2011年中考数学试卷分类汇编：12 反比例函数

2011年中考数学试卷分类汇编：12 反比例函数

一、选择题

1. （2011广东汕头，6，4分）已知反比例函数y?【答案】－2

2．（2011湖南邵阳，5，3分）已知点（1,1）在反比例函数y?像上，则这个反比例函数的大致图像是（ ）

kxkx

的图象经过（1，－2）．则k? ．

（k为常数，k≠0）的图

【答案】C提示：反比例函数过第一象限（也可由点（1,1）求得k=1），故选C。 3. （2011江苏连云港，4，3分）关于反比例函数y?A．必经过点（1，1）

4x的图象，下列说法正确的是（ ）

B．两个分支分布在第二、四象限 D．两个分支关于原点成中心对称

C．两个分支关于x轴成轴对称

【答案】D

4. （2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y?－2），则k的值为

A．1 B．－3

y k?2k?1x2的图象上。若点A的坐标为（－2，

C．4 D．1或－3

B O A 【答案】D

C x D

?1x5. （2011湖南怀化，5，3分）函数y?2x与函数y?在同一坐标系中的大致图像是

1

【答案】D

6. （2011江苏淮安，8，3分）如图，反比例函数y?函数值y的取值范围是（ ）

A.y＞1 B.0＜y＜1 C. y＞2 D.0＜ y＜2

kx的图象经过点A(-1,-2).则当x＞1时，

【答案】D

7. （2011四川乐山10，3分）如图（6），直线 y?6?x 交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数y?4(x?0)图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点

xM，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则AF?BE?

A．8 B．6 C．4 D．62 【答案】A

2k?18. （2011湖北黄石，3，3分）若双曲线y=

范围是 A.k＞

1212x的图象经过第二、四象限，则k的取值

B. k＜ C. k=

12 D. 不存在

【答案】B

2

9. （2011湖南邵阳，5，3分）已知点（1,1）在反比例函数y?的图像上，则这个反比例函数的大致图像是（ ）

kx（k为常数，k≠0）

【答案】C

k

10. （2011贵州贵阳，10，3分）如图，反比例函数y1=1和正比例函数y2=k2x 的图象交于

x

k1

A（-1，-3）、B（1，3）两点，若＞k2x，则x的取值范围是

x

（第10题图）

（A）-1＜x＜0 （B）-1＜x＜1

（C）x＜-1或0＜x＜1 （D）-1＜x＜0或x＞1 【答案】C

11. （2011广东茂名，6，3分）若函数y?增大，则m的取值范围是 A．m??2 【答案】B

1

12．（2011江苏盐城，6，3分）对于反比例函数y = ，下列说法正确的是

x A．图象经过点（1，-1） B．图象位于第二、四象限

C．图象是中心对称图形 D．当x＜0时，y随x的增大而增大 【答案】C

13. （2011山东东营，10，3分）如图,直线l和双曲线y?kx(k?0)交于A、B亮点,P是线段

m?2x的图象在其象限内y的值随x值的增大而

B．m??2 C．m?2 D．m?2

AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则（ ）

3

A. S1＜S2＜S3 B. S1>S2>S3 C. S1=S2>S3 D. S1=S2

14. （2011福建福州，4，4分）图1是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是 （ ） A．y?x2

y B．y?4

x C．y??3

x D．y?1x

2

Ox图1

【答案】 B

15. （2011江苏扬州，6,3分）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ）

A. （-3,2） B. （3,2） C. （2，3） D. （6,1） 【答案】A

16. （2011山东威海，5，3分）下列各点中，在函数y??A．（－2，－4） 【答案】C

17. （2011四川南充市，7，3分） 小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y(km/h)和行车时间x(h)之间的函数图像是（ ）

A B C D 【答案】B.

B．（2，3）

6x图象上的是（ ）

D．(?12,3)

C．（－1，6）

yyyyOxOxOxOx4

18. （2011浙江杭州，6，3）如图，函数y1?x?1和函数y2?N(-1，n)，若y1?y2，则x的取值范围是（ ） A．x??1或0?x?2 B．x??1或x?2 C．?1?x?0或0?x?2 D．?1?x?0或x?2

2x的图象相交于点M(2，m)，

【答案】D

19. （2011浙江台州，9,4分）如图，反比例函数y?mx的图象与一次函数y?kx?b的图

象交于点M，N，已点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x的方程

mx=kx?b的解为（ ）

A. －3,1 B. －3,3 C. －1,1 D.3，-1

【答案】A

20. （2011浙江温州，4，4分）已知点P(-l，4)在反比例函数y?的值是( ) A．?14kx(k?0)的图象上，则k

B．

14 C．4 D．－4

【答案】D

21. （2011甘肃兰州，2，4分）如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达式为

A．y?2x B．y??2x C．y?12x D．y??12x

5

y 1 -2 O x

【答案】B

22. （2011广东湛江12,3分）在同一直角坐标系中，正比例函数y?x与反比例函数y?的图像大致是

2x

A B C D

【答案】B

23. （2011河北，12，3分）根据图5—1所示的程序，得到了y与x的函数图象，过点M作PQ∥x轴交图象于点P,Q，连接OP,OQ.则以下结论 ①x＜0时，y?2x，

