刚体力学基础习题思考题
更新时间:2024-05-17 17:16:01 阅读量: 综合文库 文档下载
习题5
5-1.如图,一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为mr/2,将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解:受力分析如图,可建立方程:
2mg?T2?2ma┄①
2T1?mg?ma┄② (T2?T)r?J?┄③ (T?T1)r?J?┄④
a?r? ,J?mr2/2┄⑤
111mg 。 联立,解得:a?g,T?48T
5-2.如图所示,一均匀细杆长为l,质量为m,平放在摩擦系数为?的水平桌面上,设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动,试求:(1)作用于杆的摩擦力矩;(2)经过多长时间杆才会停止转动。 解:(1)设杆的线密度为:??m,在杆上取l一小质元dm??dx,有微元摩擦力:
df??dmg???gdx,
微元摩擦力矩:dM???gxdx,
考虑对称性,有摩擦力矩:
1M?2???gxdx??mgl;
4t0d?,有:??Mdt??Jd?, 0?0dt11?l??mglt??ml2?0,∴t?0。 4123?g1ml2, 或利用:?Mt?J??J?0,考虑到??0,J?12?l有:t?0。
3?gl20(2)根据转动定律M?J??J
5-3.如图所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子的质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为
R ,其转动惯量为MR2/2,试求该物体由静止开始下落的过程中,
下落速度与时间的关系。
解:受力分析如图,可建立方程:
mg?T?ma┄①
TR?J?┄②
1mR2┄③ 22mgMmg联立,解得:a?,T?,
M?2mM?2mvtdv2mg2mgtdt,有:v?考虑到a?,∴?dv??。
00dtM?2mM?2ma?R? ,J?
5-4.轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的质量为M/4,均匀分布在其边缘上,绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端,而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物,如图。已知滑轮对O轴的转动惯量J?MR/4,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求B端重物上升的加速度?
解:选人、滑轮与重物为系统,设u为人相对绳的速度,v为重
2du?0,系统对轴的角动量为: dt1M3L?MvR?M(u?v)R?(R2)??MvR?MuR 442(B物体)(人)(A物体)?13而力矩为:M??MgR?MgR?MgR,
44dL3d3g(MvR?MuR),∴a?。 根据角动量定理M?有:MgR?dt4dt22物上升的速度,注意到u为匀速,
5-5.计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。 3m解:设球的半径为R,总重量为m,体密度??, 34?R考虑均质球体内一个微元:dm??rsin?drd?d?, 由定义:考虑微元到轴的距离为rsin?
2rsin??r?J??(rsin?)2dm,有:
J??2?0??0?R0(rsin?)2??r2sin?drd?d?
R01?2???r55?[??(1?cos2?)dcos?]?0?2mR2。 5
5-6.一轻弹簧与一均匀细棒连接,装置如图所示,已知弹簧的劲度系数k?40N/m,当??0时弹簧无形变,细棒的质量m?5.0kg,求在??0的位置上细棒至少应具有多大的角速度?,才能转动到水平位置?
解:以图示下方的三角桩为轴,从??0~??90时, 考虑机械能守恒,那么: ??0时的机械能为:
0l11mg?(重力势能)?(ml2)?2(转动动能),
2231??900时的机械能为:kx2
2l112122有:mg??(ml)??kx
2232?1根据几何关系:(x?0.5)2?1.52?12,得:??3.28rad?s
5-7.如图所示,一质量为m、半径为R的圆盘,可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落,略去轴承的摩擦,求:
(1)盘到虚线所示的铅直位置时,质心C和盘缘A点的速率; (2)在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解:(1)设虚线位置的C点为重力势能的零点,
下降过程机械能守恒,
113J?2 ,而J?mR2?mR2?mR2 2224g4Rg16Rg∴?? vc?R?? vA?2R?? 33R372 (2)Fy?mg(重力)?mR?(向心力)?mg,方向向上。 3有:mgR?
5-8.如图所示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和2m的小球,杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动,转轴O距两端分别为l和
132l.轻杆原来3静止在竖直位置。今有一质量为m的小球,以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞,碰后以
1v0的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 2解:根据角动量守恒,有:
2122llmv0?l??m?v0?l?m()2??2m?()2?
32333422221有:(l?l)??v0l?v0l
99333v∴??0
2l
5-9.一质量均匀分布的圆盘,质量为M,半径为R,放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?),圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时,圆盘静止,一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求:(1)子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度;(2)经过多少时间后,圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为
1MR2,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 2122解:(1)利用角动量守恒:mvR?MR??mR?
22mv得:??;
(2m?M)RM(2)选微分dm??rdrd?,其中:面密度??, 2?RRM2Mf???grdm???gr2πrdr??MgR
0?R232122∴由Mf??t?J???有:?MgR??t?(MR?mR)??0,
322?M?2m?R?
4?Mg2mv3mv将??代入,即得:?t? 。
2?MgM?2mR??知:?t?
5-10.有一质量为m1、长为l的均匀细棒,静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上,它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞,设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后
??的速度分别为v1和v2,如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
1m1l2) 3??解:由碰撞时角动量守恒,考虑到v1和v2方向相反,以逆时针为正向,有:
(已知棒绕O点的转动惯量J?3m2(v1?v2)1 m2v1l?m1l2??m2v2l,得:??3m1l又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得:
m11d?gxdx??m1gl,利用?Mf?J,有: 0l2dt12mld?1t02l?2m2(v1?v2)3,得:。 t??dt???0??13?g?m1g?m1gl2Mf???l
5-11.如图所示,滑轮转动惯量为0.01kg?m,半径为7cm;物体的质量为5kg,用一细绳与劲度系数k?200N/m的弹簧相连,若绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴上的摩擦忽略不计。求:(1)当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离;(2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解:(1)设弹簧的形变量为x,下落最大距离为xmax。 由机械能守恒:
212kxmax?mgxmax,有: 2
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