15图

3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60?角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的x?轴与x轴一致，并以0.6c的速度沿x方向运动．试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何?

解: S系中光子运动速度的分量为

s，若它在实验室参考系中的平均寿命?= 7×10s，试

问其质量是电子静止质量的多少倍? 解: 设

?0=2×10

?子静止质量为

m0，相对实验室参考系的速度为

v??c，相应质量为

m，电子静止质量为

m0e，因

???01??2,即11??2??7??02?vx?ccos60ο?0.500c

由质速关系，在实验室参考系中质量为：

vy?csin60?0.866c

由速度变换公式，光子在S?系中的速度分量为

vx?u0.5c?0.6cv?????0.143cxu0.6c?0.5c1?2vx1?cc2 u21?2vy1?0.62?0.866ccv???0.990cy?u0.6c?0.5c1?2vx1?cc2

光子运动方向与x?轴的夹角??满足

v?ytan?????0.692v?x ο??在第二象限为???98.2 在S?系中，光子的运动速度为

正是光速不变．

3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功? 解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得

2?2v??v?x?vy?cοm?m01??2207m0e1??2

故

3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上

缩短了百分之几? 解: 设静止质量为

m2077??207??725m0e21??2

m0，运动质量为m，

m?m0?0.10m0由题设

m?m01??2

1由此二式得

1??2?1?0.10

1??2?∴ 在运动方向上的长度和静长分别为l和

11.10

l0，则相对收缩量为：

?Ek?Ek?mc2?m0c2?m0c2(??1)?m0c2(11?vc22?l?1)l0?3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?已知电子的静止

-31

质量为9.1×10kg． 17

l0?l1?1?1??2?1??0.091?9.1%l01.10

72

?m?E0.4??2m100mc00解: 由质能关系

∴

23-22

2氢原子的同位素氘(13H)和氚(1H)在高温条件下发生聚变反

4应，产生氦(22反应方程为110He)原子核和一个中子(n)，并释放出大量能量，其

?E?0.4m0c?0.4?9.1?10?31?(3?108)2/100100

?16?3.28?10J3H + 1H

4210He + n

-27

＝

2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600×10kg)，氚核和

氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量．

解: 反应前总质量为2.0135?3.0155?5.02903.28?10?16?eV?19?2.0?103eV 1.6?103所需电势差为2.0?10伏特

由质速公式有：

amu

反应后总质量为4.0015?1.0087?5.0102amu 质量亏损

mm01???0??mm0??m2∴

111???m0.41.0041?1?m0100

?m?5.0290?5.0102?0.0188amu?3.12?10?29kg

由质能关系得

?E??mc2?3.12?10?29??3?108?2

12)?7.95?10?31.004v??c?2.7?107m?s-1

故电子速度为

?2?()2?1?(vc?2.81?10?21J?1.75?107eV m3-23 一静止质量为0的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c

和0.8c．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能．

解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损． 设裂变产生两个粒子的静质量分别为

3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能K＝2.8×9

10eV．这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量是多

Em10和m20，其相应的速度

v1?0.6c,v2?0.8c

由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有

E大?(与电子静止质量相应的能量为0＝0.511×10eV

6

)

2Ek?解:

所

22m0c2v21?2c?m0c??m1v1?m2v2?

以

m10v121?2cm10?v1?m202v21?2c?v2?0

1?m0cv1??c21?Ek/m0c2Ek?m0c2m1?m2?1?

注意

vc212?m201?vc222?m0

由上式，

m0c22v?c1?()m0c2?Ekm1和m2必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化

v1?0.6c,v2?0.8c代入，将上二方程

为一维标量方程，再以化为：

m10m2082?c1?(0.51?106)2/(0.511?106?2.8?109)6??m0m 10?m200.686，0.8

?2.9979245?108m?s-1

上二式联立求解可得： 8-1c?v?2.997924580?10m?sm10?0.459m0, m20?0.257m0 ?2.9979245?108?8 m?s-1

22224?m?m0?(m10?m20)?0.284m0由静质量E?pc?mc可得 故静质量亏损0由动量能量关系

E?2Ekmc2??mc2?0.284mc20E?k0p??? ccc m0的粒子，分别以

3-24 1有A，B两个静止质量都是

82?[(2.82?1018?2?2.8?109?0.511?106)?1.62?10?38]=/3?10v1vv,2=-v的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为

E?mc(Ek?m0c)?mc?1.49?10?18kg?m?s?1一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量．

mm解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别1和2，碰撞后粒子的质量为M、速度为V，于是，根据动量守恒和质量

守恒定律可得：

2204222042k亏损引起静能减少，即转化为动能，故放出的动能为

18

72

m1v1?m2v2?MV①

m1?m2?M② 由

(1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动

(设小球所经过的弧线很 短)．

于

题4-1图

解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用

?v2)c

代入①式得 V?0

2m0M?m1?m2v1?()2c，即为碰撞后静止质量．

1?(3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．

m1v1?m2v2?m0vv1?()2c?m0(?v)?0d2???2??0 2dt描述时，其所作的运动就是谐振动．

(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．

(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指

小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能

：

最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?，如题

4-1图(b)所示．题 中所述，?S＜＜R，故?2GMc2 解: 史瓦西半径

M?6?1024kg地球：

rs?则

2?6.7?10?11?6?1024?3rs??8.9?10m82(3?10)

30M?2?10kg

太阳：

则：

??SR→0，所以

回复力为?mg?.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有

m 30

3-26 典型中子星的质量与太阳质量M⊙＝2×10kg

半径约为10km．若进一步坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10cm)，质量是什么数量

-15

rs?2?6.7?10?2?10(3?108)2?1130?3?103d2?mR2??mg?

dt令?2级?

?3r?3?10m 解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，s?15r?10cm ?10?17m (2) sg，则有 Rd2?2???0 2dt4-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．

由 得

rs?2GMc2

3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．

解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．

等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验 都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效． 广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同． 广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．

习题四

4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：

19

rsc210?17?(3?108)29M???6.7?10kg 2G2?6.7?10?11题4-2图

解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有

F?F1?F2，设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为x，则有

F??k串xF1??k1x1F2??k2x2

又有 x?x1?x2

FFFx??1?2

k串k1k2所以串联弹簧的等效倔强系数为

72 k串?k1k2k1?k2 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为

k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动

周期为

T?2???2?m(k1?k2)m?2?k串k1k2mR2?Im?I/R2T??2?(?2?) ?KkR2?34-4 质量为10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按

2?x?0.1cos(8??)(SI)的规律作谐振动，求：

32?(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2

(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F即x?F1?F2，

?x1?x2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有

k并x?k1x1?k2x2

故 k并同上理，其振动周期为

?k1?k2

?5s与t1?1s两个时刻的位相差；

解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：

2?1A?0.1m,??8?,?T??s,?0?2?/3

?4?1又 vm??A?0.8?m?s

m

k1?k24-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释

T??2?放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．

?2.51m?s?1

am??2A?63.2m?s?2

(2)

Fm?am?0.63N 12E?mvm?3.16?10?2J

21Ep?Ek?E?1.58?10?2J

2当Ek?Ep时，有E?2Ep，

题4-3图

解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有

d2xmgsin??T1?m2 ①

dtT1R?T2R?I? ②

12112kx??(kA) 22222A??m ∴ x??220 (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32? 4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的状态分别是：

(1)x0??A；

即

(2)过平衡位置向正向运动； (3)过xA处向负向运动； 2d2xA?R? T2?k(x0?x) (4)过x??处向正向运动． 2dt2?③

式中x0式，有

?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三

试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ?Id2x(mR?)2??kxR

RdtkR22令 ??mR2?I则有

?x0?Acos?0

?v0???Asin?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

?1??dx??2x?0 2dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

2?2???3?20

32?32?x?Acos(t??)

T2?3x?Acos(t??)

T22??x?Acos(t?)

T3

72 5?2?5x?Acos(t??) 4T4?34-6 一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：

(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．

?2解：由题已知 A?24?10m,T?4.0s

2?∴ ???0.5?rad?s?1

T又，t?0时，x0??A,??0?0

?4??2A?x0?(v0?)2?225.0?10?22?(1.0?10)?()5?2?10?2mv05.0?10?25? tan?0????1,即??0?2x0?1.0?10?545?2∴ x?2?10cos(5t??)m

4

故振动方程为

4-8 图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．

x?24?10?2cos(0.5?t)m

(1)将t?0.5s代入得

x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m

F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2?3?2?3

题4-8图

方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，

A?t?t时 x0??,且v?0,故?t?

23????2∴ t??/?s

?323 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的

总能量均为

解：由题4-8图(a)，∵t121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)2 22?7.1?10?4J4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为

4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度v0?5.0cm?s?1，求振动周期和振动表达式．

E?m1g1.0?10?3?9.8解：由题知k???0.2N?m?1 ?2x14.9?10?2?2-1而t?0时，x0??1.0?10m,v0?5.0?10m?s ( 设

向上为正) 又

?0时，3x0?0,v0?0,??0??,又,A?10cm,T?2s

22?即 ????rad?s?1

T3故 xa?0.1cos(?t??)m

2A5?由题4-8图(b)∵t?0时，x0? ,v0?0,??0?23?t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2??

255又 ?1???1????

325∴ ???

655?故 xb?0.1cos(?t?)m

634-9 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并

和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．

(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大?

(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程． 解：(1)空盘的振动周期为2???k0.22???5,即T??1.26s ?3m?8?10Mk，落下重物后振动周期为

2?