②△OPQ的面积为定值，

③x＞0时，y随x的增大而增大 ④MQ=2PM

⑤∠POQ可以等于90°

输入非零数x取倒数取倒数P24取相反数MQ图5—2输出y图5—1

其中正确的结论是（ ）

6

A．①②④ 【答案】B

B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤

124. （2011山东枣庄，8，3分）已知反比例函数y?x A.图象经过点（－1，－1） B.图象在第一、三象限

，下列结论中不正确的是（ ）

C.当x?1时，0?y?1 D.当x?0时，y随着x的增大而增大 【答案】D

25. （ 2011重庆江津， 6，4分）已知如图,A是反比例函数y?轴于点B,且△ABO的面积是3,则k的值是( ) A.3 B.-3 C.6 D.-6·

y A o B x kx的图像上的一点,AB⊥x

第6题图

m?3x【答案】C·

26. （2011湖北宜昌，15，3分）如图，直线y=x+2与双曲线y=

交点，那么m的取值范围在数轴上表示为（ ）

在第二象限有两个

【答案】B 二、填空题

（第15题图）

1. （2011浙江金华，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，Bk

（2，0），∠AOC＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y= ，在x轴上取一点P，

x过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′. （1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是 . （2）设P（t，0）当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 .

7

【答案】（1）（4，0）；（2）4≤t≤25或－25≤t≤－4 2. （2011广东东莞，6，4分）已知反比例函数y?【答案】－2

3. （2011山东滨州，18，4分）若点A(m，－2)在反比例函数y?值y≥－2时，自变量x的取值范围是___________. 【答案】x≤-2或x>0

4. （2011四川南充市，14，3分）过反比例函数y=

kx4xkx

的图象经过（1，－2）．则k? ．

的图像上，则当函数

(k≠0)图象上一点A，分别作x轴，y

轴的垂线，垂足分别为B,C，如果⊿ABC的面积为3.则k的值为 . 【答案】6或﹣6.

25. （2011宁波市，18，3分）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝（x

x＞0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，2

顶点P3在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点P3的坐标

x为

【答案】（3＋1，3－1）

6. （2011浙江衢州,5,4分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt?ABO,AB?x轴于点B，斜边AO?10，sin?AOB?35,反比例函数y?kx(x?0)的图像经过AO的中点C，且与

AB交于点D,则点D的坐标为 . 8

yICDOBx（第15题） 【答案】 （8，）23 7. (2011浙江绍兴，13，5分) 若点A(1,y1),B(2,y2)是双曲线y?“=”）. y1 y2（填“>”,“<”【答案】>

3x上的点，则

8. （2011浙江丽水，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2，k0)，∠AOC＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y= ，在x轴上取一点P，过点P

x作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′. （1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是 . （2）设P(t，0)当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 .

【答案】（1）(4，0)；（2）4≤t≤25或－25≤t≤－4

9. （2011湖南常德，5，3分）如图1所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数的解析式为_______________. y A 3 O1 图1 x【答案】y?3x

10．（2011江苏苏州，18,3分）如图，已知点A的坐标为（3，3），AB⊥x轴，垂足为B，

9

连接OA，反比例函数y=点C为圆心，CA的

54kx（k>0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D.若AB=3BD，以

倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是___________（填“相

离”、“相切”或“相交”）

【答案】相交

11. （2011山东济宁，11，3分）反比例函数y?值范围是 ． 【答案】x＞1

12. （2011四川成都，25,4分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y?2kx(k?0)m?1x的图象在第一、三象限，则m的取

满足：当x?0时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y??x?3k都经过点P，且OP?【答案】

737，则实数k=_________.

.

13. （2011安徽芜湖，15，5分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数y?kx经过正方形AOBC对角线的交点，半径为（4?22）的圆内切于△ABC，则k的

值为 ．

【答案】4

14. （2011广东省，6，4分）已知反比例函数y?【答案】－2

kx

的图象经过（1，－2）．则k? ．

10

15. (2011江苏南京，15，2分)设函数y?的值为__________． 【答案】?122x与y?x?1的图象的交战坐标为（a，b），则

1a?1b

kx16. （2011上海，11，4分）如果反比例函数y?2)，那么这个函数的解析式是__________． 【答案】y??2x（k是常数，k≠0）的图像经过点(－1，

17. （2011湖北武汉市，16，3分）如图，□ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（－1，0），B（0，－2），顶点C，D在双曲线y=是△ABE面积的5倍，则k=_____．

kx上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积

【答案】12

18. （2011湖北黄冈，4，3分）如图：点A在双曲线y?的面积S△AOB=2，则k=______．

y kx上，AB⊥x轴于B，且△AOB

B O A 第4题图 【答案】－4

19. （2011湖北黄石，15，3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=

公共点，则实数k的取值范围是 。 【答案】k<-141xx

的图象没有

1x?320．（2011湖南常德，3，3分）函数y?中自变量x的取值范围是_______________.

