实数完备性基本定理的内在关系

实数完备性基本定理的内在关系

实数完备性基本定理的内在关系

摘要：实数集的一个基本特征是实数集的完备性，它是微积分学的坚实的理论

基础.可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理，在本文中就给出了六个实数集完备性基本定理.柯西收敛准则、确界原理、有限覆盖定理、区间套定理、单调有界定理、致密性定理以不同的方式从不同的侧面反映了实数集的一种特性——完备性.本文采用不同的角度来说明它们的等价性和侧重点，又用几个定理分别证明了一个命题，让我们获得了对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解.

关键词：实数；完备性；基本定理；等价性

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实数完备性基本定理的内在关系

一．预备知识：

实数理论是数学分析的理论基础, 而实数系完备性定理又是实数理论中的重要内容之一.本论文将在此基础上讨论有关实数完备性的基本定理的内在关系。

有理数集并非拓扑完备，例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列却没有有理数极限，但它却有个实数极限.实数集是有理数集的空备化——这亦是其中一个构建实数集的方法.

在数学分析课中我们学习了有关实数系完备性的六个基本定理, 即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖原理、致密性定理、柯西收敛准则.这六个定理从不同侧面以不同的方式反映了实数系的一种特性——完备性, 这种特性是有理数系所不具有的.

那么到底什么是完备性，我们下面将作出解释：

关于实数集R的完备性（或连续性），直观地说，就是实数铺满整个数轴，即一条连续直线.也可以说实数可与数轴建立一一对应关系—— 实数的完备性等价于欧基里德几何的直线没有“空隙”.

实数完备性一般是指一下六个定理[1]：

定理1（确界原理）：设S为非空实数集，若S有上(下)界，则集合S在R中存在上(下)确界.

定理2（单调有界定理）：任何单调有界数列必定收敛． 定理3（区间套定理）：设{[an,bn]}为一区间套：

.1[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2...,2.lim(bn?an)?0.n??

则存在唯一一点??[an,bn],n?1,2...

定理4（有限覆盖定理）：设H?{[?,?]}是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，即[a,b]中每一点都含于H中至少一个开区间(?,?)内．则在H[a,b]中必存在有限个开区间，它们构成[a,b]的一个有限开覆盖．

定理5（致密性定理）：任何有界数列必有收敛子列.

定理6（柯西准则）： 数列{an}收敛的充要条件是：???0,?N??，只要

n,m?N恒有|am?an|??．

实数集?的完备性可以用确界原理直观的来解释.

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实数完备性基本定理的内在关系

如图1-1所示，设S和S'是R中两个非空点集，S?S'??,S?S'?R且满足：

?x?S,?y?S',必有x?y. 显然S有上界，故依确界原理，S存在实数点的上确界??supS.

如果S存在最大元，则?就是该最大元；如果S不存在最大元，则S的全体上界的集合即为S'，由上确界就是最小上界的定义，故?就是S'中的最小元.这样就证得：或者S存在最大元，或者S'存在最小元；也就是说，S和S'之间不会有空隙.再由S和S'在数直线上所处位置的任意性，“实数铺满整个数轴”这一重要结论便得到确认. 二.等价性与内在关系

证明若干个命题等价的一般方法.即循环论证，当然也可以用其他的方法进行，下面我们按循环论证[2]来进行实数完备性基本定理等价性的证明，框架图所示：

定理1（确界原理） 定理2 (单调有界定理)

定理3 (区间套定理)

定理6 (柯西准则)

定理4 (有限覆盖定理)

定理5 (致密性定理))

由于很多文献中都对这一循环证明有详细介绍，我们这里将不再对证明进行重复[3]：

在证明过程中从确界原理出发,循环证明了这六个定理.这几个定理中, 区间套定理是由一个闭区间套{[an,bn]}，???[an,bn] 确定唯一点?,

n?1? 3

实数完备性基本定理的内在关系

????[an,bn]，换句话说, 如果一切[an,bn]都具有某种共同性质, 则由于?的任

n?1意邻域含有[an,bn] , 所以?的局部也具有该性质, 简单地说这个定理可以把整体性质收缩到局部—— 某点的邻域.

有限覆盖定理与致密性定理, 它们描述的性质通常称作紧性.有限覆盖定理形式上说的是无穷转化为有穷: 若闭区间能被某个开区间族覆盖, 则它能被有限个开区间所覆盖.正是通过这种无穷到有穷的转化, 它常常可以把闭区间

[a,b]上每点所具有的局部性质转化为整个闭区间上的整体性质.

