2011届高三福建省四地六校联考第二次月考理科数学试题

“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考

2010-2011学年上学期第二次月考

高三数学（理科）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。）

1.已知集合A?{cos0?,sin270?},B?{x|x2?x?0}，则A?B为 （ ） A．{0,?1} B．{?1,1} 2.已知命题P：?x?[0,?2 C．{?1} D．{0}

??2],sinx?x，那么命题p是（ ）

A. ?x?[0,],sinx?x B. ?x?[0,?2],sinx?x

C. ?x?[0,?2],sinx?x D. ?x?[0,?2],sinx?x

3.若a?b?0，则下列命题中正确的是 （ ）

A．

1a?b?1a

B．

1a?b?1a C．

1a?b?1a D．不能确定

24. 函数f(x)?x?mx?1的图像关于直线x?1对称的充要条件是 （ ）

A. m?2 B. m?1 C.m??1 D. m??2 5. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是

A．y??log2（ ） D．y??1xx B．y?x?x C．y?3

3x

6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|BC|?4，|AB?AC|?|AB?AC|,

?????则?AM?? （ ）

A.8 B.4 C.2 D.1

1327．已知f(x)为R上的奇函数，且f(x?2)?f(x)，若f()?1，则f()? ( )

2A.0 B.±1 C. 1 D.?1

??8．将函数y=sin(x+) (x?R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上

64各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为 ( ) A．y=sin(2x+x5?12) (x?R) B．y=sin(x2x2+5?125?24) (x?R)

C．y=sin(212-?) (x?R) D．y=sin(+) (x?R)

9.关于x的方程log1(x?a)?x?2?0的根在(1,2)内，则实数a的取值范围是（ ）

2A.(1,2) B. (?1,1) C. (0,1) D. (,1)

2110．若函数f(x)满足：“对于区间(1,2)上的任意实数x1,x2(x1?x2)，

|f(x2)?f(x1)|?|x2?x1| 恒成立”，则称f(x)为完美函数.给出以下四个函数

①f(x)?1x ②f(x)?|x|

?1?③f(x)??? ④f(x)?x2

?2?x其中是完美函数的是（ ） A．①

B．② ③ C．①③

D．②③④

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)

11. 函数y?loga(x?1)?2(a?0,a?1)的图像恒过一定点是_ _

12. 如右图所示，角?的终边与单位圆（圆心在原点， 半径为1的圆）交于第二象限的点A(cos?,则cos??sin?? ．

????????????????13. 已知e1?(1,3),e2?(1,1),e3?(x，-1)，且e3?2e1??e2(??R)，则实数x的值是

?x?1(?1?x?0)?14.函数f(x)???的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ；

?cosx(0?x?)2?35)，

15. 定义：关于x的两个不等式f?x??0和g?x??0的解集分别为?a,b?和?，?，则称

?ba??11?这两个不等式为相连不等式.如果不等式x?43xcos2??2?0与不等式

???22x?4xsin2??1?0为相连不等式，且???,??，则?? .

?2?2三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分) 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点

A(,0),P（cos?,sin?）

56（I）若cos??56,求证：PA?PO；

（II）若PA?PO,求sin(

?2?2?)的值．

17．(本小题满分13分)已知定义域为R的函数f(x)?a?14?1x是奇函数．

（I）求a的值，并指出函数f(x)的单调性（不必说明单调性理由）；

22（II）若对任意的t?R，不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求k的取值范围．

18. （本小题满分13分）海岛B上有一座为10米的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D处。（假设游船匀速行驶） （I）求该船行使的速度（单位：米/分钟）

（II）又经过一段时间后，油船到达海岛B的正西方向E处，问此时游船距离海岛B多远。

19. （本小题满分13分）已知函数f(x)?ax?3x?1?323a

（I）若函数f(x)在x??1时取到极值，求实数a的值； （II）试讨论函数f(x)的单调性；

（III）当a?1时，在曲线y?f(x)上是否存在这样的两点A，B，使得在点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为?a,b?，

????????点B的坐标为?cos?x,sin?x?，其中a?b?0且??0.设f(x)?OA?OB.

22（I）若a?3，b?1，??2，求方程f(x)?1在区间?0,2??内的解集；

（II）若点A是曲线g(x)?x?2上的动点.当x?R时，设函数f(x)的值域为集合

M，不等式x?mx?0的解集为集合P. 若P?M恒成立，求实数m的最大值；

2（III）根据本题条件我们可以知道，函数f(x)的性质取决于变量a、b和?的值. 当????x?R时，试写出一个条件，使得函数f(x)满足“图像关于点?,0?对称，且在x?6?3?处f(x)取得最小值”.【说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.】

21. （本小题满分14分）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，任选2题作答，

满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）(本小题满分7分) 选修4-2:矩阵与变换

已知a,b?R，若M????1?ba??所对应的变换TM把直线L:2x?y?3变换为自身，3?求实数a,b，并求M的逆矩阵。

（2）（本题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

?x?tl 已知直线的参数方程：?（t为参数）和圆C的极坐标方程：

?y?1?2t??22sin?(??4) 。

①将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； ②判断直线l和圆C的位置关系。

（3）（本题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)?|x?2| ①解不等式f(x)?5；

②证明：对任意x?[?2,3]，不等式f(x)?f(x?3)?5成立.