21

M?m，即增大． k72

(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，t则x0???0时，

mgk．碰

撞时，以m,M为一系统动量守恒，即

m2gh?(m?M)v0

m2gh则有 v0?m?M于是

20

题4-11图

解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知

2A2?A12?A2?2A1Acos30?

mg2m22gh2A?x?()?()?()?k(m?M)v02?(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2

?0.01∴ 设角

mg2kh?1?k(m?M)gv02kh（3）tan?0???x0?(M?m)g (第三象限)，所以振

A2?0.1m

AA1O为?，则

2A2?A12?A2?2A1A2cos?即

2A12?A2?A2(0.173)2?(0.1)2?(0.02)2cos???动方程为

2A1A22?0.173?0.1?mg2khk2kh?x?1?cos?t?arctan? ?0k(m?M)g(M?m)g??m?M??AA即，这说明，与间夹角为，即二振动的位相差???3214-10 有一单摆，摆长l?1.0m，摆球质量m?10?10kg，22当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量?为. ?4?1F?t?1.0?10kg?m?s，取打击时刻为计时起点24-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动(t?0)，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．

解：由动量定理，有

的振幅：

F??t?mv?0

∴

F??t1.0?10?4-1v???0.01m?s

m1.0?10?3按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t?0时，x0?0,v0?0.01m?s?1 ＞0

∴ ?0?3?/2

又 ?∴

2A?x0?(?v0g9.8??3.13rad?s?1 l1.0?0.01?3.2?10?3m 3.13v0?)2??故其角振幅

??小球的振动方程为

A?3.2?10?3rad l??x?5cos(3t?)cm?13(1) ? 7??x2?5cos(3t?)cm3???x?5cos(3t?)cm?13(2)? 4??x2?5cos(3t?)cm3?7??解： (1)∵ ????2??1???2?,

33∴合振幅 A?A1?A2?10cm

4??(2)∵ ??????,

33∴合振幅 A?0

4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

??3.2?10?3cos(3.13t??)rad

4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为

32??x?0.4cos(2t?)m?16 ?5?x2?0.3cos(2t??)m6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写

出谐振方程。

解：∵ ???0.20m，位相与第一振动的位相差为，已知第一振动的振幅为

6 0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．

5?(??)?? 66∴ A合?A1?A2?0.1m

?? 22

72

5?(3)振动曲线y?f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规

Asin?1?A2sin?2366?律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动曲线y?f(x,t)描述的tan??1?

?5?A2cos?1?A2cos?23是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为0.4cos?0.3cosy，横轴为x．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位66?置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动

∴ ??

曲线就是不同时刻的波形图． 6xx其振动方程为

t??u)+?0］中的u表示什么?5-2 波动方程y=Acos［?(x?0.1cos(2t?)m 6?x?x?t???(作图法略) 0y=Acos (u如果改写为)，u又是什么意思?如4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为

x一椭圆，已知x方向的振动方程为x?6cos2?tcm，求y方向

t?的振动方程． u)+?0］的值不变，由此果t和x均增加，但相应的［?(

0.4?sin??0.3sin*

能从波动方程说明什么?

解: 波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为x的质元的振动

?x落后于原点的时间；

题4-14图

u则表示x处质元比原点落后的振动位相；

设t时刻的波动方程为

?3?或；

22?又，轨道是按顺时针方向旋转，故知两分振动位相差为.所以y2解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为方向的振动方程为

则t??t时刻的波动方程为

yt?Acos(?t??xu??0)

yt??t?Acos[?(t??t)?其表示在时刻

?(x??x)u??0]y?12cos(2?t?

?2)cm

习题五

5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?

解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y?f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作又是时间t的函数，即

t，位置x处的振动状态，经过?t后传播到

?x(?t?)x?u?t处．所以在u中，当t，x均增加时，

?x(?t?)u的值不会变化，而这正好说明了经过时间?t，波形

即向前传播了?x?u?t的距离，说明

?xy?Aco?ts?(??0)u描述的是一列行进中的波，故谓之行

波方程．

5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点? 解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元

振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，

y?f(x,t)．

(2)在谐振动方程y?f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程

dV内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振

动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为

y?f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间

t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间

变化的规律．

y?f(x,t)，则相对形变量(即应变量)为?y/?x.波动势能则

是与的平方成正比．由波动曲线图(题5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处)，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．

?y/?xxy?Acos?(t?)u中的坐标位置给定后，当谐波方程即可得到

该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件

之一．

?y/?x?0 23

72

题5-3图

对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化．

5-4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? t=0时刻是否一定是波源开始振动的时刻? 波动方程写成

y=Acos?(

t?xu)时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提

下波动方程才能写成这种形式?

解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，t?0的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成

xy?Acos?(t?)u时，坐标原点也不一定是选在波源所在处

的．因为在此处对于波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程．

5-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?

题5-6 图多普勒效应

5-7 一平面简谐波沿x轴负向传播，波长?=1.0 m，原点处质点的振动频率为?=2. 0 Hz，振幅位置向解: 由题知t

y?2Acos2?解: 取驻波方程为，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为

?xcos??vty轴负向运动，求此平面波的波动方程．

A＝0.1m，且在t=0时恰好通过平衡

2Acos2?．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相

同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反． 5-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别?

解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题5-6图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(u/??)会增多，所以接收频率增高；而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即

?x?0时原点处质点的振动状态为y0?0,v0?0，

?故知原点的振动初相为2,取波动方程为

txy?Acos[2?(?)??0]T?则有

x?y?0.1cos[2?(2t?)?]12

??0.1cos(4?t?2?x?)2m

5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为

u?也会

增多，即接收频率也将增高．简单地说，前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率．

u??u?vB，因而单位时间内通过观察者完整波的数目?y=Acos(Bt?Cx)，其中A，B，C为正值恒量．求：

(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；

(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程

y?Acos(Bt?Cx) (x?0)

将上式与波动方程的标准形式

y?Acos(2??t?2?比较，可知：

x?)

A，频率， 2?B??u????C，波速C， 波长

波振幅为

24

??B2?72

T?波动周期(2)将x1??2?B．

对于O点：∵

?l代入波动方程即可得到该点的振动方程

y?Acos(Bt?Cl)

2

y??A,vA?0，∴?A?0

对于A点：∵A2 3????y?0,vC?0，∴C2 对于C点：∵C(取负值：表示A、B、C点位相，应落后于O点的位相) (2)波沿x轴负向传播，则在t时刻，有

对于B点：∵对于O点：∵

yO?0,vO?0，∴

?O??(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为

??? 将

2?yB?0,vB?0，∴

?B????(x2?x1)x2?x1?d，及

??2?C

代入上式，即得

???Cd．

5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为

y=0.05cos(10?t?4?x)，式中x,y以米计，t以秒计．求：

(1)波的波速、频率和波长；

(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度； (3)求x=0.2m

2 ?y???A,v?A?0，∴?A?0 对于A点：∵A??0,vO??0yO，∴

????O?t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的

位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点?

解: (1)将题给方程与标准式

?

?1相比，得振幅A?0.05m，频率??5s，波长??0.5m，

?1波速u????2.5m?s．

(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

y?Acos(2??t?2?x)2 3????C??0y??0,vC2 对于C点：∵C，∴

(此处取正值表示A、B、C点位相超前于O点的位相) 5-11 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5m·s，波长为2m，

对于B点：∵

-1

?y?B?0,vB?0，∴

?B??原点处质点的振动曲线如题5-11图所示． (1)写出波动方程；

(2)作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线． 解: (1)由题5-11(a)图知，

vmax??A?10??0.05?0.5?m?sm?s?1A?0.1m，且t?0时，

amax??A?(10?)?0.05?5??2222y0?0,v0?0，∴

?0?3?2，

(3)x?0.2m处的振动比原点落后的时间为

x0.2??0.08s u2.5故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s时的位相， 即 ?设这一位相所代表的运动状态在t

??又

u??5?2.52Hz，则??2???5?

题5-11图(a)

?9.2π．

xy?Acos[?(t?)??0]u取 ，

则波动方程为

?1.25s时刻到达x点，则

x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825 (2) ty?0.1cos[5?(t?

5-10 如题5-10图是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线．(1)若波沿x轴正向传播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少?(2)若波沿x轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少?

解: (1)波沿x轴正向传播，则在t时刻，有

m

x3??)]52m?0时的波形如题5-11(b)图

题5-11图(b) 题5-11图(c)

题5-10图

将x

?0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为

25

72

y?0.1cos(5?t?m

如题5-11(c)图所示．

5??0.53??)?0.1cos(5?t??)0.525-12 如题5-12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别

为图中曲线(a)和(b) ，波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条

件求：

(1)波动方程； (2)P点的振动方程．

解: (1)由题5-12图可知，A?0.1m，?

题5-13图 (2)由图知，t?4m，又，t?0???0y0?0,v0?0，∴2，而时，

?x1u2u???2????0.5m?s?1，?t0.5?4Hz，∴

??2????