11

【答案】x?3

21. （2011湖南永州，7，3分）若点P1(1，m)，P2（2，n）在反比例函数y?象上，则m_____n(填“＞”、“＜”或“=”号）． 【答案】＜

22. （2011内蒙古乌兰察布，17，4分）函数y1?x(x?0) , y2?9xkx(k?0)的图

(x?0)的图象如图所

示，则结论： ① 两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 ) ② 当x?3时，y2?y1 ③ 当 x?1时， BC = 8 ④当 x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是＿ . y

y1＝x

9xy2＝ x

kx

第17题图

【答案】①③④

23. （2011广东中山，6,4分）已知反比例函数y?【答案】－2

24. （2011湖北鄂州，4，3分）如图：点A在双曲线y?的面积S△AOB=2，则k=______．

y kx的图象经过（1，－2）．则k? ．

上，AB⊥x轴于B，且△AOB

B O A 第4题图 【答案】－4

25. （2010湖北孝感，15，3分） 如图，点A在双曲线y?1xx

3x上，点B在双曲线y?上，

且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为 .

12

【答案】2

26. （2011湖北荆州，16，4分）如图，双曲线y?2x(x?0)经过四边形OABC的顶点A、C，

∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是 .

【答案】2

27.

三、解答题

1. （2011浙江省舟山，19，6分）如图，已知直线y??2x经过点P（?2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y?（1）求a的值；

（2）直接写出点P′的坐标； （3）求反比例函数的解析式．

y P 1kx（k?0）的图象上．

P?P O 1y?kx

x y??2x （第19题）

【答案】（1）将P（-2，a）代入y??2x得a=-2×(-2)=4; (2) P′（2，4）

（3）将P′（2，4）代入y?kx得4=

k2，解得k=8，∴反比例函数的解析式为y?8x．

13

3. （2011广东广州市，23，12分）

k

已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y = 的

x3

图象上，且sin∠BAC= ．

5（1）求k的值和边AC的长； （2）求点B的坐标．

k

【答案】（1）把C（1，3）代入y = 得k=3

x设斜边AB上的高为CD，则 sin∠BAC=

CD3

= AC5

∵C（1，3）

∴CD=3，∴AC=5

（2）分两种情况，当点B在点A右侧时，如图1有： AD=52－32=4，AO=4－1=3 ∵△ACD∽ABC ∴AC2=AD·AB AC225

∴AB==

AD4

2513

∴OB=AB－AO=－3= 4413

此时B点坐标为（，0）

4

y C y C B O D A x A O D B x

图1 图2 当点B在点A左侧时，如图2 此时AO=4＋1=5 255

OB= AB－AO=－5=

445

此时B点坐标为（－，0）

4

135

所以点B的坐标为（，0）或（－，0）．

44

4. （2011山东菏泽，17（1），7分）已知一次函数y?x?2与反比例函数y?kx，其中

14

一次函数y?x?2的图象经过点P(k，5)．

①试确定反比例函数的表达式；

②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标 【答案】解：因一次函数y=x＋2的图象经过点P(k，5)， 所以得5=k＋2，解得k=3 所以反比例函数的表达式为y??y?x?2? （2）联立得方程组?3

y??x?3x

解得??x?1?y?3 或??x??3?y??1

故第三象限的交点Q的坐标为(－3，－1) 5. （2011山东济宁，20，7分）如图，正比例函数y?12x的图象与反比例函数y?kx(k?0)在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知?OAM的面积为

1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标

y A O M x

(第20题)

为1，在x轴上求一点P，使PA?PB最小. 【答案】（1） 设A点的坐标为（a，b），则b?∵

12ab?1,∴

12k?1.∴k?2.

2xka

.∴ab?k.

∴反比例函数的解析式为y?. ················································································· 3分

2?y???x?2,?x(2) 由? 得? ∴A为（2，1）. ··························································· 4分

y?1.1??y?x??215

设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，?1）. 令直线BC的解析式为y?mx?n.

?2?m?n,??1?2m?n.?m??3,?n?5.∵B为（1，2）∴?∴?

∴BC的解析式为y??3x?5. ························································································ 6分

当y?0时，x?53.∴P点为（

53，0）.??????????7分

6. （2011山东泰安，26 ，10分）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，-2），B（1，12

0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2。

x

（1）求一次函数和反比全例函数的表达式。

（2）在x轴上存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。

【答案】（1）∵直线y=k1x+b过A（0，-2），B（1，0）

?∴??b=-2

1

?b=-2 ∴?

