概率论与数理统计及其应用课后答案（浙江大学 - 盛骤版）

概率论与数理统计及其应用习题解答

第1章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

（4） 抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。 解：（1）S?{2,3,4,5,6,7}；}；}；（2）S?{2,3,4,?（3）S?{H,TH,TTH,TTTH,?（4）

S?{HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}。

2，设

A,B是两个事件，已知

___P(A)?0.25,P(B)?0.5,P(AB)?0.125,___，求

P(A?B),P(AB),P(AB),P[(A?B)(AB)]。

解：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.625，

P(AB)?P[(S?A)B]?P(B)?P(AB)?0.375，

P(AB)?1?P(AB)?0.875，

P[(A?B)(AB)]?P[(A?B)(S?AB)]?P(A?B)?P[(A?B)(AB)]?0.625?P(AB)?0.5

3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。 解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8?9?9求得概率为

______?648，所以所

648?0.72 900

4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5?5?4（1）该数是奇数的可能个数为4?4?3??100个。

48个，所以出现奇数的概率为

48?0.48 100（2）该数大于330的可能个数为2?4?5?4?5?4?48，所以该数大于330的概率为

48?0.48 100

5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。

1

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（3）4只中没有白球。

11C52C4C38解: （1）所求概率为； ?433C1222314C4C8?C4C8?C420167（2） 所求概率为； ??4495165C124C7357（3）所求概率为4?。 ?C12495165

6，一公司向M个销售点分发n(n?M)张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一

?n)张提货单的概率。

n销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到k(k解：根据题意，n(n到k(k?M)张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有M种，某一特定的销售点得

k?n)张提货单的可能分法有Cn(M?1)n?k种，所以某一特定的销售点得到k(k?n)张提货单

kCn(M?1)n?k的概率为

Mn。

7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。

（1）求3只球至少有1只配对的概率。 （2）求没有配对的概率。

解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以 （2）没有配对的概率为

21?； 6312?33。

（1）至少有1只配对的概率为1?

8，（1）设P(A)?0.5,P(B)?0.3,P(AB)?0.1,，求P(A|B),P(B|A),P(A|A?B),

P(AB|A?B),P(A|AB).

（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。 解：（1）由题意可得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.7，所以

P(A|B)?

P(AB)0.11P(AB)0.11??， P(B|A)???，

P(B)0.33P(A)0.552

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P(A|A?B)?P[A(A?B)]P(A)5??，

P(A?B)P(A?B)7P[AB(A?B)]P(AB)1??，

P(A?B)P(A?B)7P(AB|A?B)?P(A|AB)?（2）设Ai(iP[A(AB)]P(AB)??1。

P(AB)P(AB)?1,2,3,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、

二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为

A1A2A3A4，它的概率为（根据乘法公式）

P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。 解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件概率为

?6754840?????0.0408。 1112131220592A，“另一只也是红球”记为事件B。则事件A的

22215P(A)?2?????43436所求概率为

（先红后白，先白后红，先红后红）

21?P(AB)431P(B|A)???

5P(A)56

10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以人确实患了癌症”，求下列概率。 （1）P(A),P(B)；（2）P(B|解：（1）根据题意可得

A表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B表示事件“病

A)；（3）P(B|A)；（4）P(A|B)；（5）P(A|B)。

P(A)?P(AB)?P(AB)?5%?45%?50%； P(B)?P(BA)?P(BA)?5%?10%?15%；

（2）根据条件概率公式：P(B|A)?P(AB)5%??0.1；

P(A)50% 3

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（3）P(B|A)?P(BA)10%??0.2；

P(A)1?50%P(AB)45%9??；

P(B)1?15P(AB)5%1??。

P(B)15%3（4）P(A|B)?（5）P(A|B)?11，在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。

解：根据题意，这11个字母中共有2个g，2个i，3个n，3个e，1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为

111111C2C2C3C1C3C12231313611???????；或者。 ?61110987633264092409240A11

12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B，有20%的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求 （1）该人两种症状都没有的概率； （2）该人至少有一种症状的概率；

（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。

解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为

1?20%?30%?10%?40%；

（2）至少有一种症状的概率为1?40%?60%；

（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为

13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。

通讯线 1 2 3 4

通讯量的份额

0.4 0.3 0.1 0.2

无误差的讯息的份额

0.9998 0.9999 0.9997 0.9996

“进入讯号被无误差地接受”记Ai(i?1,2,3,4)，

10%1?。

30%?10%4解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件为事件B。则根据全概率公式有

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.4?0.9998?0.3?0.9999?0.1?0.9997?0.2?0.9996

i?14 =0.99978

4

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14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。 解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件根据全概率公式有

A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。

P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?10%?85%?90%?4%?12.1%，

所以，根据条件概率得到所要求的概率为

P(B|A)?P(BA)P(B)P(A|B)10%(1?85%)???17.06%

P(A)1?P(A)1?12.1%即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.

15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？

解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件N1,N2,N3。则根据全概率公式有

P(M)??P(Ni)P(M|Ni)?0.6?0.01?0.3?0.05?0.1?0.04?0.025，

i?13根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为

P(N1|M)?P(N1)P(M|N1)0.6?0.01??0.24，

P(M)0.025P(N2)P(M|N2)0.3?0.05??0.60，

P(M)0.025P(N3)P(M|N3)0.1?0.04??0.16。

P(M)0.025P(N2|M)?P(N3|M)?

16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。

解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件所要求的概率为

A，“一讯息是可信的”记为事件B。根据Bayes公式，

P(B|A)?

