PMSM三相坐标系的数学模型

4.2 永磁同步电动机三相坐标系的数学模型

为方便分析起见，将三相永磁的同步电动机看作是理想的电机，也就是说它符合下列假设：

(1) 转子上面没有阻尼绕组；定子中各个绕组的电枢电阻、电感值相等，三相定子的绕组按对称的星形分布；

(2) 其气隙磁场服从正弦分布而且各次谐波忽略不计，感应电动势也服从正弦分布；

(3) 永磁体的等效的励磁电流恒定不改变；电机中的涡流、趋肤效应、电机铁芯饱和和磁滞损耗的影响均忽略不计；温度与频率不影响电机的参数。

坐标系正方向的选取： (1) 转子逆时针方向旋转为正； (2) 正向电流生出正向磁链；

(3) 电压，电流的正方向按照电动机的惯例。

则静止三相坐标系里永磁同步电动机的定子侧电压方程

u3s?R3s?i3s?p?3s (4-1)

静止三相坐标系里永磁同步电动机的定子侧磁链方程

?) (4-2) ?3s?L3s?is3??f?Fs(3式中，

?iA??R00???A??R??0R0??????i3s??iB?，3s?B? ??，3s??00R????iC??????C??sin??uA????F(?)??sin(??120?)?u3s??u?B?，3s??

???sin(??120?)???uC??1cos120?cos240????100?????L3s?Lm3?cos120?1cos120???Ll3?010?

?cos240?cos120???001?1????电机统一理论和机电能量转换告诉我们，电机的电磁力矩[37]

(sis* ) (4-3) Te??npIm?式中，*代表取共轭复数，Im代表取虚部。

4.3 永磁同步电动机dq坐标系的数学模型

三相交流电机是一个耦合强、非线性、阶次高的多变量系统，它在三相静止的坐标系里的数学模型相当复杂，应用传统的控制策略对其实现交流调速有很大的困难，所以对于一般的三相交流电机常常应用矢量控制的方法，采用坐标变换，把三相交流的绕组等效变换成两相互相垂直的交流绕组或者旋转的两相直流的绕组，等效变换以后其产生的磁动势相等，系统的变量之间得到了部分的解耦，它的数学模型得到了大大简化，使得对于系统的分析和控制也简化了很多，使得它的数学模型与比较简单的直流电机类似[52]。

BβN3iβαN3iB60°60° N2iαN2iβCN3iCN3iAA图4-1静止的三相和两相坐标系坐标变换采用的空间矢量位置图

通常会用到如下的六种坐标变换：三相和两相正交坐标系间变换(3s/2s变换)，两相正交坐标系和三相坐标系间变换(2s/3s变换)，静止两相和旋转两相坐标系间变换(2s/2r变换)，旋转两相和静止两相坐标系间变换(2r/2s变换)，三相静止和两相旋转坐标系间变换(3s/2r变换)，两相旋转和三相静止间变换(2r/3s变换)。根据磁动势和功率相等的等效原则，两相与三相的合成磁动势相等，即图4-1中，两相与三相绕组的磁动势在?、?坐标轴上投影相等，即

??11N2i??N3iA?N3iBcos?N3iCcos?N3(iA?iB?iC) (4-4)

3322N2i??N3iBsin?3?N3iCsin?3?3N3(iB?iC) (4-5) 2其矩阵形式为：

1?1??i??N3?2??i??3???N2?0?2?1??i?A??2i? (4-6) ?3??B???i?2???C??要使变换之后总功率保持不变，可证，匝数比应等于所以，可以求得

?i?????1?1?2?2?N32? N231??i?A2??i? (4-7) ??B???i??3?3?02?3?2?????iC??所以，三相和两相正交坐标系间变换的变换矩阵

??121?2?1?C3s/2s?2?3??3? ??02?32? ??又因为，iA?iB?iC?0，所以，可得

??1???1?122??i??2?3??i??????0??3??0?2?3?iA?2????i?B? ?222???iC???222??所以，三相和??0正交坐标系间变换的变换矩阵为

