谐振原理的光子晶体滤波器的设计与优化 - 图文

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毕业设计（论文）

题 目 谐振原理的光子晶体滤波器的设计与优化

姓 名 学 号 专业班级 07电子信息工程 指导教师 学 院 完成日期

摘 要

本文在了解了二维光子晶体的能带特性后，从理论分析和实验仿真的角度对光子晶体滤波器展开了一系列研究，深入分析了光子晶体结构参数对滤波器传输特性影响。在研究过程中，本文用了有限元的计算方法对能量密度进行计算。从最终的仿真结果中可以得出这样的结论，不同的工作频率对应的滤波器的晶格结构是不同的，这个结论对滤波器滤波效率具有重大影响。

另外，本文在参考了大量文献后，选取了两种光子晶体的周期组成结构。在组成的结构上，本文分别采用的三角晶格的稳定结构模式以及正方晶格结构模式，这两种模式不仅能有效地传输电磁波，使其在传输过程中的损耗较小，还能极大的促进了谐振腔的耦合，提高了滤波器的滤波功能。

综上所述，本文不仅分析了影响光子晶体波导与谐振腔间耦合效率的因素，给出了提高耦合效率的方法，而且设计了正方晶格光子晶体对称式谐振腔四信道光滤波器和三角晶格光子晶体对称式四信道光滤波器，其中三角晶格光子晶体滤波器的滤波效果在97％以上，并且文中给出了晶格常数与各信道波长的关系式，论文结果可以为设计和制作高效的光子晶体多信道滤波器提供有益的参考依据。

关键词：光子晶体；信道滤波器；谐振腔；波导

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Abstract

Understanding of two-dimensional photonic crystal projected band-structure, I conducted a series of studies on the photonic crystal filter from the theoretical analysis and experimental simulation. In the research, it use the finite element method and plane wave expansion method to calculate the energy density. From the last simulation results, we can conclude that the different operating frequency will lend to the different lattice structure, this conclusion has played a significant role in the filtering efficiency of final result.

In addition, after accessing to a large number of documents in this paper, I select two periodic photonic crystal composition. In the article, it use the square lattice structure mode and the triangle crystal lattice structure mode，not only can effectively transmit electromagnetic waves, and the attenuation in the transmission process are smaller, but also greatly promoted the coupling of the resonator, which can improve the filtering function of the filter.

In summary, this article has not only analyzed the primary factor of influence photonic crystal filter efficiency, and given the design method of improving the filter efficiency, but also designed the square lattice photonic crystal four channel filter and the triangle crystal lattice photonic crystal reflection type four channel filter. The filter of the triangle crystal efficiency of every channel is over 97％, and the relationship expression of crystal constant and channels wavelength has also given. The article has the very high reference value for design and manufacture highly efficient photonic crystal multi-channel optical filter.

Keywords: Photonic crystal; Channel filter; Resonant cavity; Waveguide

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目 录

摘 要 ............................................................................................................................... I Abstract ........................................................................................................................... II 第1章 概述 .................................................................................................................... 1

1.1 光子晶体概念 .................................................................................................... 2 1.2 光子晶体的前景介绍 ........................................................................................ 3 1.3 光子晶体的制备技术 ........................................................................................ 4

1.3.1 精密机械加工技术 .................................................................................. 4 1.3.2 微机械技术 .............................................................................................. 5 1.3.3 胶体颗粒自组织法和反蛋白石结构 ...................................................... 5 1.3.4 逐层叠加(Layer by Layer)法 ................................................................... 5 1.3.5 激光全息法 .............................................................................................. 6 1.4 光子晶体光滤波器 ............................................................................................ 6

1.4.1 滤波器简介 .............................................................................................. 6 1.4.2 光子晶体滤波器的研究现状 .................................................................. 6 1.5 本文工作 ............................................................................................................ 8 第2章 光子晶体的基本理论和计算方法 .................................................................. 10

2.1 光子晶体理论分析 .......................................................................................... 10 2.2 谐振腔理论分析 .............................................................................................. 13 第3章 光子晶体波导的设计 ...................................................................................... 16

3.1 光子晶体波导 .................................................................................................. 16 3.2 普通光子晶体波导的设计 .............................................................................. 16 3.3 弯曲光子晶体波导设计 .................................................................................. 18 3.4 光子晶体波导的单向传播 .............................................................................. 19 第4章 光子晶体滤波器设计 ...................................................................................... 21

4.1 滤波器设计方案 .............................................................................................. 21 4.2 正方晶格结构光子晶体滤波器的设计 .......................................................... 22 4.3 正方晶格结构光子晶体滤波器仿真分析 ...................................................... 23 4.4 光子晶体滤波器的优化 .................................................................................. 24

4.4.1 结构优化 ................................................................................................ 24 4.4.2 优化结果 ................................................................ 错误！未定义书签。 4.5 结果分析 .......................................................................................................... 27 第5章 总结与展望 ...................................................................................................... 28

5.1 论文工作内容的总结 ...................................................................................... 28 5.2 研究展望 .......................................................................................................... 28 参考文献 ........................................................................................................................ 30 致谢 ................................................................................................ 错误！未定义书签。

III

第1章 概述

近代以来，随着科技的发展以及社会的进步，人们的物质和精神生活的水平的不断提高。尤其是第三次产业革命以后，出现了第二代，第三代的移动通信技术，使人类能够在相同时间，不同空间中自由进行无线通信。由于无线通信技术的出现，人们对信息传输速率和通信容量需求才会不断提升，然而传统通信技术已经将传输率发挥到极致，很难再有所提升，这就直接刺激了目前的光通信技术的发展。坦白地说，目前的光通信技术中，光的作用还仅限于信息传输、信号处理，但是诸如信号的分组交换，信号路由，信号的过滤等技术，仍然停留在电子技术的手段，也就是说，光技术并没有完完全全地替代电技术。自21世纪以来，通过改革开放，坚持创新，中国踏上了强国之路。风云汇际的今天，科学发展观已然成为我们发展的指导思想，科学发展观教导我们，我们必须以发展的眼光看未来，不断创新，用于开拓，把中国建立成社会在现代化国家。而未来的通信技术中，光通信是一种必然趋势。在光通信技术里，信号的载体毫无疑问将以光子的形式成为主流，这不仅是人类追求的技术梦想，也是未来社会发展的现实需求，是科技进步所带来的前所未有的成果。

