广东省佛山市2010年普通高中高三教学质量检测（二）数学

广东省佛山市2010年普通高中高三教学质量检测（二）（数学文）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：

1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.b5E2RGbC 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.

V?参考公式: 锥体的体积公式:

1Sh3.其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.p1EanqFD A??y|y?x?1,x?1?B??2,?1,1,2?1．设U?R，集合，，则下列结论正确的是

A．

?A?B???2,?1?

B． D．

(eUA)?B?(??,0)

C．A?B?(0,??)

(e?UA)?B???2,?1????OZ?2

2．设复数z?1?bi（b?R）在复平面对应的点为Z，若

为 A．3

B．?3i

（O为复平面原点），则复数z的虚部

C．?3

D．?1

3．在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则m等于 分组 频数 频率 [100,200] (200,300] (300,400] (400,500] (500,600] (600,700] 10 0.05 30 0.15 B．20

40 0.2

80 0.4 C．30

20 m b a A．10 D．40

?????a?b?4．单位向量a与b的夹角为3，则

A．3 B．1 C．2 5. 已知命题

D．2

p:幂函数的图像不过第四象限，命题q:指数函数都是增函数.则下列命题中为真命题的是

1 / 11

A．(?p)?q

B．p?q

C．(?p)?(?q) D．(?p)?(?q)

6家矿泉水企业参与了竞标. 其中A企业来自浙江省，B、6． 我国西南今春大旱.某基金会计划给与援助，C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自广东省．此项援助计划从两家企业购水，假设每家企

业中标的概率相同．则在中标的企业中，至少有一家来自广东省的概率是DXDiTa9E 413A．5 B．5 C．2 1 D．5

7．已知?,?是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是 A．若l?m,l?n,m??,n??,则l??；

??,m??,则l//?； B．若l//m,l?C．若???,????l,m??,m?l,则m??； D．若???,m??,n??,，则m?n

开始s?0i?1s?s?12i1111?????20的值的一个框图， 8．如图给出的是计算246其中菱形判断框内应填入的条件是

A．i?8? B. i?9? C. i?10? D. i?11? 9. 已知函数

i?i?1否是输出s结束第8题图

f(x)?logax在(0,??)上单调递增，则

A．f(3)?f(?2)?f(1) B．f(1)?f(?2)?f(3)

C．f(?2)?f(1)?f(3) D．f(3)?f(1)?f(?2)

10. 设

x,y满足约束条件

?x?y?1??x?y??1?2x?y?2?34?z?ax?by(a?0,b?0)，若目标函数的最大值为7,则ab的最

小值为

7?437A．4 B． 24 C．7 D．7

二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分）

2 / 11

(一)必做题(11～13题)

11. 两个志愿者组织共有志愿者2400人，现用分层抽样的方法，从所有志愿者中抽取一个容量为160的样本，已知从甲志愿者组织中抽取的人数为150，那么乙志愿者组织志愿者的人数是 ．RTCrpUDG 12. 已知椭圆上一点P到两个焦点之间距离的和为4,其中一个焦点的坐标为(3,0),则椭圆的离心率为_____________.5PCzVD7H 13．已知函数

f(x)?ax?1?2a(a?0,且a?1)有两个零点,则a的取值范围是_______.

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在极坐标中，已知点P为方程

C E F A

的最小值为____________．

第15题图

???Q?2,???cos??sin???1所表示的曲线上一动点?3?，

则

PQB 15．（几何证明选讲）如图,以AB?4为直径的圆与△ABC的两边 分别交于E,F两点，?ACB?60，则EF? .

?三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）.

已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)的一系列对应值如下表：

x y

??4 0 1 ?6 12 ?4 0 ?2 ?1 3?4 0 0 （Ⅰ）求f(x)的解析式；

（Ⅱ）若在?ABC中，AC?2，BC?3，

17．（本题满分12分）

f(A)??12，求?ABC的面积．

f(x)?已知函数

13x?ax2?bx(a,b?R)3在x??1时取得极值.

3 / 11

（I）试用含a的代数式表示b； （Ⅱ）求f(x)的单调区间.

18．（本题满分14分）

CE?平面ABC，AC?AD?AB?1，BC?2，如图所示，AD?平面ABC，凸多面体ABCED1的体积为2，F为BC的中点．

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE； （Ⅱ）求证：平面BDE?平面BCE．

19．（本题满分14分）

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了

第18题图

24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清.jLBHrnAI 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元.凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元.xHAQX74J （Ⅰ）若凌霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；

（Ⅱ）当x?50时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月

3000元的基本生活费？

181920211.05?2.406,1.05?2.526,1.05?2.653,1.05?2.786） （参考数据：

20．（本题满分14分）

4 / 11

x2y2C2:2?2?1(a?0,b?0)2C:y?8xab1如图，抛物线与双曲线有

公共焦点

F2，点A是曲线C1,C2在第一象限的交点，且AF2?5.