??1?1?1?22?2?3??03?2?3?2?? ?222??222??这是一个正交矩阵，所以

??102??2??iA?2??32????i???i?B????i3??1?22??i??? C??2?1???32???0???222???所以，两相正交坐标系和三相坐标系间变换的变换矩阵

(4-8) (4-9) (4-10) (4-11) C2s/3s???12?1???0?3?? (4-12) 3??22??1??2?3?2??qβN2iβFN2iqθN2idd

φN2iαα图4-2 静止的两相坐标系和旋转的两相坐标系

由图4-2可知

??id?i?cos??i?sin??i q??i?sin??i ?cos?其矩阵形式为：

??id???cos?sin???i???C?i???i?q????sin?cos?????i?2s/2r?? ???i??进而，可求得

??i???cos??sin???i?id??i?????d??sin?cos?????C?i?2r/2s??i? q?q?所以，静止两相和旋转两相坐标系间变换矩阵

C???cos?sin??2s/2r??sin?cos??? 旋转两相和静止两相坐标系间变换矩阵

C?cos??sin??2r/2s???sin?cos??? 三相静止和两相旋转坐标系间变换的变换矩阵：

(4-13) (4-14) (4-15) (4-16) (4-17)

C3s/2r??cos?2???sin??3??1??2?cos(??120?)cos(??120?)???sin(??120?)?sin(??120?)? (4-18)

?11??22? 加之 ????90? (4-19) 变换阵可变为下面的形式

??sin??2?co?C?s 3s/r23??1??2si?n?(co?s?(12/3s?C??120)??sin?(?120)??120)??cos?(? 1 2 0 ) (4-20)

?1??2?T3s/r2其逆变换矩阵是

C2r所以

(4-21)

x3s?C2r/3sx2r (4-22) x2r?C3s/2rx3s (4-23)

TT式中x3s?[xAxBxC]，x2r?[xdxqx0](x可以是电流i，电压u，也可以是磁

链?)。

将式(4-2) 3s/2r变换，可以得到

?Cs3rL C3s/r?2s3/s2Cs3r?13/s2rs3/f2Ci??C3srFs(?) 3 (4-24) 3 / 2式中 C3s/2r?3s??d??id??C?i????i?，q3s/2r3s???q? ????0???i0??C3s/2rL3sC3s/2r?1

??sin?2??cos??3??1??2?sin(??120?)sin(??120?)???0.5?0.5??1?100?????????cos(??120?)cos(??120?)???Lm3??0.51?0.5??Ll3?010??????0.5?0.5?001??1?11????????22?

??sin?2???cos?3??1??2?sin(??120?)sin(??120?)??1.5Lm3?Ll30??cos(??120?)cos(??120?)???01.5Lm3?Ll3??0011???22?T0??0? Ll3???fC3s/2rF3s(?)

??sin?2??cos?3??1??2?sin(??120?)sin(??120?)??sin??????cos(??120?)cos(??120?)???sin(??120?)f???11?sin(??120?)?????22??1.5??0?????0??

??f设Ld3?1.5Lm3?Ll3，Lq3?1.5Lm3?Ll3，L03?Ll3 (4-25)

则， dq0坐标系中定子侧的磁链方程为

??d??Ld3??? ??q???0????0???00Lq300??i?0???i??iLl3??d????q??0??1.?5?0??f? (4-26) ?0???从式（4-1）可推出

pA uA?Ri (4-27) A??从式(4-20)至(4-23)推出

xA?21(xdsin??xqcos??x0) (4-28) 32把式(4-27)代入式(4-28)

(ud?Rid?p?d??s?q)sin??(ud?Rid?p?q??s?q)cos??1(u0?Ri0?p?0)?03 (4-29) 要使任意?值都能使得式(4-29)成立，须满足如下条件

pd????ud?Rid??sq?pq??? ?uq?Ri (4-30) q??s d?u0?R0i??p0?因为式(4-3)中的零序分量i0与机电能量转换无关，所以只要考虑dq坐标系中的直轴、交轴的分量

s?????d?j?q (4-31) ?si?i?ji?dq?式（4-3）和（4-31）可推出

Te??npIm(?sis*)