众所周知，大规模集成电路、计算机电路这些都是由半导体制成的，在半导体中，电子起到了决定性的作用，光子和电子存在的最大区别在于光子只是构成光束粒子波中的不带电的粒子，而电子带电荷。由于电子携带电荷，使电子之间存在相互作用。与电子相比，光子有着速度快，没有相互作用的优势。因此，下一代器件的主角将是光子，这毋庸置疑。光子晶体的出现给光子的发展提供了平台，这种材料有一个显著的特点是它可以如人所愿地控制光子的运动。由光子晶体做成的器件可以如人所愿地控制光子的流动，就像半导体中的电子一样。正因为有独一无二的特点，近年来光子晶体的研究在世界各主要国家都成为了科学研究领域的一个热门课题。

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1.1 光子晶体概念

我们将具有不同介电常数的介质材料在空间中按一定的周期排列，由于存在周期性，在其中传播的光波的色散曲线会呈现带状结构，且带与带之间有可能会出现类似于半导体禁带的“光子禁带”，我们将具有光子禁带的周期性电介质结构称为光子晶体。只要光子晶体两个材料的折射率比到达一定程度，也就是光子晶体周期性变化足够强烈，则光子能带就会产生光子禁带。在禁带中的光子将无法在光子晶体中传播。利用这个性质，人们就可以控制光波的传播特性，如禁止某频带内的光传播，控制光传播方向等。

光子晶体是具有光子能带和能隙的一类材料，根据能隙空间分布的特点，可以将光子晶体分为一维(1D)光子晶体、二维(2D)光子晶体和三维(3D)光子晶体如图1.1所示[1]，

图 1.1 (a)一维结构 (b)二维结构 (c)三维结构三种光子晶体结构模式

一维光子晶体由两种介质交替叠层而成，这种结构在垂直于基质的方向上介电常数周期性分布，而在平行于基质的平面方向上介电常数均匀分布[2]。

二维光子晶体是指在二维空间各方向上具有光子频率禁带特性的材料，它是由许多介质杆平行而均匀地排列而成的。这种结构在垂直于介质杆的方向上(两个方向)介电常数是空间位置的周期性函数，而在平行于介质杆的方向上介电常数不随空间位置而变化[2]。横截面形状不同，获得的光子频率禁带宽窄也不一样，为了获得更宽的光子频率禁带范围，还可以采用同种材料但直径大小不同的两种介质圆柱杆来构造二维光子晶体。

三维光子晶体是指在三维空间各方向上具有光子频率禁带特性的材料。美国贝尔通讯研究所的E.Yablonovich创造出了世界上第一个具有完全光子频率禁带的

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三维光子晶体，它是一种由许多面心立方体构成的空间周期性结构，也称为钻石结构[2]。

与半导体类似，完美的光子晶体用处并不大。在实际应用中，往往需要引入缺陷来制作各种各样的光学器件，如光波导、微谐振腔等。引入的缺陷破坏子光子晶体原有的周期性。在光子带隙中就有可能出现频率极窄的缺陷态，与缺陷态频率吻合的光子会被局域在出现缺陷的位置，一旦偏离缺陷位置光将迅速衰减。由此可见，光子晶体可以作为某频段电磁波的绝缘体，同理，还可以把光子晶体作为其它频段电磁波的导体[3]。

1.2 光子晶体的前景介绍

1987 年E.Yablonovitoh和S.John在《Physics RevieW Letter》上分别提出光子晶体这一概念[2]，在这以后，光子晶体这一新型材料引起了众多科学家的研究兴趣，掀起了一股研究热潮。

近年来，光子晶体的研究持续升温，甚至在某些实际应用领域已有一席之地，这得益于在达到的性能同步的条件下，它可以被制作成比相应的常规设备要小的多的器件。光子晶体的特点是在其内部具有光子能量和频率禁带，处于禁带区域的光子在光子晶体中是被禁止传播的，这一特点使得光子晶体在光电子和光通信中有重要的应用价值。光子晶体信道滤波器被认为是利用在点缺陷和由线缺陷产生的波导模式下造成的微共振腔模式间的谐振耦合，并且利用金属材料制作的光子晶体在某一频率之下全是禁带区，是理想的高通滤波器。拥有能量衰减效率比较高的滤波器通常都是通过其结构设计得到的，即多通道的光子晶体滤波器。此外，利用这一原理，还可以制作三信道的信道频率分波器，定向耦合器，以及光子晶体波导，光分束器等其他的光学器件。

光子晶体的研究在我国得到了相当的重视。曾先后得到了国家“863”计划，“937”计划的支持。2004年国家自然科学基金在重大基础研究项目中对光电信息功能材料进行了重点资助[4]。

光滤波器是光子技术的基本元件之一，在光纤传感、光通信和光学信息处理方面有着广泛的应用。作为一种波长选择器件，光滤波器可以用于半导体激光器或光纤激光器的反射腔镜和窄带滤波、复用/解复用器、光放大器中的噪声抑制、

