3.3 向量组的线性关系

§3.3 向量组的线性关系一.线性组合 二.线性相关与线性无关 三.小结与思考题

向量组的线性关系对于我们揭示线性方程组中方程 与方程之间、解与解之间的关系乃至更广泛的事物之 间的联系是极其有意义的, 我们必须熟练掌握如何判

定向量组之间的线性关系.

一.线性组合定义3.7 对于 n 维向量 1 , 2 ,

, m , 若存在一组

实数k1 , k2 ,

, km , 使得 km m , m 的线性组合,或称2

k1 1 k2 2 则称向量β 是向量组 1 , 2 ,

向量β 可由向量组 1 , 2 ,

, m 线性表示.

称k1 , k2 ,

, km 为组合系数或表示系数.

例1 设向量组 1 1 3 2 0 0 0 0 , 1 , 2 , 3 0 2 4 2 3 1 1 2

不难验证

2 1 2 或 1- 33

例2 设

判定向量β 是否可由向量组 1 , 2 , 3线性表示？ 如果可以, 写出他们的线性表示式. 解 设 k1 1 k2 2 k3 3 即 -1 1 0 2 1 = k 2 k 1 k 1 2 3 3 5 3 4 6

-1 1 0 2 1 , 1 2 , 2 1 , 3 3 5 3 4 6

由矩阵相等的定义, 得4

k1 0k2 2k3 1 2k1 k2 3k3 1 3k 4k 6k 5 2 3 1由矩阵的消元法或克莱姆法则解此方程组, 得唯一解

k1 1 k2 2 k 1 3于是, 向量β 可以由向量组 1 , 2 , 3线性表示. 其线性表示式为 1 2 2 35

1 1 3 2 , 1 0 , 2 2 例3 设 1 1 0

判定向量β是否可由向量组 1 , 2线性表示 . 解 设 k1 1 k2 2 即 1 1 3 k1 3k2 2 k 0 k 2 2 k 1 2 2 1 1 0 k 1

k1 3k2 1 由矩阵相等的定义, 得 2k2 2 k 1 1

显然方程组无解, 即满足 k1 1 k2 2 的k1 , k2 不存在. 所以向量β不能由向量组 1 , 2线性表示 . 定理3.3 设 1 , 2 , , m , 为 m 维向量, 则向量 β 可由向量组 1 , 2 , 方程组(3.1)有解. 即

, m 线性表示的充分必要条件是

x1 1 x2 2 有解,

其中 1 , 2 ,

xm m

, m 为系数列向量, β 为常数项

列向量且一个解就是一组表示系数.7

例4

2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 , 1 , 2 , 3 , 4 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1

有

=2 1 5 2 3 3 0 4 所以, 称向量β是向量 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合,或向量β 可以由 向量 1 , 2 , 3 , 4 线性表示.即8

由以上线性表示可见, 线性表示的系数恰好是向量 β

的分量.关于线性组合，我们有下列有用的结果：

(1) n维零向量

0 0

0

是任意n维向量组 1 , 2 ,(2) n 维向量组 1 , 2 ,

的线性组合, 即 , m 0 1 0 2 0 m中的任意 i ( i 1,2, , m

, m)

是此n 维向量组的线性组合

i 0 1

0 i 1 1 i 0 i 1

0 m9

(3)任何一个n维向量(a1 , a2 , 线性表示为

, an )T都可由n维基本向量组

ε1 = (1, 0, …, 0)T, ε2 = (0, 1,…, 0)T, …, εn = (0, 0 ,…,1)T

a1 1 0 a 0 1 2 a a 1 2 0 0 an 其中表示系数恰是的分量 a1 , a2 ,

0 0 an 1

, an .

向量 (0, k , k 2 )能由向量组 1 (1 k, 1, 1), 例5 设

2 (1, 1 k , 1), 3 (1, 1, 1 k ) 唯一线性表示, 则常数k 应满足什么条件？ 解 设 x1 1 x2 2 x3 3 ,由于 能由 1 , 2 , 3唯一表示，

则根据克莱姆法则, 得系数行列式

1 k 1 1

1

1

1 k 1 k 3 3k 2 0 1 1 k11

故当 k 0且k 3时， 能由 1 , 2 , 3 唯一线性表示.