P(AB)P(B)P(A|B)95%?1???99.9947%P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)95%?1?5%?0.1，将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H”，“第二次得H”，“两次得同一面”。试验证A和B，B和C，C和A分别相互独立（两两独立），但A,B,C不是相互独立。

5

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解：根据题意，求出以下概率为

P(A)?P(B)?111111， P(C)?????； 222222111111111P(AB)???， P(BC)?P(CA)???，P(ABC)???。

224224224所以有

P(AB)?P(A)P(B)，P(AC)?P(A)P(C)，P(BC)?P(B)P(C)。

即表明A和B，B和C，C和A两两独立。但是

P(ABC)?P(A)P(B)P(C)

所以A,B,C不是相互独立。

18，设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。

解：设“A,B,C进球”分别记为事件Ni(i（1）设恰有一人进球的概率为

?1,2,3)。

p1，则

p1?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}

（2）设恰有二人进球的概率为

?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3) （由独立性）

?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.4?0.5?0.3?0.6

?0.29

p2，则

p2?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}

?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3) （由独立性）

?0.5?0.7?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.3?0.6 ?0.44

（3）设至少有一人进球的概率为

p3，则

p3?1?P{N1N2N3}?1?P(N1)P(N2)P(N3)?1?0.5?0.3?0.4?0.94。

19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。

解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为

6

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最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为 第一次就检验出该型血的概率为0.4；

第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24； 第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144； 第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864； 所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704

20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为解：设“元件i能够正常工作”记为事件那么系统的可靠性为

p，试求系统的可靠性。

1 3 4 第20题 2 5 Ai(i?1,2,3,4,5)。

P{(A1A2)?(A3)?(A4A5)}?P(A1A2)?P(A3)?P(A4A5)

?P(A1A2A3)?P(A1A2A4A5)?P(A3A4A5)?P(A1A2A3A4A5)

?P(A1)P(A2)?P(A3)?P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)

?P(A3)P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

?p2?p?p2?p3?p4?p3?p5 ?p?2p2?2p3?p4?p5

21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式） 解：设“一产品真含有杂质”记为事件

A，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1

次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为P(A|B)，根据Bayes公式可得

P(A|B)?P(A)P(B|A)

P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)C，根据题意有

又设“产品被检出含有杂质”记为事件

P(A)?0.4，而且P(C|A)?0.8，

P(C|A)?0.9，所以

22P(B|A)?C3?0.82?(1?0.8)?0.384；P(B|A)?C3?(1?0.9)2?0.9?0.027

故，

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P(A|B)?

P(A)P(B|A)0.4?0.3840.1536???0.9046P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.4?0.384?0.6?0.0270.1698（第1章习题解答完毕）

第2章

随机变量及其分布

1，设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。

解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前k此有

?1个人都不是A型血，因

P{Y?k}?0.4?(1?0.4)k?1?0.4?0.6k?1， （k?1,2,3,?）

上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。

2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X只能取值0，1，2。设以

Ai(i?1,2,3)记第i个阀门没有打开这一事件。则

P{X?0}?P{A1(A2?A3)}?P{(A1A2)?(A1A3)}

?P{A1A2}?P{A1A3}?P{A1A2A3}?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?(1?0.8)2?(1?0.8)2?(1?0.8)3?0.072，

类似有P{X?2}?P{A1(A2A3)}?P(A1A2A3)?0.83?0.512，

P{X?1}?1?P{X?0}?P{X?2}?0.416,综上所述，可得分布律为

X 0 0.072 1 0.512 2 0.416 1 P{X?k}

A 2 3 B 3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。

并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。

解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为

kP(X?k)?C15?0.2k?0.815?k,k?0,1,2,?15。

（1）P(X3?3)?C15?0.23?0.812?0.2501,

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概率论与数理统计及其应用习题解答

（2）P(X?2)?1?P(X?1)?P(X?0)?0.8329；

X?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?0.6129；

（3）P(1?（4）P(X?5)?1?P(X?5)?P(X?4)?P(X?3)?P(X?2)

?P(X?1)?P(X?0)?0.0611

4，设有一由n个元件组成的系统，记为k/n[G]，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有

k(0?k?n)个元件正常工作时，系统正常工作。现有一3/5[G]系统，它由相互独立的元件组成，设

每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。

解：对于3/5[G]系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为

X?P(X?k)??Ck?3k?355k5?0.9k?0.15?k?0.99144

5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立） 解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.001)，所以

kP(X?7)?P(X?6)??C80000.001k?0.9998000?kk?06

6(8000?0.001)ke?8000?0.0018ke?8。 ?????0.3134（查表得）

k!k!k?0k?06

6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~?(10)，求P{X（2）已知随机变量X~?(?)，且有P{X解：（1）P{X?15}

?0}?0.5，求P{X?2}。

?15}?1?P{X?15}?1?0.9513?0.0487；

（2）根据P{X?0}?1?P{X?0}?1?e???0.5，得到??ln2。所以

P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?0.5??e???(1?ln2)/2?0.1534。

7，一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数

X~?(2t)（设各人收到讯息与否相互独

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立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数（1）P{XX~?(2)。

?0}?e?2?0.1353；

（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以

44P{Y?4}?C50.1353?(1?0.1353)?0.00145。

（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为

?2ke?2???k!k?0?????32ke?10?5?????k?0??k!??5?? ??

8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为

?kx2f(x)???00?x?11， （1）确定k；（2）求P{X?}；

其他3（3）求P{112?X?}；（4）求P{X?}。 423??1解：（1）根据1????f(x)dx??kx2dx?0k，得到k?3； 3；

1（2）P{X?}?31/31?1?3xdx?????27?3?021/233117?1??1?2（3）P{?X?}??3xdx???????；

421/42464????219?2?2（4）P{X?}??3xdx?1????327?3?2/3

9，设随机变量X的概率密度为有实根的概率。 解：方程t从而要求

2133。

?0.003x2f(x)???00?x?10其他，求t的方程t2?2Xt?5X?4?0?2Xt?5X?4?0有实根表明??4X2?4(5X?4)?0，即X2?5X?4?0，

X?4或者X?1。因为

1210P{X?1}??0.003xdx?0.001， P{X?4}??0.003x2dx?0.936

04所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.

