带电粒子在匀强磁场中，的运动模型分析

带电粒子在匀强磁场中的运动模型分析

一、真题再现

来源 2015·新课标全国卷Ⅱ第19题 图例 两个速率相同的电子分律、牛顿第二别在两个匀强磁场区域定律、洛伦兹做圆周运动 力公式 动能定理、牛2016·新课顿第二定律、(3)带电粒子在半圆形或圆形匀强磁场中标全国卷Ⅰ洛伦兹力公第15题 式 圆周运动、几(5)带电粒子在两个不同磁场中的运动 的运动 (4)带电粒子在正方形或三角形匀强磁场中的运动 (1)带电粒子在无界匀强磁场中的运动 (2)带电粒子在半无界匀强磁场中的运动 1.常考的模型 热点模型之一。 考向 圆周运动规模型核心归纳 带电粒子在匀强磁场中的运动是高考的2016·新课标全国卷Ⅱ第18题 何知识、周期2.模型解法 公式 “4点、6线、3角”巧解带电粒子在匀强圆周运动、几2016·新课何知识、对称标全国卷Ⅲ特点、洛伦兹第18题 力公式 洛伦兹力、有磁场中的运动 (1)“4点”：入射点B、出射点C、轨迹圆心A、入射速度直线与出射速度直线的界磁场中的2017·全国临界问题的卷Ⅱ第18题 求法、几何知r，入射速度直线OB和出射速度直线OC，(2)“6线”：圆弧两端点所在的轨迹半径交点O。 识 入射点与出射点的连线BC，圆心与两条速洛伦兹力、周2017·全国期公式、几何卷Ⅲ第24题 知识的应用 度直线交点的连线AO。 (3)“3角”：速度偏转角∠COD、圆心角∠BAC，弦切角∠OBC，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。 二、考向预测

【预测1】 如图所示是半径为R的圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一电荷量为q、质量为m的带正电离子(不计重力)沿平行于直径ab的方向射入磁场区R

域，入射点P与ab的距离为。若离子做圆周运动的半径也为R，则

2粒子在磁场中运动的时间为( )

πmA. 6qBπmC. qB

πmB. 3qB2πmD. 3qB

解析： 如图所示，粒子做圆周运动的圆心O1必在过入射点垂直于入射速度方向的直线PO1上，由于粒子的轨道半径为r＝R，又入射点PRv2

与ab的距离为。故圆弧PN对应圆心角为120°，由qvB＝m，周2R2πR2πm12πm

期T＝＝，所以粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，

vBq33Bq故D正确，A、B、C错误。

答案 D

【预测2】 如图所示矩形虚线框区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O点垂直于磁场方向且垂直边界线沿图中方向射入磁场后，分别从a、b、c、d四点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间ta、tb、tc、td，其大小关系是( )

A.taB.ta＝tb＝tc＝td D.ta＝tb>tc>td

2πm解析： 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝，四个qB电子m、q相同，B也相同，则它们做圆周运动的周期相同。画出电子运动的轨迹如图甲、乙所示。从图甲可看出，从a、b两点射出的1

电子轨迹所对的圆心角都是π，则ta＝tb＝T，从图乙可看出，从d

2射出的电子轨迹所对的圆心角∠OO2d<∠OO1c<π，根据圆周运动的时αT间t＝T可知，T相同时，圆心角α越大，时间t越长，所以>tc>td，

2π2ta＝tb>tc>td。

答案 D

【预测3】 如图所示，图中坐标原点O(0，0)处有一带电粒子源，沿xOy平面向y≥0，x≥0的区域内的各个方向发射粒子。粒子的速率

均为v，质量均为m，电荷量均为＋q。有人设计了方向垂直于xOy平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场区域，使上述所有带电粒子从该区域的边界射出时均能沿y轴负方向运动，不考虑粒子间相互作用，不计粒子重力。试求：

