高中数学必修1“函数单调性”教学研究

专题讲座

高中数学必修1“函数单调性”教学研究

( 第一讲 )

王尚志：首都师范大学 教授 张思明：北京大学附属中学 特级教师 辛华：北京经济技术开发区实验学校 中学高级

王肖华：北京市第十九中学 中学高级

张思明：各位老师大家好！欢迎各位老师参加高中数学新课程远程研修，我们在这里首先向大家介绍一下今天参加研修的几位嘉宾，最右边那位是首都师范大学数学系的博士生导师，也是我们高中数学课程标准的主要研制者之一的王尚志教授，中间这位是北京经济技术开发区实验学校的辛华老师，我身边这位是北京第十九中学的王肖华老师，欢迎各位到我们课堂里来跟老师们做交流。 我们这一讲的主题是通过函数单调性的教学设计来展现高中数学新课程里设计的过程，我们首先请王老师为大家分析一下为什么在第一模块这么多内容里，首先选定了单调性作为第一个课例。

王尚志：我先来介绍一下我们设计的想法。在第一模块里，我想大家都知道最重要的是学习函数，学习函数的概念，学习一些特殊的函数，如简单的幂函数、指数函数、对数函数，以及它们的性质和应用。在所有这些和函数有关的内容里，我们觉得最重要的一个内容就是函数的单调性。因为函数的单调性决定了函数的变化，也决定了函数图象的形状，所以说在这诸多的函数性质里，要想办法抓住最核心的性质。所以这是我们选择单调性作为培训第一个课例的一个重要的理由。

第二个理由，在我们数学教学中，有很多不同的教学内容，比如说概念、技术、应用、定理以及某些解题，这诸多的内容中，我们分析感觉到对于概念教学仍然是一个薄弱的环节，我们常常对于概念教学没有足够的重视。我们认为这是在学习数学中需要关注的一个问题。尤其在大学的学习中，数学系的学习中，把握概念常常是把握好数学的一个非常重要的环节。因此，怎么样上好概念课？我们希望用函数的单调性作为一个例子，和老师一起来分享我们如何把这样的概念课上好，让它发挥出更大的效率，我想主要是这两个基本的思想。

张思明：刚才王老师给我们介绍了选择单调性作为一个概念课的麻雀来进行解剖的想法，下面我们请辛华老师、王肖华老师来对具体教学的过程，把她们的思考展示一下。我想老师们很可能都看到过，因为参加研修和培训的老师都经历了课

程改革，都做过模块一的教学，甚至有的老师还做过几遍。在这个过程当中，我们也看到很多老师来信提到过这些内容跟原有的教材有什么差异，在教学设计的时候，怎么样从更广的角度来进行思考，我们先请两位老师把她们做教学设计的原始过程展示出来，从她们的思考点我们观察一下她们从哪儿入手来做这个分析。我们先请王肖华老师来做你的思考。

王肖华：大家好！首先我针对函数单调性的数学分析，地位和作用，以及我们学校针对函数单调性的教学设计过程中的定位，以及处理的一些建议做一下说明。 我从两个方面来进行说明：一、教学分析；二、教法分析与学法指导。 一，教学分析方面从以下五个方面来进行说明：1、教学内容；2、教学内容的地位作用；3、教学目标；4、教学重点难点；5、教学方法与教学手段的选择。 本节课是新人教B版必修一第二章函数2.1.3函数单调性的第一节课，该课主要学习增函数减函数的概念，初步了解证明函数单调性的一般步骤，并利用函数单调性的定义会判断证明一些简单的函数单调性的问题。通过上述活动，加深对函数本身的认识。

二，教学内容地位与作用从以下四个方面做说明。刚才王老师已经说过，函数在高中数学当中是一个核心的内容。20世纪初，德国的数学家克莱因曾经这样说过，他认为函数的概念应该成为数学教育的灵魂，以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围进行充分的综合。在高中课程当中函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数一起应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列三四中的大部分专题内容等都有密切的联系。而函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是函数的第一个性质，也是函数最重要的性质之一，他刻划了当自变量变化时，应变量变化的趋势，函数的单调性是函数学习中第一个用数学符号语言刻划的概念，为进一步学习函数的其他性质提供了方法依据。 函数的单调性既是学生学过函数概念的延续和拓展，又是后续研究质指、对、幂和三角函数等单调性的基础，此外在比较数的大小，确定极值等函数定性分析，以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。此外，从方法论的角度分析，本节教学过程当中，还渗透了探索发展、数形结合、归纳类比、转化等数学思想。利用定义法证明函数单调性的过程中，算法的思想提前渗透，在强调对单调性概念中的“任意”理解的同时，为后面逻辑用语中的全称量词和存在性量词的深入理解提前做了铺垫。这是函数单调性的结构图。

