六校教研协作体2013届高二联考理科数学试题(2012.5.9)

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六校教研协作体2013届高二联考理科数学试卷

命题人：桂城中学 雷 波

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试时间120分钟． 2012年5月

一、选择题 本大题共8小题，每小题5分，共50分．

1．i为虚数单位，则复数i?(1?i)的虚部为（ ）

（A）i （B）?i （C）1 （D）?1

3x2y22．已知双曲线2?2?1的一条渐近线方程为y?x，则此双曲线的离心率为（ ）

4ab （A）

4557 （B） （C） （D）

33443．已知p:x?2，q:0?x?2，则p是q的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 4．下列命题中正确的是 （ ）

（A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面

325．己知函数f(x)?ax?bx?c，其导数f?(x)的图象如图所示，

y 则函数f(x)的极小值是（ ）

（A）a?b?c （B）8a?4b?c （C）3a?2b

（D）c

O 1 第5题图 2 x 6．已知圆C与直线x?y?0和x?y?4?0都相切，圆心在直线x?y?0，则圆C的方程为（ ）

2 （A）(x?1)??y?1??2

2 （B）(x?1)?(y?1)?2 （D）(x?1)?(y?1)?2

2222 （C）(x?1)?(y?1)?2

22理科数学 第1页 共11页

7．从4台甲型和5台乙型手机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型手机各一台，则不同的取法有（ ） （A）140种

（B）120种 （C）70种

（D）210种

8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整

1（n?2），每 n111111个数是它下一行左右相邻两数的和，如??，??，

122236111??，?，则第7行第4个数（从左往右数）为（ ） 341211（A） （B）

14010511（C） （D）

4260数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为

二、填空题 本大题共6小题， 每小题5分，满分30分．

9．若复数z1?1?2i，z2?i，则z1?z2＝ ． 10．若命题p:?x?R，2x?1?0，则?p为 ． 11．(x?1225)的二项展开式中x2的系数是 ．（用数字作答） xxy12．

?(e0?2x)dx等于 ．

OAFBx13．已知?FAB，点F的坐标为(1,0)，点A、B分别在图中抛物 线y?4x及圆(x?1)?y?4的实线部分上运动，且AB总是平 行于x轴，那么?FAB的周长的取值范围为 ．

?222第13题 ????1131514．无限循环小数可以化为有理数，如0.1?，0.13?，0.015?，?.

999999请你归纳出0.017? （表示成最简分数

??m,n,m?N?)． n理科数学 第2页 共11页

三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．

15．（本题满分12）已知函数f(x)?ax2?blnx在x?1处有极值 （Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）求函数y?f(x)的单调区间．

16．（本题满分12）如图，已知曲线C1:y?x2?1与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，圆C2经过A、B、C三点． （Ⅰ）求圆C2的方程；

（Ⅱ）过点P(0,m)(m??1)的直线l1与圆C2相切， 试探讨l1与C1的位置关系．

?17．（本题满分14）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?1，AC?AA 1?3，?ABC?60．

1． 2（Ⅰ）证明：AB?AC； 1（Ⅱ）求二面角A?AC1?B的余弦值．

理科数学 第3页 共11页

18．（本题满分14）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x?6），年销量为u万件，且

u??k(x?212585)?，k为常数．已知售价为10元时，年销量为28万件． 48（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）列出年销售利润y关于x的函数关系式，试确定售价为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．

x2y2319．（本题满分14）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点(0,1)，且离心率为．

ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）A,B为椭圆C的左右顶点，点P是椭圆C上异于A,B的动点，直线AP,BP分别交直线

l:x?22于E,F两点．

证明：以线段EF为直径的圆恒过x轴上的定点．

20．（本题满分14）已知函数f?x???13a2x?x?2x?a?R?． 32（Ⅰ）当a?3时，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意x??1,???都有f?(x)?2(a?1)成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若过点?0,??可作函数y?f?x?图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

??1?3?理科数学 第4页 共11页

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六校教研协作体2013届高二联考理科数学试卷

参考答案

一、选择题 本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 D 6 B 7 C 8 A 二、填空题 本大题共6小题， 每小题5分，满分30分．

?x?R，40 12．2x?1?0 11．9．2 10．(4,6) 14．e 13．

217 990三、解答题 本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．

15．解析：（Ⅰ）∵f?(x)?2ax?b1，函数在x?1处有极值，------------------------2分 x21?f?(1)?0?2a?b?0?a????∴?， -----------4分 解得?2 ． ----------------5分 1，即?1f(1)?a?????2?2?b??1（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?12x?lnx，x?0， ------------------------7分 21(x?1)(x?1)∴f?(x)?x??， ------------------------8分

xx由f?(x)?0得，x?1；由f?(x)?0得，0?x?1； ------------------------10分 ∴函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增． ------------------------12分