二.线性相关与线性无关1. 线性相关与线性无关的定义定义3.8

设 1 , 2 ,

, m 为 m 维向量, 若存在不全

为零的数 k1 , k2 ,

, km , 使得

k1 1 k2 2 则称向量组 1 , 2 ,

km m 0 ( )

, m 线性相关, 否则称它们线性无关.12

定理3.4 n 维向量组 1 , 2 ,T

, m 线性相关(线性无关)T T

的充要条件是齐次线性方程组(*)有非零解(仅有零解). 例6 设 1 1,1,1 , 2 0, 2, 5 , 3 2, 4, 7

试讨论向量组 1 , 2 , 3以及向量

组 1 , 2的线性相关性.解 设数k1 , k2 , k3使得

k1 1 k2 2 k3 3 0即

1 0 2 0 k1 1 k2 2 k3 4 0 1 5 7 0 13

齐次线性方程组的未知量为 k1 , k2 , k3 . 由克莱姆法则，得系数行列式

1 0 2 1 2 4 0 1 5 7故齐次线性方程组有非零解，所以向量组 1 , 2 , 3 线性相关.

向量 1 , 2 对应分量不成比例，所以线性无关.14

推论1 设向量 i a1i , a2 i , 则向量组 1 , 2 , 其中矩阵

, ani (i 1,2,T

, m)

, m 线性相关的充要条件是R( A) m .

A 1 , 2 ,

a11 a12 a a22 21 , m a n1 a n 2, n .

a1n a2 n anm

推论2 n个n维向量 1 , 2 , 件是 A 0, 其中A 1 , 2 ,

, n 线性无关的充要条

向量组的线性相关无关性我们还有以下重要命题:(1)单独一个向量线性相关的充要条件是 0. 推论 单独一个非零向量必线性无关. (2) 若向量组 1 , 2 , , m中有部分向量线性相关, 则此向量组线性相关. 即部分相关, 全体相关. 证 不失一般性, 设 1 , 2 ,k1 1 k2 2 , l (l m) 线性相关, kl l 0

则存在一组不全为零的数k1, k2, … , kl , 使得从而有一组不全为零的数k1, k2,…, kl , 0,…,0, 使得16

k1 1 k2 2

kl l 0 l 1

0 m 0

故向量组 1 , 2 ,

, m 线性相关

推论 若一个向量组线性无关，则其任意一个部分

向量组也线性无关(即整体无关, 则部分无关).(3) 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例. (4) Rn 中任意由n+1 (或更多)个向量组成的向量组

必线性相关；l (5)设列向量 1 , 2 , , m R , 设列向量 1 , 2 ,

, m Rs

且向量组 1 , 2 ,

, m 线性无关，则 l + s 维列向量组17

i i ( i 1, 2, i

, m)

亦线性无关. 通常称向量 i为向量α i 的接长向量，或称向量α i 为

i 的截短向量. 即向量组 1 , 2 , , m 线性无关，则 其接长向量组 i (i 1, 2, , m) 亦线性无关.推论 如果向量组线性相关，则其截短向量组亦线性相关.18

例7 判定下列向量组是否线性相关： 5 1 (1) 1 1 , 2 3 2 1

解(1)因为两个向量对应分量不成比例， 所以两个向量线性无关. 1 2 2 3 (2) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 2 3 2 0 4

解(2)因为向量组中向量的个数4大于向量的维数3, 所以向量组线性相关.19

2 4 2 (3) 1 1 , 2 2 , 3 0 1 2 4

解(3)因为部分向量 1, 2 对应分量成比例，从而 线性相关，所以整个向量组线性相关.

2. 线性相关与线性无关的判定方法 定理3.5 向量组 1 , 2 ,, m (m 2)线性相关的充要

条件是至少有一个向量可由其余m 1个向量线性表示. 证 必要性. 设向量组 1 , 2 ,k1 1 k2 2 , m 线性相关, 则存在

一组不全为零的数k1, k2, … , ki , … , km , 使得 km m 0

不失一般性, 设 ki≠0,于是

k1 αi α1 ki

ki 1 ki 1 αi 1 αi 1 ki ki

km αm ki21

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