故波动方程为

?0时，

点的位相应落后于0点，故取负值)

yP??A?4?,vP?0?P?23(P，∴

x?y?0.1cos[?(t?)?]22m

4yp?0.1cos(10?t??)3 ∴P点振动方程为

x?410?(t?)?|t?0???1033 (3)∵

5x??1.673m ∴解得

(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)，则由P点

回到平衡位置应经历的位相角

x?1m代入上式，即得P点振动方程为 (2)将P??y?0.1cos[(?t??)]?0.1cos?t22 m

题5-13图(a)

??? ∴所属最短时间为

题5-12图

?3??5??26

?t?????t=0时的波形如题5-13图所示，5-13 一列机械波沿x轴正向传播，

-1

已知波速为10 m·s ，波长为2m，求： (1)波动方程；

(2) P点的振动方程及振动曲线； (3) P点的坐标；

(4) P点回到平衡位置所需的最短时间．

5-14 如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的

0)． 振动方程为P=Acos(

(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；

5?/61?10?12s

y?t??(2)写出距P点距离为b的Q点的振动方程．

解: (1)如题5-14图(a)，则波动方程为

解: 由题5-13图可知

A?0.1m，t?0时，

y0?A,v0?02，

y?Acos[?(t?如图(b)，则波动方程为

lx?)??0]uu

3，由题知??2m，

u10????5?1u?10m?s，则?2Hz

??10? ∴ ??2?∴

(1)波动方程为

题5-14图

?0??

y?01.cos[10?(t?x?)?]103m

xy?Acos[?(t?)??0]u

(2) 如题5-14图(a)，则Q点的振动方程为

26

72

bAQ?Acos[?(t?)??0]u

如题5-14图(b)，则Q点的振动方程为

bAQ?Acos[?(t?)??0]u

5-15 已知平面简谐波的波动方程为

y?Acos?(4t?2x)(SI)．

(1)写出t=4.2 s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一

个波峰的位置，该波峰何时通过原点? (2)画出t=4.2 s时的波形曲线． 解:(1)波峰位置坐标应满足

?(4t题5-16图

则波动方程为

tx?y?0.2cos[2?(?)?]242

5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为

-3-2-1-1

18.0×10J·m·s，频率为300 Hz，波速为300m·s，求 ： (1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量? 解: (1)∵ I∴

?2x)?2k?

解得 x?(k?8.4) m (k?0,?1,?2,…)

所以离原点最近的波峰位置为?0.4m．

?x4?t?2?t??t?u 故知u?2m?s?1, ∵

?0.4?t???0.2s，这就是说该波峰在0.2s前通过原2∴

点，那么从计时时刻算起，则应是4.2?0.2?4s，即该波峰是在4s时通过原点的．

?wu

I10?3w??18.0??6?10?5J?m?3 u300wmax?2w?1.2?10?4J?m?3

题5-15图

11uW??V?w?d2??w?d244? (2)

1300?6?10?5???(0.14)2??9.24?104300J

SSA5-18 如题5-18图所示，1和2为两相干波源，振幅均为1，

?1?1??4?,u?2m?s?m，又(2)∵，∴

x?0处，t?4.2s时，

?0?4.2?4??16.8?

y0?Acos4??4.2??0.8A

??17?，则应有

又，当y??A时，x??uT?u2???SS相距4，1较2位相超前2，求： S(1) 1外侧各点的合振幅和强度；

(2)

S2外侧各点的合振幅和强度

S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起

???解：（1）在的位相差为

?0.1m，故t?4.2s时的波形图如题5-15图所示

5-16 题5-16图中(a)表示t=0时刻的波形图，(b)表示原点(x=0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的

解得 x振动曲线．

解: 由题5-16(b)图所示振动曲线可知T?2s,A?0.2m，

y?0,v0?0，

且t?0时，0 16.8??2?x?17?

2????r?(r?)???11?2??4?

2A?A1?A1?0,I?A?0

SSrSS（2）在2外侧.距离2为1的点，12传到该点引起的位相

?差.

?故知

?0???2,再结合题

5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波

2?4

22A?A1?A1?2A1,I?A?4A1

5-19 如题5-19图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，

它在B点的振动方程为

?????2?(r2???r2)?0沿x轴负向传播，

y1?2?10?3cos2?t;C点发出的平

txy?Acos[2?(?)??0]T?且??4m，若取

面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为

y2?2?10?3cos(2?t??)，本题中y以m计，t以s计．设

BP＝0.4m，CP＝0.5 m，波速u=0.2m·s

(1)两波传到P点时的位相差；

27

-1

，求：

72

(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅； *(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅．

?2???5??????342? 解: (1)

???(?2??1)?2?，因只考虑2?以内的位相角，∴反

?(CP?BP)

????射波在O点的位相为

?2，故反射波的波动方程为

x?y反?Acos[2??(t?)?]u2

此时驻波方程为

u 2????(0.5?0.4)?00.2

(CP?BP)

题5-19图

(2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以

(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹

是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为

x?x?y?Acos[2??(t?)?]?Acos[2??(t?)?]u2u2

2??x??2Acoscos(2??t?)u2

故波节位置为

AP?A1?A2?4?10?3m

2??x2???x?(2k?1)?2 ux?(2k?1)?

4 (k?0,?1,?2,…) 132A?A12?A2?2A1?22?10?3?2.83?10?3x??,?44 根据题意，k只能取0,1，即m

5-20 一平面简谐波沿x轴正向传播，如题5-20图所示．已知振幅5-20 一驻波方程为y=0.02cos20xcos750t(SI)，求：

(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速； 为A，频率为?波速为u．

(2)相邻两波节间距离．

(1)若t=0时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动， 解: (1)取驻波方程为

故

写出此波的波动方程；

(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置． 解: (1)∵t程为

y?2Acos

2??xcos2??tu

?0时，y0?0,v0?0，∴

?0???2故波动方

A?故知

0.02?0.012m

x?y?Acos[2?v(t?)?]u2m

2???750，则

u???7502???202?， u

∴

2??2??750/2???37.5m?s?1 2020u2??/20????0.1??0.314??m所以相邻两波节(2)∵

间距离

?x?题5-20图

?2?0.1575-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为

m

x?(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将

3?4y1=0.1cos(13t+0.0079x) (SI)

代

试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x=0处为波 节． 解: 为使合成驻波在x入射波有?的位相差，故反射波的波动方程为

3??????42，再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反入)

射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为

2??0处形成波节，则要反射波在x?0处与

3??????????42

若仍以O点为原点，则反射波在O点处的位相为

?2?5-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为

y2?0.1cos(13t?0.0079x??)

y1=0.06cos(?x?4?t)(SI), y2=0.06cos(?x?4?t)(SI)．

(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置； 28

(2)波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解: (1)它们的合成波为

?0.12cos?xcos4?t

出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动． 令?x72

6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何?

答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．

从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点． 6-3 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系?

答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量．

气体宏观量是微观量统计平均的结果． 6-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率? y?0.06cos(?x?4?)?0.06cos(?x?4?t)

?k?，则x?k，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；

?1?x?(2k?1)x?(2k?1)2,则2，k?0,?1,?2,…，令

此即波节的位置．

(2)波腹处振幅最大，即为0.12m；x定，即

?1.2m处的振幅由下式决

A驻?0.12cos(??1.2)?0.0975-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz

-1

变到了1000 Hz，设空气中声速为330m·s，求汽车的速率．

m

Ni Vi(m?s?1) 解：平均速率 21 10.0 4 20.0 6 30.0 8 40.0 2 50.0 v解: 设汽车的速度为s，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为 u?1??0u?vs

u?2??0u?vs

汽车驶离车站时，车站收到的频率为

联立以上两式，得

V???NV?Niii

21?10?4?20?6?30?8?40?2?5021?4?6?8?2890??21.7 m?s?1

41?1?um?s?1

?1??21200?1000?300??30?1??21200?100-1

-1

方均根速率

V2??NV?Nii2i5-25 两列火车分别以72km·h和54 km·h的速度相向而行，第

-1

一列火车发出一个600 Hz的汽笛声，若声速为340 m·s，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?

解: 设鸣笛火车的车速为为

21?102?4?202?6?103?8?40?21?4?6?8?2?25.6 m?s?1

6-5 速率分布函数（1）

v1?20m?s?1，接收鸣笛的火车车速

f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物

两车相遇之后收到的频率为

v2?15m?s?1，则两者相遇前收到的频率为

u?v2340?15?1??0??600?665u?v1340?20Hz

u?v2340?15?1??0??600?541u?v1340?20理意义(n为分子数密度，N为系统总分子数)．

f(v)dv （2）nf(v)dv （3）

Nf(v)dv

（4）

?v0f(v)dv （5）?f(v)dv （6）

0??

v2v1Nf(v)dv

Hz

习题六

6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同?

答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．

力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零．

29

f(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比. (1) f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数

解：

占总分子数的百分比.

(2) nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度． (3) Nf数． (4)

v0(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子

?f(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数

的百分比．

72

(5)

??0f(v)dv：表示分布在0~?的速率区间内所有分子，其

与总分子数的比值是1. (6)

?v2v1Nf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数.

6-6 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用处?

答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有vP的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．

分布函数的特征用最概然速率vP表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率．

6-7 容器中盛有温度为T的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么?

答：该气体分子的平均速度为0.在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是0. 6-8 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗?

答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小．

6-9 如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了， 温度也因此而升高吗?

答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化．

6-10 题6-10图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题6-10图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?

答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高．

Mii3（5）RT （6）RT RT

Mmol222解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自

1由度上的能量均为kT．

23(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为kT.

2i(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为kT.

2(4)由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的

Mi系统的内能为RT.

Mmol2i(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为RT.

23(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT，或者说热

23力学体系内，1摩尔分子的平均平动动能之总和为RT.

2（4）6-14 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同?