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2010-2011学年上学期第二次月考

高三数学（理科）参考答案

一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 B 6 C 7 D 8 B 9 B 10 C

二、填空题 11、（2,2） 12、-75 13、-5 14、

32 15、

5?6

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、解：（I）

由题设知PA?(所以PA?PO?(??6565652?cosa,?sina),PO?(?cosa,?sina).????????2分 ?cosa)(?cosa)?(?sina）

22cosa?cosa?sin56a??65cosa?1. ????????4分

因为cosa?,所以PA?PO?0.故 PA?PO. ????????7分

22（II）因为PA?PO，所以PA

（cosa?即

65)?sin3522?PO, ????????8分

2a?cosa?sin2a.

解得cosa?从而sin(?2. ????????11分

2?2a）?cos2??2cos??1??725 ??????13分

17、解：（I）函数f(x)的定义域为R，因为f(x)是奇函数，所以f(x)?f(?x)?0， 即a?14?1x?a?14?x?1?2a?14?1x?4xx1?4?2a?1?0，故a??112 ??4分

（另解：由f(x)是R上的奇函数，所以f(0)?0，故a??．

2再由f(x)??12?11?4x?1?4xx2(1?4)，

12通过验证f(x)?f(?x)?0来确定a?? 由f(x)??12?14?1x的合理性） ?????4分

,知f(x)在R上为减函数 ?????6分

（II）解法一：由（I）得f(x)在R上为减函数，

又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0等价于

f(t?2t)??f(2t?k)?f(?2t?k). ?????9分

22222

f(x)在R上为减函数，由上式得：t?2t??2t?k.

22即对一切t?R有3t?2t?k?0, 从而??4?12k?0,解得k??132 ?????13分

解法二：由（1）知f(x)?即(42t2?1又由题设条件得：??0 ,22xt?2t2t?k2?4?22?4?22?4?2t?2t2?4?1x?4t?2t2?1?42t?k2?k?1)(?42t?2t2?1)?(4?1)(?422t?k2?1)?0 ?????9分

13. ????13分

整理得43t?2t?k?1，因底数4>1，故3t?2t?k?0

上式对一切t?R均成立，从而判别式??4?12k?0,解得k??18、(Ⅰ)在Rt?ABC中，?BAC=600，AB = 10，则BC = 103米 ????2分

在Rt?ABD中，?BAD=450，AB = 10，则BD = 10米 ???????? 4分

在Rt?BCD中，?BDC=750+150=900， 则CD =

BD+BC= 20米 ?????????? 5分

CD122所以速度v = = 20 米/分钟 ??????????6分

（Ⅱ）在Rt?BCD中，?BCD=300，

又因为?DBE=150，所以?CBE=1050 ??????????8分 所以?CEB=450 ??????????9分 在?BCE中，由正弦定理可知所以EB?BCsin300EBsin300?BCsin450，

?56米 ??????????12分 0sin45答：（I）该船行使的速度为20米/分钟；

（II）又经过一段时间后，油船到达海岛B的正西方向E处，此时游船距离海岛56米。 ??????????13分 19、f?(x)?3ax?6x （a?0 ） ???????????1分 （I）∵函数f(x)在x??1时取到极值 ∴f?(?1)?3a?6?0 解得a??2

经检验a??2函数f(x)在x??1时取到极小值（不检验扣1分）

∴实数a的值－2 ??????????3分 （II）由f?(x)?0得x?0或x?①当a?0时，由f?(x)?0得

2a2a?0 ?x?0 2a或x?0

222a2 ??????????4分

由f?(x)?0得x?∴函数f(x)得单调增区间为(,0) ，单调减区间为(??,)和(0,??) ????6分

aa②当a?0时，

22a?0，同理可得函数f(x)得单调增区间为(??,2a)和(0,??)，单调减区

间为(,0) ????????????8分

a（II）假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，则kA?kB?0即f?(x)?3ax2?6x?0解得x?0或x?∴A(0,1?3a),B(2a,?4a322a

?1?3a)

又线段AB与x轴有公共点，∴yA?yB?0， ??????????10分 即（1?3aaa所以当3?a?4时，存在满足要求的点A、B. ??????????13分

????????20、解：（I）由题意f(x)?OA?OB?bsin?x?acos?x，??????????1分

)(?42?1?)?0 又a?1，解得3?a?4

当a?3，b?1，??2时，f(x)?sin2x????3cos2x?2sin?2x???1，?2分

3?????5???1??2k??或2x??2k??，k?Z. ?sin?2x???，则有2x?36363?2?即x?k???12或x?k???4，k?Z. ?????4分

??11?5?23??,,,?.??5分 412412??又因为x??0,2??，故f(x)?1在?0,2??内的解集为?（II）由题意，A是曲线g(x)?x?2上的动点，故b?a?2. ?????6分 因此，f(x)??a?2?sin?x?acos?x?? 所以，f(x)的值域M?????a?2?22?asin??x???，

222?a?. ?????8分

???a?2??a,2?a?2?2又x?mx?0的解为0和?m，故要使P?M恒成立，只需

?m??????a?2?2?a,2?a?2?22?a?，而???a?2?2?a?22?a?1??2?22，

即?2?m?