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概率论与数理统计及其应用习题解答

10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为

?x?x2/200?ef(x)??100?0?（1） 求寿命不到一周的概率； （2） 求寿命超过一年的概率；

x?0

其他（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。

1解：（1）P{X?1}????x?x2/200edx?1?e?1/200?0.00498； 1000x?x2/200（2）P{X?52}?； edx?e?2704/200?0.000001?10052??（3）P{X?26X?20}?P{X?26}?P{X?20}x?x2/200edx?10026x?x2/200edx?10020???e?276/200?0.25158。

11，设实验室的温度X（以

?

C计）为随机变量，其概率密度为

?1?(4?x2)?1?x?2f(x)??9

其他?0?（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。

（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实

验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。

（3） 求P{Y?2}，P{X?2}。

2解：（1）P{X15； ?1}??(4?x2)dx?9271~B(10,5)，所以其分布律为 27k10?k（2）根据题意Y?5??22?kP(Y?k)?C10???????27??27?28,k?0,1,2,?10

（3）

?5??22?2P(Y?2)?C10???????0.2998，

?27??27?P(Y?2)?1?P(Y?0)?P(Y?1)?0.5778。

11

概率论与数理统计及其应用习题解答

12，（1）设随机变量Y的概率密度为

?0.2?f(y)??0.2?Cy?0?试确定常数C，求分布函数F(y)，并求P{0?Y（2）设随机变量X的概率密度为

?1?y?00?y?1其他

?0.5}，P{Y?0.5|Y?0.1}。

?1/80?x?2?f(x)??x/82?x?4

?0其他?1?求分布函数F(x)，并求P{??x?3}，P{X?1|X?3}。

01解：（1）根据1????f(y)dy??0.2dy??(0.2?Cy)dy?0.4??10C，得到C?1.2。 20?y??1y?0.2dy???1?y?0?1?yy?0 F(y)??f(y)dy??0.2dy?(0.2?1.2y)dy?1?????0?y?10?01?0.2dy?(0.2?1.2y)dy??y?1?0??10y??1??0.2(y?1)?1?y?0? ??2?0.6y?0.2y?0.20?y?1?1y?1?P{0?Y?0.5}?P{Y?0.5}?P{Y?0}?F(0.5)?F(0)?0.45?0.2?0.25；

P{Y?0.5|Y?0.1}?P{Y?0.5}1?P{Y?0.5}1?F(0.5)1?0.45????0.7106

P{Y?0.1}1?P{Y?0.1}1?F(0.1)1?0.226 12

概率论与数理统计及其应用习题解答

0?x?0x?1dxx?0?0??80?x?2?0?xx?21?x/80?x?2x（2）F(x)??f(x)dx?? ??2dx?dxx/162?x?4?????882?x?4?02?2?41x?4?1x?dx?dx??x?4?882?0P{1?x?3}?F(3)?F(1)?9/16?1/8?7/16；

P{X?1|X?3}?

P{?1X?3}F(3)?F(1)??7/9。

P{X?3}F(3)13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。 解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此

P{X?i,Y?j}?当n取3时，

1，（i?j，且1?i,j?n）

n(n?1)P{X?i,Y?j}?X 1 2 3 1,（i?j，且1?i,j?3）,表格形式为 61 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 Y 14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为

X 0 1 2 （1） 求P{XY 0.10 0.04 0.02 0 0.08 0.20 0.06 1 0.06 0.14 0.30 2 ?1,Y?1}，P{X?1,Y?1}；

（2） 求至少有一根软管在使用的概率； （3） 求P{X?Y}，P{X?Y?2}。

?1,Y?1}=0.2，

解：（1）由表直接可得P{XP{X?1,Y?1}=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42

（2）至少有一根软管在使用的概率为

13

概率论与数理统计及其应用习题解答

P{X?Y?1}?1?P{X?0,Y?0}?1?0.1?0.9

（3）P{X?Y}?P{X?Y?0}?P{X?Y?1}?P{X?Y?2}=0.1+0.2+0.3=0.6

P{X?Y?2}?P{X?0,Y?2}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?0}?0.28

15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为

?Ce?(2x?4y)，x?0,y?0 f(x,y)??其他0，?试确定常数C，并求P{X解：根据

?2}，P{X?Y}，P{X?Y?1}。

x?0,y?0??f(x,y)dxdy?1，可得

?????(2x?4y)?????2x1?所以Cx?0,y?0??f(x,y)dxdy??dx?Ce00dy?C?e0dx?e?4ydy?0C8，

?8。

?????(2x?4y)?????2xP{X?2}?x?2??f(x,y)dxdy??dx?8e20x??x?ydy??2e2??dx?4e?4ydy?e?4；

0x???4yP{X?Y}???f(x,y)dxdy??dx?8e001?(2x?4y)dy??2e0?2xdx?4e0dy??2x?4x2e(1?e)dx??0231?x?(2x?4y)11?xP{X?Y?1}?

x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?8e00dy??2e?2xdx?4e?4ydy?(1?e?2)2。

0016，设随机变量（X，Y）在由曲线（1） 求（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度

y?x2,y?x2/2,x?1所围成的区域G均匀分布。

fX(x),fY(y)。

f(x,y)必定是一常数，故由

解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度

1x21???f(x,y)dxdy??dxG0x2/22?f(x,y)dy??6,(x,y)?G1f(x,y)，得到f(x,y)??。 6?0，其他（2）

?x??6dy?3x2，0?x?1fX(x)??f(x,y)dy??2；

x/2???0,其他??? 14

概率论与数理统计及其应用习题解答

?2y??6dx，0?y?0.5?y?6(2y?y)，0?y?0.5???1??fY(y)??f(x,y)dx???6dx，0.5?y?1??6(1?y)，0.5?y?1

???y?0，其他??0，其他???