??npIm{(?d?j?q)(id?jiq)}

?np(?diq??qid)

将式(4-26)代入得

Te?np(1.5?fiq?(Ld3?Lq3)idiq) (4-32)

由上述推导可以求得dq坐标系中三相永磁同步电动机的定子侧电压方程为

pd????ud?Rid??sq ? (4-33)

pq???q??sd?uq?Ridq坐标系中三相永磁同步电动机的定子侧磁链方程为

5f??d?Ld3id?1.? ? (4-34)

??Liqq3q?dq坐标系中三相永磁同步电动机的定子侧电磁转矩为

Te?np(1.5?fiq?(Ld3?Lq3)idiq) (4-35)

式(4-33)-(4-35)中，ud，uq是定子电压的dq轴分量； id，iq是定子电流的dq轴分量；R是定子的电阻；?d、?q为定子磁链的dq轴分量；?s是同步电角 速度； Ld3，Lq3代表dq轴电感分量； np代表极对数； ?f代表永磁体磁链；

p代表微分算子d/dt[37]。

4.4 永磁同步电动机矢量控制

正弦波PMSM有永磁转子与定子的三相分布绕组，定子绕组里的感应的电动势、通常采用交流的PWM变压变频器供给的定子电流、电压均是正弦波。永磁同步电动机通常没有励磁绕组和阻尼绕组，转子是用永磁体材料做的。正弦波PMSM的转子磁动势方向随转子位置变化而且幅值恒定不变，PMSM的矢量控制也是基于磁场定向的，这点和电励磁同步电动机一样，只是PMSM的转子永磁体的磁场恒定不变，再加上它的参数和结构各不相同，因此它的控制方法与其他电机不太一样。

假想PMSM转子有一个虚拟的励磁绕组，当绕组上通过虚拟励磁电流If的时候，它和PMSM的转子磁动势相等。所以，PMSM可以和常见的电励磁同步电动机等效，它们的唯一区别就在于前者虚拟励磁电流恒定不变，也就是说虚拟励磁电流If?常数，并且

dIfdt?0，等效于虚拟的励磁绕组是由恒定电流源为其

供电[52]。

因为它的定子绕组和电励磁的同步电动机没有区别，将式(4-34)代入(4-33)，并考虑到?f是一个常数，

d?fdt?0，定子电压方程式可写为：

d?fdid?1.5 (4-36) dtdtdiqdt?1.5?s?f (4-37)

ud?Rid??sLq3iq?Ld3uq?Riq??sLd3id?Lq3写成矩阵形式为

?ud??R?u????q???sLd3??sLq3??id??Ld3?i???0R???q??0?d?id??0??i?????f (4-38) Lq3?1.5?dts???q??用TL作为扰动输入，F为转子与负载之间的粘性摩擦系数，ud、uq、?f作为输入变量，id、iq、?作为状态变量，那么可得到PMSM的状态方程

n2npd?np11p?(Te?TL)?F?s?(?diq??qid)?TL?F?s (4-39) dtJJJJJ?sLq3diduR??id?iq?d (4-40) dtLd3Ld3Ld3diq1.5?s?fuqLd3R (4-41) ???sid?iq??dtLq3Lq3Lq3Lq3PMSM的数学模型比电励磁的同步电动机阶次低，非线性强，耦合程度减弱。

PMSM一般根据转子磁链定向控制，基频之下恒转矩工作区里，控制定子电流矢量在q轴上面，也就是让iq?is，id?0，这时候的磁链方程(4-34)变成

??d?1.5?f???q?Lq3iq (4-42)

这时候的电磁转矩方程变成

Te?1.5np?fiq (4-43)