(1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体积内气体分子总平动动能；(4)单位体积内气体分子的总动能． 解：(1)由(2)由?(3)由n(4)由np?nkT,n?pkT知分子数密度相同；

?MMmolp知气体质量密度不同； ?VRT3kT知单位体积内气体分子总平动动能相同； 2ikT知单位体积内气体分子的总动能不一定相同． 2 题6-10图

6-11 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?

答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度． 6-12 下列系统各有多少个自由度： (1)在一平面上滑动的粒子；

(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币； (3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动． 解：(1) 2，(2)3，(3)6

6-13 试说明下列各量的物理意义． （1）

6-15 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数?

解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为M的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．

由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即

E?MiRT是温度的单值函数．

Mmol26-16 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么?

(1)分子的平均平动动能；(2)分子的平动动能；(3)内能． 解：(1)相等，分子的平均平动动能都为(2)不相等，因为氢分子的平均动能

3kT． 213ikT （2）kT （3）kT 22230

5kT，氦分子的平均动能23kT． 2

72

(3)不相等，因为氢分子的内能?53氦分子的内能?RT． RT，

22(4) N个粒子平均速率

2v0av2v01?v??vf(v)dv??vNf(v)dv??dv??avdv

00v0N0v01123211v?(av0?av0)?v0

N329(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率

?6-17 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液

-42

面0.12m，管的截面积为2.0×10m，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为

27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为

-1

0.004kg·mol)? 解：由理想气体状态方程

pV?MRTMmol 得

M汞的重度 dHg氦气的压强 P氦气的体积 V?MmolpVRT?v?

v00.5v0vdNN1?Nv0vdNN1?0.5v0N

?1.33?105N?m?3

?(0.76?0.60)?dHg

Nv0Nv0av2?vf(v)dv?dv ??0.5v0.5v00N1N1Nv0332av01v0av21av017av0 v?dv?(?)?N1?0.5v0v0N13v024v0N1240.5v0到1v0区间内粒子数

131N1?(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N

28427av07vv??0

6N9?(0.88?0.60)?2.0?10?4m3

M?0.004? ?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)8.31?(273?27)?1.91?10?6Kg

0.004?

6-18 设有N个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求 (1)分布函数

f(v)的表达式；

6-19 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于

(2)a与v0之间的关系；

(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．

(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率．

vp?vp?100?1与vp?vp?100?1之间的分子数占总分子数的

百分比． 解：令u?vvP，则麦克斯韦速率分布函数可表示为

dN42?u2?uedu N?因为u2

题6-18图

解：(1)从图上可得分布函数表达式

?1,?u?0.02

?N42?u?ue?u 得 由 N??N4??1?e?1?0.02?1.66% N?6-20 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为

27℃，求

(1)单位体积中的分子n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度?；(4)分子间的平均距离e；(5)平均速率v；(6)方均根速率分子的平均动能ε． 解：(1)由气体状态方程

?Nf(v)?av/v0??Nf(v)?a?Nf(v)?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)(0?v?v0)?av/Nv0?f(v)??a/N(v0?v?2v0)

?0(v?2v0)?f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N，

(2)由归一化条件可得

v2；(7)

p?nkT得

p0.1?1.013?105n???2.45?1024?23kT1.38?10?300m?3

(2)氧分子的质量

?v00N2v0avdv?N?adv?Nv0v0a?2N3v0

m?kg

Mmol0.03226??5.32?10N06.02?1023

(3)可通过面积计算

?N?a(2v0?1.5v0)?1N 331

72

(3)由气体状态方程

pV?MRTMmol 得

??12??9?10?20?3.33?1017?7.5 m

Mmolp0.032?0.1?1.013?105????0.13RT8.31?300 kg?m?36-24 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，

-4

气压降到1.33×10Pa，平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径-10

10 m)?

(4)分子间的平均距离可近似计算

e?13n?13?2?d2nv

对于理想气体有p?nkT，即

解：(1)碰撞频率公式z2.45?1024?7.42?10?9 m

所以有 zn??2?d2vp

kT

p kT(5)平均速率

RT8.31?300v?1.60?1.60?446.58 m?s?1

Mmol0.032 (6) 方均根速率

而

v?1.60v2?1.73(7) 分子的平均动能

RT?482.87m?s?1

MmolRTMm

v?1.608.31?273?455.43 m?s?1

2855??kT??1.38?10?23?300?1.04?10?20J

226-21 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和

内能各是多少?

解：理想气体分子的能量

E平动动能 t氮气在标准状态下的平均碰撞频率

z?2??10?20?455.43?1.013?1058?5.44?101.38?100?273s?1 2??10?20?455.43?1.33?10?4?1?0.714s1.38?10?23?273

??iRT 2气压下降后的平均碰撞频率

z?3?8.31?300?3739.5J 22转动动能 r?2 Er??8.31?300?2493J

25内能i?5 Ei??8.31?300?6232.5 J

2?3 Et?6-25 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比； (2)分子平均自由程之比．

解：由气体状态方程

6-22 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比．

解：(1)因为 p?nkT则

p1p2?T1T2 及

p2V2?p3V3

方均根速率公式

v2?1.73

RTMmol

nO?1 nH(2)由平均速率公式

v2初v2末?T1?T2p11?p22v?1.60RTMmol对于理想气体，

所以有 ?p?nkT，即 n?p kT?kT2?dp2

vO?vHMmolH1?

MmolO4-3

-5

6-23 一真空管的真空度约为1.38×10Pa(即1.0×10mmHg)，试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子

-10

的有效直径d＝3×10m)．

解：由气体状态方程p?nkT得

?初T1p2??1 ?末p1T26-26 飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0 atm(1.013×10

5

Pa)，温度为27 ℃；起飞后压力计指示为0.8 atm(0.8104×10 Pa)，温度仍为27 ℃，试计算飞机距地面的高度． 解：气体压强随高度变化的规律：由

5

p1.38?10?317?3n???3.33?10 m23kT1.38?10?3001由平均自由程公式 ??

22?dn

32

p?nkT及n?n0emgzkTmgzkT

p?n0kTe?mgzkT?p0e??p0e?MmolgzRT

72

zm

pRTln0

Mmolgp8.31?3001z?ln?1.96?1030.0289?9.80.8?

题7-4图

解：1.由热力学第一定律有

Q若有两个交点a和b，则 经等温a?b过程有

经绝热a6-27 上升到什么高度处大气压强减少为地面的75%(设空气的温度为0℃)．

解：压强随高度变化的规律

zm

pRTln0

Mmolgp8.31?2731z?ln?2.3?1030.0289?9.80.75???E?A

?b过程

?E1?Q1?A1?0

习题七

7-1下列表述是否正确?为什么?并将错误更正．

?E2?A1?0 ?E2??A2?0

?E1??E2，这与a,b两点的内能变化应该相同矛

从上得出

盾．

2.若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了一循环过程，这循环过程只有吸热，无放热，且对外做正功，热机效率为100%，违背了热力学第二定律．

7-5 一循环过程如题7-5图所示，试指出： (1)ab,bc,ca各是什么过程；

(2)画出对应的p?V图； (3)该循环是否是正循环?

(4)该循环作的功是否等于直角三角形面积? (5)用图中的热量解：(1) aQ?E??pdV?Q??E??A（1） （2）

??1?（3）

Q2Q1?不可逆?1? （4）

Q2Q1

解：(1)不正确，Q(2)不正确，

??E?A

Q?ΔE??pdVQ2Q1??1?(3)不正确，

Qab,Qbc,Qac表述其热机效率或致冷系数．

?不可逆(4)不正确，

Q?1?2Q1

b是等体过程

bc过程：从图知有V?KT，K为斜率

pV?vRT 得

7-2 p?V图上封闭曲线所包围的面积表示什么?如果该面积越大，是否效率越高?

答：封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功．由于

由

p?故bc过程为等压过程

vRK

??A净Q1AQ，净面积越大，效率不一定高，因为?还与吸热1有

关．

7-3 如题7-3图所示，有三个循环过程，指出每一循环过程所作的功是正的、负的，还是零，说明理由．

解：各图中所表示的循环过程作功都为0．因为各图中整个循环分两部分，各部分面积大小相等，而循环方向一个为逆时针，另一个为顺时针，整个循环过程作功为0．

ca是等温过程

(2)p?V图如题7?5?图

题7?5?图

(3)该循环是逆循环

(4)该循环作的功不等于直角三角形面积，因为直角三角形不是

题7-3图

7-4 用热力学第一定律和第二定律分别证明，在热线与一等温线不能有两个交点．

p?V图中的图形．

p?V图上一绝

(5) 33

e?QabQbc?Qca?Qab

72

7-10 如题7-10图所示，一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，而系统作功126 J． (1)若沿adb时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统? (2)若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统作功为84 J，试问系统是吸热还是放热?热量传递是多少?

题7-5图 题7-6图

7-6 两个卡诺循环如题7-6图所示，它们的循环面积相等，试问： (1)它们吸热和放热的差值是否相同； (2)对外作的净功是否相等； (3)效率是否相同?

答：由于卡诺循环曲线所包围的面积相等，系统对外所作的净功相等，也就是吸热和放热的差值相等．但吸热和放热的多少不一定相等，效率也就不相同．

7-7 评论下述说法正确与否?