C2的方程；

（Ⅰ）求双曲线 （Ⅱ）以

F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，

22(x?2)?y?1．已知点P(1,3)，过点P作互相垂 N圆：

直且分别与圆M、圆N相交的直线1和2，设1被圆M截

lllsl得的弦长为s，2被圆N截得的弦长为t． t是否为定值？

请说明理由．

21．（本题满分14分）

1??1P?,f(?)?n?1*?C:f(x)?x(n?N)22?处的切线与y轴交于点Qn(0,yn). 设曲线n在点?（Ⅰ）求数列（Ⅱ）设数列

{yn}的通项公式；

{yn}的前n项和为Sn，猜测Sn的最大值并证明你的结论.

参考答案

5 / 11

一、选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B C A A C B D 二、填空题 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

30?a?1611．150 12．2 13．

2 14．2 15．2 三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 16．（本题满分12分）

T?3?解：（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，函数f(x)的周期为

4??4??，

??2?所以

??2. ……………………………………………………2分

sin(2?(??)??)?0????2k?(?kZ)注意到4，也即

2，由

0???????2 ………………………………4分LDAYtRyK f(x)?sin(2x??所以函数的解析式为

2)（或者f(x)?cos2x） ……………………5分 f(A)?cos2A??1（Ⅱ）∵

2A??A?2?，∴3或3 …………………………………6分

A??BC3?AC当

时,在?ABC中，由正弦定理得，sinAsinB，

2?3sinB?AC?sinA23∴

BC?3?3， ………………………………………7分

?∵BC?ACB?A?，∴

3cosB?6，∴

3， ………………………………………8分

sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?3∴

2?63?12?33?32?36，…9分

S?1?AC?BC?sinC?1?2?3?32?332?3∴?ABC226?2． …………………10分

6 / 11

所以

，

A?同理可求得,当

2?1132?332?3S?ABC??AC?BC?sinC??2?3??3时,2262

………12分

（注：本题中第一问由于取点的不同而导致求周期和?方法众多，只要言之有理并能正确求出即给分）.

17．（本题满分12分）

2?f(x)?x?2ax?b ……………………………………………1分 解：（ I ）依题意，得

? 由于x??1为函数的一个极值点，则f(?1)?1?2a?b?0，得b?2a?1 ……3分

f(x)?（Ⅱ）由（I）得

13x?ax2?(2a?1)x3，

2?f(x)?x?2ax?2a?1?(x?1)(x?2a?1) 故

? 令f(x)?0，则x??1或x?1?2a …………………………………………5分

由于?1?(1?2a)?2a?2?2(a?1) ①当a?1时，1?2a??1

? 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (??,1?2a) (1?2a,?1) (?1,??) ? ? ? ? ? ? 由上表可得，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和(?1,??)，单调减区间为(1?2a,?1)；………8分

??②当a?1时，1?2a??1，此时，f(x)?0恒成立，且仅在x??1处f(x)?0，故函数f(x)的单调区

间为R； …………………………………………………9分Zzz6ZB2L ③当a?1时，1?2a??1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)，单调减区间为

(?1,1?2a) …………………………………………………11分dvzfvkwM 综上：当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和(?1,??)，单调减区间为(1?2a,?1)； 当a?1时，函数f(x)的单调增区间为R；

7 / 11

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)，

单调减区间为(?1,1?2a) …………………………………………………12分 18．（本题满分14分）

证明：（Ⅰ）∵AD?平面ABC，CE?平面ABC， ∴四边形ACED为梯形，且平面ABC?平面ACED，

222BC?AC?AB∵，∴AB?AC， …………………………………………………2分

∵平面ABC?平面ACED?AC

∴AB?平面ACED，即AB为四棱锥B?ACED的高，……………………………… 4分

1111VB?ACED??SACED?AB???(1?CE)?1?1?3322， ∵

∴CE?2， ……………………………………………… 6分 作BE的中点G，连接GF，GD， ∴GF为三角形BCE的中位线，

1GF?CE?DA2∴GF//EC//DA，，……………… 8分

∴四边形GFAD为平行四边形，

∴AF//GD，又GD?平面BDE，∴AF//平面BDE．………………………………10分 （Ⅱ）∵AB?AC，F为BC的中点，

∴AF?BC，又GF?AF，∴AF?平面BCE， ………………………………… 12分 ∵AF//GD，∴GD?平面BCE， 又GD?平面BDE，

∴平面BDE?平面BCE． ………………………………… 14分 19．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为

an构成等差数列，其中a1?500?x，公差为

x. ……………………………………………… 2分rqyn14ZN 8 / 11

从而，到第36个月，凌霄共还款

12?500?24a1?24?(24?1)?x2 ………………… 4分

12?500?(500?x)?24?令

24?(24?1)?x?240002，解之得x?20（元）. ………6分

即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元. ……………… 7分 （Ⅱ）设凌霄第n个月还清，则应有

12?500?(500?50)?(n?12)?(n?12)?(n?12?1)?50?240002 ………………… 8分

整理可得n?3n?828?0，解之得

2n?3?3321?302，取n?31. ……………… 10分

即凌霄工作31个月就可以还清贷款. 这个月凌霄的还款额为

24000?[12?500?(500?50)?(30?12)?19(30?12)?(30?12?1)?50]?4502元………………… 12分

第31个月凌霄的工资为1500?1.05?1500?2.526?3789元.