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波长选择器、波长转换器、色散补偿器以及延时器等。近年来，滤波器的研究发展十分迅速，受到了人们的普遍关注。光滤波器的种类繁多，性能各异，功能也各不相同。光滤波器的质量和体积等参数直接影响到它的应用价值。目前实现波长选择的方法主要有干涉滤波法、棱镜和光栅的色散分光法、光纤布喇格光栅光谱滤波法、声光滤波法、集成纤维或集成波导滤波法等等。目前在高速率光纤通信系统和网络中广泛应用的光滤波器有法布里珀罗谐振腔滤波器、马赫陈德尔干涉型光滤波器、基于光栅的滤波器、介质膜滤波器、有源光滤波器、原子共振滤波器等。

随着越来越多的研究者对光子晶体这种新型的人工结构材料认识与研究的深入，人们发现光子晶体能够为新型光滤波器的设计和制造提供崭新的思路。这主要是基于光子晶体具有光子频率禁带，频率在禁带区内的光子是不能在光子晶体中存在的。因此，一块光子晶体就是一个自然的理想带阻滤波器。以此为基础，人们已经研究出多种能够满足不同需要的，性能优良的光子晶体滤波器[4]。

1.3 光子晶体的制备技术

光子晶体是一种人造微结构，它的晶格尺寸与光波的波长相当，是晶体晶格尺寸的1000倍。光子晶体的制备具有很大的难度，光子晶体适用的波长范围不同，制备技术也不同。另外还要引进缺陷态，因此制作光子晶体往往需要采用多种技术才能完成，半导体制备技术在光子晶体制备中起了很大的作用[5]。

1.3.1 精密机械加工技术

这种加工技术主要用于微波波段光子晶体的制作。微波波段光子晶体的晶格常数一般在厘米至毫米量级，用精密机械加工技术比较容易实现[6, 9]。长波长二维光子晶体多通过上下两个带孔的薄片将细小的介质柱或金属柱固定，而薄片孔的排列决定了光子晶体的晶格结构。短波长光子晶体则多采用在半导体基片上打孔的方法来制造。在半导体基片上打孔时往往要用到激光刻蚀、电子柬刻蚀、离子束刻蚀等先进的半导体微加工制作技术。采用精密加工技术制作的第一块三维光子晶体结构是美国贝尔通讯研究所的E．Yablonovitch实现的[7]，是在一Al2O3基材上，按照面心立方的排列，用活性离子束钻出了约8000个球状空洞，而每一个

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空洞就是一个“原子”。这个结构虽被证明没有完全带隙，但它却引起了科学界对光子晶体潜在应用的重视。

1.3.2 微机械技术

Noda发展了微机械技术[13, 14]，如干蚀(Dry-etching)、片粘合(Wafer bondering)、片熔(wafer fusion)、激光束衍射刻膜(Laser beamdiffraction patern)等，用以制作光波波段光子晶体，制作过程大致如下：在GaAs或Inp基底上生长一层半导体介质层。采用电子束刻蚀或光刻或千蚀技术形成周期性条形分布，将其熔接，再用湿化学侵蚀法对基底进行刻蚀，重复上进过程形成四层结构，共计两个周期8层即形成一个光子晶体。

1.3.3 胶体颗粒自组织法和反蛋白石结构

这种方法可用于红外波段到可见光波段光子晶体的制各。人们利用聚苯乙烯乳胶球在重力场的作用下在水中自组织生长的特性来制各光子品体[14-20]。利用这种方法可以生成胶体晶体或脱水蛋白右光子品体。

这种方法简单易行，但是由于胶体球的折射率较低，无法产生完全带隙。研究人员在此基础上做了改进，以小球颗粒组成的紧密堆积结构为模板[21, 22]，向小球间隙填充高介电常数的Si、Ge、TiO2等材料，然后通过煅烧或化学腐蚀等方法将胶体颗粒除去而不改变其原有的晶格结构，这就形成了以空气球为“原子”的三维光子晶体。通过填充单晶硅，已成功制备了可见光及近红外波段的完全带隙的反蛋白石结构光子晶体[22]。

1.3.4 逐层叠加(Layer by Layer)法

逐层叠加法就是用多片二维周期性结构叠加在一起而构成三维光子晶体[18, 22]。Ho等人首先用此方法制备了光子晶体[21, 22]，用Al2O3介质棒制作了一种三维光子晶体的典型结构：堆垛结构(Woodpile structure)。这种方法已经实现在红外波段光子晶体的制备[22]，但要制备可见光波段的光子晶体，在技术上还存在很大的挑战。

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1.3.5 激光全息法

激光全息法[22, 23]就是多光束干涉法。让多束相干光交汇，在交汇区形成空间周期变化的干涉图样。让感光树脂在全息干涉图样中曝光，使光与物质相互作用，然后显影，就可以形成介质折射率在空间上周期性变化的有序微结构，如图1．5所示。直接得到的结构折射率比较低，不能产生完全带隙，可以将显影后形成的有序结构作为模板，填充高介电常数的材料来形成高折射率比的光子晶体结构。相对于其它方法，这种方法具有一次成形的优点，而且由于多光束干涉形成图样的周期性与光的波长相当，所以这种方法特别适合制作光波范围内的光子晶体。

1.4 光子晶体光滤波器

1.4.1 滤波器简介

滤波器（filter），是一种用来消除干扰杂讯的器件，将输入或输出经过过滤而得到纯净的直流电。对特定频率的频点或该频点以外的频率进行有效滤除的电路，就是滤波器，其功能就是得到一个特定频率或消除一个特定频率。

滤波器分为有源滤波器和无源滤波器。其中，从滤波器的模型结构来划分，通常有巴特沃斯响应，贝塞尔响应，切贝雪夫响应等等。滤波器的主要参数有中心频率，截止频率，通带带宽，插入损耗，回波损耗（return loss）[8]。

