概率论与数理统计(魏宗舒版)答案完整版

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第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2， ，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，(正2，正9)，(正2，次)， ， ={(正1，正2)， ，(正1，正3)，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，

(正3，正4)， ，(正3，正9)，(正3，次)， ，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}

A={(正1，次)，(正2，次)， ，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为ω1，ω2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则 ={ω1，ω2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A={ω1，ω2} (ⅱ) B={r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。

(2)在什么条件下ABC=C成立？ (3)什么时候关系式C B是正确的？ (4) 什么时候A=B成立？

解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) ABC=C 等价于C AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1≤i≤n）。用Ai表示下列事件：

(1)没有一个零件是不合格品；

(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) Ai; (2) Ai= Ai; (3) [Ai( Aj)];

i=1n

nnnn

i=1i=1i=1

j=1j≠i

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(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 AiAj；

i,j=1

i≠j

n

1.4 证明下列各式： (1)A∪B=B∪A; (2)A∩B=B∩A

(3)(A∪B)∪C=A∪(B∪C); (4)(A∩B)∩C=A∩(B∩C) (5)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) (6) Ai= Ai

i=1

i=1

n

n

证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为A82=8×7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以

11

事件A“所得分数为既约分数”包含A32+2A3×A5=2×3×6个样本点。于是

2×3×69

=。 8×714

1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。

P(A)=

5

解 样本点总数为 3 =10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必

须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一

3

个三角形”包含3个样本点，于是P(A)=。

10

1.7 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？

解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!48

=

13!13!

1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。

解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9×10 1=89个不同位置，当

3!2!2!2!个样本点。所以P(A)=

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它处于和红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

17

P(A)=

89

1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A97个样本点，于是A97

P(A)=7。

9

1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

94 9

解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)== ，所以

10000 10 94 9

P(A)=1-P(A)=1 =1

10000 10

1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：

(1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1； (3)该数的立方的最后两位数字都是1；

1

解 (1) 答案为。

5

(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答42案为=

105

(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a=7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是

。

1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故

4

4

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对头而言有5 3 1种接法，同样对尾也有5 3 1种接法，所以样本点总数为用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5 3 1种(5 3 1)2。

连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。

再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4 2。所以A包含的样本点数为(5 3 1)(4 2)，于是

P(A)=

(5 3 1)(4 2)8

= 2

15(5 3 1)

(2) 2n根草的情形和(1)类似得

1.13 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球

N+n k 2

n k

的概率为 ，0≤

N+n 1 n

k≤n

N n 1

N m 1 m(2)恰好有m个盒的概率为 ，N N+n 1 n

n≤m≤N 1

(3)指定的m个盒中正好有j个球的概率为

m+j 1 N m+n j 1

m 1 n j

N+n 1 n

，

1≤m≤N,0≤j≤N.

解 略。

1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

3

解 所求概率为P(A)=

5

n 1

1.15 在 ABC中任取一点P，证明 ABP与 ABC的面积之比大于的概

n

1

率为2。

n

1

解 截取CD′=CD，当且仅当点P落入 CA′B′之内时 ABP与 ABC的面

n

n 1

积之比大于，因此所求概率为

n

21

′CD2 A′B′C有面积CD1n。 =P(A)===222

ABC的面积nCDCD

2

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1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

解 分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当0≤x y≤2,0≤y x≤1。因此所求概率为11

242 ×232 ×222

P(A)=≈0.121 2

24

1.17 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求： (1) x2位于x1与x3之间的概率。

(2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。

111 3××132=1 解 (1) P(A)= (2) P(B)=

312

1.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。

解 分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(A1)=P(A2)=0.所求概率为P(A3)。分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，则P(A3)=P(Aab∪Aac∪Abc).显然P(Aa)P(Aab)+P(Aac)，P(Ab)=P(Aab)+P(Abc)，P(Ac)=P(Aac)+P(Abc)。所以