?k=2k+b=0

1

∴一次函数的表达式为y=2x-2 设M（m,n），作MD⊥x轴于点D ∵S△OBM=2

11

∴OB·MD=2 ∴n=2 22

∴n=4

将M（m，4）代入y=2x-2得：4=2m-2 ∴m=3 k2∵4= ∴k2=12

3

所以反比例函数的表达式为y=

12 x

(2)过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P ∵MD⊥BP ∴∠PMD=∠MBD=∠ABO OA2∴tan∠PMD= tan∠MBD= tan∠ABO===2

OB1PD

∴在Rt△PDM中，=2 ∴PD=2MD=8

MD∴PO=OD+PD=11

16

∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0） 7. （2011山东烟台，22,8分）如图，已知反比例函数y1?y2?k2x?1(k2?0)相交于

k1x（k1＞0）与一次函数

A、B两点，AC⊥x轴于点C.若△OAC的面积为1，且tan∠AOC

＝2 .

（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？

【答案】解（1）在Rt△OAC中，设OC＝m. ∵tan∠AOC＝

ACOC＝2，

∴AC＝2×OC＝2m. ∵S△OAC＝∴m2＝1

∴m＝1（负值舍去）. ∴A点的坐标为（1，2）. 把A点的坐标代入y1?k1＝2.

∴反比例函数的表达式为y1?2xk1x12×OC×AC＝

12×m×2m＝1，

中，得

.

把A点的坐标代入y2?k2x?1中，得 k2＋1＝2， ∴k2＝1.

∴一次函数的表达式y2?x?1. （2）B点的坐标为（－2，－1）. 当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2.

8. （2011浙江省，18，8分）若反比例函数y?（a,2）

kx与一次函数y?2x?4的图象都经过点A

17

(1)求反比例函数y?kx的解析式；

kx(2) 当反比例函数y?的值大于一次函数y?2x?4的值时，求自变量x的取值范围．

【答案】(1)∵ y?2x?4的图象过点A（a,2） ∴ a=3

y?kx过点A（3,2） ∴ k=6 ∴

kx与一次函数y?2x?4的图象的交点坐标，得到方程：

y?6x

∵

y?(2) 求反比例函数

2x?4?6x 解得：x1= 3 , x2= -1

∴ 另外一个交点是（-1，-6）

6?2x?4

∴ 当x<-1或0

y= （k>0）的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为 . （1）求k和m的值；

k12（2）点C（x，y）在反比例函数y= 的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；

x（3）过原点O的直线l与反比例函数y= 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写

xk出线段PQ长度的最小值.

O

A B

18

【答案】（1）∵A(2，m) ∴OB=2 AB=m ∴S△AOB=

12?OB?AB=

1212×2×m=

12 ∴m=

1212

kx∴点A的坐标为（2，∴k=1

） 把A（2，）代入y=，得

12=

k2

（2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y= 又 ∵反比例函数y=

1x13

在x>0时，y随x的增大而减小，

13∴当1≤x≤3时，y的取值范围为≤y≤1。

（3） 由图象可得，线段PQ长度的最小值为22。

10．（2011四川重庆，22，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)

的图象与反比例函数y＝

mx (m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于

4

C点，点B的坐标为(6，n)，线段OA＝5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE＝．

5

(1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AOC的面积．

4

【答案】(1)过A点作AD⊥x轴于点D，∵sin∠AOE＝ ，OA＝5，

5∴在Rt△ADO中，∵sin∠AOE＝ADAD4

＝＝ ， AO55

mm，得4=∴m＝－12，∴该反比例函数的解析式为yx-3

∴AD＝4，DO＝OA2-DA2=3，又点A在第二象限∴点A的坐标为(－3，4)， 将A的坐标为(－3，4)代入y＝ ＝－

12

， x

∵点B在反比例函数y＝－

1212

的图象上，∴n＝－＝－2，点B的坐标为(6，－2)，∵x6

一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过A、B两点，

19

?k＝－，?－3k＋b=4，

?∴，∴?3 ? 6k＋b＝－2

? b＝2

2

∴该一次函数解析式为y＝－x＋2．

3

22

(2)在y＝－x＋2中，令y＝0，即－x＋2=0，∴x=3，

33∴点C的坐标是（3，0），∴OC＝3， 又DA=4， 11

∴S△AOC＝×OC×AD＝×3×4＝6，所以△AOC的面积为6．

22

11. （2011浙江省嘉兴，19，8分）如图，已知直线y1??2x经过点P（?2，a），点P关

于y轴的对称点P′在反比例函数y2?（1）求点P′的坐标；

（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y2<2时自变量x的取值范围．

y P 12

kx（k?0）的图象上．

P?P O 1y2?kx

x （第19题）

y1??2x

k28x【答案】（1）将P（-2，a）代入y??2x得a=-2×(-2)=4，∴P′（2，4）． (2) 将P′（2，4）代入y?自变量x的取值范围x<0或x>4．

12. （2011江西，19，6分）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）。

⑴求点D的坐标；

⑵求经过点C的反比例函数解析式.

kx得4=，解得k=8，∴反比例函数的解析式为y?．

【答案】(1)根据题意得AO=4，BO=3，∠AOB=90°， 所以AB=

AO+BO22=4+322=5. 20

因为四边形ABCD为菱形，所以AD=AB=5， 所以OD=AD-AO=1,

因为点D在y轴负半轴，所以点D的坐标为（-1,0）. (2)设反比例函数解析式为y=kx.

