线性方程组解法的探究

线性方程组解法的探究

摘 要线性方程组源自于生活中一些未知元素的一系列特定的关系而转化成的

一组数据关系。对其进行求解可以解决一些方案的设计问题，例如给以新品的开发的多种原料的成分设计提供多种不同的配方。本文将以多种方法对线性方程组求解，并讲诉线性方程组的类别。

关键词

齐次线性方程组 非齐次线性方程组 克拉默（Cramer）法则

Gauss消去法 广义逆矩阵 减号逆矩阵 增广矩阵 矩阵的初等行变换 矩阵的秩

引言

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。一些极大的方程组通常会用迭代法来解决。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。广义逆的思想可追溯到1903年（E.）I.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆（他称之为伪逆）。1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展。曾远荣在1933年，F.J.默里和J.冯·诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。20世纪50年代围绕着某些广义逆的最小二乘性质的讨论重新引起了人们对这个课题的兴趣。1951年瑞典人A.布耶尔哈梅尔重新发现了穆尔所定义的广义逆，并注意到广义逆与线性方程组的关系。

1.线性方程组 1.1线性方程组的类别

a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1ax+a22x2+?+a2nxn=b2一般线性方程组 211 （I）

……

am1x1+am2x2+?+amnxn=bm

当b1,b2…bn都等于零时得到

a11x1+a12x2+?+a1nxn=0ax+a22x2+?+a2nxn=0齐次线性方程组 211 (II)

……

am1x1+am2x2+?+amnxn=0

1.2线性方程组解的判断

将线性方程组的系数写成矩阵形式

a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n ? b1a21 a22 … a2n

= a21 a22 … a2n ? b2 A= ………………….. , A

………………….. ? ?

am1 am2 … amn am1 am2 … amn ? bm

）,则该方程组无解； （I）若秩（A）≠秩（A

）=r=n（未知量个数）（II）若秩（A）=秩（A，则该方程组有唯一解，对齐次

方程组来说就是有唯一的零解；

）=r

次方程组来说有非零解。

特别地当m=n时，（II） aij ≠0（克拉默法则包含其中），（III）对齐次

n

方程组而言， aij =0.

n

2.克拉默（Cramer）法则 2.1求解对象范围

(I)针对含有n个未知量的n个线性方程的方程组，可借助n阶行列式求解； （II）D≠0，才可用克拉默法则求解。

设含有n个未知量的n个线性方程的方程组为

a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1ax+a22x2+?+a2nxn=b2 211

……

an1x1+an2x2+?+annxn=bna11 a12 … a1na21 a22 … a2n

由未知量系数组成的n阶行列式 D= ? ? ?

an1 an2 … ann

2.2求解方法

若D≠0，则该线性方程组有唯一解，且解可用行列式表示为 x1=D1,x2=D2,…,xn=Dn,

其中Dj（j=1,2，…,n）是把系数行列式D中第j列元素用方程组右端相应的常数项代替而得到的n阶行列式，即

a11 … a1,j?1 b1 a1,j+1 … a1na … a2,j?1 b2 a1,j+1 … a2nDj= 21 .

? ? ? ? ?an1 … an,j?1 bn a1,j+1 … ann

对于齐次线性方程组当D≠0时，由于Dj=0（j=1，1,2，…,n）,所以该线性方程组有唯一的零解，即x1=0,x2=0,…,xn=0.

D

D

D

3.Gauss消去法

3.1高斯消去法的基本思想

（I）将原方程组逐次消去未知量，变成与之同解的上三角方程组，再回代求解（II）用矩阵语言叙述，上述过程是使用初等行变换把增广矩阵约化为上三角矩阵，使用上三角方程组回代求解。

3.2高斯消去法的一般性叙述

a11 a12 … a1n b1a11 a12 … a1n b1

(2）(2)(2）a a … a2n b2

2122 →（一系列的行变换）→ 0 a22 … a2n b2 ? ? ? ? ? ? ? ? am1 am2 … amn bm(n)(n)

0 0 … ann bn

根据下面的上三角方程组，逐次回代求解xk

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a(2)x + …+ a(2）x = b(2)

22

2

2n

n

2

(1)

(1）

(1)

(1）（1）

(1)

(1)

(1)