P(A3)=

121

[P(Aa)+P(Ab)+P(Ac)]=(a+b+c) (a+b+c)=22πdπd

（用例1.12的结果）

1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。

解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。

1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

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b个

解ω1表示白，ω2表示黑白，ω3表示黑黑白，…ωb+1表示黑 黑白，

a

， 则样本空间 ={ω1，ω2，…，ωb+1}，并且P({ω1})=

a+b

babb 1a

， P({ω3})=，…， P({ω2})=

a+ba+b 1a+ba+b 1a+b 2

P({ωi})=

bb 1b (i 2)a

a+ba+b 1a+b (i 2)a+b (i 1)b!a

(a+b)(a+b 1) a

P({ωb+1})=

甲取胜的概率为P({ω1})+P({ω3})+P({ω5})+… 乙取胜的概率为P({ω2})+P({ω4})+P({ω6})+…

1.21 设事件A,B及A∪B的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB)

解 由P(A∪B)=P(A)+P(B) P(AB)得

P(AB)=P(A)+P(B) P(A∪B)=p+q r

P(AB)=P(A AB)=P(A) P(AB)=r q ，P(AB)=r p P(AB)=P(A∪B)=1 P(A∪B)=1 r 1.22 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)=1 P(A1) P(A2)+P(A1A2);

(2) 1 P(A1) P(A2)≤P(A1A2)≤P(A1∪A2)≤P(A1)+P(A2). 证

明

(1)

P(A1A2)=P(A1∪A2)=1 P(A1∪A2)=1 P(A1) P(A2)+P(A1A2)

(2) 由(1)和P(A1A2)≥0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。

1.23 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)+P(AC) P(BC)≤P(A) 证明 P(A)≥P[A(B∪C)]=P(AB)+P(AC) P(ABC)

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≥P(AB)+P(AC) P(BC)

1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：

(1)只订甲报的；

(2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。

解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。

(1) P(ABC)=P(A (AB∪AC))=P(A) P(AB∪AC)=30% (2) P(ABC)=P(AB ABC)=7%

(3) P(BAC)=P(B) [P(AB)+P(BC) P(ABC)]=23% P(CAB)=P(C) [P(AC)+P(BC) P(ABC)]=20% P(ABC∪+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73% (4) P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14% (5) P(A+B+C)=90%

(6) P(ABC)=1 P(A+B+C)=1 90%=10%

1.26 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？

， i=1,2, ,N。要求P( Ai)。 解 用Ai表示“第i张考签没有被抽到”

i=1N

N 1

P(Ai)=

N

N

n

N 2 ，……， N N ，P(AiAj)= P(A1 AN)=

N

n

nn

N

=0

N N 1 1 1 N N 1 ()(1)PA= = ∑i 1 N 1 N i=1

N N 2 2 1 N N 2 ∑P(AiAj)= 2 N =( 1) 2 N ，……

1≤i≤N N i

所以P( Ai)=∑( 1)i 1

N i=1i=1

N

N

nn

n

n

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1.27 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？

解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1i1a2i2 anin，当且仅当1,2, ,n的排列(i1i2 in)中存在k使ik=k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中ik=k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则

P(Ai)=

N

(n 2)!(n 1)!

(1≤i<j≤n)，…… 1≤i≤n P(AiAj)=

n!n!

n

i 1

n (n i)!ni 11 所以P( Ai)=∑( 1) = (1)∑ i n!i!i=1i=1i=1

1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩

的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。

解 用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为：

={(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}

其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”， B表示“有男孩”，则

P(B|A)=

P(AB)6/86

== P(A)7/87

1.30 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，

(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。

(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。

解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B表示“所取产

m m M m

2 + 1 1 品都是不合格品”，则 P(B)=P(A)=

M 2

m 2 M 2

P(B|A)=

m 1P(AB)P(B)

==

P(A)P(A)2M m 1

(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一

件合格品，一件不合格品”。则

m M m M m

1 2 1 + P(C)=P(D)=

M 2

m M m 1 1

M 2

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P(D|C)=

2mP(CD)P(D)

==

P(C)P(C)M+m 1

1.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前k 1(k≤n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率； (2)第k(k≤n)个人摸到的概率。

解 设Ai表示“第i个人摸到”， i=1,2, ,n。 (1) P(Ak|A1 Ak 1)=

11

=

n (k 1)n k+1

n 1n 211

= nn 1n k+1n

(2) P(Ak)=P(A1 Ak 1Ak)=

1.32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为

λkk!

而每一个蛋能孵化成小e λ(λ>0)，

(λp)r λp

鸡的概率为p，证明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为 e。

r!