，0)、C(0,?1),则OA?OB?OC， 16．解析：（Ⅰ）由题可得A(?1,0)、B(1因此圆C2为以原点为圆心，1为半径的圆

且圆C2的方程为x?y?1. -----------------------4分

（Ⅱ）依题意,直线l1斜率存在，可设其直线方程为y?kx?m， -----------------------5分

因为直线l1与圆C2相切，所以22mk2?1?1，即k2?m2?1， -----------------------7分

?y?kx?m2联立l1与C1的方程?，可得x?kx?m?1?0， -----------------------9分 2?y?x?122因此??k?4m?4?m?4m?3

理科数学 第5页 共11页

当??0，即?1?m??3时，直线l1与C1没有公共点； -----------------------10分 当??0，即m??3时，直线l1与C1有且只有一个公共点； -----------------------11分 当??0，即m??3时，直线l1与C1有两个公共点． -----------------------12分 17．解析：（Ⅰ）∵三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱， ∴AA1?底面ABC，

又AB?底面ABC，∴AA1?AB， （直接得到扣1分） -----------------------------2分

?在?ABC中，AB?1，AC?3，?ABC?60，

由正弦定理得sin?ACB?AB?sin?ABC?AC1?32?1，故?ACB?30?，

23?∴?BAC?90，即AB?AC． --------------------------------4分

又AC?AA1?A，∴AB?平面ACC1A1，

又AC．-----------------------6分 ?平面ACC1A1，∴AB?AC11D，连结BD． （Ⅱ）法1：如图，作AD?AC1于点1交AC由（Ⅰ）知，AB?AC，又AB?AD?A， 1∴AC?平面ABD，又BD?平面ABD， 1∴BD?AC1，----------------------9分

∴?ADB为二面角A?AC1?B的平面角， --------------------------------10分 在Rt?AAC1中，AD?AA1?AC3?36， ??AC261AB6?， AD3在Rt?BAD中，tan?ADB?∴cos?ADB?1515，即二面角A?AC1?B的余弦值为．--------------------------------14分 55法2：（Ⅰ）∵三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱， ∴AA1?AB，AA1?AC，

理科数学 第6页 共11页

?在?ABC中，AB?1，AC?3，?ABC?60，

由正弦定理?ACB?30，

?∴?BAC?90，即AB?AC．

0如图，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A1(0,0,3)，

????????∴AB?(1,0,0)，AC?(0,3,?3)， 1????????∴AB?AC?1?0?0?3?0?(?3)?0， 1∴AB?AC．--------------------------------6分 1????（Ⅱ）如图，可取m?AB?(1,0,0)为平面AAC的法向量， 1设平面A1BC的法向量为n?(x,y,z)，

????????????则BC?n?0，AC,3,0)， 1?n?0，又BC?(?1???x?3y??x?3y?0∴?，∴?，

???z?y?3y?3z?0不妨取y?1，则n?(3,1,1)， --------------------------------11分

cos?m,n??m?n3?1?1?0?1?015??， ------------------------13分

222222|m|?|n|5(3)?1?1?1?0?0∴二面角A?AC1?B的余弦值为15． --------------------------------14分 518．解析：（Ⅰ）由题意知，当x?10时， u?28，

212585)?，解得k?2， ------------4分 48212585]， x?(6,??)．------------6分 （Ⅱ）年销售利润y?(x?6)?u?(x?6)?[?2(x?)?48 ∴28??k(10? ?(x?6)?(?2x?21x?18)， （没有定义域扣1分）

∴y???2x?21x?18?(x?6)(?4x?21) -------------------------8分 ??6(x222(6,??) ，x??11x?18)??x6(?x2)(?9)理科数学 第7页 共11页

令y??0得，x1?2（舍去）或x2?9， -------------------------10分 当x?(6,9)时，y??0；当x?(9,??)时，y??0； -------------------------12分 因此，x?9是利润函数的极大值点，也是最大值点．故ymax?135万元． 所以当售价为9元时，最大年利润为135万元． -------------------------14分 19．解析：（Ⅰ）由题意可知，b?1，而

解得a?2， 所以，椭圆的方程为

c3222，且a?b?c． ?a2y l P B A O M F D N x E x?y2?1．-------------------------6分 42（Ⅱ）法1：由题可得A(?2,0),B(2,0)．设P(x0,y0)， 直线AP的方程为y?y0(x?2)， x0?2令x?22，则y??(22?2)y0?(22?2)y0，即E?22,； -------------------------8分 ???x0?2?x0?2?直线BP的方程为y?y0(x?2)， x0?2?(22?2)y0?(22?2)y0令x?22，则y?，即F?22,； -------------------------10分 ???x?2x0?20???(22?2)y0??(22?2)y0?2EF以线段为直径的圆为(x?22)??y????y???0，

x?2x?200????2(22?2)(22?2)y0令y?0，得(x?22)??0， 2x0?4224y0∴(x?22)?， 24?x022x0222?y0?1，即4y0而， ?4?x04∴(x?22)2?1，∴x?22?1或x?22?1．

