数学常用公式及常用结论

更新时间：2024-02-03 11:16:01 阅读量：教育文库文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

高中数学常用公式及常用结论

1. 关系：元素与集合

x?A?x?CUAx?CUA?x?A,.

n2.包含与被包含关系

A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB???CUA?B?R12n

3．集合{a,a,?,a}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非

nn空的真子集有2–2个.

n4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0)2; ;

(2)顶点式f(x)?a(x?h)1?k(a?0)(3)零点式f(x)?a(x?x)(x?x)(a?0).

25.方程f(x)?0在(k,k)上有且只有一个实根,

12与f(k)f(k)?0不等价,前者是后者的一个必要而

12不是充分条件.特别地, 方程ax122?bx?c?0(a?0)有

且只有一个实根在(k,k)内,等价于f(k)f(k)?0,或

12f(k1)?0且k1??k?k2b?12a2,或f(k)?0且k21?k2b???k222a.

6.闭区间上的二次函数的最值二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的

2最值只能在x??2ba处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若

f(xm)i?nx??,q(b??p,q?2a)，则

bf?(2a)f,x(??a)xmmf(a?xp； )fx??b??p,q?2a，f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)x??min?min?f(p),f(q)?.

(2)当a<0时，若

f(x?nm)if(x?)m(f)q,?ifnp?b??p,q?2a，则则

，(若)minx??b??p,q?2a，

)ma?xmfa?，xpf(x)(?fmin?q)f(p),,f(q)?(.

7.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间

(m,n)内至少有一个实根 . 设f(x)?x2?px?q，则；

（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或

?p2?4q?0??p???m?2（2）方程f(x)?0在区间(m,n)内有根的充要

条件为f(m)f(n)?0或

?f(m)?0?f(n)?0??2?p?4q?0??m??p?n??2f(m)?0?f(n)?0或?或； ??af(n)?0af(m)?0??（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或

?p2?4q?0??p???m?2 .

8.充要条件

（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是

q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲

的必要条件；反之亦然.

9.函数的单调性 (1)设x?x??a,b?,x?x那么

1212(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?x1?x2上是

增函数；

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?x1?x2上是

减函数.

(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果

f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为

减函数.

10.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.

11．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

12.若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a).

13.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成

b立,则函数f(x)的对称轴是函数x?a?;两个函2b数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?a?对2称.

14.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关

,0)对称; 若f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周于点(a2期为2a的周期函数.

15.两个函数图象的对称性

(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称.

(2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关

b于直线x?a2?对称. m(3)函数y?f(x)和y?fy=x对称.

?1(x)的图象关于直线

16.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)?b?f?1(b)?a.

,而函数

27.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为

y?1?1[f(x)?b]k,并不是

y?[f?1(kx?b)y?[f?1(kx?b)[f(x)?b]的反函数. 是y?1k28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.

(2)指数函数f(x)?a,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.

x(3)对数函.

数

f(?x)a,

xf(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)?(4)幂函数f(x)?x,f(xy)?f(x)f(y),f(1)??.

'(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，

f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，

f(0)?1,limx?0g(x)?1x.

29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)?f(x?a)?0，

或f(x?a)?f1(f(x)?0)， (x)或f(x?a)??f1(f(x)?0), (x)?或12f(x)?f2(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期

T=2a；

(3)f(x)?1?f(x1?a)(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a； (4)

f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)1?f(x1)f(x2)且

f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则f(x)的周期T=4a； ,则f(x)的周期T=5a；

(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a)(6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a. 30.分数指数幂 (1)a(2)amn??1nam1mn（a?0,m,n?N，且n?1）.

??mn（a?0,m,n?N，且n?1）.

?a31．根式的性质（1）(na)n?a.

n（2）当n为奇数时，当n为偶数时，

nnan?a； .

?a,a?0a?|a|????a,a?032．有理指数幂的运算性质 (1) (3)(ab)?rar?as?a(sa?0,r,?s. Q(2) (a)rrs?ars(a?0,r,s?Q). .