解 用Ak表示“母鸡生k个蛋”， B表示“母鸡恰有r个下一代”，则

P(B)=∑P(Ak)P(B|Ak)=∑

k=r∞

∞

λke λ k

k=r

rk r

p(1 p) rk!

(λp)r λ∞[λ(1 p)]k r(λp)r λλ(1 p)

=e ee∑=

r!r!()!kr k=r

(λp)r λp

=e

r!

1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

解 用Ak表示“任选一名射手为k级”， k=1,2,3,4，B表示“任选一名射手能

4

进入

20

决

20

赛

20

20

”，则

P(B)=∑P(Ak)P(B|Ak)=4×0.9+8×0.7+7×0.5+1×0.2=0.645

k=1

1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任

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取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？

解 用A1表示“任取一只产品是甲台机器生产”

A2表示“任取一只产品是乙台机器生产” A3表示“任取一只产品是丙台机器生产”

。 B表示“任取一只产品恰是不合格品”则由贝叶斯公式：

P(A|B)=P(A1)P(B|A1)=25 P(A|B)=P(A2)P(B|A2)=28

1233

∑P(A)P(B|A)

k

k

k=1

69

∑P(A

k=1

k

)P(B|Ak)

69

P(A3|B)=

P(A3)P(B|A3)

∑P(A

k=1

3

=

k

)P(B|Ak)

16

69

1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？

3219

解 则 P(A1)=， P(A2)= ，P(A3)=，P(A4)=

15151515

1231

P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=，P(B|A4)=

7777

由贝时叶斯公式得 P(A|B)=P(A1)P(B|A1)=9

1

∑P(A

k=1

4

k)P(B|Ak)

22

1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、

11

0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、、

43

1

，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 12

解 用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示“朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。 则 P(A|B)=P(A1)P(B|A1)=1

14

∑P(Ak)P(B|Ak)

k=1

2

1.37 证明：若三个事件A、B、C独立，则A∪B、AB及A B都与C独

立。

证明 （1）P((A∪B)C)=P(AC)+P(BC) P(ABC)

=P(A∪B)P(C)

（2）PABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)

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（3）P((A B)C)=P((A AB)C)=P(AC ABC)=P(A B)P(C)

1.38 试举例说明由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)=P(A)P(B)一定成立。

解 设 ={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5}，P({ω1})=P({ω2})= P({ω3})=P({ω4})=

118，P({ω5})=， 6464

15

，A={ω1,ω2}，A={ω1,ω3}，A={ω1,ω4} 641151

则 P(A)=P(B)=P(C)=+=，

646441

P(ABC)=P({ω1})==P(A)P(B)P(C)

641

但是P(AB)=P({ω1})=≠P(A)P(B)

641.39 设A1,A2, ,An为n个相互独立的事件，且P(Ak)=pk(1≤k≤n)，求下列事件的概率：

(1) n个事件全不发生；

(2) n个事件中至少发生一件； (3) n个事件中恰好发生一件。

解 (1) P( Ak)=∏P(Ak)=∏(1 pk)

k=1

k=1

k=1

n

n

n

(2) P( Ak)=1 P( Ak)=1 ∏(1 pk)

k=1

k=1

k=1

nnn

(3) P[ (Ak Aj)]=∑(Ak Aj)=∑[pk (1 pj)].

k=1

j=1j≠k

k=1

j=1j≠k

k=1

j=1j≠k

nnnnnn

1.40 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))（注：min(x,y)表示x,y中小的一个数）。

解 一方面P(A),P(B)≥0，另一方面P(A)P(B)=P(AB)=0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以min(P(A),P(B))=0.

1.41 一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率

(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为O型，两个人为A型； (3)没有一人为AB。

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5

解 (1)从5个人任选2人为O型，共有 2 种可能，在其余3人中任选一人

为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一 5 2

人为AB型，顺此所求概率为： 2 ×3×2×0.46×0.40×0.11×0.13≈0.0168

5 22

(2) ××≈0.1557 0.460.40 3 (3) (1 0.03)5≈0.8587

1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。

解 用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， k=1,2, ，B表示“击中飞机”。则P(Ak)=0.6，k=1,2, 。

