18版高中数学函数2.4.1函数的零点学案新人教B版11802262191

内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2．4.1 函数的零点

学习目标 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．

知识点 函数零点的概念

思考1 函数的“零点”是一个点吗？

思考2 函数一定都有零点吗？

梳理 1.函数的零点

如果函数y＝f(x)在实数α处的值______，即________，则α叫做这个函数的零点． 2．方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)＝0__________?函数y＝f(x)的图象______________?函数y＝f(x)________． 3．二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系

判别式Δ 二次函数y＝ax＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax＋22Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 有两相异实根x1， 有两相等实根x1＝x2 没有实根 bx＋c＝0的根 x2(x1＜x2) b＝－ 2a 1

二次函数y＝ax＋bx＋c的零点 2有两个零点x1，x2 有一个二重零点x1＝x2 没有零点

类型一 求函数的零点

例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

x2＋4x－12

(1)f(x)＝－8x＋7x＋1；(2)f(x)＝.

x－2

2

反思与感悟 求函数零点的两种方法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

(2)几何法：对于不易求根的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 跟踪训练1 求下列函数的零点． 12

(1)f(x)＝x－；

x(2)y＝(ax－1)(x＋2)．

类型二 函数零点个数的判断

例2 已知函数f(x)＝|x－2x－3|－a，求实数a取何值时函数f(x)＝|x－2x－3|－a，①有两个零点；②有三个零点．

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引申探究

若f(x)＝x－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求a的取值范围．

反思与感悟 判断函数零点个数的三种方法

(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．

(2)利用函数的图象．画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数．

(3)转化为两个函数图象交点问题．

例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数．

跟踪训练2 已知a∈R，讨论关于x的方程|x－6x＋8|＝a的实数解的个数．

3

2

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类型三 函数零点性质的应用

例3 已知关于x的二次方程ax－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．

反思与感悟 解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论． 跟踪训练3 已知关于x的二次方程x＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．

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1．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )

2．函数y＝x－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是( ) A．(0，±2)；±2 C．(0，－2)；－2

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2

B．(±2,0)；±2 D．(－2,0)；2

3．如果二次函数y＝x＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是( ) A．(－2,6)

C．(－∞，－2)∪(6，＋∞)

2

B．[－2,6] D．{－2,6}

4．若函数f(x)＝x＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________. 5．若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点是3，则函数g(x)＝bx＋3ax的零点是________．

1．函数的零点实质上是函数图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的零点．

2．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．

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答案精析

问题导学 知识点

思考1 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

思考2 不是．只有函数的图象与x轴有公共点时，才有零点． 梳理

1．等于零 f(α)＝0 2.有实数根 与x轴有交点 有零点 题型探究

例1 解 (1)存在．因为f(x)＝－8x2

＋7x＋1＝(8x＋1)(－x＋1)， 所以方程－8x2

＋7x＋1＝0有两个实根－18和1，

即函数f(x)＝－8x2

＋7x＋1的零点是－18

和1.

(2)存在．令f(x)＝0，即x2＋4x－12

x－2

＝0，

解方程得x＝－6(x＝2舍去)，

所以函数f(x)＝x2＋4x－12

x－2

的零点是－6.

跟踪训练1 解 (1)∵f(x)＝x2

－1x，

∴x≠0.

令f(x)＝0，即x3

－1＝0，∴x＝1， ∴f(x)＝x2

－1x的零点为1.

(2)①当a＝0时，令y＝0得x＝－2. ②当a≠0时，令y＝0得x＝1

a或x＝－2.

ⅰ当a＝－1

2时，函数的零点为－2；

ⅱ当a≠－12时，函数的零点为1

a，－2.

综上所述：当a＝0或－1

2时，零点为－2；

当a≠0且a≠－11

2时，零点为a，－2.

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例2 解 令h(x)＝|x－2x－3|和g(x)＝a，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(x)＝|x－2x－3|－a的零点个数． ①若函数有两个零点，则a＝0或a＞4. ②若函数有三个零点，则a＝4.

2

2

引申探究 解 令f(x)＝0， 得a－1＝2|x|－x. 令y1＝a－1，y2＝2|x|－x.

∵f(x)＝x－2|x|＋a－1有四个不同的零点， ∴y1＝a－1，y2＝2|x|－x的图象有四个不同的交点． 画出函数y＝2|x|－x的图象，如图所示．

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2

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观察图象可知，0＜a－1＜1， 所以1＜a＜2. 跟踪训练2 解

令f(x)＝|x－6x＋8|，g(x)＝a，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，

2

f(x)＝|(x－3)2－1|.

下面对a进行分类讨论，由图象得， 当a<0时，原方程无实数解；

当a＝1时，原方程实数解的个数为3； 当01或a＝0时，原方程实数解的个数为2.

例3 解 令f(x)＝ax－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.

2

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∴f(x)的大致图象如图所示：

则a应满足?

??a＞0，即???4a－??a＜0，或???4a－

?a＞0，???f＜0

或?

?a＜0，???f＞0，

a＋＋a－1＜0，

a＋＋a－1＞0，

解得0＜a＜5，

∴a的取值范围为(0,5)．

跟踪训练3 解 由已知抛物线f(x)＝x＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得

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??f?f??ff－

＝2m＋1＜0，＝2＞0，＝6m＋5＞0＝4m＋2＜0，

?

?m∈R，??1

m＜－，2

?m＞－5，?6

m＜－，12

5151∴－＜m＜－，故m的取值范围是(－，－)．

6262当堂训练

1．D 2.B 3.C 4.2 －8 5.0，－1

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