?arbr(a?0,b?0,r?Q)注：若a＞0，p是一个无理数，则ap

表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).

34.对数的换底公式

logaN?logmNlogma (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).

nlogabm推论

n?1logambn?(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,

, N?0).

35．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)log(MN)?logaaM?logaN; ;

(2)

logaM?logaM?logaNN(3)logaMn?nlogaM(n?R).

36.设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),记??b2?4ac.

若f(x)的定义域为R,则a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验.

37. 对数换底不等式及其推广若a?0,b?0,x?0,x?1,则函数y?loga函数.

，

1 (2)当a?b时,在(0,1)和(,??)上y?logaaaxax(bx)

(bx)1 (1)当a?b时,在(0,1)和(,??)上y?logaaax为增为减

(bx)函数.

推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则（1）log（2）logm?p(n?p)?logmn. .

2mlogn?logaaam?n238. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y?N(1?p).

x39.数列的同项公式与前n项的和的关

系

n?1?s1,an???sn?sn?1,n?2sn?a1?a2???an( 数列{a}的前n项的和为

n).

40.等差数列的通项公式

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；

其前n项和公式为 n(a?a)n(n?1)s??na?d 221nn1?d21n?(a1?d)n22.

；

41.等比数列的通项公式

an?a1qn?1?a1n?q(n?N*)q其前n项的和公式为

?a1(1?qn),q?1?sn??1?q?na,q?1?1 .

nn?1或

?a1?anq,q?1?sn??1?q?na,q?1?142.等比差数列?a?:a公式为

?qan?d,a1?b(q?0)的通项

?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d,q?1?q?1?；

其前n项和公式为

?nb?n(n?1)d,(q?1)?sn??d1?qnd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?.

43.分期付款(按揭贷款) 每次还款

ab(1?b)nx?(1?b)n?1元(贷款a元,n次还清,每

期利率为b).

44．常见三角不等式

)，则sinx?x?tanx. （1）若x?(0,?2)，则1?sinx?cosx?2. (2) 若x?(0,?2(3) |sinx|?|cosx|?1.

45.同角三角函数的基本关系式

sin2??cos2??1sin?，tan?=cos，tan??cot??1. ?46.正弦、余弦的诱导公式

(n为偶数) (n为奇数) n?n??(?1)2sin?,sin(??)??n?12?(?1)2cos?,?

(n为偶数) (n为奇数)

n?co?s,n??(?12)cos(???)?n?12?(?12)s?in?

,47.和角与差角公式

n?( si???)s?in??cos?co?;

cos(???)?cos?cos??sin?sin?;

tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?.

(平方正弦公式); .

(辅助角?所在象限

sin(???)sin(???)?sin2??sin2?cos(???)cos(???)?cos2??sin2?asin??bcos?=

a2?b2sin(???)由点(a,b)的象限决定,tan??b ). a48.二倍角公式

sin2??sin?cos?.

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?tan2??2tan?1?tan2?.

49. 三倍角公式

sin3??3sin??4sin3??4sin?sin(??)sin(??)33cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??)33??.

??3tan??tan3???tan3???tan?tan(??)tan(??)1?3tan2?33.

50.三角函数的周期公式

函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x

?∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?2?；

,k?Z(A,ω,?为常数，函数y?tan(?x??)，x?k???且A2?≠0，ω＞0)的周期T??.

51.正弦定理

abc???2RsinAsinBsinC.

52.余弦定理

a2?b2?c2?2bccosAb2?c2?a2?2cacosBc2?a2?b2?2abcosC; ; .

53.面积定理

ah（1）S?12a11?bhb?chc22（h、h、h分别表示a、

abcb、c边上的高）.

11absinC?bcsinA?casinB. （2）S?1222(3)S?OAB????????2????????21?(|OA|?|OB|)?(OA?OB)2. 54.三角形内角和定理在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

?C?A?B???2C?2??2(A?B)222.