(1) P(A1∪A2)=1 P(A1A2)=1 0.42=0.84 (2) P(A1∪ An)=1 P( Ak)=1 0.4n>0.99 , n>

k=1n

lg0.01

≈5.026 lg0.4

取n=6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。

1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。

解 用A表示“在成功n次之前已失败了m次”， B表示“在前n+m 1次试验中失败了m次”， C表示“第n+m次试验成功”

n+m 1 n 1m

则 P(A)=P(BC)=P(B)P(C)= m p(1 p) p

n+m 1 nm

= p(1 p) m

1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（1≤r≤n）的概率。

解 用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”， 用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”， ，“第2n r次在乙盒取”， A0BrC表示取C,D分别表示“第2n r次在甲盒取”

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了2n r次火柴，且第2n r次是从甲盒中取的，即在前2n r 1在甲盒中取了

n 1

n r

n 1，其余在乙盒中取。所以 P(A 2n r 1 1

0BrC)= n 1 2

1

2

12

由对称性知P(ArB0C)=P(A0BrD)，所求概率为：

2n r 1

P(AC∪A 2n r 1 1

0BrrB0D)=2P(A0BrC)= n 1 2

第二章 离散型随机变量

2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？

(1) 135 1

23 0.50.30.2 (2) 0.70.10.1

(3) 012 nn 122 n2

11 1 1 1 2

1 1 (4) 111 22 3 2

3 2 3

2 2 2

解 （1）是

（2）0.7+0.1+0.1≠1，所以它不是随机变量的分布列。

（3）11 1 2

n

+1 + 1 + +1 2 1 3

+ =3,所以它不是随机变量的分布列。2

2 3

2 3

4

（4） nn

1 ∞

2 >0,n为自然数，且∑ 1 =1，所以它是随机变量的分布列。 n=1 2

2.2 设随机变量ξ的分布列为：P(ξ=k)=k

15

,k=1,2,3,4,5，(1)P(ξ=1或ξ=2);

(2P(15

2<ξ<2

)) ； (3) P(1≤ξ≤2)。

解 (1) P(ξ=1或ξ=2)=115+21

15=5

;

(2) P(12<ξ<52)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=1

5

;

(3) P(1≤ξ≤2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=1

5

.

2.3 解 设随机变量ξ的分布列为2i

P(ξ=i)=C ,i=1,2,3。求C的值。 3

解 2 2 2

C

=

27

+ 3

+ 2 3

，所以C

3 3

=1 38

。 求

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2.4 随机变量ξ只取正整数N，且P(ξ=N)与N2成反比，求ξ的分布列。 解 根据题意知P(ξ=N)=C2

N

π

2

Cπ，其中常数C待定。由于∑2=C =1，所

6NN=1

∞

以C=62，即ξ的分布列为P(ξ=N)=

6

π2N2

，N取正整数。

2.5 一个口袋中装有m个白球、n m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了ξ个白球，求ξ的分布列。

解 设“ξ=k”表示前k次取出白球，第k+1次取出黑球，则ξ的分布列为：

P(ξ=k)=

m(m 1) (m k+1)(n m)

,k=0,1, ,m.

n(n 1) (n k)

2.6 设某批电子管的合格品率为

31，不合格品率为，现在对该批电子管进44

行测试，设第ξ次为首次测到合格品，求ξ的分布列。

1

解 P(ξ=k)=

4

k 1

3

,k=1,2, . 4

2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以ξ表示取出球的取大号码，求ξ的分布列。

k 1 2

解 P(ξ=k)= ,k=3,4,5. 5 3

2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0<p<1)，设ξ为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求ξ的分布列。

解P(ξ=k)=qk 1p+pk 1q,k=2,3, ，其中q=1 p。

2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。

解 设ξ，η表示第二名队员的投篮次数，则

P(ξ=k)=0.6k 10.4k 10.4+0.6k0.4k 10.6=0.76 0.24k 1,k=1,2, ； P(η=k)=0.6k0.4k 10.6+0.6k0.4k0.4=0.76 0.6k0.4k 1,k=1,2, 。

2.10 设随机变量ξ服从普哇松分布，且P(ξ=1)=P(ξ=2)，求P(ξ=4)。

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解P(ξ=k)=

λk

k!