1.4.2 光子晶体滤波器的研究现状

光子晶体滤波器已然成为光子晶体技术的重要表现手法之一，同时，它也是光子技术的基本元件之一，在光通信和光学信息处理方面有起着重要的作用。

由于光子晶体滤波器的广阔应用前景，在近几年来已经吸引了广大学者进行研究实验。纵观当前的研究领域，主要有以下几个大的研究方向：首先是以日本学者Yoshihiro Akahane为首的研究团队致力于高Q因子谐振腔滤波器的研究[9, 13]，已经使用硅基材料制成了二维光子晶体微腔谐振器，其Q值达到了45000。并且还设计了高Q值的光滤波器，其设计结构如图1.2所示。

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图1.2 高Q值光滤波器结构图

在此研究的基础上，Bong Shik Song等人设计了通过改变不同段晶格常数的办法实现了异质结构多信道光滤波器，其结构如图1.3所示，但该方法的不足之处是若想实现各信道间隔很小，那么器件各段晶格常数相差会很小，在光波波段实际的制作工艺上有一定的困难。

图1.3 光子晶体多信道滤波器结构图

目前研究最多是利用二维光子晶体波导和谐振腔之问的耦合作用，来实现滤波。主要有台湾Chih Wen Kuo等人，设计了六信道光子晶体滤波器。其结构如图1.4所示。另外韩国Sangin Kim等人利用具有反射反馈的三端口结构设计了五信道光子晶体滤波器，其结构如图1.5所示，其滤波效率达到了96％[13, 14]。

图1.4 六信道光子晶体滤波器示意图

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图1.5 具有反射结构的光子晶体滤波器

此外，还有用液晶作为光子晶体的缺陷[13]，利用液晶两端加上不同电压可以改变液晶的相对介电常数的特性，在液晶缺陷的两个端面加上可调电压，通过调整电压改变液晶分子的朝向，进而改变了液晶缺陷的相对介电常数，来实现可调多信道滤波的要求，结构如图1.6所示。

图1.6 液晶可调光滤波器结构

1.5 本文工作

本文针对已经展开的光子晶体滤波器的设计与优化这一课题的研究作出各个时期的工作简述。包括学习光子晶体的理论体系，光子晶体器件市场调研，国际光子晶体研究的前沿介绍，以及对常用于光子晶体研究的某些软件，尤其是中仿科技推出的comsol multiphysics这款软件的学习。当然包括对一些简单模型进行学习，以及动手操作仿真，例如论文中，本人对光子晶体的直通道波导模型、光子晶体的弯曲波导模型等做了建模，并进行数值结果的分析，对传输率图形做了一些选取，最后设计出光子晶体滤波器，并和预期目标相互比较。论文各个章节的主要内容安排如下：

第一章 解释了光子晶体的基本含义，探究其分类方法，了解其应用领域以

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及介绍了光子晶体的制备方法。另外还介绍了光子晶体器件在国内外的研究现状，并且点明了此次研究的主要意义和内容。

第二章 分析光子晶体的基础理论体系，学习并初步掌握光子晶体的涉及的专业知识，并在此基础上推算了光子晶体的理论方法即平面波展开法，对其进行了一些数值运算。

第三章 主要是在阅读了大量的相关论文的同时，总结他人的经验，并尝试模仿一些较为经典的案例，对光子晶体器件做出了一系列的模拟仿真。这其中包括了光子晶体普通波导，光子晶体弯曲波导，光子晶体单向波导的模型设计以及对它们的结果分析。

第四章 本文重点章节，光子晶体滤波器的设计与优化，根据最初制定的设计要求大纲包括中心频率设定，器件材质选取，传输率要求，并通过反复的尝试与验证来得到光子晶体滤波器的晶格常数，从而得到四通道光子晶体滤波器模型，运行得到滤波结果，在此基础上对滤波器还进行了逐步的优化。其中滤波器的晶格常数的选取是技术核心部分，因此，本次设计的重心放在谐振腔和波导的结构优化。在结果分析中，本文添加了传输率的曲线图，传输率曲线能够直观地反映出输入波和输出波的能量比，进一步能直观反映谐振腔滤波的效果。

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第2章 光子晶体的基本理论和计算方法

2.1 光子晶体理论分析

麦克斯韦方程可以描述光在光子晶体器件中的运动行为：

??H??D?J (2.1.1) ?t??E???B (2.1.2) ?t??B?0 (2.1.3)

??D?? (2.1.4)

考虑无源情况，并假定介质的磁导率为?0，对于时谐场，其时间因子为e?iwt的，麦克斯韦方程(2.1.1)变为：

??H??i??0?(r)E (2.1.5) ??E?i??0H (2.1.6)

将(2.1.5)带入(2.1.6)整理可得:

??1???H?()2H (2.1.7) ?(r)c其中c为真空中的光速。公式(2.1.7)被称为光子晶体的主方程，这是一个电磁本征值问题。人们结合光子晶体的周期特性，提出了多种数值求解主方程本征值的方法，来分析电磁波在光子晶体中传播的基本特性，得到光子晶体能带结构[9]。

本文对光子晶体能带分析用的是平面波展开发，接下来将围绕这个主题来介绍。

平面波展开法(Plane-Wave Expansion Method)[3, 7]是光子晶体理论分析方法中应用最广的一种方法。其主要思路是：利用光子晶体结构的周期性，将麦克斯韦方程的各个参数进行傅立叶变化，进行平面波展开后，麦克斯韦方程转化为代数本征方程，解出不可约布里渊区边界点对应的各级本征值，就可得到光子晶体的能带结构，也叫光子晶体的色散曲线，该方法的特点是：只需要在光子晶体的一个周期性单元中进行计算，可以高效、准确地计算完整周期性晶格结构的能带

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结构，能够反映光子晶体能带结构形成的物理本质。以下是对算法的过程进行了详解[4]。