18，设X,Y是两个随机变量，它们的联合概率密度为

?x3?x(1?y)x?0,y?0?，f(x,y)??2e，

其他?0，?（1） 求(X,Y)关于X的边缘概率密度（2） 求条件概率密度（3） 求条件概率P{YfX(x)；

fY|X(y|x)，写出当x?0.5时的条件概率密度；

?1|X?0.5}。

解：（1）

???x3?x(1?y)x2?xedy?e,x?0?。 fX(x)??f(x,y)dy???220???0,其他???（2）当x?0时，

f(x,y)?xe?xy,y?0。 fY|X(y|x)???fX(x)?0,其他特别地，当x?0.5时

?0.5e?0.5y,y?0。 fY|X(y|x?0.5)??其他?0,????Y|X（3）P{Y

?1|X?0.5}??f1(y|x?0.5)dy??0.5e?0.5ydy?e?0.5。

119，（1）在第14题中求在X?0的条件下Y的条件分布律；在Y?1的条件下X的条件分布律。

（2）在16题中求条件概率密度

fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|0.5)。

P{Y?i,X?0}，得到在X?0的条件下YP{X?0}的条件分布律

解：（1）根据公式P{Y为

?i|X?0}? 15

概率论与数理统计及其应用习题解答

Y 0 1 2 P{Y|X?0} 5/12 1/3 1/4 类似地，在Y?1的条件下X的条件分布律为 X 0 1 2 P{X|Y?1} 4/17 10/17 3/17 （2）因为

f(x,y)???6,(x,y)?G?0，其他。 ?x2f?6dy?3x2，0?x?1??6(2y?y)，0?y?0.5X(x)??2?；fY(y)??6(1?y)，0.5?y?1。?x/2

?0,其他??0，其他所以，当0?x?1时，

f(x,y)??22,x2/2?y?x2fY|X(y|x)?f??x；

X(x)??0,其他当0?y?0.5时，

fx|y)?f(x,y)?1,y?x?2yf??X|Y(?；

?2y?yY(y)?0,其他当0.5?y?1时，

f?f(x,y)??1,y?x?1X|Y(x|y)f??1?y；

Y(y)??0,其他?1当

y?0.5时，

f?,0.5?x?1X|Y(x|y)??。

?1?0.5?0,其他

20，设随机变量（X，Y）在由曲线

y?x2,y?x所围成的区域G均匀分布。

（1） 写出（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度fX(x),fY(y)；

（3） 求条件概率密度

fY|X(y|x)，并写出当x?0.5时的条件概率密度。

解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度

f(x,y)必定是一常数，故由

1x1???f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy?1?3,G0x23f(x,y)，得到f(x,y)??(x,y)?G?0，其他。

16

概率论与数理统计及其应用习题解答

???x（2）

f(x)??f(x,y)dy????3dy?3(x?x2)，0?x?1X2；

???x?0,其他?y????y?3dx，0?y?12?3(y?y2)，0?y?1f?????Y(y)??f(x,y)dx。 ?????0，其他??0，其他???1（3）当0?x?1时，

ff(x,y)?2,x2?y?xY|X(y|x)?fx)??x?x。

X(??0,其他特别地，当x?0.5时的条件概率密度为

?4f.5)???22?1,1/4?y?2/2Y|X(y|0。

??0,其他

21，设(X,Y)是二维随机变量，X的概率密度为

?f(x)??2?x?6，0?x?2X

??0,其他且当

X?x(0?x?2)时Y的条件概率密度为

?f??1?xy?,0?y?1Y|X(y|x)?1?,x/2，

?0其他（1） 求(X,Y)联合概率密度；

（2） 求(X,Y)关于Y的边缘概率密度； （3） 求在Y?y的条件下X的条件概率密度

fX|Y(x|y)。

?1?解：（1）

f(x,y)?f?xy0?x?2,0?y?1X(x)fY|X(y|x)???3?0其他；

17

概率论与数理统计及其应用习题解答

（2）

?21?xy2dx?(1?y)0?y?1??fY(y)??f(x,y)dx??033???0其他???；

（3）当0?y?1时，

?1?xy,0?x?2f(x,y)?fX|Y(x|y)???2(1?y)。

fY(y)?其他?0,

22，（1）设一离散型随机变量的分布律为

Y -1 0 1 pk ?? 1?? 22又设Y1,Y2是两个相互独立的随机变量，且Y1,Y2都与Y有相同的分布律。求Y1,Y2的联合分布律。并求

P{Y1?Y2}。

（2）问在14题中X,Y是否相互独立？

解：（1）由相互独立性，可得Y1,Y2的联合分布律为

P{Y1?i,Y2?j}?P{Y1?i}P{Y2?j}，i,j??1,0,1

结果写成表格为

Y1 Y2 -1 0 1 -1 0 1

?2/4 ?(1??)/2 ?(1??)/2 (1??)2 ?2/4 ?(1??)/2 ?2/4 ?(1??)/2 ?2/4 P{Y1?Y2}?P{Y1?Y2??1}?P{Y1?Y2?0}?P{Y1?Y2?1}?(1??)2??2/2。

（2）14题中，求出边缘分布律为

X Y 0 1 2 0.10 0.04 0.02 0.16 0 0.08 0.20 0.06 0.34 1 0.06 0.14 0.30 0.50 2 P{X?i} 0.24 0.38 0.38 1 P{Y?j} 很显然，P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}，所以X,Y不是相互独立。