因为BC=AB=5，OB=3,

所以点C的坐标为（-3，-5）. 因为反比例函数解析式y=kx经过点C,

15x所以反比例函数解析式为y=.

mx13. （2011甘肃兰州，24，7分）如图，一次函数y?kx?3的图象与反比例函数y?（x>0）

的图象交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S△DBP=27，

OCCA?12。

（1）求点D的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的表达式；

（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

y D C A O B P

【答案】（1）D（0，3）

（2）设P（a，b），则OA=a，OC=

113a，得C（

13a，0）

x 因点C在直线y=kx+3上，得ka?3?0，ka=－9

3DB=3－b=3－(ka+3)=－ka=9，BP=a 由S?DBP?12?DB?BP?12?9?a?27得a=6，所以k??3232，b=－6，m=－36

36x一次函数的表达式为y??（3）x>6

x?3，反比例函数的表达式为y??

14. （2011江苏宿迁,26,10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函

数y＝

6x（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于

点A、B．

（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；

21

（2）求△AOB的面积； （3）Q是反比例函数y＝

6x（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO

半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB． 【答案】

解：（1）点P在线段AB上，理由如下：

yBPQOAx（第26题） ∴AB是⊙P的直径

∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°

∴点P在线段AB上．

（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，由题意可知PP1、PP2 是△AOB的中位线，故S△AOB＝ ∵P是反比例函数y＝

∴S△AOB＝

126x12OA×OB＝

12×2 PP1×PP2

（x＞0）图象上的任意一点

12OA×OB＝×2 PP1×2PP2＝2 PP1×PP2＝12．

（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON＝S△AOB＝12．

∴OA·OB＝OM·ON

∴

OAOM?ONOB

∵∠AON＝∠MOB ∴△AON∽△MOB ∴∠OAN＝∠OMB ∴AN∥MB．

22

yBNPQOAMx

15. （2011山东聊城，24，10分）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数

y?4?2mx（x>0）图象于点A、B，交x轴于点C．

（1）求m的取值范围；

（2）若点A的坐标是（2，－4），且

BCAB?13，求m的值和一次函数的解析式；

【答案】（1）因反比例函数的图象在第四象限，所以4－2m＜0，解得m＞2；（2）因点A(2，－4)在反比例函数图象上，所以－4＝

4?2m213，解得m＝6，过点A、B分别作AM⊥OC于

点M，BN⊥OC于点N，所以∠BNC＝∠AMC＝90°，又因为∠BCN＝∠AMC，所以△BCN∽△ACM，所以

BNAM?BCAC，因为

BCAB?，所以

BCAC?14，即

BNAM?14，因为AM＝4，

所以BN＝1，所以点B的纵坐标为－1，因为点B在反比例函数的图象上，所以当y＝－1时，x＝8，所以点B的坐标为（8，－1），因为一次函数y＝kx＋b的图象过点A(2，－4)，

1??2k?b??41?k?B(8，－1)，所以?，解得?2，所以一次函数的解析式为y＝x－5

2?8k?b??1?b??5?23

16. （2011四川成都，19,10分） 如图，已知反比例函数y?kx(k?0)的图象经过点（

12，

8），直线y??x?b经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．

(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；

(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A 、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求△OPQ的面积．

【答案】解：（1）由反比例函数的图象经过点（反比例函数解析式为y?4x12，8），可知k?x?y?12?8?4，所以

44?1，

，∵点Q是反比例函数和直线y??x?b的交点，∴m?∴点Q的坐标是（4，1），∴b?x?y?4?1?5，∴直线的解析式为y??x?5. （2）如图所示：由直线的解析式y??x?5可知与x轴和y轴交点坐标点A与点B的坐标分别为（5，0）、（0，5），由反比例函数与直线的解析式可知两图像的交点坐标分别点P（1，4）和点Q（4，1），过点P作PC⊥y轴，垂足为C，过点Q作QD⊥x轴，垂足为D， ∴S△OPQ=S△AOB-S△OAQ-S△OBP ==

1212×OA×OB-15212×OA×QD-

12×OB×PC

×25-

12×5×1-

12×5×1=.

24

17. （2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l1的方程为y=－x+l，直线l2的方程为

y=x+5，且两直线相交于点P，过点P的双曲线y? （1）求双曲线的解析式． （2）根据图象直接写出不等式

_y kx与直线l1的另一交点为Q（3．M）.

kx＞－x+l的解集．

_1 l_p _o _ l2_ Q_x

图6

【答案】解：（1）依题意：?