首先，将麦克斯韦方程(2.1.1)(2.1.2)化成如下的标量形式：

???Hz?Hy?Dx (2.1.8) ?y?z?t???Hx?Hz?Dy (2.1.9) ?y?z?t???Hy?Hx?Dz (2.1.10) ?y?z?t???Hz?Hy?Dx (2.1.11) ?y?z?t???Hx?Hz?Dy (2.1.12) ?y?z?t???Hy?Hx?Dz (2.1.13) ?y?z?t其次，考虑二维光子晶体，它在xy平面是周期排布的，在z方向是无限长的均匀介质，即介电常数和磁导率随x，y周期变化，而不随z变化，此时磁场和电场的分布也是仅随x，y改变，而不随z改变的，所以对所有对z求偏导的项都等于0。并且对时谐场，麦克斯韦方程可化成如下形式：

?Hz??i?Dz (2.1.14a) ?y??Hz??i?Dy (2.1.14b) ?x??Hy?Hx??i?Dz (2.1.14c) ?x?y?Ez?i?Bx (2.1.15a) ?y??Ez?i?By (2.1.15b) ?x??Ey?Ex?i?Bz (2.1.15c) ?x?y由于各介质的相对介电常数 是各项同性的，为一标量，而相对磁导率为张量且满足如下形式:

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??ik0?? (2.1.16) ?r???ik?0???01??0?由上式可得两组方程，即2.1.14a-c以及2.1.15a-c可以化为：

?Hz??i??0?rEx (2.1.17a) ?y??Hz??i??0?rEy (2.1.17b) ?x??Hy?Hx??i??0?rEz (2.1.17c) ?x?y?Ez?i??0(?Hx?ikHy) (2.1.18a) ?y??Ez?i??0(?ikHy??Hy) (2.1.18b) ?x??Ey?Ex?i??0Hz (2.1.18c) ?x?y对E的偏振模的公式2.1.18a和2.1.18b变换可以得到：

??其中????Ez??Ez?i??0Hx (2.1.19a) ?y?x??Ez??Ez?i??0Hy (2.1.19b) ?y?x??2?k2，??ik，然后，设二维光子晶体的晶格为方形晶格在x方22??k向的周期常数为a，在y方向的周期常数为b，将其各分量作平面波展开可得：

Ez?Hx?Hy?1?01?umnmnmnei(2?n2?n?kx)xi(?ky)yabe (2.1.20)

?01?vmnxmnei(i(2?n2?n?kx)xi(?ky)yabe (2.1.21)

?0?vymne2?n2?n?kx)xi(?ky)yabe (2.1.22)

最后通过傅里叶变换可以把上述公式变成矩阵方程：

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?Ax?Bx?y??kxCx??Dx?Ex?z?kxFx (2.1.23) ?Gz?Hy?Jx??kzx?其中xi?umn，

xyi?vmny，zi?vmn，i?m?M?1?(2M?1)(n?N)，

n'am'n'a?ky)，Aij??m?m',n?n'(?ky)，Bij??m?m',n?n'，Cij??m?m',n?n'，Dij??m?m',n?n'(?b??bEij??m?m',n?n'mm'na?ky)，Jij??m?m',n?n'，上述，Fij??m?m',n?n'，Gij?，Hij?(???b方程可化成如下关于x的本征方程：

D?E?I??x?0??x???F?J?H(A?B)G??z??kx?HC?I??z? (2.1.24) ????????至此，我们可以发现从解2.1.24这个方程的角度来说，若参数(即A,B,C..)已知，且频率给定时，可以求出kx的大小[4]。

通过平面波展开法，我们可以求得kx的大小与频率的关系，进而得到了光子晶体的色散曲线图，结合能量带隙图可以求出光子晶体器件的周期性晶格常数，具体计算晶格常数a的过程需要结合实际情况，带入上式即可。本文在第三章有计算金属氧化铝的晶格常数的过程。

2.2 谐振腔理论分析

由于本文的重点是进行光子晶体多信道滤波器的设计，所以经常涉及到谐振腔与谐振腔之间及谐振腔与波导之间的耦合问题。解决谐振腔与波导间相互作用的最有效的方法是耦合模理论(CMT：coupled mode theory)[21]。耦合模理论的核心是耦合模方程。

根据麦克斯韦方程：

?2D(r,t)?E(r,t)??0 (2.2.1)

?t22其中

D(r,t)??0E(r,t)?P(r,t) (2.2.2)

令

P(r,t)?P0(r,t)?P'(r,t) (2.2.3)

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式中P0(r,t)为未受干扰的相对介电常数分布为???r的波导中由E(r,t)引

起的电极化强度，而P(r,t)则为受微扰后的电极化强度。P(r,t)与未受微扰的电极化强度P0(r,t)之间的偏离，即微扰电极化强度，将(2.2.3)式代入(2.2.2)式得到：

D(r,t)??0E(r,t)?P0(r,t)?P'(r,t)?D0(r,t)?P'(r,t) (2.2.4)

式中D0(r,t)为末受微扰的电位移矢量，

D0(r,t)??0E(r,t)?P0(r,t)??0?E(r,t) (2.2.5)

因此(2.2.4)可以写成：

D(r,t)??0?E(r,t)?P'(r,t) (2.2.6)

上式代入(2.2.1)式有，

?2E(r,t)?2P'(r,t)?E(r,t)??0?0???0 (2.2.7) 2?t?t22其y分量形式为

?2Ey(r,t)??0?0??2Ey(r,t)?t2??0?2Py(r,t)?t2' (2.2.8)

忽略辐射模而考虑导模，波导中的总电场的y分量Ey(r,t)可以展成为来受微扰的本征模，

(m)Ey(r,t)??AmEy(x,y)exp[j(?t??mz)] (2.2.9)