18

概率论与数理统计及其应用习题解答

23，设X,Y是两个相互独立的随机变量，

X~U(0,1)，Y的概率密度为

f(y)???8y0?y?1/2Y?0其他

试写出

X,Y的联合概率密度，并求P{X?Y}。

解：根据题意，X的概率密度为

f???10?x?1X(x)其他

?0所以根据独立定，

X,Y的联合概率密度为

f(x,y)?f?8y0?x?1,0?y?1/2X(x)fY(y)??。 ?0其他1/21P{X?Y}?,y)dxdy?x??f(x?y?dx?8ydx?20y3

24，设随机变量X具有分布律 X -2 -1 0 1 3 pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y?X2?1的分布律。

解：根据定义立刻得到分布律为

Y 1 2 5 10 pk 1/5 7/30 1/5 11/30

25，设随机变量X~N(0,1)，求U?X的概率密度。

解：设X,U的概率密度分别为fX(x),fU(u)，U的分布函数为FU(u)。则

当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?0，fU(u)?0；

当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?P{?u?X?u}?2?(u)?1，

fU(u)??F'U(u)??2fX(u)?2?u2/2?e。

19

概率论与数理统计及其应用习题解答

?2fu)???u2/2所以，

u?0U(???e?0u?0。

26，（1）设随机变量X的概率密度为

?e?xf(x)??x?0

?0其他求Y?X的概率密度。

（2）设随机变量

X~U(?1,1)，求Y?(X?1)/2的概率密度。 （3）设随机变量

X~N(0,1)，求Y?X2的概率密度。

解：设X,Y的概率密度分别为

fX(x),fY(y)，分布函数分别为FX(x),FY(y)。则

（1）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?0，fY(y)?0；

当

y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{X?y2}?FX(y2)，

fY(y)??F'2Y(y)??2yfX(y)?2ye?y2。

?y2所以，

f??2yeY(y)??y?0?y?0。 ?0（2）此时

f???1/2?1?x?1X(x)。

?0其他因为FY(y)?P{Y?y}?P{(X?1)/2?y}?P{X?2y?1}?FX(2y?1)， 故，

f'Y(y)??FY(y)??2fX(2y?1)?1,?1?2y?1?1，

所以，

fy)???10?y?1Y(。 ?0其他（3）当

y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}

??(y)??(?y)?2?(y)?1，

故，

fY(y)??F'1?y/2Y(y)??2fX(y)2y?12?ye。

20

概率论与数理统计及其应用习题解答

所以，

?1e?y/2?fY(y)??2?y?0?y?0。

其他

27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为

?(3x?1)/80?x?2f(x)??0其他?求圆面积A的概率密度。

2

解：圆面积A??X，设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则

G(y)?P{?X2?y}?P{X?y/?}?FX(y/?)， 故

g(y)??G(y)??'12?yf(y/?)?12?y?3y??8??3y??16?y,0?y/??2

?3y???所以，g(y)??16?y?0?

0?y?4?其他。

28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,?2)，验证Z?X2?Y2的概率密度为

?z?z2/(2?2)?efZ(z)???2?0?解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为

z?0。

其他f(x,y)?先求分布函数，当z12??2e?x2?y22?2。

?0时，FZ(z)?P{Z?z}?P{X2?Y2?z2}

2?z?2x?y?z??2f(x,y)dxdy??d??21022??0e?r22?2rdr?1?e?z22?2，

故，

?z?z2/(2?2)?e'fZ(z)??FZ(z)????2?0?z?0。

其他 21

概率论与数理统计及其应用习题解答

29，设随机变量X~U(?1,1)，随机变量Y具有概率密度fY(y)??X?Y的概率密度。

，所以Z1，???y???，2?(1?y)设X,Y相互独立，求Z解：因为

?1/2?1?x?1fX(x)??其他?0??z?1?X?Y的概率密度为

fZ(z)??fY(y)fX(z?y)dy?11?arctan(z?1)?arctan(z?1)?。 dy??z?12?(1?y2??)2?

30随机变量X和Y的概率密度分别为

fx)????e??xx?0X(其他，

??2ye??yfy?0?0Y(y)???0其他

??0，X,Y相互独立。求Z?X?Y的概率密度。

解： 根据卷积公式，得

??z3f??zZ(z)?fY(y)fX(z?y)dy??????3ye??zdy??02z2e，z?0。

所以Z?X?Y的概率密度为

?f)???32e??z?2zz?0Y(y。

??0其他

31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求Z?X?Y的概率密度。

解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以

fx)???10?x?1X(其他，

?0fy)???10?x?1Y(其他

?0根据卷积公式，得

?1??1dy,z?1???z?1?2?z,1?zf)??f?zdy,0?z?1???2Z(zY(y)fX(z?y)dy???1?z,0?z?1 。

???0?其他??0,其他?0,?

32，设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为

22

概率论与数理统计及其应用习题解答

?3?3xx?0,0?y?2?e， f(x,y)??2其他??0，（1） 求边缘概率密度（2） 求ZfX(x),fY(y)。

?max{X,Y}的分布函数。

Z?1}。

1/2?（3） 求概率P{??解：（1）

?2?3x??3e/2dy?3e?3x，x?0； fX(x)??f(x,y)dy??0???0,其他????3x，0?y?2??3e/2dx?1/2，0?y?2??0???。 fY(y)??f(x,y)dx???????0，?0，其他其他????（2）Z?max{X,Y}的分布函数为

FZ(z)?P{Z?z}?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z)因为

x?0?0,； FX(x)???3x1?e,x?0?y?0?0?FY(y)??y/20?y?2?1y?2?，

z?0?0,?z?3zF(z)?F(z)F(z)?所以，Z?1?e,0?z?2。 XY?2?3zz?2?1?e,??（3）P{1/2

?Z?1}?FZ(1)?FZ(1/2)?11?31?3/2?e?e。 42433，（1）一条绳子长为2l，将它随机地分为两段，以X表示短的一段的长度，写出X的概率密度。 （2）两条绳子长度均为2l，将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证