2，所以m的最大值2. ???????10分

????????（III）解：因为f(x)?OA?OB?bsin?x?acos?x?a?bsin??x???，

22设周期T?2??.

??处f(x)取得最小值”. ,0?对称，且在x?6?3???由于函数f(x)须满足“图像关于点?因此，根据三角函数的图像特征可知，

???6n?3，n?N.

?3??6?T4?n2?T??6?2??2n?1??? ??4?又因为，形如f(x)?点，故需满足sin?因为

?3a?bsin??x???的函数的图像的对称中心都是f(x)的零

22???3?????0，而当??6n?3，n?N时，

??2n?????，n?N；所以当且仅当??k?，k?Z时，f(x)??6n?3?????sin??????的图像关于点?,0?对称；此时，??3??cos????aa?bba?b2222?0,?a?0，

bb??1.

??1.（i）当b?0,a?0时，f(x)?sin?x，进一步要使x??6处f(x)取得最小值，则有

???????????2k?????12k?3，k?Z；又??0，则有f???sin??????1?62?6??6????6n?3,??12k?3，k?N；因此，由????12k?3,*n?N,k?N,*可得??12m?9，m?N； ?6（ii）当b?0,a?0时，f(x)??sin?x，进一步要使x?处f(x)取得最小值，则有

???????????2k?????12k?3，k?Z；又??0，则f????sin??????1?62?6??6?有??12k?3，k?N；因此，由????6n?3,???12k?3,n?N,k?N,可得??12m?3，m?N；

综上，使得函数f(x)满足“图像关于点???处f(x)取得最小值”,0?对称，且在x?63??????12m?9??12m?3的充要条件是“当b?0,a?0时，（m?N）或当b?0,a?0时，

（m?N）”. ????????????????????14分 （第III小题将根据学生对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分）

21、（1） 设P(x,y)为直线2x?y?3上任意一点其在M的作用下变为(x?,y?)

??1a??x???x?ay??x???x???x?ay则? ?????????????ybx?3yyy?bx?3yb3?????????代入2x?y?3得：?(b?2)x?(2a?3)y?3 ?????3分

其与2x?y?3完全一样得?则矩阵M????1??b?2?2?b??4 ??2a?3??1a?1??1??3?1??1M? 则??? ?????7分

??43??4?1?（2） 解：①消去参数t，得直线l的普通方程为y?2x?1 ?????3分

??22sin(???4)，即??2(sin??cos?)，

两边同乘以?得?2?2(?sin???cos?)，

得⊙C的直角坐标方程为(x?1)2?(x?1)2?2 ???5分 ②圆心C到直线l的距离d?|2?1?1|22?255?2，所以直线l和⊙C相交?7分

2?1（3）①由|x?2|?5，解得?3?x?7

∴原不等式的解集为{x|?3?x?7} ????????3分 ②证明：f(x)?f(x?3)?5即|x?2|?|x?1|?5 令y?|x?2|?|x?1|及y?5由图得

当x?[?2,3]，不等式成立. ????????7分

-2 3 0 3 x y 5

（m?N）”. ????????????????????14分 （第III小题将根据学生对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分）

21、（1） 设P(x,y)为直线2x?y?3上任意一点其在M的作用下变为(x?,y?)

??1a??x???x?ay??x???x???x?ay则? ?????????????ybx?3yyy?bx?3yb3?????????代入2x?y?3得：?(b?2)x?(2a?3)y?3 ?????3分

其与2x?y?3完全一样得?则矩阵M????1??b?2?2?b??4 ??2a?3??1a?1??1??3?1??1M? 则??? ?????7分

??43??4?1?（2） 解：①消去参数t，得直线l的普通方程为y?2x?1 ?????3分

??22sin(???4)，即??2(sin??cos?)，

两边同乘以?得?2?2(?sin???cos?)，

得⊙C的直角坐标方程为(x?1)2?(x?1)2?2 ???5分 ②圆心C到直线l的距离d?|2?1?1|22?255?2，所以直线l和⊙C相交?7分

2?1（3）①由|x?2|?5，解得?3?x?7

∴原不等式的解集为{x|?3?x?7} ????????3分 ②证明：f(x)?f(x?3)?5即|x?2|?|x?1|?5 令y?|x?2|?|x?1|及y?5由图得

当x?[?2,3]，不等式成立. ????????7分

-2 3 0 3 x y 5

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