(1)功可以完全变成热，但热不能完全变成功；

(2)热量只能从高温物体传到低温物体，不能从低温物体传到高温物体．

(3)可逆过程就是能沿反方向进行的过程，不可逆过程就是不能沿反方向进行的过程．

答：(1)不正确．有外界的帮助热能够完全变成功；功可以完全变成热，但热不能自动地完全变成功；

(2)不正确．热量能自动从高温物体传到低温物体，不能自动地由低温物体传到高温物体．但在外界的帮助下，热量能从低温物体传到高温物体．

(3)不正确．一个系统由某一状态出发，经历某一过程达另一状态，如果存在另一过程，它能消除原过程对外界的一切影响而使系统和外界同时都能回到原来的状态，这样的过程就是 可逆过程．用任何方法都不能使系统和外界同时恢复原状态的过程是不可逆过程．有些过程

虽能沿反方向进行，系统能回到原来的状态，但外界没有同时恢复原状态，还是不可逆过程．

7-8 热力学系统从初平衡态A经历过程P到末平衡态B．如果P为可逆过程，其熵变为 ：

题7-10图

解：由abc过程可求出b态和a态的内能之差 Q

??E?A

?E?Q?A?350?126?224J

abd过程，系统作功A?42J

Q??E?A?224?42?266J统吸收热量

系

ba过程，外界对系统作功A??84J

Q??E?A??224?84??308J系统放热

7-11 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变； (2)压力保持不变． 解：(1)等体过程 由热力学第一定律得Q吸

??E

热

dQ可逆SB?SA??AT，如果P为不可逆过程，其熵变为

BdQ不可逆SB?SA??AT，你说对吗？哪一个表述要修改，如何

BQ??E??CV(T2?T1)??iR(T2?T1)2 3Q??E??8.31?(350?300)?623.252 J

对外作功 (2)等压过程

修改？

答：不对．熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果过程P为可逆过程其熵变为：

A?0

i?2R(T2?T1)2

Q??CP(T2?T1)??吸

SB?SA??dQ可逆ATB热

，如果过程P为不可逆过程，其熵变为

SB?SA??SB?SA??BdQ可逆T7-9 根据，

这是否说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变?为什么?说明理由．

答：这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变，熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同，具有相同的熵变．只能说在不可逆过程中，系统的热温比之和小于熵变．

AdQ不可逆AT

BdQ不可逆SB?SA??AT及

B5?8.31?(350?300)?1038.752 J

?E??CV(T2?T1)

Q?内

能

增

加

?E?对

3?8.31?(350?300)?623.252 J

外

作

功

7-12 一个绝热容器中盛有摩尔质量为Mmol，比热容比为?的

A?Q??E?1038.75?623.5?415.5J

理想气体，整个容器以速度v运动，若容器突然停止运动，求气体

温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内能)． 34

72

1mu2解：整个气体有序运动的能量为2，转变为气体分子无序运

动使得内能增加，温度变化

1.013?105?0.0015A????(579?300)??23.5?3002 J

7-14 理想气体由初状态

?E?

m1CV?T?mu2M2

(p1,V1)经绝热膨胀至末状态

(p2,V2)．试证过程中气体所作的功为

A?p1V1?p2V2??1，式中?为气体的比热容比.

?T?111Mmolu2?Mmolu2(??1)2CV2R

3

7-13 0.01 m氮气在温度为300 K时，由0.1 MPa(即1 atm)压

缩到10 MPa．试分别求氮气经等温及绝热压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功． 解：(1)等温压缩 T

答：证明： 由绝热方程

?300K

pV??p1V1??p2V2??C 得

pV?p2V2由11

求得体积

p?p1V1?pV1V2?11??0.01?1?10?3p210

对外作功

1V?

A??pdVV1V2

?m3

A?VRTln

5V2p?p1Vln1V1p2

dvp1V1?11A??p1V1r??(??1???1)V1v??1V2V1

pVV??11[(1)??1?1]??1V2

V2?1?1.013?10?0.01?ln0.01

??4.67?103J

57CV?R??2 5 (2)绝热压缩

p1V1?A??(V2???1?V1???1)??1又

p1V1?1/?V2?()??ppV?pV222 由绝热方程 111

p1V1?V1???1?p2V2?V2???1???1

pV?p2V2A?11??1所以

7-15 1 mol的理想气体的T-V图如题7-15图所示，ab为直线，延长线通过原点O．求ab过程气体对外做的功．

p1V1?1/?pV2?()?(1)?V1p2p2

1?()4?0.01?1.93?10?310m

???1????Tp?Tp1122由绝热方程

1得

T1p2?3001.4?(10)0.4??1p1Q??E?A，Q?0

热力学第一定律

T2??MA??CV(T2?T1)Mmol所以

pV?MRTMmol???1T2?579K

题7-15图

解：设T?KV由图可求得直线的斜率K为

T02V0

TK?0V2V0

得过程方程

K?，

由状态方程

A??p1V15R(T2?T1)RT12

pV??RT

p?得

?RTV

ab过程气体对外作功

35

72

A??A????2V0V02V0v02V0v0pdV

2V0RTRT0dV??VdVV0V2VV0(1)热机效率；

(2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少?

(3)若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度

需降低多少?

RT0RTdV?02V02??1?

解：(1)卡诺热机效率

T2T1

7-16 某理想气体的过程方程为膨胀到2．求其所做的功． 解：气体作功

Vp1/2?a,a为常数，气体从V1??1?V(2)低温热源温度不变时，若

V2300?7000

A??pdVv1??1?

300?80%T1

A??V2V17-17 设有一以理想气体为工质的热机循环，如题7-17图所示．试证其循环效率为

a2a2V2121dV?(?)?a(?)VV2V?11V1V2

要求 1K，高温热源温度需提高500(3)高温热源温度不变时，若

T?1500K

答：等体过程

吸热

V1?1V??1??2p1?1p2

T2?8000

T?200K，低温热源温度需降低100K 要求 2??1?7-19 如题7-19图所示是一理想气体所经历的循环过程，其中

AB和CD是等压过程，BC和DA为绝热过程，已知B点和CTT点的温度分别为2和3．求此循环效率．这是卡诺循环吗?

??1????CV(T2?T1)Q1

解：(1)热机效率

Q2Q1

p1V2p2V1?)RR

Q??0

绝热过程 3??CV(Q1?Q1等压压缩过程

放热

???CP(T2?T1) AB等压过程 Q1MQ1?CP(TB?TA)Mmol吸热

??vCP(T2?T1) CD等压过程 Q2

放热

???Cp(T2?T1)Q2??Q2??Q2????CP(T2?T1)Q2?Q2

pVpV?CP(21?22)RR

Q??1?2Q1

循环效率

C(pV?pV)Q??1?2?1?p2122Q1CV(p1V2?p2V2)MCP(TC?TD)Mmol

根据绝热过程方程得到

??1????1??pT?pTD AADAD绝热过程

??1??1??1??BC绝热过程 pBTB?pCTCQ2TC?TDTC(1?TD/TC)??Q1TB?TATB(1?TA/TB)

又

??1??(?1/?2?1)(p1/p2?1)pA?pB

pC?pDTDT?TCTB

??1?题7-17图 题7-19图

7-18 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算

36

(2)不是卡诺循环，因为不是工作在两个恒定的热源之间．

7-20 （1）用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000 J的热量传向27℃的热源，需要多少功?从-173℃向27℃呢?

(2)一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于作功就愈有利．当作致冷机使用时，如果两热源 的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么? 解：(1)卡诺循环的致冷机

T3T272

e?

Q2T2?A静T1?T27℃→27℃时，需作功

p3p2?T3?2等体过程 3T2T2p?2T3p3

T1?T2300?280Q2??1000?71.4 T2280Vp J S2?S1?CPln2?CVln2V1p1?173℃→27℃时，需作功

A1?A2?T2p?2Tp1 3

pV?p2V2 T1?T2300?100在1?2等温过程中 11Q2??1000?2000所以 T2100VVVJ S2?S1?CPln2CVln2?Rln2?Rln2(2)从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越V1V1V1

低，温度差愈大，提取同样的热量，则所需作功也越多，对致冷是

1?4?2熵变

不利的．

4dQ2dQ7-21 如题7-21图所示，1 mol双原子分子理想气体，从初态

S2?S1????1T4TV1?20L,T1?300K经历三种不同的过程到达末态 V2?40L,T2?300K． 图中1→2为等温线，1→4为绝热线，

4→2为等压线，1→3为等压线，3→2为等体线．试分别沿这三种

过程计算气体的熵变．

S2?S1?0??T2CpdTTT4?CplnT2T?Cpln1T4T4 1?4绝热过程

??1??1题7-21图

解：1?2熵变 等温过程 dQ?dA, dA?

T1V4??1T1V1?T4V4???1T4V1

Vppp1V1??p4V4?,4?(1)1/??(1)1/?V1p4p2pV?p2V2

在1?2等温过程中 11pdV

pV?RT 2dQ1V2RT1S2?S1????dV1TT1V1VV4ppV?(1)1/??(1)1/??(2)1/?V1p4p2V1

T1V?(2)T4V1

??1?

S2?S1?RlnV2?Rln2?5.76V!S2?S1?CPln

T1??1?CPlnT4?7-22 有两个相同体积的容器，分别装有1 mol的水，初始温度分别为

1?2?3熵变

J?K?1

S2?S1??3T1和T2，T1＞T2，令其进行接触，最后达到相同温度T．求

1

dQ2dQ??3TT

熵的变化，(设水的摩尔热容为Cmol)．

解：两个容器中的总熵变

S?S0??S2?S1??T3CpdTTT1??CVdTTT?Cpln3?CVln2T3TT1T31?3等压过

T2TCCmoldTdT??molT1T2TTT

TTT2 ?Cmol(ln?ln)?CmollnT1T2T1T2程

因为是两个相同体积的容器，故

V1V2?p1?p3 T1T3

Cmol(T?T2)?Cmol(T1?T)

T3V2?TV1 1

T?得

37

T2?T12

72

(T2?T1)2S?S0?Cmolln4T1T2

7-23 把0℃的0.5kg的冰块加热到它全部溶化成0℃的水，问：

(1)水的熵变如何?