?y??x?1?y?x?5

?x??2 解得：??y?3

∴双曲线的解析式为：y=

（2）－2＜x＜0或x>3

?6x

k

18. （2011四川内江，21，10分）如图，正比例函数y1?k1x与反比例函数y2?2相交于

xA、B点，已知点A的坐标为（4，n），BD⊥x轴于点D，且S△BDO=4。过点A的一次函数

y3?k3x?b与反比例函数的图像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）。

（1）求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式；

25

（2）结合图像，求出当k3x?b?k2x?k1x时x的取值范围。

【答案】（1）设B（p，q），则k2?pq

又S△BDO=(?p)(?q)=4，得pq?8，所以k2?8，所以y2?218x

得A(4，2) ，得4k1?2,k1?12，所以y1?12x

?4k3?b?2?k3??2由?得?，所以y3??2x?10

?b?10?5k3?b?0（2）x??4或1?x?4

19. （2011四川宜宾,21,7分）如图，一次函数的图象与反比例函数y1??3x（x＜0）的图

象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当x＜－1时，一次函

数值大于反比例函数值，当x＞－1时，一次函数值小于反比例函数值． （1）求一次函数的解析式； （2）设函数y2?ax（x＞0）的图象与y1??3x（x＜0）的图象关于y轴对称，在y2?ax（x

＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．

y y1 y2 A B P O （21题图） C Q x 【答案】解：⑴∵x??1时，一次函数值大于反比例函数值，当x??1时，一次函数值小于反比例函数值．

26

∴A点的横坐标是-1，∴A（-1,3）

设一次函数解析式为y?kx?b，因直线过A、C 则???k?b?3?2k?b?0 解得??k??1?b?1

∴一次函数的解析式为y??x?2． ⑵∵y2?∴y2?3xax(x?0)的图象与y1??3x(x?0)的图象关于y轴对称，

(x?0)

∵B点是直线y??x?2与y轴的交点，∴B（0,2） 设P(n，∴(2?213n3n)，n?2，S

)n?6512四边形BCQP

=S

52梯形BOQP

-S△BOC=2

?2?2?2，n?，

∴P（

52，）

20．(2011重庆綦江，23，10分)如图，已知A（4，a），B（－2，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y?mx的图象的交点.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积.

【答案】：解: （1）将B(－2，－4）代入y?析式为y?8xmx ，解得 m＝8 ∴反比例函数的解

，又∵点A在y?8x图象上，∴a＝2 即点A坐标为(4，2)

将A(4，2)； B(－2，－4）代入y＝kx＋b得

?2?4k?b?k?1 解得 ???4??2k?bb??2??∴一次函数的解析式为y＝x－2

27

(2)设直线与x轴相交于点C，则C点的坐标为（2，0）

S?AOB?S?AOC?S?BOC?12?2?2?12?2?4?6（平方单位）

注：若设直线与y轴相交于点D,求出D点坐标（0，－2），S?BOA方单位）同样给分.

?S?DOA?S?DOB?6（平

21. （2011江西南昌，19，6分）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）。

⑴求点D的坐标；

⑵求经过点C的反比例函数解析式.

【答案】(1)根据题意得AO=4，BO=3，∠AOB=90°， 所以AB=

AO+BO22=4+322=5. 因为四边形ABCD为菱形，所以AD=AB=5， 所以OD=AD-AO=1,

因为点D在y轴负半轴，所以点D的坐标为（-1,0）. (2)设反比例函数解析式为y=kx.

因为BC=AB=5，OB=3,

所以点C的坐标为（-3，-5）. 因为反比例函数解析式y=kx经过点C,

15x所以反比例函数解析式为y=.

22. （2011江苏南通，28，14分）（本小题满分14分）

如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y＝

mx（x＞0）交于点B(2，1)，过点P(p，p

28

－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝

mx（x＞0）和y＝－

mx（x＜0）于M，N

两点.

（1）求m的值及直线l的解析式；

（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）∵点B(2，1)在双曲线y＝

∴1?m2mx上，

，得m＝2.

设直线l的解析式为y＝kx＋b

∵直线l过A(1，0)和B(2，1) ∴??k?b?0?2k?b?1，解得??k?1?b??1

∴直线l的解析式为y＝x－1.

(2) 证明：当x＝p时，y＝p－1，点P(p，p－1)（p＞1）

在直线l上，如图.

∵P(p，p－1)（p＞1）在直线y＝2上，

∴p－1＝2，解得p＝3

∴P(3，2)

∵PN∥x轴，∴P、M、N的纵坐标都等于2 把y＝2分别代入双曲线y＝∴

PMMN?3?11?(?1)?1，即

2x和y＝?2x得M(1,2),N(-1,2) ，

M是PN的中点，

同理：B是PA的中点，

∴BM∥AN

∴△PMB∽△PNA.

