实数系基本定理的等价性证明

实数系基本定理的等价性证明

实数系基本定理的等价性证明

邹宏运 20091101342

数学科学学院 数学与应用数学专业 2009级汉班 指导教师 刘官厅

摘 要 说明了确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理这六个定理是等价的.也就是说，以这六个定理中的任意一个作为公理都可以推出另外五个.本文把闭区间套定理作为公理，证明了这六个定理之间是相互等价的. 关键词 上、下确界、闭区间套、有限覆盖、收敛、等价性

在数学分析课程中我们学习了实数系的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理和有限覆盖定理.实数系这六个基本定理是相互等价的，即以其中任何一个定理作为公理都可推出另外五个定理.

在《数学分析》教材中，一般都是以确界原理作为公理，然后去证明其余

的五个定理.我们现以“闭区间套定理”作为公理，然后去推证其余的五个定理，并证明这六个定理是等价的.

六个定理的顺序：

① 确界原理 ② 单调有界定理 ③ 闭区间套定理 ④ 致密性定理 ⑤ 柯西收敛原理 ⑥ 有限覆盖定理 按以下顺序给予证明：

③ ⑥ ④ ⑤ ① ② ③ 1 闭区间套定理 有限覆盖定理 1 闭区间套定理 若闭区间列 an,bn 满足： ① an,bn an 1,bn 1 ，n=1,2,3, ； ②lim bn an =0 ；

n

则存在唯一 ，使得liman=limbn= ， 是所有区间的唯一公共点.

n

n

有限覆盖定理 若开区间所成的区间集E覆盖一个闭区间 a,b ，则总可从E中

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选出有限个区间，使这有限个区间覆盖 a,b .

证明 用反证法 设 a,b 不能被E中有限个区间所覆盖.等分区间 a,b 为两个区间，则至少有一个部分区间不能被E中有限个区间所覆盖，把这一区间记为

a1,b1 .再等分 a1,b1 ，记不能被E中有限个区间所覆盖的那个部分区间为

a2,b2 .照这样分割下去，得到一个区间列 an,bn ，这区间列显然适合下面两

个条件：

（i） 每一 an,bn 皆不能被E中有限个区间所覆盖；

（ii） a,b a1,b1 a2,b2 ；

（iii）bn-an=

b a

→0； n2

有条件（ii）及（iii），于是由闭区间套定理，必有唯一点 a,b 使an→ ，

bn→ .按覆盖概念及定理所设条件，在E中至少存在一个开区间，设为 , ，使

, 即 ＜ ＜ 有数列极限的性质知道， 正整数N，当n＞N时，有 ＜an＜bn＜ 即当n＞N时，有

an,bn ,

也就是用E中一个区间 , 就可覆盖所有形如 an,bn ﹙n＞N﹚的区间，与（i）矛盾. 定理证毕

2 有限覆盖定理 致密性定理 2 致密性定理 有界数列必有收敛的子列.

证明 设 xn 为有界数列，a是它的一个下界，b是它的一个上界，于是下列两种情形之一成立：

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（i） a,b ，使在 的任何邻域中都有 xn 的无穷多项；

（ii）对任何x a,b ，都存在x的一个邻域 x x,x x ，使其中只含 xn 的有限多项.

如果（ii）成立，则开区间族 x x,x x x a,b 构成 a,b 的一个开覆盖.于是由有限覆盖定理知，其中必有有限子覆盖.由于每个区间中都只含 xn 的有限多项，故有限个开区间之并也只含 xn 的有限多项.但另一方面又应该包含

xn 的所有项，矛盾.这表明（ii）不能成立，即必是（i）成立.