(2)若热源是温度为20 ℃的庞大物体，那么热源的熵变化多大? (3)水和热源的总熵变多大?增加还是减少?(水的熔解热)

解：(1)水的熵变

解得

q?2lsin?4??0mgtan?E?q

??334J?g?18-3 根据点电荷场强公式，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

解: 仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形 状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

8-4 在真空中有

4??0r2?E?q4π?0r2?r0?S1?(2)热源的熵变

Q0.5?334?10??612T2733J?K?1

Q?0.5?334?103?S2????570T293 J?K

(3)总熵变

?1A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，

其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人

q2说

f24??d0=

,又有人说，因为

f=qE,

E?q?0S，所以

?S??S1??S2?612?570?42

J?K?1熵增加

8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示

习题八

．试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少?

解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷

q2f=?0SE?是不对的，第二种说法把合场强看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为

q?0SE?q2?0S，另一板受它的作用力

是两板间相互作用的电场力．

q2f?q?2?0S2?0Sq，这

A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷

1q21qq?2cos30??4π?0a24π?032(a)3 3q???q3解得

(1) 以

(2)与三角形边长无关．

题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2?,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示

??p?ql8-5 一电偶极子的电矩为，场点到偶极子中心O点的距离

??为r,矢量r与l的夹角为?,(见题8-5图)，且r??l．试证PEE点的场强E在r方向上的分量r和垂直于r的分量?分别为

pcos?psin?Er=2??0r3, E?=4??0r3

??p所示，将分解为与r平行的分量psin?．

证: 如题8-5于r的分量

?和垂直

psin?∵ r∴ 场点P在r方向场强分量

??l

pcos?2π?0r3psin?4π?0r3Er?垂直于r方向，即?方向场强分量

E0?

Tcos??mg??q2?Tsin??F?1e?4π?0(2lsin?)2?

38

72

题8-5图 题8-6图 8-6 长l=15.0cm

AB上均匀地分布着线密度

-1

dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为

题8-7图

?=5.0x10-9C·m

线B端相距

(1)在导线的延长线上与导

a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上

d

与导线中点相距2=5.0cm 处Q点的场强．解： 如题8-6图所示

dE??Rd?4π?0R2方向沿半径向外

(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为

dEx?dEsin??则

1?dxdEP?4π?0(a?x)2l2l?2?sin?d?4π?0R

dEy?dEcos(???)??dxEP??dEP?4π?0?(a?x)2?11?[?]ll4π?0a?a?2?用l得

积分

Ex???0??sin?d??4π?0R2π?0R

Ey???0??cos?d?4π?0R

?l2

π?0(4a2?l2)

E?Ex?∴

?2π?0R，方向沿x轴正向．

??cos?d??04π?0R

?15cm，??5.0?10?9C?m?1, a?12.5cm代入

EP?6.74?10N?C?1方向水平向右

1?dxdEQ?4π?0x2?d22 方向如题8-6图所示

8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在r它相当于点电荷q产生的场强E．

2??l处，

(2)同理

q?dEP方

解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷4在P点产生物强

向如图，大小为

由于对称性

?dElQx?0，即

?EQ只有

y分量，

d2x2?d22

dEQy∵

1?dx?4π?0x2?d22EQy??dEQyld??24π?2?l2l?2dx(x?d)22232?以?得

?l2π?0l2?4d22

l24π?0r?4l2cos?1?l22r?2 ∵

2dEP???cos?1?cos?2?

?5.0?10?9C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入

EQ?EQy?14.96?102N?C?1处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取

，方向沿

y轴正向

8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心

cos?2??cos?1 ?ldEP?l2l2224π?0r?r?42 ∴

?dEP在垂直于平面上的分量dE??dEPcos?

dl?Rd?

39

72

dE??4π?0∴

?ll2l22r?r?4222rl2r?4

题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图 (3)∵通过半径为

R的圆平面的电通量等于通过半径为

R2?x2

题8-8图

由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为

的球冠面的电通量，球冠面积*

S?2π(R2?x2)[1?∴

xR?x22]

EP?4?dE??4?lr4π?0(r2?ll)r2?4222??q0S?04π(R2?x2)?q1?2?0[

?xR2?x2]

*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图

q??4l ∵

qrEP?2l222l4π?0(r?)r?42 方向沿OP ∴

8-9 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电

荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多平面．q在该平面轴线上的

少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆

S??2πrsin??rd?0

?2πr2?sin??d?0?8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×

?2πr(1?cos?)

10?5C·m

-3

2求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强．

解: 高斯定理

???q2E?dS?E4πr??s?q?0

?0,

A点处，求：通过圆平面的电通

??arctan量．(

Rx)

s

解: (1)由高斯定理

??q?E?dS?q6?0?0立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等

q?0E?0当r?5cm时，?,

4π3?p3q?r)(r?内r?8cm时，3 4π2???r3?r内3E?24π?r?3.48?104N?C?1， 方向0∴

沿半径向外．

??e?∴ 各面电通量

．

q???r?12cm时,

?e?q6?04π33r(r?3外内）

(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于

?E?∴

向外. 8-11 半径为

边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上电通量 对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则

q?e?24?0，

4π33r外?r内43?4.10?10?14π?0r2 N?C??

沿半径

R1和R2(R2＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位

R1；(2) R1＜r＜

长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜

??0．

如果它包含q所在顶点则e如

题

8-9(a)

图

所

示

．

题

8-9(3)

图

R2；(3) r＞R2处各点的场强．

???q?E?dS?s解: 高斯定理

?0

取同轴圆柱形高斯面，侧面积S则

40

对(1)

S?2πrl ???E?dS?E2πrl

r?R1

?q?0,E?0

72

(2)

R1?r?R2

?q?l?

E?∴

?2π?0r 沿径向向外

(3)

r?R2

?q?0

题8-13图(a) 题8-13图(b)

(3)设空腔任一点P相对O?的位矢为r?，相对O点位矢为r(如题8-13(b)图)

∴ E?0

??

题8-12图

8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为

?1和?2，试求空间各处场强．

与

???rEPO?3?0，

则

???r?EPO???3?0,

∴

解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为

?1?2，

?????????dEP?EPO?EPO??(r?r?)?OO'?3?03?03?0-6

?1?E?(?1??2)n2?0两面间，

?1?E??(?1??2)n2?0?1面外，

?1?E?(?1??2)n2?0?2面外，

?n：垂直于两平面由?1面指为?2面．

8-13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为?,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题8-13图所示．试求：两球

心O与O?点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电的组合，见题8-13图(a)．

∴腔内场强是均匀的．

8-14 一电偶极子由q=1.0×10C

5-1

荷距离d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×10N·C

??p解: ∵ 电偶极子在外场E中受力矩

???M?p?E

Mmax?pE?qlE代入数字 ∴

Mmax?1.0?10?6?2?10?3?1.0?105?2.0?10?4N?m

8-15 两点电荷

q1=1.5×10

-8

C，

q2=3.0×10

-8

C，相距

r1=42cm，

要把它们之间的距离变为

r2=25cm，需作多少功?

?的均匀球与带电??的均匀小球

解:

?E??球在O点产生电场10?0，

(1)

A??r2r1??r2qqdrqq11F?dr??122?12(?)r24π?r4π?0r1r2 0?? 球在O点产生电场

?E2043πr?3?OO'34π?0d

??6.55?10?6J

?6外力需作的功 A???A??6.55?10 J

?r3?E0?OO'33?d0∴ O点电场；

?E10?43?d?3?OO'4π?0d3

(2)

?E??球在O?产生电场20??0

??在O?产生电场

A，B两点处放有电量分别为+q,-qq的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷0从O点

8-16 如题8-16图所示，在

经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功．

解: 如题8-16图示

题8-16图

??E0??3?0OO'

∴ O? 点电场

1qq(?)?04π?0RR 1qq??qUO?(?)4π?03RR6π?0R

UO?41

72

qqA?q0(UO?UC)?o6π?0R

∴

8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势．

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl轴负方向

8-19 空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离

-1

为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压．解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 ∴ U

?dq??Rd?dEO则产生点如图，由于对称性，O点场强沿y?Rd?

?Ed?1.5?104V

??8-20 根据场强E与电势U的关系E???U，求下列电场的场强：(1)点电荷q的电场；(2)总电量为q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子p?ql的r??l处(见题8-20图)．

U?解: (1)点电荷 题 8-20 图

q4π?0r

题8-17图

??U?q?E??r0?r?20r?r4π?r0∴ 0为r方向单位矢量．

(2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势

E??dEy??2??Rd?cos??4π?R202

????sin(?)?sin4π?0R［22］

???2π?0R

?AB电荷在O点产生电势，以U??0

A?dx2R?dx?U1?????ln2B4π?xR4π?x4π?000

?U2?ln24π?0同理CD产生

(2)

4π?0R2?x2

???U?qxE??i?i223/2?x4π?R?x0∴

??p?ql在r??l处的一点电势

(3)偶极子

q11qlcos?U?[?]?ll4π?04π?0r2(r?cos?)(1?cos?)22?Upcos?Er???3?r2π?r0∴

U?q??