可见，实施id?0的控制方案起来比较简单，因为?f恒定不变，所以电磁转矩和定子电流成正比，只需要精确地检测出转子在d轴的空间位置，然后控制逆变器让三相定子的合成电流矢量或者磁动势矢量落在q轴上就行了。PMSM的矢量控制变频调速与直流他励电动机的调压调速有同样的品质[37]。检测电动机转子位置的方法不少，可使用霍尔磁检测器和磁性材料、光电编码器等直接检测方法。间接位置检测方法通过检测电枢绕组的感应电流和电动势，然后再根据电机模型，应用状态观测估计转子位置。因为没有使用机械式的位置传感器，系统的成本和可靠性均有改善，所以在国际上PMSM的无传感器的控制方法的研究得到了广泛研究和普遍重视。PMSM的转子位置估计方法，一种是适用电机高速、中速运行的根据定子绕组反向电势进行估计的方法，因为电机低速运行的时候反电势相当小，转子估计误差会变得比较大。另一种方法适宜于电机任意转速包括静止状态的根据磁路的不对称特性进行估计。有人提出吸收两种方法的优点，当电机以较高的速度运行的时候根据反电势模型，采用Kalman滤波技术估计电机转子的位置，当电机以较低的速度(?s?0.2)运行时或者静止时，根据定子齿槽部分的磁饱和特性，给定子绕组加上检测电压并且监测电流的变化率，从而获得相电感变化量。又因为相电感是转子位置的函数，从而计算出转子位置角。该方案效果较好，不过，因为状态观测方法大多根据电机的电流模型或者电压模型，参数变化或者模型不准确都将影响观测结果，对于提高PMSM的性能不利，通常用在对精度和可靠性要求不高的系统，无位置PMSM的速度闭环系统的稳定性还需要进一步研究[53]。

由式(4-20)至式(4-23)可知

C2r/s3?CTs3r/?sin?c?os??2???sin(??120?)cos(??120?)23???sin(??120?)cos(??120?)??1??2?1?? (4-44) 2?1??2???i*?A?*??iB???i*??C???sin?cos??2??sin(??120?)cos(??120?)3???sin(??120?)cos(??120?)?1??2??i*?d1??*???iq? (4-45) 2??*?1??i0?2??

i*A?2*1**(iqcos??idsin??i0) (4-46) 322*2?2?1**[iqcos(??)?idsin(??)?i0] (4-47) 33322*2?2?1**[iqcos(??)?idsin(??)?i0] (4-48) 3332

* iB?*iC?*式中的?角可以采用转子位置检测器检测出来。将电流给定信号is正弦调

**制以后，计算得到三相电流给定信号i*A、iB、iC采用三相电流闭环控制让实际的

电流信号快速地跟随给定信号，达到期望的控制效果。

id?0实施方案有：使用电流和转速双闭环控制与使用电流滞环控制[58]。严格说起来电流滞环控制也使用了电流和转速双闭环控制，不同的是其电流环控制应用了BANG-BANG控制[58]。

采用id?0的转子磁链定向控制，具有以下几个特点：

(1)因为定子电流d轴分量等于零，PMSM的数学模型得以简化，励磁和d轴阻尼绕组是一对简单耦合线圈，和定子电流没有相互作用，从而让d轴和定子绕组之间完全解耦。转矩方程里的磁链?f和电流iq也解耦。转子的永磁磁通和定子电流相互解耦，控制系统结构简单，转矩相当稳定、脉动比较小，调速范围比较宽，特别适合用在高性能的机器人和数控机床等场合。

(2)当负载、定子电流增大的时候，因为电枢反应的影响，从而导致气隙合成磁链增大，会大幅提升电机的定子电压，PMSM的电压升高，那么变压器与电控装置的容量要比较大，使得有效利用率降低，所以该方法并不经济。另外，定子电压与电流矢量的夹角也会变大，使得PMSM的功率因数降低，所以，该控制方式适合小容量交流伺服系统[37]。

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