????式中A(m,z)为展开式系数，是z的函数，亦即为各本征模沿z方向各点的振幅，m取正、负整数时分别代表沿z的正反方向传播的模式，本征模的横向场分

(m)布Ey(x,y)满足下述亥姆霍兹方程，

(m)2(m)?t2Ey(x,y)?(?2?0?0???m)Ey(x,y)?0 (2.2.10)

?2?2其中??2?2为横向微分运算符，将(2.2.9)带入(2.2.8)式，并利用

?x?y2t?2?2?2???2，?j?m?，及??m?2有，

?t?z?z2?2Py'(r,t)?t2?exp(j?t)m????{?[A(z)E2m?(m)y(m)(x,y)exp(?j?mz)]??2?0?0?Am(z)Ey(x,y)exp(?jz?m)}14

?exp(j?t)m????{A(z)[?Em2t?(m)y(x,y)?(??0?0???)E22m(m)yd2Am(z)dAm(z)(x,y)]?[?j2?]} m2dzdz由(2.2.10)可知，等式右侧第一项为0，还有，已设缓变条件成立，即

d2Am(z)dAm(z)， ??2?m2dzdzd2Am(z)其中，项可以略去，所以(2.2.11)式可以近似为

dz2?0P(r,t)??j2exp(j?t)'ym??????mdAm(z)(m)Ey(x,y)exp(?j?mz) (2.2.12) dz最后利用功率正交归一化条件

?????(s)(m)Ey(x,y)Ey(x,y)dxdy?2??0?m?sm (2.2.13)

可以得到

j?22?t2j?2????P(r,t)E(x,y)dxdy??4??t2?'y(s)y?????(s)Py'(r,t)Ey(x,y)dxdy (2.2.13)

上式即为处理各种耦合问题的耦合模方程，如果微扰电极化强度P(r,t)对时间的依赖为

P'(r,t)?P'(r)exp(j?t) (2.2.14) 最终，耦合模方程可以简化为

dAs?(z)dAs?(z)j??'(s)exp(j?sz)?exp(?j?sz)?P(r)E(x,y)dxdy (2.2.15) yydzdz4????本文通过计算耦合模方程，来得出谐振腔的品质因数，也进一步能得出滤波效率。

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第3章 光子晶体波导的设计

3.1 光子晶体波导

光子晶体波导是组成光子晶体器件较为常用的基本结构之一，波导的性能好坏直接影响了滤波器的滤波性能，因此本章节主要是对光子晶体波导结构做仿真设计。由于光子晶体滤波器的设计过程中，会涉及到直通道波导，以及弯曲波导。因此，本章重点设计普通光子晶体波导，弯曲光子晶体波导以及单向波导。

当然，在设计波导的同时，也是熟悉软件的一个环节，由于波导的模型制作较为简单，有利于加深对Comsol这款软件的了解。

在二维平板光子晶体中引入线缺陷，可以形成二维平板光子晶体波导，由于光子晶体禁带的存在，在其中的光波将会被限制在线缺陷内进行传输。

3.2 普通光子晶体波导的设计

在设计光子晶体波导的过程中，波导材质的选择尤为重要，在查阅大量文献后，本文选取了金属氧化铝以及钇铁石榴石(YIG)作为本文设计器件的组成材料。其中，YIG材料有共振线宽较小，饱和磁化强度较低，介电损耗低，密度高等特点，是光子晶体器件中比较常用的材料。图3.1是利用第二章提及的平面波展开法，经过Matlab软件计算所画的金属氧化铝以及YIG的能带图。图中，黄色部分为金属氧化铝的能带，蓝色为YIG材料的能带。

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图 3.1 磁回旋光子晶体能带图

本文根据了3.1的能带图的第二带隙，对晶格常数展开了求解，求解过程如下，首先在第二带隙中截取频率为0.55，根据公式有

?a?0.55，又因为??2?f，所以2?c2?fafa??0.55，其中，f为工作的中心频率，c为电磁波传播速度，最后可2?cc以推出，晶格常数a?0.0386。

如图3.2所示，是普通光子晶体波导结构，其组成结构是在二维平板光子晶体的基础上，删除了一行光子晶体来作为波导腔，即引入了线缺陷，光子晶体所形成的光波导如同金属导线被绝缘线包住一样，它可以控制光波的传导。从材质的角度来看，模型的晶格细胞都是由金属铝材料构成的，这是一种?1?10?0的光子晶体材质，并且已知晶格常数（即每2个相邻晶格的距离）a?0.0386m，可以得出其半径r?0.259a。将以上参数整合以后，根据图3.2作为模型的原型，在Comsol这款软件中运行后，我们可以得到仿真结果。

图 3.2 普通光子晶体波导结构图

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图 3.3 电磁波在普通光子晶体波导中传播现象

图3.3所示为能量在波导中传播现象仿真，右图为能量密度比例图，从下至上代表不同能量对应在图中的颜色。结果显示，信道左端激励源发射的电磁波信号能够基本处于波导腔体内传播，并且对比右侧的能量密度值能发现信道中的能量能够几乎被锁定在信道内而不辐射出去。

3.3 弯曲光子晶体波导设计

普通波导如介质波导，在弯曲半径较小时会发生较大的损耗，这些损耗部分是来源于传播方向发生急剧变化时有一部分场会被反射激发反向传输的模式，即所谓的回波损耗。而磁回旋光子晶体波导由于其自身的性质在特定的频率下仅允许单向的传输，从而可以完全抑制反向传播模式，使得回波损耗减小，可以实现极小弯曲半径的90°低损传输。

对此，我进行了对弯曲波导进行了研究，在建立弯曲波导模型的过程中，光子晶体介质材料也是由?1?10?0的金属铝材料构成的，晶格常数晶格常数（即每2个相邻晶格的距离）a?0.0386m，可以得出其半径r?0.259a，其结构模型如图3.4所示。

图 3.4 弯曲光子晶体波导结构模型

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应用仿真软件，对弯曲波导进行了仿真模拟，结果如图3.5。