（3）由于PN∥x轴，P(p，p－1)（p＞1），

29

∴M、N、P的纵坐标都是p－1（p＞1） 把y＝p－1分别代入双曲线y＝得M的横坐标x＝

2p?12x（x＞0）和y＝－

22x（x＜0）， （其中p＞1）

和N的横坐标x＝－

p?1∵S△AMN＝4S△APM且P、M、N在同一直线上， ∴即

S?AMNS?APM4p?1?MNPM?42p?1,得MN=4PM

)，整理得：p－p－3＝0，

2

＝4(p－

1?2解得：p＝13

由于p＞1，∴负值舍去 ∴p＝1?213

132经检验p＝1?是原题的解，

∴存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM， p的值为

1?213.

mx23. （2011山东临沂，24，10分)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝

于A（2，3），B（－3，n）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b＞

mx的图象交

的解集______________；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．

30

【解】（1）∵点A（2，3）在y＝

mx的图象上，

∴m＝6，?????????????????????????????（ 1分） ∴反比例函数的解析式为y＝∴n＝

66x，

﹣3＝－2，??????????????????????????（2分）

∵点A（2，3），B（－3，－2）在y＝kx＋b的图象上， ∴??3＝2k＋b，﹣2＝-3k＋b，??k＝1，?b＝1，

∴?

∴一次函数的解析式为y＝x＋1．???????????????????（4分） （2）－3＜x＜0或x＞2；???????????????????????（7分） （3）方法一：设AB交x轴于点D，则D的坐标为（－1,0），

∴CD＝2，???????????????????????????（ 8分） ∴S△ABC＝S△BCD＋S△ACD ＝

12×2×2＋

12×2×3＝5．?????????????????（ 10分）

方法二：以BC为底，则BC边上的高为3＋2＝5，???????（ 8分）

∴S△ABC＝

12×2×5＝5．??????????????????（ 10分）

n?7x24. （2011四川绵阳，21，12）右图中曲线是反比例函数y=的图像的一支。

（1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）若一次函数y=?23x?43的图像与反比例函数图像交于点A，与x交于B，△AOB的

面积为2，求n的值。

【答案】（1）第四象限，n＜-7

31

（2）∵y=?23x?43

与x轴的交点是y=0，∴B点坐标为（2，0）又∵△AOB面积是2 ，∴A点纵坐标是2，

y=?23x?43代入

可得A点横从标是-1，所以n+7= -2,n= -9

25. （2011湖南衡阳，25，8分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0，23)，B(2，

0)直线AB与反比例函数y?mx的图像交与点C和点D（-1，a）．

(1)求直线AB和反比例函数的解析式；

(2)求∠ACO的度数；

(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．

23)，【解】(1)设直线AB的解析式为y?kx?b，将A(0，B(2，0)代入解析式y?kx?b???k??3,?b?23,中，得?，解得?．∴直线AB的解析式为y??3x?23；将D

???2k?b?0?b?23（-1，a）代入y??3x?23得a?33，∴点D坐标为（-1，33），将D（-1，

mx33）代入y?中得m??33，∴反比例函数的解析式为y??33x．

32

?y??3x?23,????x1?3?x1??1?3）(2)解方程组?得，，∴点C坐标为（3，， ??33??y???y1??3??y1?33x?过点C作CM⊥x轴于点M，则在Rt△OMC中，

CM?3，OM?3，∴tan?COM?CMOM?33，∴?COM?30?，

在Rt△AOB中，tan?ABO?AOOB?232=3，∴?ABO?60?，

∴∠ACO=?ABO??COE?30?．

(3)如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，

∴= ∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′=?=60°，

∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°，∵ ∠OAB=90°－∠ABO=30°， ∴∠AOB′=∠OAB， ∴AB′= OB′=2．

答：当α为60度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长为2．

26. （2011广东肇庆，23，8分）如图，一次函数y?x?b的图象经过点B（?1，0），且与反比例函数y?kx（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：

（1）一次函数和反比例函数的解析式；

（2）当1?x?6时，反比例函数y的取值范围．

y A B O x

【答案】解：（1）将点B（?1，0）代入y?x?b得：0??1?b ∴b＝1.

∴一次函数的解析式是y?x?1

33

∵点A（1，n）在一次函数y?x?1的图象上，将点A（1，n）代入y?x?1得：

n＝1+1，∴n＝2

即点A的坐标为（1，2），代入y?∴反比例函数的解析式是y?(2）对于反比例函数y?2x2xkx得：2?k1，解得：k?2

，当x?0时，y随x的增大而减少，

13而当x?1时，y?2；当x?6时，y?

13?y?2

∴当1?x?6时，反比例函数y的取值范围是27. （2011湖北襄阳，18，5分）

已知直线y??3x与双曲线y?m?5x交于点P（－1，n）.

（1）求m的值；

（2）若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在双曲线y小.

【答案】

（1）∵点P（－1，n）在直线y∵点P（－1，n）在双曲线y??m?5x上，且x1?x2?0，试比较y1，y2的大

??3x上，∴n??3?(?1)?3. ································· 1分 上，∴m?5??3，即m＝2. ··················· 3分

m?5x·····································································································································································

（2）∵m?5??3?0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大

又∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)在双曲线y∴y1＜y2.