11

, 考察 的邻域序列 .由（i）知，每个邻域中都含有 xn 的 nn

11

无穷多项.首先在区间 1, 1 中取一项，记为xn1，然后因 , 中

22

含 xn 的无穷多项，故可在其中取得下标大于n1的一项记为xn2，一般地，当

11 11

由于 , xnk , 取定之后， 中含有 xn 的无穷多项，

kk k 1k 1

故又可在其中取得下标大于nk的一项记为xnk 1。这样就可以得到子列xnk，满足条件

a xnk＜

n

1

，k=1,2,3, k

当然有limxnk= ，即xnk是收敛的子数列. 定理证毕

3 致密性定理 柯西收敛原理

柯西收敛原理 数列 xn 有极限的必要与充分条件是： ＞0， 正整数N,当

m,n≥N时，有

xn xm＜ 证明 首先证明条件的必要性：

设xn→a，则 ＞0， 正整数N，当k≥N时，有

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xk a＜从而当m,n≥N时，有

2

xn xm≤xn a+a xm＜其次，证明条件的充分性：

+= 22

首先，证明满足条件的任何数列必有界，从所设条件，取 =1必 正整数N0，当m,n≥N0时，有

xn xm＜1 特别的，当n＞N0且m=N0+1时，有 xn xN0 1＜1 从而当n≥N0时，有

xn≤xn xN0 1+xN0 1＜1+xN0 1

il这就证明了 xn 的有界性，由致密性定理知，必有收敛的子列xnk，设m

n

xnk=a，

根据子列收敛定义， ＞0， 正整数K，当k＞K时,有 xnk a＜

取一正整数k0=max K 1,N 1 ,于是k0＞K且nk0≥nN 1≥N+1＞N，因此当n＞N时，有已知条件有xn xnk0＜ ，所以

xn a≤xn xnk0+xnk a＜ + =2

0即 limxn= a

n

定理证毕

4 柯西收敛原理 确界原理

确界原理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 单调有界定理 单调数列有极限.

证明 设S是有上界的集合，取实数b1，使对所有x S，都有x＜b1.取a1 S

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并考察区间 a1,b1 的中点

a1 b1a ba b

.若11是S的上界，则令a2=a1，b2=11；222

若

a1 b1a b

不是S的上界，则令a2=11，b2=b1.于是总可得到区间 a2,b2 ，使22

b1 a1

. 2

得b2是S的上界. a2,b2 中有S的点且b2-a2=

再对闭区间 a2,b2 进行同样的处理，又可得到闭区间 a3,b3 a2,b2 ，使得b3是S的上界， a3,b3 中有S的点且b3-a3=

b2 a2b1 a1

=. 2

22

继续这个过程，可以得到一个闭区间的序列 an,bn ，满足下列条件：

（i） an,bn an 1,bn 1 ，n=1,2,3, ；

（ii）bn-an=

b1 a1

，n=1,2,3, ； n 1

2

（iii） 对每个n N, bn是S的上界且 an,bn S≠Ø； 由（i）和（ii）知，当m＞n时，有 bm bn=bn-bm＜bn-an=

b1 a1

. n 1

2

n

可见，数列 bn 为柯西列. 由柯西收敛原理知 bn 收敛.设limbn=M.

对任何x S和任何n N，均有x≤bn,所以有x≤M，即M是S的上界. 另一方面， ＞0，由于lim bn an =0，故有n0，使得bn0-an0＜ .又因bn0

n

≥M，故有

an0＞bn0- ≥M- .

由（iii）知an0,bn0中有S的点，这表明M- 不是S的上界，所以M是S的上确界. 定理证毕

5 确界原理 单调有界定理

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单调有界定理 单调数列有极限.

证明 设 yn 是单调增加的有界数列，则必有上确界 sup yn .由上确界的定义有：（i）yn≤ ﹙n=1,2,3, ﹚. （ii） ＞0,在 yn 中至少有一数yN，有yN＞ - ，但由于 yn 是单调增加数列，因此当n≥N时，有yn≥yN，从而yn＞ - ，也就是说，当n≥N时，有 0≤ -yn＜ 所以 yn→

同理 单调减少有界数列的极限就是它的下确界.

定理证毕

6 单调有界定理 闭区间套定理 证明 由条件①可得

a1≤ ≤an 1≤an＜bn≤bn 1≤ ≤b1

显然 an 单调增加有上界b1， bn 单调减少有下界a1，由单调有界定理知

an 与 bn 都收敛.

设liman= 则

n

limbn=lim bn an an =lim bn an +liman=

n

n

n

n

由于 是 an 所构成数集的上确界，也是 bn 所构成数集的下确界.于是有 an≤ ≤bn，n=1,2,3,

即 属于所有闭区间 an,bn .

若另有实数 所有闭区间 an,bn ，则也有 an≤ ≤bn，n=1,2,3, 令n ,由极限的夹逼性得到

=liman=limbn=

n

n

实数系基本定理的等价性证明

此及说明满足定理结论的实数 是唯一的. 定理证毕

通过以上的证明，说明了上述六个定理是等价的，即从其中任何一个定理出发都可以推断出其他的定理.所以，这六个定理中的每一个都可以称为实数系的基本定理.

参考文献

[1] 陈传璋.金福临.朱学炎.数学分析.上册.第二版.高等教育出版社，1983.7. [2] 李成章.黄玉民.数学分析.上册.第二版.科学出版社，2007.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gayh.html