U3?半圆环产生

πR???4π?0R4?0E???

UO?U1?U2?U3?∴

4-1

8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10m·s的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量10kg，电子电量e=1.60×10C)

-31

-19

??ln2?2π?04?0

8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同． 证: 如题8-21图所示，设两导体

1?Upsin??r??4π?0r3m0=9.1×

A、B的四个平面均匀带电的????电荷面密度依次为1，2，3，4

解: 设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强

E??2π?0re?Fe?eE?2π?0r

电子受力大小

题8-21图

e?v2?m2π?rr0∴

2(1)则取与平面垂直且底面分别在

时，有

sA、B内部的闭合柱面为高斯面

???E?dS?(?2??3)?S?0

??得

2π?0mv?12.5?10?13C?m?1 e42

3∴ 2

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；

????072

(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

?1?2?3?4????02?02?02?02?0

???3?0

又∵ 24 ∴ 1说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．

题8-23图

????U??E?dr??R2R2

???A，B和C的面积都是200cm，A和B相

距4.0mm，A与C相距2.0 mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多

8-22 三个平行金属板

2

-7

(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：

qdrq?4π?0r24π?0R

少?

U?q4π?0R2?q4π?0R2?0

?解: 如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为1，右侧面电

荷面密度为

?2(3)设此时内球壳带电量为q；则外壳内表面带电量为?q，外壳外表面带电量为?q?且

??

q?(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，

q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?04π?0R2

UA?q??

题8-22图

(1)∵ ∴

UAC?UAB，即

得 外球壳上电势

R1qR2 ?q'4π?0R2?EACdAC?EABdAB

心相距为d荷的电量．

UB?q'4π?0R2?q?q'?R1?R?4π?0R24π?0?1EACdAB???2?EdABAC∴ 2

且

8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球

?3R处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电

??1+?2?qAS解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q，则球接地时电

势

q2q?2?A,?1?A3S 3S 得

2qC???1S??qA??2?10?7C 3而

qB???2S??1?10(2)

?7UO?0

C 由电势叠加原理有：

8-24图

?UA?EACdAC?1dAC?2.3?103?0V

RRRR8-23 两个半径分别为1和2（1＜2)的同心薄金属球壳，

现给内球壳带电+q，试计算：

(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电

得

8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0．试求：

(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；

(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．

q'q??0UO?4π?0R4π?03R

qq???3F?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为

?q，且均匀分布，其电势

43

q2F0?4π?0r2解: 由题意知

72

(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电

q2,

小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电

3q???q4

∴ 此时小球1与小球2间相互作用力

32qq'q\38F1???F0228 4π?0r4π?0r(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均2q为3.

22qq4F2?332?F04π?0r9

∴ 小球1、2间的作用力

q??*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别维持电势A=U，B=0不变．现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势． 解: 依次设

所以CB间电场

E2??4Uq??d2?0S?0

d1qd?(U?)222?0S

UUC?2，若C片不带电，显然注意：因为C片带电，所以

UUC?2

RR8-27 在半径为1的金属球之外包有一层外半径为2的均匀电

UC?UCB?E2介质球壳，介质相对介电常数为

(1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．

解: 利用有介质时的高斯定理(1)介质内

?r，金属球带电Q．试求：

??D??dS??qS

UU(R1?r?R2)场强 ???Qr?QrD?,E内?34πr4π?0?rr3;

A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为

?1，?2，?3，?4,?5,?6如图所示．由静电平衡条件，电荷

守恒定律及维持

UAB?U可得以下6个方程

(r?R2)场强

??Qr?QrD?,E外?34πr4π?0r3

(r?R2)电势

(2)介质外

??Q?U??E外?dr?r4π?0r

介质外

U??题8-26图

?r?????E内?dr??E外?drr介质内(R1

?r?R2)电势

?0UqA1??????CU?20?1SSd??????q4?3S??????qB???0U6?5Sd?????03?2??4??5?0???1??2??3??4??5??6

q?1??6?2S 解得

?Uq?2???3?0?d2S ?Uq?4???5?0?d2S

44

?11Q(?)?4π?0?rrR24π?0R2q

? (3)金属球的电势

1??1(?r)4π?0?rrR2 QR2R2?????U??E内?dr??E外?drR1

??R2Qdr4π?0?rr2R??QdrR24π?r20?

?Q4π?0?r(8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．

1?r?1?)R1R2

?解: 如题8-28

?E??强为1，自由电荷面密度分别为2与1

由

?E图所示，充满电介质部分场强为2，真空部分场

72

A和B的中心相距为r，A和B原来都不带

qq电．现在A的中心放一点电荷1，在B的中心放一点电荷2，

*8-30 金属球壳

如题8-30图所示．试求： (1)

??D??dS??q0得

q1对q2作用的库仑力，q2有无加速度；

D1??1，D2??2

而

D1??0E1,D2??0?rE2

(2)去掉金属壳B，求

速度． 解: (1)

q1作用在q2上的库仑力，此时q2有无加

UE1?E2?d

?2D2???r?D1∴ 1

q1作用在q2的库仑力仍满足库仑定律，即

F?1q1q24π?0r2

但

q2处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度．

B，

(2)去掉金属壳

q1作用在

q2上的库仑力仍是

F?1q1q24π?0r2，但此时

q2受合力不为零，有加速度．

题8-28图 题8-29图

8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为＞

R1和R2(R2的均匀电介

R1)，且l>>R2-R1，两柱面之间充有介电常数?RR

质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：

(1)在半径r处(1＜r＜2＝，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r的同轴圆柱面(S) 则 当

(S)

题8-30图 题8-31

图

8-31 如题8-31图所示，C1=0.25?F，C2=0.15?F，

???D?dS?2πrlD

(R1?r?R2)时，?q?Q

D?Q2πrl

C3=0.20?F ．C1上电压为50V．求：UAB．

解: 电容

C1上电量

∴

D2Q2w??2222?8π?rl(1)电场能量密度

Q1?C1U1

C?C2?C3 CC电容2与3并联23

其上电荷

Q23?Q1

Q2Q2drdW?wd??2222πrdrl?8π?rl4π?rl薄壳中

(2)电介质中总电场能量

U2?

∴

Q23C1U125?50??C23C2335

25)?8635

W??dW??VR2R1RQdrQ?ln24π?rl4π?lR1

22UAB?U1?U2?50(1?

V

Q2W?2C(3)电容：∵

8-32 C1和C2两电容器分别标明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”，

把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V压，是否会击穿? 解: (1)

Q22π?lC??2Wln(R2/R1)

∴

C1与C2串联后电容

C??C1C2200?300??120C1?C2200?300 pF

(2)串联后电压比

45

72

U1C23??U2C12，而U1?U2?1000

r?R3时

∴在

?E2??Qr4π?0r3

U1?600V,U2?400V

CC即电容1电压超过耐压值会击穿，然后2也击穿．

∴

8-33 将两个电容器C1和C2充电到相等的电压U以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求：

(1)每个电容器的最终电荷； (2)电场能量的损失．

R1?r?R2区域

W1??R2R11Q22?0()4πrdr224π?0r

??在

R2R1Q2drQ211?(?)28π?RR8π?0r012

qq解: 如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为1,2r?R3区域

1QQ2122W2???0()4πrdr?2R328π?0R34π?0r?

题8-33图

?q1?q2?q10?q20?C1U?C2U??q1C1U1???q2C2U2?U?U2则?1

C1(C1?C2)C(C?C2)U,q2?21UC1?C2q?C1?C2解得 (1) 1(2)电场能量损失

Q2111W?W1?W2?(??)8π?0R1R2R3

∴ 总能量

?1.82?10?4J

(2)导体壳接地时，只有

??QrE?4π?0r3,W2?0

R1?r?R2时

Q211W?W1?(?)?1.01?10?48π?0R1R2∴ J

C?2W11?4π?/(?)0R1R2 Q2?W?W0?W

2(3)电容器电容 q12q21122?12?(C1U?C2U)?(?)?4.49?10F 222C12C2

2C1C22习题九 ?U C1?C2?

9-1 在同一磁感应线上，各点B的数值是否都相等?为何不把作用

R?8-34 半径为1=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳

于运动电荷的磁力方向定义为磁感应强度B的方向?

?RR32的内、外半径分别为=4.0cm和=5.0cm，当内球带电荷解: 在同一磁感应线上，各点B的数值一般不相等．因为磁场作

?Q=3.0×10C用于运动电荷的磁力方向不仅与磁感应强度B的方向有关，而且

与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁场决定的，所以(1)整个电场储存的能量； ?(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； 不把磁力方向定义为B的方向．

-8

(3)此电容器的电容值．

解: 如图，内球带电Q，外球壳内表面带电?Q，外表面带电Q

题9-2图

9-2 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感

题8-34图

应强度B的大小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)?

(2)若存在电流，上述结论是否还对?

解: (1)不可能变化，即磁场一定是均匀的．如图作闭合回路

?r?R1和R2?r?R3区域

?E?0

??QrE1?34π?rR?r?R02时 在1(1)在

??∴ B1?B2

46

abcd可证明B1?B2

???B?dl?B1da?B2bc??0?I?0

abcd??72

(2)若存在电流，上述结论不对．如无限大均匀带电平面两侧之磁

???B?B力线是平行直线，但B方向相反，即12.