对函数单调性内容的分析，我认为学生的认知困难主要有两个方面：1、用准确的数学符号语言刻划图形的上升与下降，这种由形到数的反映，从直观到抽象的转变，对高一的学生是比较困难的。2、单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到代数论证能力，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的，根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的教学目标，重点和难点。

一，知识与技能方面，使学生从形和数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用图象各定义判断证明函数单调性的方法。

二，过程与方法，从生活实际和学生所学知识出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，通过应用函数图象和单调性的定义，解决简单函数单调性问题，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察归纳抽象类比的能力和语言表达能力，通过对函数单调性的证明，提高学生的论证推理能力。

三，情感态度价值观。在整个过程中，着重让学生体验到由具体到抽象，从特殊到一般，感性到理性的认知过程，不断地探索学生创新求知的精神。

四，教学重点，函数单调性的概念这是第一，二是运用函数单调性的定义判断证明一些函数的单调性。教学难点，函数单调性概念的知识形成，二是利用函数图形，单调性的定义判断和证明函数的单调性。教学方法和教学手段的选择方面，本节课由于是函数单调性的起始课，所以采用教师启发引导，学生自主探究学习的教学方法。通过创设情境引导学生探究，师生交流，最终形成概念，获得方法。 过程当中借助于多媒体和几何画板来辅助教学，提高学生对所学概念的理解和认识。

在本节课当中，为了实现教学目标，突出重点和难点，教学上采取了以下措施。 一，在概念的探索阶段，让学生经历从直观到抽象，特殊到一般，感性到理性的认知过程，完成对函数单调性定义的三次认识，第一次认识是通过图象让学生感受到上升和下降，从函数的角度就是在某一个区间Y随着X增大而增大，或者是Y随着X增大而减少，这是对函数单调性的第一次认识；第二次认识是用数学符号语言来刻划在某一个区间上Y随着X增大而增大，或者Y随着X增大而减少，给出函数，增函数，减函数的定义，完成函数单调性的第二次认识；第三次认识是通过判断以及利用函数单调性的定义来证明单调性，加深学生对函数单调性的认识和理解，完成三次认识。使学生对概念的认识不断的深入。

二，在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，渗透算法的思想。

三，考虑到我校学生数学基础一般，变形能力较弱，对定义法证明函数单调性的例题选用学生非常熟悉的且已知结论的函数进行，例如一次函数Y=3X+2，或者是反比例函数

，让学生初步熟悉证明的一般过程，随后作为探究适当地延

展，加深对定义的理解，给出了函数平均变化率，对后期利用导数来研究函数单调性埋下伏笔。

1，由于本节课是一节抽象的数学概念课，因此在教法上需要注意通过学生熟悉的实际生活问题，和已经具备的函数知识引入课题，对概念学习创设情景，拉近学生在数学与现实之间的距离，激发学生的求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2，运用定义解题的过程中，紧扣定义的关键语句，比如区间性和任意性，通过学生的主体参与，逐个完全对各个难点的突破，获得各类问题的解决。 3，鼓励学生参与的同时，不可忽视教师的主导作用，并且在这里重点让学生成功地完成书面表达，规范学生的书写。

4，通过几何画板多媒体等现代的教学手段，突破单调性的难点，任意性的理解。在学法上，让学生从问题中质疑，尝试，归纳总结，运用，培训学生发现问题，研究问题，解决问题的能力。让学生利用图形直观启迪思维，并通过正反例的构造，来完成从感性到理性认识的一个飞跃，学生举出反例后的兴奋，增强了学生学习数学的自信心和兴趣，同时更加促进学生学习数学的主动性。

最后一点要重视小结，在小结的环节中，从探究过程，证明方法与步骤，数学思想方法几方面，学生亲自来总结。那么通过他们的主动参与，使学生深刻体会到本节课主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化。针对函数单调性的数学分析、地位作用，以及我们学校的定位和处理建议就说到这里。 张思明：刚才王肖华老师结合北京第十九中学生的实际，就我们这节课的内容，从教学的内容，教法，学法做了一个比较细致的分析，当然这个分析老师可以根据自己的经验加以点评。那么在这个过程里，我们还注意到，确定教学目标的过程是要根据内容和学生的实际来做，王肖华给我们做了这样一个尝试，在这个过程当中，老师们也提出来，我们确定教学目标的依据，除了有数学内容和学生之外，还有哪些？下面我们来看看北京经济技术开发区实验学校的辛华老师为我们做这方面的一个讲解。