55. 简单的三角方程的通解 sinx?a?x?k??(?1)arcsina(k?Z,|a|?1).

k cosx?a?x?2k??arccosa(k?Z,|a|?1).

tanx?a?x?k??arctana(k?Z,a?R). .

特别地,有

sin??sin????k??(?1)k?(k?Z) cos??co?s???k2???k(?Z.

tan??tan????k???(k?Z).

56.最简单的三角不等式及其解集 sinx?a(|a|?1)?x?(2k??arcsina,2k????arcsina),k?Z.

sinx?a(|a|?1)?x?(2k????arcsina,2k??arcsina),k?Z.

Z coxs? coxs?

a(a?|?|1?)x??k(2a?ar?cckosaa?rcck?o?s,2?a,?2)Z,. k2aa(a|?|?1)x??k(?2?R)?x??(k. k?Ztaxn?a?a(ar?c?taakn?,2,k??arctana),k?Z?. k.

tanx?a(a?R)?x?(k???257.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）;

(2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

60．向量平行的坐标表示

设a=(x,y),b=(x,y)，且b?0，则a?b(b?0)

1122?x1y2?x2y1?0.

53. a与b的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ．

61. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x,y),b=(x,y)，则a+b=(x?x,y?y).

11221212(2)设a=(x,y),b=(x,y)，则a-b=(x?x,y?y).

11221212 (3)设A(x,y)，B(x,y),则

1122????????????AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).

(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y). (5)设a=(x,y),b=(x,y)，则a·b=(xx?yy).

1122121263.两向量的夹角公式

cos??x1x2?y1y2x?y?x?y21212222(a=(x,y),b=(x,y)).

112264.平面两点间的距离公式

dA,B=

????????????|AB|?AB?AB 1122?(x2?x1)2?(y2?y1)2(A(x,y)，B(x,y)).

65.向量的平行与垂直设a=(x,y),b=(x,y)，且b?0，则

1122A||b?b=λa

?x1y2?x2y1?0.

12a?b(a?0)?a·b=0?xx?yy12?0.

66.线段的定比分公式

P(x,y)是线段PP的分点,?是设P(x,y)，P(x,y)，

11122212实数，且

?x?????y???????????PP1??PP2，则

x1??x2????????????OP??OP21???OP?1y1??y21??1???????????????OP?tOP1?(1?t)OP21（t?1?）. ?67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x,y)、

11B(x2,y2)G(、C(x,y),则△ABC的重心的坐标是

33x1?x2?x3y1?y2?y3,)33.

68.点的平移公式

''????????????'???x?x?h?x?x?h'???OP?OP?PP?''???y?y?k?y?y?k .

注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且

''''????PP'的坐标为

(h,k).

69.“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点

P'(x?h,y?k)(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为

''y?f(x?h)?k.

'(3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则C的函数解析式为

'y?f(x?h)?k.

(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(x?h,y?k)?0.

''(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

（1）O为?ABC的外心（2）O为?ABC的重心（3）O为?ABC的垂心（4）O为?ABC的内心71.常用不等式：（1）a,b?R?a“=”号)．

（2）a,b?R“=”号)．

（3）a?b?c333?2????2????2????2?OA?OB?OC??????????????OA?OB?OC?0. .

. . .

?????????????????????????OA?OB?OB?OC?OC?OA??????????????aOA?bOB?cOC?0（5）O为?ABC的?A的旁心

?????????????aOA?bOB?cOC?b2?2ab(当且仅当a＝b时取(当且仅当a＝b时取

?a?b?ab2?3abc(a?0,b?0,c?0).（4）柯西不等式

(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.

（5）a?b?a?b?a?b. 72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p；

（2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有

s. 最大值142推广已知x,y?R，则有(x?y)最大；

当|x?y|最小时,|x?y|最小.

2?(x?y)2?2xy

（1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时,

|xy|最小；

当|x?y|最小时, |xy|最大. 73.一元二次不等式

a2x?b?x0?或(c?0)(a?0?,2b??a4c?0)，如果a与ax2?bx?c2同号，则其解异号，则其解

集在两根之外；如果a与ax两根之间.

x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)?bx?c集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号

； .

x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)

74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有

x?a?x2?a??a?x?a2.

x?a?x2?a2?x?a或x??a.

