数列的基本概念和解题思路与方法1

知识点一：数列的基本概览和性质

1、 数列：按照一定的顺序排列着的一列数称为数列。

2、 通项公式：如果数列的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子=来表示，则这

个公式叫做数列的通项公式。（通项公式的本质是函数）

3、 等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数

列就叫做等差数列。

4、 等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于一个常数，那么这个数列

就叫做等比数列。

5、 等差数列和等比数列的比较

例1、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

习题1、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ）

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

习题2、等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

习题3、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（ ）

A.14

B.21

C.28

D.35

知识点二：求数列通项公式的思路与方法

1、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式

()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.

例2：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式

2、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a .

3、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .

例4：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3

11=+，其中11=a ，求n a .

归纳：由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1-n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适

合用上面的方法求出的通项.

4、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就

可以用这种方法.

例5：()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a

5、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.

例6：111,1

n n n a a a n -==- ()

2,n n N *≥∈ 求通项n a

6、构造法：

①一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是

关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:

一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k =- 故111n n b b a k a k k -??+=+ ?--?

? ∴数列11n b a k -??+??-??

是以k 为公比的等比数列，借助它去求n a 例7：已知111,21n n a a a -==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a

②取倒数法：这种方法适用于1

1n n n ka a ma p --=+()2,n n N *

≥∈（,,k m p 均为常数0m ≠），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b -=+的式子.

例8：已知11122,2n n n a a a a --==

+ ()

2,n n N *≥∈，求通项n a

③取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数）

例9：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a

7、“m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a .

例10：设数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N n s a a a n n n ∈+==+，求通项n a .

知识点三：求数列前n 项和的思路与方法

1.公式法

①等差数列求和公式_______________②等比数列求和公式_________________

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论. ③常用公式：1123(1)2

n n n ++++=+

222112(1)(21)6

n n n n ++

+=++ 33332(1)123[]2n n n +++++=. 二.分组求和法

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例11、已知312n n a n =-+，求前n 项和n S .

三.裂项相消法

如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

(1)使用裂项相消法求和时，要注意正、负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项．

(2)常见的拆项有：

例12、求数列

???++???++,11,,321,211n n 的前n 项和.

四.错位相减法

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列

{a

n ·b

n

}中，{a

n

}成等差数列，{b

n

}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理

后即可以求出前n项和。

例13、等比数列前n项和公式的推导。

五.倒序相加法

如果一个数列{a

n

}，与首末等距的两项之和相等或者有共性，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

例14、等差数列前n项和公式的推导。

课后作业：

1、设{}n a 是公比为正数的等比数列，1322,4a a a ==+.

(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .

2、设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。求{}n a 的通项公式；

3、已知等差数列{}n a 中，a 1＝1，a 3＝－3。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和S k ＝－35，求k 的值。

4、成等差数列的三个正数的和为15，且这三个数分别加上2、

5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b 。求数列{}n b 的通项公式；

5、等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==求数列{}n a 的通项公式；

6、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S 。

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