e(λ>0)k=0,1,2, 。由于λe

λ λ

=

λ22

e λ,得λ1=2,λ2=0

24 22 2

（不合要求）。所以P(ξ=4)=e=e。

4!3

2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问

在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。

解 设ξ为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则

P(ξ≤x)≥0.999。查普哇松分布的数值表，得x≥16。

2.12 如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。

解 设ξ为时间t内通过交叉路口的汽车数，则

(λt)k λt

P(ξ=k)=e(λ>0),k=0,1,2,

k!

t=1时，P(ξ=0)=e λ=0.2，所以λ=ln5；t=2时，λt=2ln5，因而

P(ξ>1)=1 P(ξ=0) P(ξ=1)=(24 ln25)/25≈0.83。

2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。

1

解 在指定的一页上出现某一个错误的概率p=，因而，至少出现三个

500

错误的概率为

500 1 499 ∑ k 500 500

k=3

500

k500 k

500 1 499

=1 ∑ k 500 500

k=0

2

k500 k

利用普哇松定理求近似值，取λ=np=500×

15

≈0.080301 1 ∑ 1=1 2ek=0k!

2

1

=1，于是上式右端等于 500

2．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？

解 设每箱至少装100+x个产品，其中有k个次品，则要求x,使

100+x k100+x k ≤0.90.030.97 ， ∑ k k=0

x

利用普哇松分布定理求近似值，取λ=(100+x)×0.03≈3，于是上式相当于

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3k 3

0.9≤∑，查普哇松分布数值表，得x=5。

k=0k!

x

2.15 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布列为：

P(ξ=n,η=m)=

λnpm(1 p)n m

m!(n m!)

e λ

(λ>0,0<p<1) m=0,1, ,n

n=0,1,2,

求边际分布列。

解 P(ξ=n)=∑P(ξ=n,η=m)=

m=0n

λne λ

n!

pm(1 p)n m ∑n!m=0m!(n m)!

n

=

λne λ

n!

n=0,1,2,

pme λ

P(η=m)=P(ξ=n,η=m)=

m!n=0

∑

∞

n!

pm(1 p)n m ∑n=mm!(n m)!

∞

(λp)me λp

=

m!

m=0,1,2, 。

2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为ξ、η、ζ，求(ξ,η,ζ)的联合分布列与各自的边际分布列。

解 P(ξ=m,η=n,ζ=k)=

4!

0.5m0.3n0.2k ，m,n,k=0,1,2,3,4m+n+k=4. m!n!k!

4 m4 m ，m=0,1,2,3,4； P(ξ=m)= m 0.50.5

4 n4 n

P(η=n)= n 0.30.7 ，n=0,1,2,3,4；

4 k4 k

P(ζ=k)= k 0.20.8 ，k=0,1,2,3,4。

2.18 抛掷三次均匀的硬币，以ξ表示出现正面的次数，以η表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(ξ,η)的联合分布列及边际分布列。

2.21 设随机变量ξ与η独立，且P(ξ=1)=P(η=1)=p>0，

1若ξ+η为偶数，问p取什么值又P(ξ=0)=P(η=0)=1 p>0，定义ζ=

0若ξ+η为奇数

时ξ与ζ独立？

解P(ζ=1)=P(ξ=0)P(η=0)+P(ξ=1)P(η=1)=(1 p)2+p2

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P(ζ=0)=P(ξ=0)P(η=1)+P(ξ=0)P(η=1)=2p(1 p)

而P(ξ=1,ζ=1)=P(ξ=1,η=1)=p2，由P(ξ=1,ζ=1)=P(ξ=1)P(ζ=1)得p=1

2

2.22 设随机变量ξ与η独立，且P(ξ=±1)=P(η=±1)=证明ζ,ξ,η两两独立，但不相互独立。

证明P(ζ=1)=P(ξ=1)P(η=1)+P(ξ= 1)P(η= 1)=P(ζ= 1)=P(ξ=1)P(η= 1)+P(ξ= 1)P(η=1)=因为P(ξ=1,ζ=1)=P(ξ=1,η=1)=

1 2

1

，定义ζ=ξη，2

1 2

1

=P(ξ=1)Pζ=1) 41

P(ξ=1,ζ= 1)=P(ξ=1,η= 1)=P(ξ=1)Pζ= 1)

41

P(ξ= 1,ζ=1)=P(ξ= 1,η= 1)=P(ξ= 1)P(ζ=1)