? ? ? (n?1)(n?1)(n?1) ax+ ax = bn?1n n?1,n?1n?1,nn?1

(n)(n)

annxn = bn

回代过程：（i）xn=bn ann(k=n-1,n-2,…,1)

(n)

(n）

; (ii). bk? nj=k+1akjxj akk

(k)(k）(k)

4.广义逆矩阵

4.1广义逆矩阵的基本概念

设A∈Cm×n为任意复数矩阵，如果存在复数矩阵G∈Cn×m，满足

AGA=A (I); GAG=G (II); (GA)H=GA (III); (AG)H=AG （IV）， 四个方程的全部或一部分，则称G为A的一个广义逆矩阵，并把以上的四个方程叫做穆尔-彭诺斯(M-P)方程，满足四个时，称G 为A的穆尔-彭诺斯广义逆，记为G∈ 1,2,2,3,4 ，一般地，G满足四个M-P方程式中的第i1，i2…ik(1≤k≤4)个，则称G为A的一种弱逆，记为G∈A{i1，i2，…ik}。

由此可见一个矩阵可以有15类广义逆矩阵，然本文将只讲述A{1}，其称为减号逆，记为A?.

4.2 A{1}-广义逆矩阵A? 4.2.1 A?的定义

设A为一个m×n的复矩阵，若有一个n×m复矩阵G存在，满足AGA=A，则A的减号广义逆矩阵A?=G，即有AA?A=A

4.2.2 A?的存在性以及计算方法

设A是m×n矩阵，秩（A）=r,非奇异矩阵P∈Cm×m，Q∈Cn×n使得

EG12E0

PAQ= r ,则A的减号逆矩阵存在，且可以表示为A?=Q r P,

G21G2200其中G12，G21，G22分别是r×(m-r),(n-r)×r,(n-r)×（m-r）的任意矩阵。

4.3 广义逆在解线性方程组中的应用 4.3.1线性方程组求解问题的提法

考虑非齐次线性方程组AX=b，其中A∈Cm×n，b∈Cm给定，而X∈Cn为未知量，

若秩（A?b）=秩（A），则方程组有解，此时称方程组是相容的；否则无解。根据m=n是其解可写作X=A?b，类推出当m≠n时也可以用某个矩阵G把方程组的一般解（无穷多）表示成X=Gb的形式，而这个G正好是A的减号逆矩阵。

4.3.2 相容方程组的通解

如果线性方程组AX=b是相容的，A?是A的任一个减号逆矩阵，则线性方程组的一个特解可表示成X=A?b，而通解可表示成X=A?b+ E?A?A Y, 其中，Y是与X同维的任意向量。

证明 因为AX=b相容，所以必有一个n维向量x ，使得Ax =b成立，又由于A?是

A的一个减号逆，所以AA?A=A,则有AA?Ax =Ax ，亦即AA?b=b，由此得出X=A?b是方程组的一个特解，其次，将通解两端左乘A，则有AX=AA?b+A(E-A－A)Y=AA－b=b．所以，其通解可确定为方程组的解。

4.3.3 例题

x1+2x2?x3=1的通解，

?x2+2x3=21 2?11

解 A= ，b= ，由于秩（A?b）=秩（A）=2，所以相容，且可得

0 ?122求线性方程组

5 4

A=A(AA)=14 6 2 ,故所求方程组的通解为：

3 8

?

T

T?1

1

13?3

X=A?b+(E-A?A)Y=14 10 +C 2 (其中，C为任意常数)

191

1

5.结束语

对于线性方程组，我们知道有多种不同特征的存在，而对不同的线性方程

组，我们的求解的方法有许多种，并且我们可以找到针对各不同的方程组的最简便的求解方法，如今我们还可以通过编程用软件来求解线性方程组，任何的问题的解答方法不会是唯一的。

参考文献

1.《线性代数简明教程》陈维新著，科学出版社，2008年1月第2版

2.《矩阵论引论》田振际 王永铎 吴德军著，科学出版社，2013年3月第1版 3.《线性代数学习辅导》侯亚军著，机械工业出版社，2014年2月第1版 4.《数学手册》盛祥耀 胡金德 陈魁 杨莉军著，清华大学出版社，2015年1月第1版

叶小倩 物理143 14180313

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/saj6.html