5分

?m?5x上，且x1?x2?0，

28. (20011江苏镇江,28,10分)在平面直角坐标系xOy中,直线l1过点A(1,0)且与y轴平行,直线l2过点B(0,2)且与x轴平行,直线l1与l2相交于P.点E为直线l2一点,反比例函数y?的图象过点E且与直线l1相交于点F.

(1)若点E与点P重合,求k的值;

(2)连接OE、OF、EF.若k>2,且△OEF的面积为△PEF的面积2倍,求点E的坐标;

(3)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.

kx(k>0)

34

【答案】 （1）k=1×2=2.

（2）当k>2时，如图，点E、F分别在P点的右侧和上方过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于G，则四边形OCGD为矩形。 ∵ PF⊥PE. ∴S?PEF?12PE?PF?1?k12??1k?2?k?k?1 ????2?24?四边形OCGD为矩形 ∴S?PEF?S?EFG

S?OEF?SOCGD?S?CEF?S?FEG?S?CDE?k2?k?(14k?k?1)?k?214k?1

2S?OEF=2S?PEF 14k?1=2(214k?k?1)

2解得k=6或2.因为k=2时,E、F重合,所以k=6.

所以E点的坐标为(3,2)

（3）存在点E及y轴上的点M,使得△MEF与△PEF全等 ①当k<2时，如图，只可能△MEF≌△PEF。

作FH⊥y轴于H， △FHM∽△MBE得：∵FH=1,EM=PE=1-1??kk2BMFH?EMFM.

,FM=PF=2-k

∴

BM12,BM=1,

22?k2在Rt△MBE中，由勾股定理得EM?EB?MB,

35

22

33k???k??1?∴?1????????,解得k=,此时E点的坐标为（，2）

482???2??2?222②当k>2时，如图

只可能只可能△MEF≌△PEF，作作FQ⊥y轴于Q， △FQM∽△MBE得：

BMFQ?EMFMk2

∵FQ=1,EM=PF=k-2,FM=PE=∴

BM1?k?2k2?1?1,

,BM=2,

在Rt△MBE中，由勾股定理得EM2?EB2?MB2,

2?k?2??k?2????2 ?2?32解得k=

16或0，但k=0不符合题意，所以k=

83163。

此时E点的坐标为（（

38，2），符合条件的E点坐标为

，2）和（

83，2）。

29. （2011重庆市潼南,23,10分）如图, 在平面直角坐标系中，一次函数y?kx?b(k≠0)

的图象与反比例函数

y?mx(m≠0)的图象相交于A、B两点．

求：（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值.

?1y12OA2?1xB23题图36

【答案】解：（1）由图象可知：点A的坐标为（2，

1212）

点B的坐标为（-1，-1） --------------2分

∵反比例函数y?∴ m=1

∴反比例函数的解析式为:y?1xmx(m≠0)的图像经过点（2，）

---------------------4分

12y∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点（2，1??2k?b?∴?2 ??k?b??1?）点B（-1，-1） 12?1OA2?1xB解得：k=

12 b=-

12

12x?1223题图∴一次函数的解析式为y? ----------------------6分

(2)由图象可知：当x＞2 或 -1＜x＜0时一次函数值大于反比例函数值 --------10分

30. （2011贵州安顺，23，10分）如图，已知反比例函数y?kx的图像经过第二象限内的点A

（－1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y?kx的图象上另一点C（n，一2）．

⑴求直线y=ax+b的解析式；

⑵设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长．

第23题图

12AB?BO?2

【答案】（1）∵点A（-1，m）在第二象限内，∴AB = m，OB = 1，∴S?ABO?即：

12m?1?2，解得m?4，∴A (-1,4)，

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∵点A (-1,4)，在反比例函数y?∵反比例函数为y?∴?2??4n?4xkx

的图像上，∴4 =

?4xk?1，解得k??4，

，又∵反比例函数y?的图像经过C（n，?2）

，解得n?2，∴C (2,-2)，

∵直线y?ax?b过点A (-1,4)，C (2,-2) ∴??4??a?b??2?2a?b 解方程组得 ??a??2?b?2

∴直线y?ax?b的解析式为y??2x?2 ；

（2）当y = 0时，即?2x?2?0解得x?1，即点M（1，0）

在Rt?ABM中，∵AB = 4，BM = BO +OM = 1+1 = 2，

由勾股定理得AM=25．

31. （2011湖南湘潭市，23，8分）（本题满分8分）

如图，已知一次函数y?kx?b?k?0?的图像与x轴，y轴分别交于A（1，0）、B（0，－1）两点，且又与反比例函数y?2.

⑴ 求一次函数的解析式；

⑵ 求C点坐标及反比例函数的解析式.

y mx?m?0?的图像在第一象限交于C点，C点的横坐标为

C O A B x

【答案】解：（1）由题意得：??k?b?0?b??1，解得??k?1,?b??1.，

所以一次函数的解析式为y=x-1。

（2）当x=2时，y=2-1=1，所以C点坐标为（2,1）；又C点在反比例函数y?象上，所以1?m2mx?m?0?图

，解得m=2，所以反比例函数的解析式为：y?2x。

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