Y的概率密度为

?2(l?y)/l2，0?y?l?fY(y)??。

?0，其他?解：（1）根据题意，随机变量X~U(0,l)，所以概率密度为

23

概率论与数理统计及其应用习题解答

?1?0?x?lfX(x)??l?其他?0（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为

。

X1,X2，则它们都在(0,l)上服从均匀分布。

Y?min{X1,X2}，其分布函数为

F????yY(y)?1?1?FX1(y)1?FX2(y)?1?(1?l)2,0?y?l，

所以密度函数为

?2(l?y)/l2，0?y?lf)??Fy)?'??Y(yY(?。

??0，其他

34，设随机变量X和Y的联合分布律为 （1） 求U?max(X,Y)的分布律。 （2） 求V?min(X,Y)的分布律。 （3） 求W?X?Y的分布律。 X Y 0 1 2 0 1/12 1/6 1/24 1 1/4 1/4 1/40 2 1/8 1/20 0 3 1/120 0 0 解：（1）U?max(X,Y)的分布律为

P{U?k}?P{max(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2,3如，P{U?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}

?1/8?1/20?0?1/24?1/40?29/120，

其余类似。结果写成表格形式为

U 0 1 2 3 pk 1/12 2/3 29/120 1/120 （2）V?min(X,Y)的分布律为

P{V?k}?P{min(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2

24

概率论与数理统计及其应用习题解答

如，P{V?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}?0?0?0，

U其余类似。结果写成表格形式为

0 1 27/40 13/40 pk （3）W?X?Y的分布律为

kP{W?k}?P{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i},k?0,1,2,3,4,5

i?0如，P{W?2}??P{X?i,Y?2?i}?1/24?1/4?1/8?5/12，

i?02其余类似。结果写成表格形式为

W 0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 pk

（第2章习题解答完毕）

第3章

1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所

以分布律为

随机变量的数字特征

X 4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5 pk E(X)?

1(4?5?6?7?7)?29/5. 52，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为

Y 4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29 pk E(Y)?

1(4?4?5?5?6?6?7?14)?175/29. 293，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为

31221C10C2C10C2C10691， 。 p0?3?， p1??p??2332222C1211C12C12 25

概率论与数理统计及其应用习题解答

所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为

E?

6911?0??1??2?(台)。 11222224，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为

Y 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 pk 得分的数学期望为

16 16 16 16 16 111111 363636363636E?

5，解：（1）根据X1149(1?2?3?4?5)?(7?8?9?10?11?12)?(点)。 63612~?(?)，可得P{X?5}??5e??5!??6e??6!?P{X?6}，因此计算得到??6，

即X~?(6)。所以E(X)=6。

（2）根据题意，按照数学期望的公式可得

E(X)??(?1)k?1??k?1kP{X?k}??(?1)k?1??k?166k22?2?k??(?1)k?1k?1??16ln2?2， k?xn因此期望存在。（利用了ln(（不符书上答案） 1?x)??(?1),?1?x?1）

n?1n?0?n

6，解：（1）一天的平均耗水量为

x2e?x/3x2E(X)??xf(x)dx??dx???d(e?x/3)?0?93??00??????????2xe?x/3?x/3dx??2xd(e)??300??

。 ?0??2e?x/3dx?6（百万升）

0（2）这种动物的平均寿命为

25E(X)??xdF(x)??xd(1?2)?x??5

??1251??????50。 dx?10（年）?25x7，解：E(X)???26xf(x)dx?42x(1?x)dx??7xd(1?x)???00??

7101??7x(1?x)2?61???14x?(1?x)?dx???2xd?(1?x)???2x(1?x)6700011??2(1?x)7dx0 26

概率论与数理统计及其应用习题解答

=1/4。

??28，解：E(X)

???22xf(x)dx?2x(1?1/x)dx?(x?2lnx)?3?2ln2。 ??1123x3x29，解：E(X)?xf(x)dx?(1?x)dx?(1?x)2dx ???22???10??013x3x??(1?x)2dx??(1?x)2dx?0。

2210（对第一个积分进行变量代换x

10， 解：

01??y）

E(sin?X?k??k)???sin?C4?pk?(1?p)4?k? 22?k?0?413（不符书上答案） ?C4?p1?(1?p)3?C4?p3?(1?p)1?4p(1?p)(1?2p?2p2)。

11，解：R的概率密度函数为

?1/a,0?x?af(x)??，所以

0,其他?。

aE(V)??0?r31?a3?dr?6a24??

42?0.3x??12，解：E[g(X)]????g(x)f(x)dx??x?0.3e0dx??16?0.3e?0.3xdx

41?(200?584e?1.2)（不符书上答案） 9

x?0?0,?13，解：因为Xi(i?1,2,?n)的分布函数为F(x)??x,0?x?1，所以可以求出Y1,Yn的分布函

?1,x?1?数为

0,y?0y?0??0,??Fmin(y)??1?(1?y)n,0?y?1， Fmax(y)??yn,0?y?1。

??1,1,y?1y?1??Y1,Yn的密度函数为

27

概率论与数理统计及其应用习题解答

f)???n(1?y)n?1,0?y?1?nyn?1,0?y?1min(y0,，fmax(y)??其他??0,其他。

所以Y1,Yn的数学期望为

??111E(Y?yfn?1dy??n(1?y)n?11)?min(y)dy?dy?n(1?y)ndy?1???ny(1?y)00?0n?1， ??1E(Y?yfnn)?max(y)dy????nyndy?0n?1。