图 3.5 电磁波在弯曲90度光子晶体波导中传播现象仿真结果。

如图3.5是光子晶体波导的场强分布图，对比右侧的能量密度图可知，红色的表示能量值最高的部分，而蓝色表示能量最低，白色表示能量为零。从场强分布可见能量基本能保持在波导腔内。进一步通过分析传播方向改变前后的能流密度变化，发现会有部分电磁波信号并没有完全在波导腔内传播，当然这和光子晶体的晶格结构有关，正方晶格的结构的光子晶体带隙比较窄不能做到完全将能量锁定在波导内。

3.4 光子晶体波导的单向传播

对于磁回旋光子晶体波导的单向性，产生的根本原因在于磁回旋材料的非互异性，打破了时间翻转对称性，使得在特定频率下，波矢值仅有在一个方向有解，波只能沿一个方向传播。较为形象直观的理解方式，见图3.6。图中对特定的频率值?，作直线y??，与表面模式的色散曲线仅有一个交点，对应的x值为波矢值k，点(k,?)构成一个可以传播的表面模式。而点(?k,?)在禁带中，它是不能够传播的。

在这里，令??0.42，此时波矢值仅有一个解，在comsol中按照图3.6设置好光子晶体的排布方式，按照3.2节所述设置材料参数，再将点源放置在波导的中心位置，就可以仿真得到E偏振波在光子晶体波导中单向传播的现象模拟。

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图 3.6 单向光子晶体波导结构图

下图3.7所示，是电磁波在单向光子晶体波导中的能量传播图。

图 3.7 单程光子晶体运行效果图。

从图3.7可以观察到，图中的上侧光子晶体晶格和下侧的光子晶体晶格形成了光子晶体波导，其中上侧为金属氧化铝，下侧为钇铁石榴石材质，波导腔内的电磁波信号，能够在磁场的作用下进行单向传播。

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第4章 光子晶体滤波器设计

其中光子晶体的理论学习过程在第二、三章节已经做了详细介绍，这里就不再赘述，以下将会围绕导师给出的案例，再加上本人的自主创新详细诠释此次光子晶体滤波器课题的研究过程。

4.1 滤波器设计方案

为了充分利用有限的电磁频谱资源，信道空间要求越来越密，并且要求器件的体积也很小，所以光子晶体成为了设计光滤波器的最佳选择。本文的滤波器设计方法主要是利用波导线缺陷和腔体点缺陷的耦合特性，通过改变腔体介质柱介电常量或改变腔体介质柱半径实现对不同波长电磁波信号的耦合，从而达到滤波的功能[6]。

滤波器在前文中，我们说过，光子晶体滤波器的组成部分由波导和谐振腔，因此，波导和谐振腔的耦合是滤波器的关键要素之一，本文采用的方式是线缺陷与点缺陷之间的耦合[4, 8]。具体地来说就是光子晶体滤波器中，波导部分是由线缺陷构成，谐振腔部分由点缺陷构成。耦合机理我们引入谐振腔和波导间的耦合问题来分析线缺陷和点缺陷的工作原理。

边耦合结构是指微腔放置在波导一侧的耦合结构，如图4.1所示[6]，为结构示意图，实际结构也是根据该结构设计的。这里所研究的点缺陷微腔和线缺陷波导均是单模腔和单模波导，设a为腔中模式归一化振幅，Si(i??1,?2)为波导中不同方向传播的归一化振幅。描述微腔和波导间的耦合问题的时域耦合理论可以用下述方程表示:

da2?(j?0???)a?k1s?1?k2s?2?? (4.1.1) dt?e其中k1?1?ejej?(j?1,2),

1?e1?e2?1?2?e,?e?2Q?0 (4.1.2)

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微腔的品质因子Q??0，?0是带宽。 ??

图 4.1 光子晶体边耦合结构模型图

当工作频率

a??0.42的光波入射时，由于微腔与波导相邻，将发生耦合作用。

也就是说与谐振腔频率相同的光波将耦合进入微腔中，并被限制在微腔内不能自由传输，如图4.1所示。而且由于微腔频率带宽很小，Q值很大，可以起到滤波的作用，因此用此特性可以制成光滤波器[9]。

4.2 正方晶格结构光子晶体滤波器的设计

本文最初设计的是四通道光子晶体滤波器，晶体采用的是正方晶格结构，结构如图4.2所示，从斜45°的角度来看，滤波器的周期组成结构为正方晶格结构。

图 4.2 四通道光子晶体滤波器结构图。

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圆柱体的晶格常数为a?0.0386，这沿用了第三章的光子晶体能带图计算得出的晶格常数值。介质柱半径R1?0.259a，介质采用铝材料，介电常量为10，背景为空气。波导是通过去掉一行介质柱实现的，谐振腔是通过改变缺陷介质柱的材质的方式，通过将谐振腔的腔体材质设置成YIG材料（即钇铁石榴石，一种具有多项磁特性的氧化铁合成晶体, 常用以调节光），来引入缺陷，得到谐振腔。其中，YIG介质的半径R2和铝材料介质柱半径R1相等，即R2?0.259a。同时设置激励源的微波频率为4.3?109Hz，具体设置关系，可以参看图4.2。

根据上面的设置进行仿真，滤波信道在谐振频率下的场分布效果如图4.3所示。

由于去掉一行介质柱面形成的光子晶体波导的宽度比较大，所以在传输波时经常产生多模现象，这对波的耦合十分不利[10]。本文通过改变波导与相应谐振腔之间波导边缘介质柱的半径来提高波的传输效率。