75.无理不等式（1）（2）（3）?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0或??f(x)?[g(x)]2?g(x)?0??f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2? .

76.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)?(2)当0?a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)?77.斜率公式

k?y2?y1x2?x1（P(x,y)、P(x,y)）.

11122278.直线的五种方程（1）点斜式且斜率为k)．

（2）斜截式的截距).

（3）两点式 (x?x)).

12y?y1?k(x?x1) (直线l过点P(x,y)，

111y?kx?b(b为直线l在y轴上(y?y)(P(x,y)、P(x,y)

12111222y?y1x?x1?y2?y1x2?x1(4)截距式纵截距，a、b?0)

（5）一般式时为0).

xy??1a、bab(分别为直线的横、(其中A、B不同

Ax?By?C?079.两条直线的平行和垂直 (1)若l:y?kx?b，l:y?kx?b

111222①l||l112?k1?k2,b1?b2; ?k1k2??1111②l?l2.

1222(2)若l:Ax?By?C?0,l:Ax?By?C2?0,且A1、A2、

B1、B2都不为零,

①l||l12?A1B1C1??A2B2C2；；

②l?l12?A1A2?B1B2?080.夹角公式

k(1)tan??|1k??|. kk2121(l:y?kx?b，l:y?kx?b,kk11122212??1)

AB?AB(2)tan??|A|. A?BB12211212(l:Ax?By?C?0,l:Ax?B111122122y?C2?0A1A2?B1B2?0,).

直线l?l时，直线l1与l2的夹角是?. 281. l到l的角公式

12k(1)tan??1k??. kk2121(l:y?kx?b，l:y?kx?b,kk11122212??1)

AB?AB(2)tan??A. A?BB12211212(l:Ax?By?C?0,l:Ax?B111122122y?C2?0A1A2?B1B2?0,).

直线l?l时，直线l1到l2的角是?. 282．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P(x,y)的

000直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x),其中k是

0000待定的系数; 经过定点P(x,y)的直线系方程为A(x?x)?B(y?y)?0,其中A,B是待定的系数．

00(2)共点直线系方程：经过两直线

l1:A1x?B1y?C1?0l2:A2x?B2y?C2?0,的交点的直线系方程

2为(Ax?By?C)??(Ax?By?C)?0(除l)，其中λ是待定的

111222系数．

(3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是

Ax?By???0??0()，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx?Ay???0,λ是参变量．

83.点到直线的距离

d?|Ax0?By0?C|A?B22(点P(x,y),直线l：Ax?By?C?0).

0084.

Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域

设直线l:Ax?By?C?0，则Ax?By?C?0或?0所表

示的平面区域是：

若B?0，当B与Ax?By?C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax?By?C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若B?0，当A与Ax?By?C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?By?C异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

85. 面区域

设曲线C:(Ax?By?C)(Ax?1112(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平

（AABB?0），

1212B?C2y2)?0则

(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区所表示的平面区域所表示的平面区域

域是：

(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0上下两部分；

(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0

上下两部分.

86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 (D＞0).

?x?a?rcos???y?b?rsin?(x?a)2?(y?b)2?r2.

（2）圆的一般方程

2x2?y2?Dx?Ey?F?0?E2?4F（3）圆的参数方程 .

（4）圆的直径式方程

(x?1x)?(x2?x)1?(y(圆的直径的端点是y?)(y?y)0A(x,y)、

11B(x2,y2)).