(1)粒子与x轴相交的坐标范围； (2)粒子与y轴相交的坐标范围； (3)该匀强磁场区域的最小面积。

解析： 设粒子做匀速圆周运动的半径为R， v2mv

由qvB＝m，得R＝，

RqB

2mv

如图所示，粒子与x轴相交的坐标范围为－≤x≤0。

qB

2mv

(2)如图所示，粒子与y轴相交的坐标范围为0≤y≤。

qB(3)由题可知，匀强磁场的最小范围如图中的阴影区域所示。 πR2

第一象限区域一个半径为R的半圆面积为S1＝，

2第二象限区域四分之一圆的半径为2R， π（2R）2

其面积为S2＝＝πR2，

4

πR2

第二象限区域一个半径为R的半圆面积为S3＝，

2则阴影部分面积为S＝S1＋(S2－S3)＝πR2。 2mv2mv

答案 (1)－≤x≤0 (2)0≤y≤ (3)πR2

qBqB归纳总结：

1.处理带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的技巧

(1)从关键词语找突破口：审题时一定要抓住题干中的关键字眼，如“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语，挖掘其隐含的信息。 (2)数学方法与物理方法相结合：借助半径R和速度大小v(或磁感应强度大小B)之间的关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆和有界磁场边界之间的关系，找出临界点，然后利用数学方法求极值。 2.磁场区域最小面积的求解方法

在粒子运动过程分析(正确画出运动轨迹示意图)的基础上借助几何关系先确定最小区域示意图，再利用几何关系求有界磁场区域的最小面积。注意对于圆形磁场区域：①粒子射入、射出磁场边界时的速度的垂线的交点即轨迹圆圆心；②所求最小圆形磁场区域的直径等于粒子运动轨迹的弦长。 三、课时强化训练

一、选择题(1～4题为单项选择题，5～7题为多项选择题) 1.如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场足够大，两个不计重力的带电粒子同时从A点在纸面内沿相反方向垂直虚线MN运动，经相同时间两粒子又同时穿过MN，则下列说法正确的是( )

A.两粒子的电荷量一定相等，电性可能不同 B.两粒子的比荷一定相等，电性可能不同 C.两粒子的动能一定相等，电性也一定相同 D.两粒子的速率、电荷量、比荷均不等，电性相同

解析： 因两粒子是从垂直MN开始运动的，再次穿过MN时速度方向一定垂直MN，两粒子均运动了半个周期，即两粒子在磁场中运动周2πm

期相等，由T＝知两粒子的比荷一定相等，但质量、电荷量不一

Bq定相等，选项A、D错误；因不知粒子的偏转方向，所以粒子电性无法确定，选项B正确；因粒子运动的周期与速度无关，所以粒子的动能也不能确定，选项C错误。 答案 B

2.如图所示，在同一竖直平面内，有两个光滑绝缘的圆形轨道和倾斜轨道相切于B点，将整个装置置于垂直轨道平面向外的匀强磁场中，有一带正电小球从A处由静止释放沿轨道运动，并恰能通过圆形轨道的最高点C。现若撤去磁场，使球仍能恰好通过C点，则释放高度H′与原释放高度H的关系是( )

A.H′

B.H′＝H

C.H′>H D.不能确定

v21

解析： 有磁场时，对小球在最高点有：mg－qBv1＝m，下落过程由

R12

动能定理得mg(H－2R)＝mv1；无磁场时，对小球在最高点有：mg＝

2v2122

m，下落过程由动能定理得mg(H′－2R)＝mv2，解得H′>H，故CR2正确，A、B、D错误。 答案 C

3.如图所示，左侧为加速电场，右侧为偏转电场，加速电场的加速电压是偏转电场电压的k倍。有一初速度为零的电荷经加速电场加速后，从偏转电场两板正中间垂直电场方向射入，且正好能从极板下边l

缘穿出电场，不计电荷的重力，则偏转电场长宽之比的值为( )

d

A.k C.3k

B.2k D.5k

12

解析： 设加速电压为U1，偏转电压为U2，因为qU1＝mv0，电荷离

2开加速电场时的速度v0＝＝d

2qU1d1qU22

；在偏转电场中＝t，解得tm22md

2qU1

·dm

m＝dqU2

2U1

＝d2k，U2

m

，水平距离l＝v0t＝qU2

l

所以＝2k。

d

答案 B

4.如图所示，截面为正方形的空腔abcd中有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。若有一束具有不同速率的电子由小孔a沿ab方向射入磁场，打在腔壁上的电子都被腔壁吸收，则( )

A.由小孔c和小孔d射出的电子的速率之比为1∶2 B.由小孔c和小孔d射出的电子的速率之比为2∶1 C.由小孔c和d射出的电子在磁场中运动的时间之比为2∶1 D.由小孔c和d射出的电子在磁场中运动的时间之比为4∶1 mvmvcL

解析: 设正方形空腔abcd的边长为L，根据r＝，可知L＝，qBqB2mvdvc2πm

＝，则＝2∶1，故选项A错误，选项B正确；根据T＝，可qBvdqBTπmTπmtc

知tc＝＝，td＝＝，＝1∶2，故选项C、D错误。

42qB2qBtd答案 B

5.如图所示，带正电的A球固定，质量为m、电荷量为＋q的粒子B从a处以速度v0射向A，虚线abc是B运动的一段轨迹，b点距离A最近。粒子经过b点时速度为v，重力忽略不计。则下列说法正确的是( )

A.粒子从a运动到b的过程中动能不断增大 B.粒子从b运动到c的过程中加速度不断减小 C.可求出A产生的电场中a、b两点间的电势差 D.可求出A产生的电场中b点的电场强度

解析： 由题图知，带电粒子受到A处正电荷的排斥力作用，粒子从a运动到b的过程中库仑力做负功，其动能不断减小，故选项A错误；粒子从b运动到c的过程中粒子离正电荷越来越远，所受的库仑力减1212

小，加速度减小，故选项B正确；根据动能定理qUa b＝mv－mv0，

22能求出a、b两点间的电势差Ua b，故选项C正确；a、b间不是匀强电场，不能根据公式U＝Ed求出b点的电场强度，故选项D错误。 答案 BC

6.如图所示，高为h的光滑绝缘曲面处于匀强电场中，匀强电场的方向平行于竖直平面，一带电荷量为＋q、质量为m的小球，以初速度v0从曲面底端的A点开始沿曲面表面上滑，到达曲面顶端B点的速度大小仍为v0，则( )

12

A.电场力对小球做功为mgh＋mv0

2mgh

B.A、B两点的电势差为 qmg

C.电场强度的最小值为

q

D.小球在B点的电势能小于在A点的电势能

解析： 小球上滑过程中，由动能定理有W电－mgh＝0，所以W电＝mgh，mgh

选项A错误；由W电＝qU可得A、B两点的电势差为U＝，选项B

qUUmg

正确；由U＝Ed得E＝，若电场线沿AB时，d>h，则E<＝，选项

dhqC错误；由于电场力做正功，小球的电势能减小，则小球在B点的电势能小于在A点的电势能，选项D正确。 答案 BD

7.在一个边界为等边三角形的区域内，存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在磁场边界上的P点处有一个粒子源，发出比荷相同的三个粒子a、b、c(不计重力)沿同一方向进入磁场，三个粒子通过磁场的轨迹如图所示，用ta、tb、tc分别表示a、b、c通过磁场的时间；用ra、rb、rc分别表示a、b、c在磁场中的运动半径，则下列判断正确的是( )

A.ta＝tb>tc C.rc>rb>ra

B.tc>tb>ta D.rb>ra>rc

解析： 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由图示情景可知：粒子轨道半径rc>rb>ra，粒子转过的圆心角θa＝θb>θc，粒子在磁场中做圆周2πm

运动的周期T＝，由于粒子的比荷相同、B相同，则粒子周期相

qB

θ

同，粒子在磁场中的运动时间t＝T，由于θa＝θb>θc，T相同，

2π则ta＝tb>tc，故A、C正确，B、D错误。 答案 AC 二、非选择题

8.如图所示为一多级加速器模型，一质量为m＝1.0×10－3 kg、电荷量为q＝8.0×10－5 C的带正电小球(可视为质点)通过1、2级无初速度地进入第3级加速电场，之后沿位于轴心的光滑浅槽，经过多级加速后从A点水平抛出，恰好能从MN板的中心小孔B垂直金属板进入两板间，A点在MN板左端M点正上方，倾斜平行金属板MN、PQ的长度均为L＝1.0 m，金属板与水平方向的夹角为θ＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2。