9-3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场?

答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路定理并不适用． 9-4 在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部B??4?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.245Wb (或曰?0.24Wb)

??0nI，外面

?9-7 如题9-7图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．

?解：如题9-7图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流

产生．其中

题9-7图

B=0，所以在载流螺线管

外面环绕一周(见题9-4图)的环路积分

??·dlB?L外=0

但从安培环路定理来看，环路L中有电流I穿过，环路积分应为

?? LB外·dl=?0I

?这是为什么? 解: 我们导出B内??0nl,B外?0有一个假设的前提，即每匝

电流均垂直于螺线管轴线．这时图中环路L上就一定没有电流通

??过，即也是?B外?dl??0?I?0，与

L????B外?dl??0?dl?0是不矛盾的．但这是导线横截面积为

L零，螺距为零的理想模型．实际上以上假设并不真实存在，所以使

?得穿过L的电流为I，因此实际螺线管若是无限长时，只是B外的

轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量B?一点到螺线管轴的距离．

??0I,r为管外2?r

题 9 - 4 图

9-5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发

生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场?

解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转． 9-6 已知磁感应强度Bm?2.0Wb·

-2

?AB 产生 B1?0

?ICD 产生B2?0，方向垂直向里

12R产生 CD 段

?I?I3B3?0(sin90??sin60?)?0(1?)，方向

R2?R24?2?向里

?0I3?(1??)，方向?向里．∴B0?B1?B2?B3? 2?R269-8 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流，I1=20A,I2=10A，如题9-8图所示．A，B两点与导线在同一平面内．这两点与导线L2的距离均为5.0cm．试求A，B两点处的磁感应强度，以及磁感应强度

为零的点的位置．

x轴

正方向，如题9-6图所示．试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量． 解： 如题9-6图所示

题9-6图

(1)通过abcd面积S1的磁通是

题9-8图

?解：如题9-8图所示,BA方向垂直纸面向里

?0I1?0I2BA???1.2?10?4T

2?(0.1?0.05)2??0.05?(2)设B?0在L2外侧距离L2为r处

?0I?I?2?0 则

2?(r?0.1)2?r解得 r?0.1 m

???1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb

(2)通过befc面积S2的磁通量

???2?B?S2?0

(3)通过aefd面积S3的磁通量

47

题9-9图

72

A，B两

点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O的

9-9 如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的磁感应强度．

解： 如题9-9图所示，圆心O点磁场由直电流为零。且

????0ev?aB0?

4?a3如题9-11图，方向垂直向里，大小为

A?和B?及两

段圆弧上电流I1与I2所产生，但A?和B?在O点产生的磁场

I1电阻R2?. ??I2电阻R12???B0???0ev?13 T 24?a

电子磁矩Pm在图中也是垂直向里，大小为

?I1产生B1方向?纸面向外

Pm?题

e2eva?a??9.2?10?24 A?m2T29-11

B1?I2产生B2方向?纸面向里

?I?B2?02

2R2?B1I1(2???)??1 ∴ B2I2????有 B0?B1?B2?0 9-10 在一半径R=1.0cm而下地有电流I=5.0 A通过，电流分布均匀.如题9-10图所示．试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度．

?0I1(2???)，

2?R2?图

题9-12图

9-12 两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流

I1=I2=20A，如题9-12图所示．求：

(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点

A处的磁感应强度；

(2)通过图中斜线所示面积的磁通量．(r1=r3=10cm, 解：(1) BAl=25cm)．

??0I1d2?()2??0I2d2?()2?4?10?5 T

?纸

面向外

题9-10图

解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取坐标如题9-10图所示，取宽为dl的一无

(2)取面元

?I限长直电流dI?dl，在轴上P点产生dB与R垂直，大小

?R为

dS?ldr

?1I1r1?r2?I?Il?Il1?Il???[01?]ldr?01ln3?02ln?1r12?r2?(d?r)2?2?3?Wb

??0.

9-13 一根很长的铜导线载有电流10A，设电流均匀分布.在导线内部作一平面S，如题9-13图所示．试计算通过S平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m的一段作计算)．铜的磁导率?解：由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度

I?0Rd??0dI?Id??RdB???02 2?R2?R2?R?Icos?d? dBx?dBcos??022?R?Isin?d?? dBy?dBcos(??)??0222?R∴

?B??dl??0?I

lIr2B2?r??02R

∴

B??0Ir2?R2

?0I?Icos?d??0I???[sin?sin(?)]??6.37?10?52222?R2?R22?R T ? ?0Isin?d?2 题 By???(?)?0 2?9-13 图 2?R2????R?Ir?5?0I?60∴ B?6.37?10i T dr??10磁通量 ?m??B?dS??

(s)02?R29-11 氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径a=0.52×4?10cm的轨道上作匀速圆周运动，速率v=2.2×10cm·s．求电子Wb Bx??-8

8

-1

?2??2在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值． 解：电子在轨道中心产生的磁感应强度

48

72

9-14 设题9-14图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：

?(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等?

?(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?

??解： ?B?dl?8?0a???baB??dl??8?0 ?cB??dl?0

(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．

??(2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非

?每点B?0．

r2?b2??0I(3)b?r?c B2?r???0I2c?b2?0I(c2?r2) B?222?r(c?b)(4)r?c B2?r?0

B?0

题

9-16

图

题9-14图

题

9-17图

9-17 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题9-17图所示．现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小．

解：空间各点磁场可看作半径为R，电流I1均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r电流?磁场之和．

(1)圆柱轴线上的O点B的大小： 电流I1产生的B1题

9-15图

9-15 题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率?体内部各点(aI2均匀分布在横截面上的圆柱导体

??0，试证明导

?r?b) 的磁感应强度的大小由下式给出：

r2?a2 B?r2?(b2?a2)解：取闭合回路l?2?r (a?r?b)

??则 ?B?dl?B2?r

?0I

?0，电流?I2产生的磁场

?0I2?0Ir2B2??2?a2?aR2?r2?

∴ B0(2)空心部分轴线上O?点B的大小：

?0Ir22?a(R?r)22

lI?I?(?r??a)?b2??a2

?0I(r2?a2)∴ B?

2?r(b2?a2)9-16 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的

22?电流I2产生的B2?0，

导体圆管(内、外半径分别

为b,c)构成，如题9-16图所示．使用时，电流I从一导体流去，

从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜b)，（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小

解：

?0Ia?0Ia2???电流I1产生的B2 22222?aR?r2?(R?r)?0Ia?B?∴ 0

2?(R2?r2)?L??B?dl??0?I

题9-18图

框，通以电流I2，二者

Ir2(1)r?a B2?r??0R2

9-18 如题9-18图所示，长直电流I1附近有一等腰直角三角形线

B?(2) a?0Ir2?R2

?r?b B2?r??0I

?IB?02?rABC的各边所受的磁力．

???A解： FAB??I2dl?B

共面．求△

B

49

FAB?I2a?0I1?0I1I2a? 方向垂直AB向左 2?d2?d

???CFAC??I2dl?B 方向垂直AC向下，大小为

A72

?FCF方向垂直CF向上，大小为

d?a?II?IId?a012FCF??dr?012ln?9.2?10?5 N

d2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小为

FED?FCF?9.2?10?5N

?????(2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为

?I?IId?a FAC??I2dr01?012lnd2?r2?d?同理 FBC方向垂直BC向上，大小

d?a?IFBc??I2dl01

d2?rdr∵ dl? ?cos45d?a???合力矩M?Pm?B

∵ 线圈与导线共面

F?7.2?10?4N

??//B

∴

FBC??d?aa?0I2I1dr?IId?a?012ln

2?rcos45?d2?∴ Pm?M?0．

题9-19图

?9-19 在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电流为I，如题9-19图所示．求其所受的安培力．

?解：在曲线上取dl

???b则 Fab??Idl?B

a图

9-21 边长为l=0.1mB=1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题9-21图所示，使线圈通以电流I=10A，求：

(1) 线圈每边所受的安培力；

(2) 对OO?轴的磁力矩大小；

(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．

??????∵ dl与B夹角?dl，B??不变，B是均匀的．

2????bb?F?Idl?B?I(dl)?B?Iab?B∴ ab? ?aa???解： (1) Fbc?Il?B?0

???Fab?Il?B 方向?纸面向外，大小为 ???Fca?Il?B方向?纸面向里，大小

(2)PmFab?IlBsin120??0.866 N Fca?IlBsin120??0.866 N

方向⊥ab向上，大小Fab?BIab

?IS ???M?Pm?B 沿OO?方向，大小为

题9-20图

AB内通以电流I1=20A，在

矩形线圈CDEF中通有电流I2=10 A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行．已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 cm，求：

9-20 如题9-20图所示，在长直导线

(1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力；(2)矩形线圈所受合力和合力矩．

3l2M?ISB?IB?4.33?10?2 N?m

4(3)磁力功 A?I(?2??1)

∵ ?1∴

9-22 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a，共有N匝，可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电

?0 ?2?32lB 4A?I32lB?4.33?10?2J4? 解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小

FCD?I2b?F同理FE方向垂直FE向右，大小

?0I1FFE?I2b?8.0?10?5 N

2?(d?a)

50

?0I1?8.0?10?4 N 2?d?流I，并把线圈放在均匀的水平外磁场B中，线圈对其转轴的转动惯量为J.求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T.

??解：设微振动时线圈振动角度为? (???Pm,B?)，则

M?PmBsin??NIa2Bsin?

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