4.3 正方晶格结构光子晶体滤波器仿真分析

图 4.3 四通道光子晶体滤波器效果图

如图4.3所示，为光子晶体滤波器的仿真效果图，从结构上来看，整个滤波器分为上下两条波导以及中心谐振腔三个部分。整个滤波过程，通俗的描述如下，下波导port1处的激励源辐射出频率为4.2GHz的电磁波，通过中心谐振腔进行耦合滤波，过滤后的电磁波进入上波导，经port4输出，完成滤波过程。

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图 4.4 输出端口的传输率图

滤波器在仿真运行后，在comsol中可以得到输出端口的传输率的数据图，如图4.4，蓝色、红色、绿色的曲线分别表示了port4、port3、port2端口的能量与port1的能量比值（其中，绿色的曲线是主要指标），观察发现当电磁波的频率为4.3GHz时，红色曲线达到55%左右，即由激励源辐射出的信号，有55%能被过滤出来，进入输出波导通道。

观察传输率曲线图可以发现，滤波效率只达到55%，这和本文的设计指标还相差甚远，因此在下文中将对滤波器进行进一步优化，以保证达到指标。

4.4 光子晶体滤波器的优化

4.4.1 结构优化

上一节中对光子晶体滤波器做了一个初步的设计与仿真，但是由于滤波效率只达到了55%，因此我们要对正方晶格结构滤波器进行优化，以下将介绍优化方法。

通过对不同结构的光子晶体进行平面波展开法的多次计算，以及参考相关文献，本文采用了三角晶格的周期组成模式，如图4.5所示。

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图 4.5三角晶格最小周期结构

当然，之所以采用三角晶格结构是因为三角晶格结构能带图的第二带隙比正方晶格结构的第二带隙要大的多，具体课参看第三章的能带理论。用上述结构设计的四通道光子晶体滤波器结构如图4.6所示

图 4.6 三角晶格组成的光子晶体滤波器

图4.6中间谐振腔内的5个晶格为YIG光子晶体材质，也就说，中间的谐振腔体部分由这5个晶格柱以及周围的缺陷形成，其余晶格为金属氧化铝材质，上下两条通道形成波导腔，图中标有Source的黑线为电磁波信号的发射源，该发射源发射出4.2GHz的电磁波频率。

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4.4.2 优化结果

图 4.7三角形结构光子晶体滤波器效果图

如图4.7所示，为光子晶体滤波器的仿真效果图，从结构上来看和图4.3是类似的，整个滤波器分为上下两条波导以及中心谐振腔三个部分。整个滤波过程描述如下，下波导port1处的激励源辐射出频率为4.2GHz的电磁波，通过中心谐振腔进行耦合滤波，过滤后的电磁波进入上波导，经port4输出，完成滤波功能。

在完成了结构设计以后，运行软件，在软件的后处理中可以得到输出端口的传输率的数据图，如图4.8所示，红色、绿色、蓝色的曲线分别表示了在连续的一个频段内，port4/ port1、port3/ port1、port2/ port1的大小，即输出端口的能量与激励源的能量比值（其中，红色的曲线是主要指标），观察发现当电磁波的频率为4.3GHz时，红色曲线达到97%左右，即由激励源辐射出的信号，有97%能被过滤出来，进入设定波导通道。

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图 4.8 输出端口的传输率曲线图

4.5 结果分析

对比4.3节和4.4节的内容，就可以知道在光子晶体周期结构的改变可以直接改变滤波效率，从而进一步优化光子晶体器件。

本文通过运用耦合模理论分析了波导和谐振腔的耦合，利用该条件设计了四通道光子晶体光滤波器，并进行了仿真。根据仿真结果对设计参量进行了适当的设置和修改，使得各信道的滤波效率达到了97％以上，使得理论和实际结果相差不大。该设计的优点是结构简单，易于集成化和实际的生产制作，并且容易扩展至更多信道的设计，为将来光通信器件的生产制作提供了很好的理论依据。

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第5章 总结与展望

5.1 论文工作内容的总结

本文围绕光子晶体滤波器的理论、性质、应用等，展开了一系列研究，主要总结如下：

首先学习了光子晶体的基础知识，包括其概念，特性，组成成分，制备方法，介绍了当前光子晶体的前沿技术，在此基础上，引出了本次课题的研究意义及其重要价值。

其次，提出了多种光子晶体的波导的构思，并在反复的修改中，提出了几种光子晶体波导的结构，即普通光子晶体波导、弯曲角90度光子晶体波导和单向波导，并分别对其模拟仿真，将仿真结果做比对后得出光子晶体的性能优势。

最后，在波导耦合的基础上，本文将研究进一步深化，即通过耦合理论，提出光子晶体滤波器。对其性能如带宽、耦合长度、波导间距对反向耦合的影响，进行了理论计算和实际模拟仿真，并进行了一系列的优化，使滤波效率更高。

总结此次设计光子晶体滤波器的设计制作过程，主要是光子晶体最小周期结构起到了关键的作用，尤其是三角晶格周期结构，由于它的光子带隙较大，有利于传播常数和谐振频率的选取。另外，光子晶体滤波器的最终滤波效果能到达设计指标以上，与此次设计的器件材料的选取也是分不开的。

5.2 研究展望

在此次毕业设计的基础上还有很多的研究扩展方向，概括如下：

第一，可以在单向波导的基础上，提出更多的光子晶体器件模型，如双向耦合器，介质光束器光子晶体光纤等等。

第二，可以在光子晶体滤波器的基础上做更多的优化，如提出优化滤波器的滤波效果，提出不同介质下滤波效果的关系，如何减小滤波器的体积等等。

当然，我觉得一份完整的毕业设计，我们还应该要对其产品有成熟的市场调

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研，这也是我在写报告的过程中，一直有的想法，个人认为任何脱离市场的科学技术都是在浪费时间和生命。科学技术是第一生产力，科技进步和经济提升始终处于一种重属的地位，因此，在未来的工作中，希望能身体力行地进入市场中去，探究滤波器在市场中的应用价值。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vrar.html