所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点(22?1,0)或(22?1,0)．----------------14分 法2：由题可得A(?2,0),B(2,0)．设P(x0,y0)，E(22,yE)，F(22,yF)．

理科数学 第8页 共11页

直线AP的方程为y?y0(22?2)y0； (x?2)，令x?22，则yE?x0?2x0?2y0(22?2)y0； (x?2)，令x?22，则yF?x0?2x0?2yE?yF|y?yF|)，半径r?E，----------------9分 22直线BP的方程为y?∴以线段EF为直径的圆的圆心为(22, yE?yF2|yE?yF|2)?则圆的方程为：(x?22)?(y?， 242令y?0，得(x?22)2??yE?yF， ----------------11分

2(22?2)y0(22?2)y04y0又因为yE?yF?， ??2x0?2x0?2x0?42x0222?y0?1，即4y0而，∴yE?yF??1， ?4?x04∴(x?22)2?1，∴x?22?1或x?22?1．

所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点(22?1,0)或(22?1,0)． -------------14分 20．解析：（Ⅰ）当a?3时，f?x???21332x?x?2x，得f'?x???x2?3x?2． 32因为f'?x???x?3x?2???x?1??x?2?， -------------------------2分 所以当1?x?2时，f??x??0，函数f?x?单调递增； 当x?1或x?2时，f??x??0，函数f?x?单调递减．

所以函数f?x?的单调递增区间为?1,2?，单调递减区间为???,1?和?2,???． ----------4分 （Ⅱ）方法1：由f?x???13a2x?x?2x，得f'?x???x2?ax?2， 32因为对于任意x??1,???都有f'(x)?2(a?1)成立， 即对于任意x??1,???都有?x?ax?2?2(a?1)成立，

2即对于任意x??1,???都有x?ax?2a?0成立， -------------------------6分

2令h?x??x?ax?2a，要使对任意x??1,???都有h?x??0成立，

2理科数学 第9页 共11页

?a2?8a?0,???0,???a?a2必须满足??0或??1,，即a?8a?0或??1,

2??2???1?a?0.?h?1??0.所以实数a的取值范围为??1,8?． -------------------------9分 方法2：由f?x???13a2x?x?2x，得f'?x???x2?ax?2， 32因为对于任意x??1,???都有f'(x)?2(a?1)成立，

所以问题转化为，对于任意x??1,???都有?f'(x)?max?2(a?1)． -------------------------6分

aa?a2?因为f??x????x????2，其图象开口向下，对称轴为x?．

22?4?①当

2a?1时，即a?2时，f'?x?在?1,???上单调递减， 2所以f'?x?max?f'?1??a?3，由a?3?2?a?1?，得a??1，此时?1?a?2． ②当

a?a??a??1时，即a?2时，f'?x?在?1,?上单调递增，在?,???上单调递减， 2?2??2?所以f'?x?maxa?a?a?f'????2，由?2?2?a?1?，得0?a?8，此时2?a?8．

4?2?422综上①②可得，实数a的取值范围为??1,8?． -------------------------9分 （Ⅲ）设点P?t,?t???133a2?t?2t?是函数y?f?x?图象上的切点， 2?2则过点P的切线的斜率为k?f'?t???t?at?2， 所以过点P的切线方程为y?t?因为点?0,??在切线上， 所以?133a2t?2t???t2?at?2??x?t?． 2??1?3?113a2211?t?t?2t???t2?at?2??0?t?，即t3?at2??0． 332323若过点?0,??可作函数y?f?x?图象的三条不同切线，

??1?3?理科数学 第10页 共11页

23121t?at??0有三个不同的实数解． -------------------------12分 32323121令g?t??t?at?，则函数y?g?t?与t轴有三个不同的交点．

则方程323令g??t??2t2?at?0，解得t?0或t?a2．

因为g?0??1?1313，g?a??2????24a?3， 所以必须g??a??2????124a3?13?0，即a?2． 所以实数a的取值范围为?2,???． 理科数学 第11页 共11页-------------------------14分

23121t?at??0有三个不同的实数解． -------------------------12分 32323121令g?t??t?at?，则函数y?g?t?与t轴有三个不同的交点．

则方程323令g??t??2t2?at?0，解得t?0或t?a2．

因为g?0??1?1313，g?a??2????24a?3， 所以必须g??a??2????124a3?13?0，即a?2． 所以实数a的取值范围为?2,???． 理科数学 第11页 共11页-------------------------14分

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