87. 圆系方程

(1)过点A(x,y),B(x,y)的圆系方程是

1122(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0

,其中ax?by?c?0是

与圆

直线AB的方程,λ是待定的系数．

(2)过直线

x2?y2?Dx?Ey?F?0l:

Ax?By?C?0C的交点的圆系方程是

,λ是待定的系数．

与圆

C2x2?y2?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0(3) 过圆

C1:

x2?y2?D1x?E1y?F1?0:

x2?y2?D2x?E2y?F2?0的交点的圆系方程是

,λ是待定的系

x2?y2?D1x?E1y?F1??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0数．

88.点与圆的位置关系点P(x,y)与圆(x?a)002?(y?b)2?r2的位置关系有

三种

若d?(a?x0)2?(b?y0)2，则

d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系直线Ax?By?C?0与圆(x?a)系有三种:

d?r?相离???0d?r?相切???0d?r?相交???02?(y?b)2?r2的位置关

; ; .

其中

d?Aa?Bb?CA?B22.

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为

r1，r2，OO12?d

;

; ; ; .

．

d?r1?r2?外离?4条公切线d?r1?r2?外切?3条公切线r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线d?r1?r2?内切?1条公切线0?d?r1?r2?内含?无公切线91.圆的切线方程 (1)已知圆x2?y2?Dx?Ey?F?0①若已知切点(x,y)在圆上，则切线只

00有一条，其方程是

x0x?y0y?D(x0?x)E(y0?y)??F?022.

当(x,y)圆外时,

00x0x?y0y?D(x0?x)E(y0?y)??F?022表示过两个切点的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为

y?y0?k(x?x0)，再利用相切条件求k，这时必

有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b，

再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆x;

k2?y2?r2．

0①过圆上的P(x,y)点的切线方程为

00x0x?y0y?r2②斜率为

y?kx?r1?k2的圆的切线方程为

的参数方程是

. x2y2?2?1(a?b?0)2ab92.椭圆

?x?acos???y?bsin?.

x2y2?2?1(a?b?0)2ab93.椭圆焦半径公式 .

x2y2??1(a?b?0)a2b2a2PF1?e(x?)c，

a2PF2?e(?x)c94．椭圆的的内外部（1）点P(x,y)在椭圆

0022x0y0?2?2?1ab的内部

00（2）点P(x,y)在椭圆

22x0y0?2?2?1abx2y2??1(a?b?0)a2b2的外部

x2y2??1(a?b?0)a2b295. 椭圆的切线方程 (1)椭圆

上一点P(x,y)处的切

00线方程是xax?yby?1.

0202 （2）过椭圆

x2y2??1(a?b?0)a2b2外一点P(x,y)所引

00两条切线的切点弦方程是

x0xy0y?2?12ab （3）椭圆的条件是Aa22x2y2?2?1(a?b?0)2ab与直线Ax?By?C?0相切的焦半径公式

?B2b2?c2.

的内部

96.双曲线

a2PF1?|e(x?)|cx2y2??1(a?0,b?0)a2b2a2PF2?|e(?x)|c，

97.双曲线的内外部 (1)点P(x,y)在双曲线

0022x0y0?2?2?1abx2y2??1(a?0,b?0)a2b2.

00(2)点P(x,y)在双曲线

22x0y0?2?2?1abx2y2??1(a?0,b?0)a2b2的外部

x2y2?2?1?2ab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为程：

x2y2b??0?y??x22aab渐近线方

xy (2)若渐近线方程为y??bx???0?双曲aba

线可设为

x2y2?2??2ab.

x2y2?2?12ab (3)若双曲线与设为

x2y2???a2b2有公共渐近线，可

（??0，焦点在x轴上，??0，焦

点在y轴上）.

99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线

02x2y2??1(a?0,b?0)a2b2上一点P(x,y)处的

00切线方程是xax?yby?1.

02 （2）过双曲线

x2y2??1(a?0,b?0)a2b2外一点P(x,y)00所引两条切线的切点弦方程是

x0xy0y?2?1a2b （3）双曲线相切的条件是Aa22x2y2??1(a?0,b?0)a2b2?B2b2?c22与直线Ax?By?C?0.

的焦半径公式

0100. 抛物线y抛物线y2?2px?2px(p?0)p焦半径CF?x?2.