辛华：各位老师大家好，很高兴有这样的机会和你们一起交流。我先从单调性在中小学数学教学中的地位和作用谈起，为什么会想到这个问题呢？我们老说备课的时候要备学生，那么学生的学情，究竟对这个知识点掌握到什么程度，他对它的理解，或者是了解是经过怎么样的过程而进行的，所以我把从小学一年级到高中所有的课本做了一个梳理。

单调性在中小学数学当中的定位一共分五个阶段，小学、初中，高一高二和高三。在五个阶段中，数形结合的思想始终贯穿其中。那么高一可以说起着很重要的，承前启后的作用，它既是小学初中知识的延续和深化，又是为后续高二，高三，乃至大学的学习奠定了良好的基础。

在小学低年级，基本上是通过对生活经验中的直观的感性认识去了解，而到了高年级则是通过对图象，对数量变化的规律有了进一步的看法。小学低年级，我们先看二年级，二年级的学生已经可以通过生活经验很自然地理解，比如他要出去买东西，那么购买的数量越多，花的钱就越多，这两个数量之间的关系很明显是一个递增的关系。同样，如果相同的钱所购买的物品单价越高，那么可购买的物品数就越少。在三年级的时候，通过分数的学习，学生已经可以理解把单位一平均分的份数越多，那么每份数就越少。小学六年级下册，首次用字母来表示正比例和反比例的量，我们来看图。第一个图中，当底面积一定的时候，体积会随着高度的增加而增加，在这里教材要求学生首先把体积和高度用字母来表示，并且

找到字母之间的关系，Y比X等于定值25，因此在这个时候已经渗透了函数的思想。另外，从新课标来说，它还给出了函数的图象。在这里，要求学生能够根据图形的特征指出随着高度的增加，对应的体积逐渐增加，但是这时候课本更多要求的是对散点图的认识。

在学习正比例量之后，学生开始学习了成反比例的量，对反比例的量要求相对较低一些。同样我们可以看到，要求学生通过实际操作来发现，当体积一定的时候，高度会随着底面积的增加反而降低，因此这样是一个成反比例的量。对于反比例量同样给出一个图象，但是这个图象在教参里要求并不高。

针对小学六年级学生的一些提问，我们感觉到，小学六年级的孩子对图象的认识已经有了相当的水平，比如说就这个反比例函数图象，有人问到，他说我也知道随着底面积的增加，高度会逐渐降低，那为什么会是弯着下来了，有的孩子会提出这个问题。而且他居然还会提出，那么在降低的过程中，为什么不会超过横着的这条线，所以我们可以看到孩子对图象的直观认识是非常清晰的。 下面我们来看初中阶段，初中阶段在小学的基础上又增加了自然语言的描述，在八年级上册，首先学了函数的定义，让学生描点画图，对Y=X+0.5，以及 的图象进行了认识。这时候要求学生能够说出从左到右是上升还是下降，对应函数的变化规律，要求能够表示为当X由小变大的时候，Y随之是增大还是减少的。特别值得关注的有这样几点：首先在课本后面信息技术应用部分，应用计算机居然画出了二次函数以及三次函数的图象，这是初二的上半学期。对于二次函数和三次函数的图象来说，同样要求学生可以根据图形特征说出对应的函数变化规律。那么在对图形有了充分的认识之后，此时才正式开始学习正比例函数和一次函数，另外因为是学生初次接触，所以本册书给出了大量的生活实例，比如说气温随着时间的变化怎么样去变化，再比如说科学家又如何测算地球的年龄等等。 紧接着，在八年级的下册和九年级的下册，对单调性的学习进行了进一步的认识。八年级下册学习了反比例函数，九年级下册学习了二次函数，但是它们有所区别。反比例函数更多强调的是图形的特征，那么二次函数在强调图形的特征，单调性的基础上，又特别强调了对称轴和顶点。

为了大家可以更清晰地看各阶段的特点，我们将之整理如下。首先来看小学，通过直观的感知，尤其是六年级通过学习正反比例的量直观看出数量的变化关系，到了初二八年级上册，通过一次函数为依托，来学习连续函数单调性所对应的图象特征。这时候强调图象变化的趋势，但并不要求学生掌握变化所在的范围。那么到了初二，八年级下册，学习了反比例函数，这时候开始描述不连续函数单调性所对应的图形特征，相同的仍然强调图象变化的趋势，但是这时候还特别强调变化所针对的范围，这个反映是以象限的形式给出的，比如一三象限怎么样，二四象限怎么样。到了初三九年级下册，通过二次函数的学习，进一步加深认识，这时候还特别强调了变化的范围是在自变量X，当X在哪一个范围内的时候，函数值发生怎么样的变化。

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