下面我们简单的说明基本定理的侧重点[4]：

确界原理——分析、函数论中的重要角色，量变到质变的转折点，客观事物性质的数学表达；

单调有界定理——几何意义十分明显；

区间套定理——将“整体”局部化，“化整为零”；

聚点定理——“化整为零”的另一途径，整体性态—收敛子列—局部性态； 有限覆盖定理——闭集的本质属性，局部到整体； Cauchy准则——从运算上讲，极限在实数集合内是封闭的.

在以上六个等价命题中，最便于推广至Rn中点集的，当属致密性定理与有限覆盖定理．实数完备性定理深刻剖析了实数域的完备结构；突出了存在性问题的研究；克服了极限方法上的局限性[5].

三：完备性的应用

实数完备性定理是研究函数性质的有力工具.由于这些定理的等价性，只要能用一个定理可以解决“某性质”的证明，则原则上用其他的五个定理也能证明这一性质.但由于选取的定理不同，证明的难易程度很不一样.下面我们举一个事例来说明这个问题.

（一）.问题1[6]

设函数在f(x)上[a,b]只有第一类间断点（可以有无穷多个）证明 f(x)在上[a,b]有上界.

1.用致密性定理作反证

证明：若f(x)在[a,b]上无界，则对?n?N可找到xn?[a,b]，使得. |f(x|nn)?

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因{xn}?[a,b]为有界数列，故其必有收敛子列{xnk}，可记为

limxnk?x0?[a,b]

k??可证明当x?x0时f(x)是无界，从而点x0不是f(x)在[a,b]上的第一类间断点.

2.用确界原理证明 证明：构造数集

E?{x|f(x)在[a,x]上有界，a

因lim?f(x)存在，可知f(x)在点x?a的某右邻域(a,a??)内有界.

x?a任取x?(a,a??)，则f(x)在[a,x]上有界，从而数集E非空，且有上界b，故其必有上确界. 记为

??supE.

再证明??b.

往证??b.用反证法，显然??b. 若??b时，?Tn?E，使得

Tn??(n??).

利用题设条件函数中只有第一类间断点的存在U(?,?)使得函数 在邻域内有界.

又因为?x?(???,?)，f(x)都有界.

所以函数在[a,?]上有界所以??E，显然在[a,???]函数f(x)有界.所以?不是f(x)的上确界.产生矛盾，所以假设不成立即得到

??b，

这样就证明了定理.

3.用区间套定理作反证[7]

分析：用二等分区间法构造区间套{[an,bn]}，使 f(x)在每个 [an,bn]上均无

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界.由区间套定理可“套”出一点x0?[a,b].可证明当x?x0时f(x)无界

证明：假设f(x)无界.[a,b]将二等分，则必有一个区间使得f(x)在其上无界.假设在[a,a?ba?b]函数无界，记上述小区间[a,]为[a1,b1]，再将[a1,b1]二等22分，如此继续???，便得出闭区间列{[an,bn]}，由区间套定理可“套”出一点

x0?[a,b].可证明当x?x0时f(x)无界.

这就与函数只有第一类间断点相矛盾，假设不成立. 4.用有限覆盖定理证明

分析： 对?x'?[a,b] ，先证 ??'?0 ，使f(x)在U(x',?') 内有界.再利用有限覆盖定理.将无穷多个“界”转化为有限个“界”来处理，其中最大的那个就是f(x)在[a,b]上的界[8].

证明：因为f(x)在?a,b?上每点存在左右极限,由函数极限的局部有界性,

?x0??a,b?,?U(x;?x)与Mx?0,使得

?t?U(x;?x),f(t)?Mx.

所有这种领域的集合

H??U(x;?x)x??a,b??，

成为?a,b?的一个开覆盖;由有限覆盖定理,存在?a,b?的有限开覆盖

~H?Uxi;?xi1?i?n?H.

????~~maxHH????若取M?1,则因覆盖了,对中每一,它必属于中某一领域a,ba,bMx?i?nx1U?xk;?xk?,于是

f(x)?Mxk?M.

所以函数有界.

很明显虽然四个定理都能证明这一命题，但证明的难易程度不一样，证法一较为简单 .所以在实际应用实数完备性定理证明时，要注意定理的选取.

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实数完备性基本定理的内在关系

参考文献：

[1] 毛羽辉.数学分析选论[M].上海：科学出版社，2003.

[2] 李成章、黄玉民.数学分析第二版[M].上海：科技出版社，1999： 第三章. [3] 陈纪修.数学分析[M].北京：高教出版社，1999：第三章. [4] 陈传璋.数学分析[M].北京：高教出版社，1987： 第三章. [5] 吉米多维.数学分析习题集[M].安徽：人民出版社，2005. [6] 张筑生.数学分析新讲[M].北京：北京大学出版社，1990. [7] 江泽坚、孙善利.泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2006. [8]（美）克来因.今数学思想(第三册)[M].上海: 科学技术出版社, 1984.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rxq3.html