14，解：求出边缘分布律如下

X Y 0 1 2 P{X?k} 0 3/28 9/28 3/28 15/28 1 3/14 3/14 0 12/28 2 1/28 0 0 1/28 P{Y?k} 10/28 15/28 3/28 1 22E(X)??kP{X?k}?1/2， E(Y)?0?kP{Y?k}?3/4，

k?k?022E(XY)???ijP{X?i}P{Y?j}?1?1?3/14?3/14，

j?0i?022E(X?Y)???(i?j)P{X?i}P{Y?j}??7/28??1/4，

j?0i?022E(3X?2Y)???(3i?2j)P{X?i}P{Y?j}?84/28?3。

j?0i?0

2215，解：E[min(X,Y)]???min(i,j)P{X?i}P{Y?j}?1?3/14?3/14，

j?0i?022E[Y/(X?1)]???jP{X?i}P{Y?j}?18/28?9/14。

j?0i?0i?1

11?y16，解：E(X)???xf(x,y)dxdy??dy?24x2ydx?2/5，

R?R00 28

概率论与数理统计及其应用习题解答

11?yE(Y)?R?R2yf(x,y)dxdy?dy24y????xdx?2/5，

0011?yE(XY)?

R?R22xyf(x,y)dxdy?dy24x????ydx?2/15。

0017，解：根据题意，可得利润的分布律为

Y 2000 1000 0 -1000 -2000 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 pk 因此，

E(Y)?2000?0.2?1000?0.3?1000?0.1?2000?0.1?400（元）

E(Y2)?20002?0.2?10002?0.3?(?1000)2?0.1?(?2000)2?0.1?1600000。 D(Y)?E(Y2)??E(Y)??14400002

????18解E(X)????xf(x)dx???2????0x22e?x2/(2?2)dx??xe?x2/(2?2)??0????e?x0??02/(2?2)dx???2dx，

??E(X)?2?xf(x)dx?2?x2/(2?2)0??0x32e?x2/(2?2)dx??xe2?x2/(2?2)????2xe?x02/(2?2)

??2?e???2?2，

。

D(X)?E(X2)??E(X)??(2??/2)?2，D(X)?(2??/2)?2??（本题积分利用了

19，解：E(X)?xe?02/2dx??2，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）

??kP{X?k}?p?k(1?p)k?1?p?k?1k?12??2k?1????11， ?p2pE(X)??kP{X?k}?p?k(1?p)2k?1k?1????????k?1?p??k(k?1)(1?p)??k(1?p)k?1?k?1?k?1?

?p(2121?)??， p3p2p2p?E(X2)??E(X)??2所以，D(X)111?p??2。 2ppp29

概率论与数理统计及其应用习题解答

本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设

s(p)??k(1?p)k?1k?1??，则

pk?s(p)dp???(1?p)?1?1k?1??1p，所以

?p?1?s(p)???s(p)dp??2?p1??'。类似的，设

S(p)??k(k?1)(1?p)??k?1，则经过两次积分以后可得到

(1?p)2，在经过两次求导得到

k?1pS(p)?2p3。

??????：（1）当k?1时，E(X)?xf(x)dx?k?k20，解dx?k?k?1k?kkdx?。 ?????x?xk?1??（2）当k?1时，E(X)???1dx???，即E(X)不存在。 ?x????（3），当k?2时，E(X2)?x2f(x)dx?k?kdx?k?2， ????k?1?xk?2所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?k?2??1?k?2?k?k?2(k?1)2???(k?1)2(k?2)。

????222?2（4）当k?2时，E(X)?xf(x)dx?dx???，所以D(X)不存在。???? ?x

21，解：（1）根据14题中结果，得到

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?3/14?1/2?3/4??9/56；

2因为E(X2)??k2P{X?k}?4/7， E(Y2)??2k2P{Y?k}?27/28，

k?0k?0所以D(X)?E(X2)??E(X)?2?9/28，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?45/112，

?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??55。 （2）根据16题结果可得：

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?2/15??2/5?2??2/75；

30

概率论与数理统计及其应用习题解答

25)，所以 4?X?Y?/2?125~N(0,1)。 X?Y?250~N(0,1)，

55/2242.6?250)?1??(1.48)?0.0694， 因此P{X?Y?242.6}??(5（2） 因为

W1~N(250,25)，W3~N(125,P{(X?Y)/2?125?5}?1?P{?5?(X?Y)/2?125?5}

55???1???()??(?)?

2.5??2.5?2?2?(2) ?0.0456

10，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm计）

X~N(10,0.22)，垫圈直径（以mm计）

Y~N(10.5,0.22)，X,Y相互独立。随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。

（2）在（1）中若

X~N(10,0.22)，Y~N(10.5,?2)，问控制?至多为多少才能使螺栓能装

入垫圈的概率不小于0.90。 解：（1）根据题意可得

X?Y~N(?0.5,0.08)。螺栓能装入垫圈的概率为

?0?(?0.5)?。 P{X?Y}?P{X?Y?0}????6????(1.77)?0.9610.08??（2）

X?Y~N(?0.5,0.04??2)，所以若要控制

???0.90??(1.282)， ???0?(?0.5)P{X?Y}?P{X?Y?0}????2?0.04??即要求

0.50.04??2?1.282，计算可得??0.3348。表明?至多为0.3348才能使螺栓能装入垫

圈的概率不小于0.90。

11,设某地区女子的身高（以m计）

W~N(1.63,0.0252)，男子身高（以m计）

（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子M~N(1.73,0.052)。设各人身高相互独立。

比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于1.60的概率。 解：（1）因为M

?W~N(0.1,0.003125)，所以

36

概率论与数理统计及其应用习题解答

P{W?M}?P{M?W?0}??()??(?1.79)?1?0.9633?0.0367；

0.0031250?0.1（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为

1.60?1.63P{W?1.60}?1??()??(1.2)?0.8849，

0.025)，所以至少有4名的身高大于随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布B(5,0.88491.60的概率为