?p?x1?x2?p2p?x过焦点弦长CD?x?212.

y(?,y?)2p2101.抛物线y2?2?2px上的动点可设为P

y?2?2px?或P(2pt,2pt)或 P(x,y)，其中

102.二次函数

b24ac?b2y?ax?bx?c?a(x?)?(a?0)2a4a2的图象是抛物线：（1）顶点坐标为（2）焦点的坐标为程是

4ac?b2?1y?4ab4ac?b2?1(?,)2a4ab4ac?b2(?,)2a4a；

；（3）准线方

的内部

103.抛物线的内外部 (1)点P(x,y)在抛物线

00y2?2px(?p0)?y2?2px(p?0).

在抛物线

y2?2px(p?0)点

P(x0,y0)p?0)的外部的内部

?y2?2p(x.

(2)点P(x,y)在抛物线y002??2px(p?0)?y2?2?px(p?0).

在抛物线

y2?2?p(xp?0)点

P(x0,y0)p?0)的外部的内部

?y2?2?p(x.

(3)点P(x,y)在抛物线

00x2?2py(?p0)?x2?2py(p?0).

在抛物线

x2?2py(p?0)点

?x2?2p(yP(x0,y0)p?0)的外部的内部

(4) 点P(x,y)在抛物线x002?2py(p?0)?x2?2py(p?0).

在抛物线

x2?2?p(yp?0)点

P(x0,y0)p?0)的外部

?x2?2?p(y.

104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线y程是yy?p(x?x).

002?2px上一点P(x,y)处的切线方

00 （2）过抛物线y （3）抛物线y的条件是pB22?2px外一点P(x,y)所引两条

000切线的切点弦方程是yy?p(x?x).

02?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切

?2AC.

105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f(x,y)?0,f(x,y)?0的交点的曲线系方

12程是

f1(x,y)??f2(x,y)?0?(为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

x2y2??1a2?kb2?k,其中k?max{a,b}.当k?min{a,b}时,表示

22222222椭圆; 当min{a,b}?k?max{a,b}时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2或

（弦?y?kx?b??F(x,y)?0AB?(1?k2)(x2?x1)2?|x1?x2|1?tan2??|y1?y2|1?cot2?端点A(x,y),B(x,y)，由方程

1122 消去y得到

ax2?bx?c?0，??0,?为直线AB的倾斜角，k为直线

的斜率）.

107.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)?0关于点P(x,y)成中心对称

00的曲线是F(2x-x,2y?y)?0.

00（2）曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是

F(x?2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C),y?)?02222A?BA?B.

，

108.“四线”一方程对于一般的二次曲线Ax22?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?00xyx?xxy，用xx代x，用yy代y，用xy?代用代x，2220000用y2?y代y即得方程

0Ax0x?B?x0y?xy0x?xy?y?Cy0y?D?0?E?0?F?0222，曲线的切线，

切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得

到.

109．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

114．证明平面与平面的垂直的思考途

径

（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．

P、A、B三点共线

?AP||AB?????????AP?tAB?????????????OP?(1?t)OA?tOB.

、共线且AB、CD不共线

????CD?????????AB?tCD????AB||CD?AB且AB、CD不共线.

118.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的?存在实数对x,y,使p?ax?by．

推论空间一点P位于平面MAB内的

?存在有序实数对,使

x,y????????????MP?xMA?yMB，

或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使

?????????????????OP?OM?xMA?yMB.

（x?y?z?k），则当k?1119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足

????????????????OP?xOA?yOB?zOC时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k?1时，若O?平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O?平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

A、B、 C、D ????????????AD?xAB?yAC?四点共面

?????AD与

????AB、

????AC共面?

????????????????OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC（O?平面ABC）.

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使

????AB????????????????OP?xOA?yOB?zOC.

121.射影公式

已知向量=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B点

'在l上的射影B，则

'????AB?|AB|cos''〈a，e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算设a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)则

123123(1)a＋b＝(a?b,a?b,a?b)；

112233(2)a－b＝(a?b,a?b,a?b)；

112233(3)λa＝(?a,?a,?a) (λ∈R)；

123(4)a·b＝ab?ab?ab；

112233123.设A(x,y,z)，B(x,y,z)，则

111222????????????AB?OB?OA=

(x2?x1,y2?y1,z2?z1).