(1)求A点到M点的高度以及多级加速电场的总电压U；

(2)若该平行金属板间有图示方向的匀强电场，且电场强度大小E＝100 V/m，要使带电小球不打在PQ板上，则两板间的距离d至少要多长？

解析： (1)设小球从A点到B点的运动时间为t1，小球的初速度为v0，A点到M点的高度为y v0

则有＝tan θ①

gt1

L

cos θ＝v0t1② 2

L12

y－sin θ＝gt1③ 22联立①②③并代入数据解得 17

v0＝3 m/s，y＝ m④

30

带电小球在多级加速器加速的过程，根据动能定理有 12

qU＝mv0－0⑤

2

代入数据解得U＝18.75 V

(2)进入电场时，以沿板向下为x轴正方向和垂直于板向下为y轴正方向建立直角坐标系，将重力正交分解，则 沿y轴方向有

Fy＝mgcos θ－qE＝0⑥ 沿x轴方向有Fx＝mgsin θ⑦

故小球进入电场后做类平抛运动，设刚好从P点离开，则有Fx＝ma⑧ L12

＝at2⑨ 22dmin＝

v0

t2⑩ sin θ

52

联立④⑦⑧⑨⑩并代入数据解得dmin＝ m 652

即两板间的距离d至少为 m。

6答案 见解析

9.如图所示，在xOy平面内有磁感应强度为B的匀强磁场，其中x<0区域无磁场，在0

(1)若该粒子恰好过点[a，(2－1)a]，则粒子的速度为多大？ (2)在满足(1)的情况下，求粒子从磁场中射出时距原点O的距离； (3)若粒子从O点入射的速度v0大小已知，且无(1)中条件限制，为使粒子能够回到原点O，则a应取何值？

解析： (1)设轨迹半径为r，则[r－(2－1)a]2＋a2＝r2

解得r＝2a 又有牛顿第二定律得 mv2Bqv＝ r2Bqa

解得v＝

m(2)由数学知识可知

a

sin∠P1O1O＝，

2a即∠P1O1O＝45°

故△O1O2O3为等腰直角三角形，所以射出点P3与原点O距离为OP3＝22r－2r＝(4－22)a

mv20(3)设粒子的半径为R，则Bqv0＝ Rmv0

即R＝

Bq

要使轨迹回到O点，由对称性可知轨迹如图所示。由几何关系易知3mv0

△O1O2O3必为等边三角形，故a＝Rsin 60°＝

2Bq

2Bqa3mv0

答案 (1) (2)(4－22)a (3)

m2Bq

10.如图所示，在真空中，沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系xOy，在x轴上方有一沿x轴正方向的匀强电场E(电场强度E的大小未知)。有一质量为m，带电荷量为＋q的小球，从坐标原点O由静止开始自由下落，当小球运动到P(0，－h)点时，在x轴下方突然加一竖直向上的匀强电场，其电场强度与x轴上方的电场强度大小相等，且小球从P点返回到O点与从O点下落到P点所用的时间相等。重力加速度为g。求：

(1)小球返回O点时速度的大小； (2)匀强电场的电场强度E的大小； (3)小球运动到最高点时的位置坐标。

解析： (1)设小球从O点运动到P点所用的时间为t，在度为v1，返回O点时的速度为v2，则

因为h＝12gt2

所以t＝

2hg

v1＝gt＝2gh 因为h＝－v1＋v2

2t 所以v2＝22gh

(2)因为a＝v2－（－v1）

t＝3g

F－mg＝ma 所以E＝F4mg

q＝q

P点的速2v2

(3)在竖直方向：y＝＝4h

2g

设小球进入x轴上方运动到最高点所用时间为t2，则 0－v2

t2＝＝2

－g

2h g

FqE

因为ax＝＝＝4g

mm12

所以x＝axt2＝16h

2

所以小球运动到最高点的位置坐标为(16h，4h)。 4mg

答案 (1)22gh (2) (3)(16h，4h)

q

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