41

P(ξ= 1,ζ= 1)=P(ξ= 1,η=1)=P(ξ= 1)P(ζ= 1)

4

所以ζ,ξ相互独立。同理η与ζ相互独立。

但是P(ξ=1,η=1,ζ=1)≠P(ξ=1)P(η=1)P(ζ=1)，因而ζ,ξ,η不相互独立。

2.23设随机变量ξ与η独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明ξ+η不服从均匀分（即不可能有P(ξ+η=k)=

1

） ,k=2,3, ,12。

11

证明 设P(ξ=k)=pk,P(η=k)=qk,k=1,2, ,6。

若P(ξ+η=k)=

1

,k=2,3, ,12，则 11

1

P(ξ+η=2)=p1q1= (1)

11

1

P(ξ+η=7)=p1q6+p2q5+ +p6q1= (2)

11

1

P(ξ+η=12)=p6q6= (3)

11

将（2）式减去（1）式，得：(p6 p1)q1<0，于是p6<p1。同理q6<q1。因此p6q6<p1q1=

1

，与（3）式矛盾。 11

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0

2.24 已知随机变量ξ的分布列为

1 4

π

212

π

4

2

，求η=ξ+2与ζ=cosξ的分

31

布列。

解 η分布列为P(η=2)=

π112π1

，P(η=2+)=，P(η=2+=； 43234111

ζ的分布列为P(ζ= 1)=，P(ζ=0)=，P(ζ=1)=。

424

2 101

111

6515 5

3 2

11 ，求η=ξ的分 30

2.25 已知离散型随机变量ξ的分布列为 1布列。

17111 , P(η=1)= , P(η=4)= , P(η=9)= 530530

0 013

2.26 设离散型随机变量ξ与η的分布列为ξ： 131 ， η ： 1

3 288 解P(η=0)=

且ξ与η相互独立，求ζ=ξ+η的分布列。

解 1111

6

24 0

1

2

34 11

2412

1 2 ， 3

4

2.27 设独立随机变量ξ与η分别服从二项分布：b(k;n1,p)与b(k;n2,p)，求

ξ+η的分布列。

解 设ξ为n1重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)=p），，而ξ与η相η为n2重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)=p）互独立，所以ξ+η为n1+n2重贝努里试验中事件A发生的次数，因而

n1+n2 kn1+n2 kP(ξ+η=k)= pq k

,k=0,1,, ,n1+n2。

2.28 设ξ与η为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 P(ξ=n)=P(η=n)=求ξ+η的分布列。

解P(ξ+η=n)=∑P(ξ=k)P(η=n k)=∑

k=1n 1

1

,n=1,2, n2

11n 1

=kn kn

22k=12

n 1

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1

2.29 设随机变量ξ具有分布：P(ξ=k)=,k=1,2,3,4,5，求Eξ、Eξ2及

5

E(ξ+2)2。

11

解，Eξ=(1+2+3+4+5)=3，Eξ2=(12+22+32+42+52)=11

55 E(ξ+2)2=Eξ2+4Eξ+4=27 2.30设随机变量ξ具有分布：P(ξ=k)=k1∞ 1

解 Eξ=∑k=∑k

2k=1 2 k=12 Dξ=Eξ2 (Eξ)2=2

2k1

2.31设离散型随机变量ξ的分布列为：P[ξ=( 1)]=k,k=1,2, ，问ξ

k2

k

∞

k 1

2

1

,k=1,2, ，求Eξ及Dξ。 k2

∞

k 1

k21∞2 1

=2，Eξ=∑k=∑k

2k=1 2 k=12

=6

是否有数学期望？

∞∞

2k111

解 ∑|( 1)| k=∑，因为级数∑发散，所以ξ没有数学期望。

k2k=1k=1kk=1k

∞

k

2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量

以相同的概率为1克、2克、…、10克，现有三组砝码：

（甲组）1，2，2，5，10（克） （乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克）

问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？

解 设ξ1、ξ2、ξ3分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有

物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ξ1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 ξ2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 ξ3 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1 1

(1+1+2+2+1+2+2+3+3+1)=1.8 101

Eξ2=(1+1+1+1+2+2+2+3+3+1)=1.7

101

Eξ3=(1+1+2+3+1+2+2+3+4+1)=2

10于是 Eξ1=

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