因此，凌霄的剩余工资为3789?450?3339，能够满足当月的基本生活需求. ……14分 20．（本题满分14分）

2C:y?8x的焦点为F2(2,0)， ………………………………… 1分 1解：（Ⅰ）∵抛物线

∴双曲线

C2的焦点为F1(?2,0)、F2(2,0)， …………………………………2分

2A(x,y)C:y?8x上，且AF2?5， 001设在抛物线

由抛物线的定义得，

x0?2?5，∴x0?3， ………………………………………3分

2y?8?3，∴y0??26， ……………………………………………… 4分 0∴

∴

|AF1|?(3?2)2?(?26)2?7， ……………………………………………… 5分

又∵点A在双曲线上，

由双曲线定义得，2a?|7?5|?2，∴a?1， ………………………………………… 6分

y2x??13∴双曲线的方程为：． …………………………………………… 7分

29 / 11

s（Ⅱ）t为定值.下面给出说明. …………………………………………… 8分

222(x?2)?y?rM设圆的方程为：，双曲线的渐近线方程为：y??3x，

∵圆M与渐近线y??3x相切，∴圆M的半径为

r2?231?(3)2?3， ………9分

22(x?2)?y?3， ………………………… 10分 M故圆：

l设1的方程为y?3?k(x?1)，即kx?y?3?k?0，

1y?3??(x?1)lk设2的方程为，即x?ky?3k?1?0，

∴点M到直线1的距离为

ld1?|3k?3|1?k2，点N到直线l2的距离为

2d2?|3k?1|1?k2，……………… 11分

?3k?3?63k?6k2s?23????22?2?1?kl1?k??∴直线1被圆M截得的弦长， ………………12分 ?3k?1?23k?2k2t?21????22?2?1?kl1?k?? 直线2被圆N截得的弦长，…………………13分

s63k?6k26(3k?k2)???322t23k?2k2(3k?k)s，故t为定值3． …………………… 14分

2∴

21．（本题满分14分）

/n*?f(x)?(n?1)x(n?N), ………………………… 1分 解：（Ⅰ）

?1?kn?(n?1)????2?, ………………………… 2分 ∴点P处的切线斜率?1?y?????2?∴切线方程为:

?1?yn?????2?令x?0得:

n?1n1?1??(n?1)???(x?)2, ………………………… 3分 ?2?n?1?1?n?1??????yn?????2?2?,故数列{yn}的通项公式为:2?2?.

…………… 4分

nnnn?11?1?2?1?3?1?n?1?Sn??????????????????????2?2?2?2?2?2?2?2?------① (2)

10 / 11

23n

11?1?2?1?3?1?n?1?1??Sn???????????????????????2?2?2?2?2?2?2?2?两边同乘2得:223n234n?1------②

n?131?1?1?1?1?1?1?1?n?1??sn???????????????????????????2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?①?②得: 2

……………… 6分

?1??1??1??1??1??3Sn???????????????????n?????2??2??2??2??2?1?1??????2?2??11?2n?1n?123nn?1

?1??n?????2??1?1????n?112????n???????3?2?

nn?1?2?3n?1?Sn???????1?9?2?2???? …………………… 8分 ∴

其中猜测

S1?y1??131S3??S4??4, S2?y1?y2?0,16,16

Sn的最大值为S2?0.证明如下: …………………… 10分

n?1?2?3n?1?Sn???????1??092?2????? (i)当n为奇数时，； …………………… 11分

1?2?3n?3n8?3nSn???n?1?1?h(n)?2?h(n?2)?9?2?,设2n?1,则2n?3. (ii)当n为偶数时，h(n?2)?h(n)?8?3n2?3n9n????02n?32n?12n?3, ∴h(n?2)?h(n). …………… 13分

h(n)?故

2?3n2n?1的最大值为h(2)?1,即Sn的最大值为S2?0. ………………… 14分

11 / 11

11?1?2?1?3?1?n?1?1??Sn???????????????????????2?2?2?2?2?2?2?2?两边同乘2得:223n234n?1------②

n?131?1?1?1?1?1?1?1?n?1??sn???????????????????????????2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?①?②得: 2

……………… 6分

?1??1??1??1??1??3Sn???????????????????n?????2??2??2??2??2?1?1??????2?2??11?2n?1n?123nn?1

?1??n?????2??1?1????n?112????n???????3?2?

nn?1?2?3n?1?Sn???????1?9?2?2???? …………………… 8分 ∴

其中猜测

S1?y1??131S3??S4??4, S2?y1?y2?0,16,16

Sn的最大值为S2?0.证明如下: …………………… 10分

n?1?2?3n?1?Sn???????1??092?2????? (i)当n为奇数时，； …………………… 11分

1?2?3n?3n8?3nSn???n?1?1?h(n)?2?h(n?2)?9?2?,设2n?1,则2n?3. (ii)当n为偶数时，h(n?2)?h(n)?8?3n2?3n9n????02n?32n?12n?3, ∴h(n?2)?h(n). …………… 13分

h(n)?故

2?3n2n?1的最大值为h(2)?1,即Sn的最大值为S2?0. ………………… 14分

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