45C5?0.88494?(1?0.8849)?C5?0.88495?0.8955

（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量

150W1,?W50，W??Wi50i?1。则

1500.0252W??Wi~N(1.63,)，所以这50名女子的平均身高达于1.60的概率为

50i?150P{W?1.60}?1??(

12，（1）设随机变量

1.60?1.630.025/50)??(8.49)?1

X~N(?,?2)，已知P{X?16}?0.20，P{X?20}?0.90，求?和

?；

（2）

X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，求P{3X?2Y?6Z?7}。

解：（1）由P{X?20??P{X?20}??()?0.90??(1.282)，得到20???1.282????0.84?和20???1.282?，计算得到?16???16}??()?0.20??(?0.84)，得到16????0.84?；

；

联立16??（2）由故所以

?17.5834,??1.8850。

X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，得到3X?2Y?6Z~N(0,49)。

?7?0)?1??(1)?0.15877P{3X?2Y?6Z?7}?P{3X?2Y?6Z??7}??(

13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到m(g)时结束。以Z(g)记容器中饮料的重量。设台秤的误差为g计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正） （1）写出Z,X,m的关系式；

X~N(0,7.52)，X以

37

概率论与数理统计及其应用习题解答

（2）求Z的分布；

（3）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。 解：（1）根据题意Z,X,m有关系式m?Z?30?X或者Z?m?30?X；

（2）因为

X~N(0,7.52)，所以Z~N(m?30,7.52)；

?450}?0.95，即要

（3）要使得P{Z?450?(m?30)?P{Z?450}?1?????0.95，

7.5??所以要求??m?480?m?480??1.645，m?492.3375。所以，??0.95??(1.645)，即

7.57.5??要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95，m至少为492.4g。

14,在上题中若容器的重量Y(g)也是一个随机变量，Y（1）求Z的分布；

（2）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.90。 解：（1）此时Z~N(30,9)，设X,Y相互独立。

?m?Y?X，根据Y~N(30,9)，X~N(0,7.52)，可得

Z~N(m?30,65.25)。

（2）P{Z?450?(m?30)??m?480??450}?1?????????????0.90??(1.282)，

65.25???65.25??1.282，即 m?490.36。

可得

m?48065.25

15，某种电子元件的寿命X（以年计）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。 解：设这100

1100只元件的寿命分别记为随机变量X1,?X100，X?Xi?100i?1。则E(X)?2，

D(X)?0.04。根据独立同分布的中心极限定理可得

P{?Xi?180}?P{X?1.8}?P{i?1100X?21.8?21.8?2?}?1??()??(1)?0.84130.20.20.2 16，以

X1,?X100记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，

38

概率论与数理统计及其应用习题解答

E(Xi)?25(kg),D(Xi)?1,i?1,2,?100.X1,?X1001100X?Xi?100i?1，求P{24.75?服从同一分布，且相互独立。

X?25.25}的近似值。

D(X)?1100。由独立同分布的中心极限定理可得

解：根据题意可得E(X)?25(kg),P{24.75?X?25.25}?P{24.75?25X?2525.25?25??}??(2.5)??(?2.5)

0.10.10.1?2?(2.5)?1?0.9876

17，有400个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为10-7。设舍入误差相互独立，且在区间(?0.5?10?7,0.5?10?7)服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于0.5?10?6的

概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784） 解：以

X1,?X400记这400个数据的舍入误差，

1400X??Xi400i?1。则

10?14E(X)?0,D(X)?。利用独立同分布的中心极限定理可得

4800P{?Xi?0.5?10?6}?P{?0.125?10?8?X?0.125?10?8}

i?1400

?P{?0.125?10?8104800?14?X104800?14?0.125?10?8104800?14}

??(0.2512)??(?0.2512)

?2?(0.866)?1?0.6156

18，据调查某一地区的居民有20%喜欢白颜色的电话机，（1）若在该地区安装1000部电话机，记需要

170?安装白色电话机的部数为X，求P{X?185}，P{X?190}，P{X?180}；（2）问至

少需要安装多少部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于0.95。 解：（1）根据题意，X~B(1000,0.2)，且E(X)?200,D(X)?160。

由De Moivre-Laplace定理，计算得

185?0.5?200170?0.5?200P{170?X?185}??()??()

160160

39

概率论与数理统计及其应用习题解答

??(?1.15)??(?2.41)?(1?0.8749)?(1?0.9920)?0.1171；

190?0.5?200P{X?190}?1??()?1??(?0.83)?0.7967；

160180?0.5?200P{X?180}??()??(?1.54)?1?0.9382?0.0618。

160（2）设要安装n部电话。则要使得

P{X?50}?1??(0.2n?49.50.16n50?0.5?0.2n0.16n)?1??(49.5?0.2n0.16n)?0.95

就要求?()?0.95??(1.645)，即

0.2n?49.50.16n?1.645，从而

0.04n2?20.232964n?2450.25?0，解出n?304.95或者n?201（舍去）。

所以最少要安装305部电话。

19，一射手射击一次的得分X是一个随机变量，具有分布律 X 8 9 10 0.01 0.29 0.70 pk （1） 求独立射击10次总得分小于等于96的概率。

（2） 求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。 解：根据题意，E(X)（1）以

?9.69，D(X)?94.13?9.692?0.2339。

X1,?X10分别记10次射击的得分，则

P{?Xi?96}?P{i?1i?110?X10i?96.9?96?96.92.3392.339}??(96?96.92.339)??(?0.59)?0.2776

（2）设在900次射击中得分为8分的射击次数为随机变量Y，则YMoivre-Laplace定理，计算得

~B(900,0.01)。由

De

P{Y?6}?1??(

6?0.5?900?0.01)?1??(?1.17)?0.8790。

900?0.01?0.99（第4章习题解答完毕）

40

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