124．空间的线线平行或垂直设

ra?(x1,y1,z1)，

rb?(x2,y2,z2)，则

?x1??x2rrrrrr?aPb?a??b(b?0)??y1??y2?z??z2?1； .

rrrra?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0125.夹角公式

设a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)，则

123123cos〈a，b〉=推论 (ab?ab?ab)1122332a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223b?b?b212223. ，此即三

2222?(a12?a2?a3)(b12?b2?b3)维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD中,

AC与BD所成的角为?,则 .

|(AB2?CD2)?(BC2?DA2)|cos??2AC?BD127．异面直线所成角

rrcos??|cosa,b|

rr|a?b|rr?|a|?|b||x1x2?y1y2?z1z2|x?y?z?x2?y2?z2o212121222 rra,b（其中?（0???90o）为异面直线a,b所成角，

分别表示异面直线a,b的方向向量）

128.直线AB与平面所成角

??????AB?m?????m??arcsin???|AB||m|(为平面?的法向量).

129.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是?、?,A、B为?ABC的两个内角，则

12sin2?1?sin2?2?(sin2A?sin2B)sin2??.

特别地,当?ACB?90时,有

sin2?1?sin2?2?sin2?.

130.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是?、?,A、B为?ABO的两个内角，则

''12tan2?1?tan2?2?(sin2A'?sin2B')tan2??.

特别地,当?AOB?90时,有

sin2?1?sin2?2?sin2?.

131.二面角??l??的平面角

???m?n??arccos???|m||n|或

???m?n??arccos???|m||n|（，为平面?，?的

??m?n法向量）.

132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为?，

1AB与AC所成的角为?，AO与AC所成的

2角为?．则cos??cos?cos?.

12133. 三射线定理

若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?,?,与二面

12角的棱所成的角是θ，则有

sin2?sin2??sin2?1?sin2?2?2sin?1sin?2cos?|?1??2|???180??(?1??2) ;

?(当且仅当??90时等号成立).

134.空间两点间的距离公式若A(x,y,z)，B(x,y,z)，则

111222

dA,B=

????????????|AB|?AB?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.

135.点Q到直线l距离

h?1(|a||b|)2?(a?b)2|a|????PA(点P在直线l上，直线l的方

????PQ向向量a=，向量b=).

136.异面直线间的距离

???????|CD?n|?l1,l2d?|n|?n(是两异面直线，其公垂向量为

1212，C、D分别是l,l上任一点，d为l,l间的距离).

137.点B到平面?的距离

???????|AB?n|?d?|n|（为平面?的法向量，AB是经过

?n面?的一条斜线，A??）.

138.异面直线上两点距离公式

d?h2?m2?n2?2mncos?222. . '????????'d?h?m?n?2mncosEA,AFd?h2?m2?n2?2mncos?（??E?AA?F）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两

'点E、F，AE?m,AF?n,EF?d).

' 139.三个向量和的平方公式

???????????? (a??b??c)??a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a ????????2222222?????a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a

140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l、l、l，夹角分别

123为?、?、?,则有

1232l2?l12?l2?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

141. 面积射影定理

S'S?cos?.

(平面多边形及其射影的面积分别是S、

S'，它们所在平面所成锐二面角的为?). 142. 斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积

分别是S1斜棱柱侧和V1斜棱柱,它的直截面的周长和面积

分别是c和S,则

①S斜棱柱侧?c1l.

②V斜棱柱?S1l.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.

144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145.欧拉定理(欧拉公式)

V?F?E?2(简单多面体的顶点数V、棱数E

和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F

nF；与棱数E的关系：E?12（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶

mV. 点数V与棱数E的关系：E?12146.球的半径是R，则

?R, 其体积V?433其表面积S?4?R．

2147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3) 球与正四面体的组合体: