第18讲：高频考点分析之命题、逻辑推理和程序框图探讨

【备战2013高考数学专题讲座】

第18讲：高频考点分析之命题、逻辑推理和程序框图探讨

江苏泰州锦元数学工作室 编辑

1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。

结合中学数学的知识，高考中命题、逻辑推理和程序框图问题主要有以下几种： 1. 四种命题的判定； 2. 真假命题的判定； 3. 充分必要条件的判定； 4. 逻辑推理； 5. 程序框图。

结合2012年全国各地高考的实例，我们从以上五方面探讨命题和简易逻辑问题的求解。

一、四种命题的判定：

典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年安徽省文5分）命题“存在实数x,，使x?1”的否定是【 】

(A) 对任意实数x, 都有x?1 (B) 不存在实数x，使x?1

(C) 对任意实数x, 都有x?1 (D) 存在实数x，使x?1 【答案】C。 【考点】否命题。

【解析】如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题。因此，命题“存在实数x,，使x?1”的否定是：对任意实数x, 都有x?1。故选C。 例2. （2012年湖北省理5分）命题“?x0?CRQ,x0?Q”的否定是【 】

A ?x0?CRQ,x0?Q B?x0?CRQ,x0?Q C ?x0?CRQ,x0?Q D?x0?CRQ,x0?Q 【答案】D。

【考点】命题的否定。

【解析】根据特称命题“?x∈A，p（A）”的否定是“?x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案：

33333∵命题“?x0?CRQ,x0?Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题， ∴“?x0?CRQ,x0?Q”的否定是“?x0?CRQ,x0?Q”。故选D。

例3. （2012年湖北省文5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是【 】

A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B。

【考点】命题的否定。

【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”。故选B。 例4. （2012年湖南省理5分）命题“若??A.若??333?4，则tan??1”的逆否命题是【 】 ，则tan??1

?4，则tan??1 B. 若???4C. 若tan??1，则??【答案】C 。 【考点】四种命题。

?4 D. 若tan??1，则???4

【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若?p，则?q”，所以 “若???4，则atn?1?”的逆否命题是 “若

tan??1，则???4”。 故选C。

例5. （2012年辽宁省理5分）已知命题p：?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)≥0，则?p是【 】 (A) ?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)≤0 【版权归锦元数学工作室，不得转载】 (B) ?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)≤0 (C) ?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)<0 (D) ?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)<0 【答案】C。

【考点】含有量词的命题的否定。

【解析】命题p为全称命题，所以其否定?p应是特称命题，

所以(f(x2)?f(x1))(x2?x1)≥0否定为(f(x2)?f(x1))(x2?x1)<0。故选C。

例6. （2012年重庆市文5分）命题“若p则q”的逆命题是【 】 （A）若q则p （B）若?p则? q （C）若?q则?p （D）若p则?q 【答案】A 。 【考点】四种命题。

【分析】将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得解答：

命题“若p则q”的逆命题是：若q则p。故选A 。

例7. （2012年陕西省理12分）（1）如图，证明命题“a是平面?内的一条直线，b是?外的一条直线（b不垂直于?），c是直线b在?上的投影，若a?b，则a?c”为真. （2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

【答案】解：（1）证明：如图，过直线b上任一点作平面?的垂线n，

????a设直线a,b,c,n的方向向量分别是,b,c,n，

???则b,c,n共面。

根据平面向量基本定理，存在实数?,?使得

??????????????c??b??n，则a?c?a?(?b??n)??(a?b)??(a?n)。

??∵a?b，∴a?b?0。

??又∵aü?，n??，∴a?n?0。 ??∴a?c?0，从而a?c。

（2）逆命题：a是平面?内一条直线，b是?外的一条直线（b不垂直于?），c是直线

b在?上的投影，若a?c，则a?b。逆命题为真命题。

【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系，命题。

【解析】（1）作出辅助线，在直线上构造对应的方向向量：过直线b上任一点作平面?的垂线n，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果。

另解： 如图，记c?b?A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO??，垂足为

O，则O?c。

∵PO??，aü?，∴直线PO?a。 又∵a?b，bü平面PAO，PO?b?P， ∴a?平面PAO。

又∵cü平面PAO，∴a?c。

（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出逆命题的正确性。 如上图，记c?b?A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO??，垂足为O，

则O?c。

∵PO??，aü?，∴直线PO?a。 又∵a?c，PO?c?O，∴a?平面PAO。 又∵bü平面PAO，∴a?b。

二、真假命题的判定：

典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年全国课标卷理5分）下面是关于复数z?2的四个命题：其中的真命题为【 】 ?1?i2 p1:z?2 p2:z?2i p3:z的共轭复数为1?i p4:z的虚部为?1

(A)p2,p3 (B) p1,p2 (C)p?,p? (D)p?,p?

【答案】C。

【考点】真假命题，复数的概念。 【解析】∵z?22(?1?i)???1?i，z??1?i(?1?i)(?1?i)??1????1?22=2，z2???1?i?=2i，

2 ?1?i的共轭复数是?1?i，

2 ∴p1:z?2不是真命题；p2:z?2i是真命题；p3:z的共轭复数为1?i不是真命题；p4:z的

虚部为?1是真命题。故选C。

例2. （2012年四川省理5分）下列命题正确的是【 】 A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C。

【考点】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质。 【解析】采用排除法：

若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所

以A错；

一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错； 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错； 故选项C正确。故选C。

例3. （2012年山东省文5分）设命题p：函数y?sin2x的最小正周期为象关于直线x??；命题q：函数y?cosx的图 2?2对称.则下列判断正确的是【 】

A p为真 B ?q为假 C p?q为假 D p?q为真 【答案】C。

【考点】真假命题的判定，三角函数的周期和对称性。

2?=?，∴命题p为假。 2 ∵函数y?cosx的图象的对称轴为x=k??k?Z?，∴命题q为假。

【解析】∵函数y?sin2x的最小正周期为 ∴p?q为假。故选C。

例4. （2012年江西省理5分）下列命题中，假命题为【 】 A．存在四边相等的四边形不是正方形 ．

B．z1,z2?C,z1?z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数 C．若x,y?R，且x?y?2,则x,y至少有一个大于1 D．对于任意n?N,Cn?Cn???Cn都是偶数 【答案】B。

【考点】真假命题的判定，特称命题和全称命题，充要条件，共轭复数，不等式的基本性质，二项式定理。 【解析】对于A项，通过特例判断：例如菱形，满足四边相等的四边形不是正方形，所以A为真命题；

对于B项，通过特例判断：令z1??1?mi,z2?9?mi?m?R?,显然z1?z2?8?R，但z1,z2不

01n

互为共轭复数，所以B为假命题；

对于C项，通过不等式的基本性质判断：显然正确（可用它的逆否命题证明），所以C为真命题； 对于D项，通过二项式定理系数的特例判断：根据二项式定理，对于任意n?N有

01nCn?Cn???Cn=?1+1?=2n为偶数，所以D为真命题。

n综上所述，假命题为B项。故选B。

例5. （2012年浙江省理5分）设Sn是公差为d（d?0）的无穷等差数列?an?的前n项和，则下列命题错误的是【 】【版权归锦元数学工作室，不得转载】 ．．

A．若d?0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d?0

C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n?N*，均有Sn?0 D．若对任意n?N*，均有Sn?0，则数列{Sn}是递增数列 【答案】C。

【考点】命题的真假判断与应用，数列的函数特性。

【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…，满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立。故选C。

例6. （2012年福建省理5分）下列命题中，真命题是【 】

A．?x0∈R，ex0≤0 B．?x∈R，2x＞x2

a

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1

bD．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 【答案】D。

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用。 【解析】对于A，根据指数函数的性质不存在x0，使得ex0≤0，因此A是假命题。 对于B，当x＝2时，2x＝x2，因此B是假命题。

a

对于C，当a＋b＝0时，不存在，因此C是假命题。

b

对于D，a＞1，b＞1时 ab＞1，所以a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，因此D是真命题。 故选D。

?x+x?1例7. （2012年福建省理5分）函数f?x?在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f?12??[f(x1)+f(x2)]，

?2?2则称f?x?在[a，b]上具有性质P.设f?x?在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：

①f?x?在[1,3]上的图象是连续不断的； ②fx2在[1，3]上具有性质P；

③若f?x?在x＝2处取得最大值1，则f?x?＝1，x∈[1,3]；

???x+x+x+x④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有f?12344?其中真命题的序号是【 】

A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D。

【考点】抽象函数及其应用，函数的连续性。

?1??4[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]． ??1，x??0,2???2,3??【解析】对于命题①，设f?x?=?，显然它在[1,3]上具有性质P，但函数在x=2处是不

0，x=2??连续的，命题错误；

对于命题②，设f?x?=?x，显然它在[1,3]上具有性质P，但fx2=?x2在[1，3]上不具有性质

P，命题错误；

对于命题③，∵f?x?在x＝2处取得最大值1，

??x??4?x?1∴在[1，3]上，f（）2?f（）??f?x??f?4?x???，即f?x??f?4?x??2f?x?=2。 22??f?x??f?4?x??2??∴?f?x??f?x?max?f?2??1。∴f?x?＝1，x∈[1,3]。命题正确； ???f?4?x??f?x?max?f?2??1对于命题④，对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有

11x1?x2???x3?x4??x?x?x3?x41??x?x??x?x4??2f(12)?f(2)??f?12?+f?3?422??2??2???

1?11?1???f?x1?+f?x2??+?f?x3?+f?x4???=?f?x1?+f?x2?+f?x3?+f?x4????2?22?4命题正确。 故选D。

例8. （2012年四川省理4分）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]?2，[1.5]?1，[?0.3]??1。

xn?[设a为正整数，数列{xn}满足x1?a，xn?1?[a]xn2](n?N?)，现有下列命题：

①当a?5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；

②对数列{xn}都存在正整数k，当n?k时总有xn?xk； ③当n?1时，xn?a?1；

④对某个正整数k，若xk?1?xk，则xn?[a]。

其中的真命题有 ▲ _。（写出所有真命题的编号）【版权归锦元数学工作室，不得转载】 【答案】①③④。

【考点】真命题的判定，对高斯函数[x]的理解，数列的性质，特殊值法的应用，基本不等式的应用。

xn?[【解析】对于①，若a?5，根据xn?1?[当n=1时，x2=[

a]xn2](n?N?)

5?13?1]=3, 同理x3=[]?2。 故①正确。 22对于②，可以采用特殊值列举法：

当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……x2k=1, x2k+1=1,……

此时数列{xn}从第二项开始为2，1，2，1……，xn?xk不成立。故②错误。 对于③，由[x]的定义知，[x]>x?1，而a为正整数，故xn?0，且xn是整数。 ∵对于两个正整数a、b，当a+b为偶数时?∴不论a+b是偶数还是奇数，有?∵xn和[?a+b?a+b?a+b?a+b1；当为奇数时 ==?，a+b???22?2??2?2?a+b?a+b1??。 ?22?2?a]都是整数， xnxn?[a]xnxn?[]?aaaa2xn?]xn??1xn?xnxnxnxn11?>?=?1??1=a?1。 222222∴xn?1?[2又当n=1时，x1?a， ∵a??1?33?a?1=?a??+?>0，∴x1?a?a?1成立。

2?44??2∴当n?1时，xn?a?1。故③正确。

xk?[对于④，当xk?1?xk时，[a]xkxk?[]?xk， ∴

2a]xk2?xk?0，即[a]?xk?0。 xk∴

aaa?xk?[]?xk?0，即?xk?0，解得xk?a。 xkxkxka?1，∴a?1

由③xn?综上所述，真命题有 ①③④ 。

例9. （2012年四川省文4分）设a,b为正实数，现有下列命题：

①若a?b?1，则a?b?1； ②若

2211??1，则a?b?1； ba③若|a?b|?1，则|a?b|?1； ④若|a?b|?1，则|a?b|?1。

其中的真命题有 ▲ 。（写出所有真命题的编号） 【答案】①④。

【考点】真命题的判定，特殊值法的应用。

【解析】对于①，∵a,b为正实数，∴a?b?1?a?1+b>1?a>1?a+b>1。 又∵a?b?1，∴?a+b??a?b??1?a?b=222222331<1。故①正确。 a+b对于②，可以采用特殊值列举法： 取a=2,b=2114，满足a,b为正实数和??1的条件，但a?b=>1。故②错误。 3ba3对于③，可以采用特殊值列举法：

取a=4,b=1，满足a,b为正实数和|a?b|?1的条件，，但a?b=3>1。故③错误。 对于④，不妨设a>b，由|a?b|?1得a?b?1，∴a?1+b。 ∵a,b为正实数，∴a?1+b>1?a>1。 ∴a?b?1??a?b?a+ab+b33233333333?21??1?a?b=a+ab+b22<1。故④正确。

∵且，∴a?b=ab。 综上所述，真命题有 ①④。

三、充分必要条件的判定：

典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年北京市理5分）设a，b∈R.“a=0”是?复数a+bi是纯虚数”的【 】 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B。

【考点】复数的概念，纯虚数的定义，充分必要条件的判定。

【解析】复数a+bi是纯虚数必须满足a=0，b≠0同时成立。当a =0 时，如果b =0，此时a+bi 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件：而如果a + bi已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0。因此，.“a=0”是?复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件。故选B。

例2. （2012年上海市文5分）对于常数m、n，“mn?0”是“方程mx?ny?1的曲线是椭圆”的【 】 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B。

【考点】充分条件、必要条件和充要条件，椭圆的标准方程的理解。

22?m?0?m<0??22【解析】方程mx?ny?1的曲线表示椭圆，常数m,n的取值为?n?0或?n<0，所以，由mn?0得

?m?n?m?n??不到方程mx?ny?1的曲线表示椭圆，因而不充分。

反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出mn?0，因而必要。

∴“mn?0”是“方程mx?ny?1的曲线是椭圆”的必要不充分条件。故选B。

2222????ab例3. （2012年四川省文5分）设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使???成立的充分条件是

|a||b|【 】

??????????A、|a|?|b|且a//b B、a??b C、a//b D、a?2b

【答案】D。 【考点】充分条件。

????????abab【解析】若使???成立， 即要a、b共线且方向相同，即要a??b??>0?。所以使???成立

|a||b||a||b|??的充分条件是a?2b。故选D。

例4. （2012年天津市理5分）设??R，则“?=0”是“f(x)=cos(x+?)(x?R)为偶函数”的【 】 （A）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件 （Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 【答案】A。

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数奇偶性的判断。 【分析】∵?=0?f(x)=cos(x+?)(x?R)为偶函数，成立；

f(x)=cos(x+?)(x?R)为偶函数??=k?，k?Z，推不出?=0。

∴“?=0”是“f(x)=cos(x+?)(x?R)为偶函数”的充分而不必要条件。故选A。 例5. （2012年天津市文5分）设x?R，则“x?1”是“2x2?x?1?0”的【 】 2（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A。

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次不等式的解。 【分析】∵不等式2x2?x?1?0的解集为x?不必要条件。故选A。

例6. （2012年安徽省理5分）设平面?与平面?相交于直线m，直线a在平面?内，直线b在平面?内，且b?m， 则“???”是“a?b”的【 】

11或x??1，∴“x?”是“2x2?x?1?0”成立的充分22 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

【答案】A。

(D) 即不充分不必要条件

【考点】充分和必要条件，两直线垂直的判定和性质。

【解析】∵???,b?m?b???b?a，∴“???”是“a?b”的充分条件。

∵如果a//m，则a?b与b?m条件相同，∴“???”是“a?b”的不必要条件。

故选A。

例7.（2012年山东省理5分） 设a>0，a?1 ，则“函数f?x??ax在R上是减函数 ”，是“函数

g?x???2?a?x3在R上是增函数”的【 】

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 【答案】A。

【考点】充分必要条件的判断，指数函数和幂函数的性质。 【解析】∵p：“函数f?x??ax在R上是减函数 ”等价于0

q：“函数g?x???2?a?x3在R上是增函数”等价于2?a>0且a?1，即0

例8.. （2012年浙江省理5分）设a?R，则“a?1”是“直线l1：ax?2y?1?0与直线l2：

x?(a?1)y?4?0平行”的【 】

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A。

【考点】充分必要条件。

【解析】当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行，所以“a?1”是“直线l1：

ax?2y?1?0与直线l2：x?(a?1)y?4?0平行”的充分条件；

若直线l1与直线l2平行，则有：

a2，解之得：a＝1 或a＝﹣2，所以“a?1”是“直线l1：?1a?1ax?2y?1?0与直线l2：x?(a?1)y?4?0平行”的不必要条件。

∴“a?1”是“直线l1：ax?2y?1?0与直线l2：x?(a?1)y?4?0平行”的充分不必要条件。 故选A。

例9. （2012年湖北省文5分）设a,b,c∈ R，则 “abc?1”是“111 ???a?b?c”的【 】

abcA.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件 【答案】A。

【考点】充分、必要条件的判定，基本不等式的应用。

【解析】当abc?1时，111abcabcabc??????ab?bc?ca， abcabc而2?a?b?c???a?b???b?c???c?a??2ab?2bc?2ca（当且仅当a?b?c，且

， abc?1，即a?b?c时等号成立）

∴111???ab?bc?ca?a?b?c。 abc111???a?b?c,但abc?1。 abc当取a?b?c?2,显然有∴由111???a?b?c不可以推得abc?1。 abc111???a?b?c的充分不必要条件。故选A。 abc综上，abc?1是例10. （2012年重庆市理5分）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的【 】

（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）充要条件 【答案】D。

【考点】充分条件、必要条件、和充要条件的判定，函数的奇偶性、周期性和单调性及其之间的关系。 【分析】∵f(x)为[0，1]上的增函数，f(x)是偶函数，∴f(x)在[?1,0]上递减。

任取x1,x2?[?1,0],x1?x2，则f(x1)?f(x2)。

又∵f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x1?4)?f(x2?4),且x1?4,x2?4?[3,4]。 ∴f(x)为[3，4]上递减。

反之，当f(x)在[3，4]上递减时，根据f(x)是周期为2的周期函数知f(x)在[?1,0]上递减；又

根据f(x)是定义在R上的偶函数，得到f(x)在[0，1]上递增。

故选D。

例11. （2012年陕西省理5分）设a,b?R，i是虚数单位，则“ab?0”是“复数a?b为纯虚数”的【 】 iA.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B。

【考点】充分必要条件。

【解析】当ab?0时，a=0或b=0，只有a=0，并且b10时，复数a?所以“ab?0”是“复数a? 若复数a?的必要条件。

∴“ab?0”是“复数a?故选B。

例12. （2012年安徽省理13分） 数列{xn}满足：x1?0,xn?1??xn?xn?c(n?N) （I）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0 （II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列。 【答案】解：（I）证明：必要条件：

当c?0时，xn?1??xn?xn?c?xn，∴数列{xn}是单调递减数列。 充分条件

当数列{xn}是单调递减数列时，x1?x2??x1?x1?c，∴c?x1?0。 ∴数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0。 （II）由（I）得：c?0

①当c?0时，an?a1?0，不合题意。

②当c?0时，x2?c?x1, x3??c?2c?x2?c 。 由?c?2c?c解得，0?c?1。

22 ∵xn?1?xn?c?xn?0，∴ xn?c?1 。∴ 0?x1?xn?2222*b为纯虚数，否则不成立。ib为纯虚数”的不充分条件。 ibab=0，所以“ab?0”是“复数a?为纯虚数”

ib为纯虚数，则有：a=0,b罐0ib为纯虚数”的必要不充分条件。 i22c。

又 xn?2?xn?1??(xn?1?xn)?(xn?1?xn)??(xn?1?xn)(xn?1?xn?1)，

22当c?11时，xn?c?，∴xn?xn?1?1?0。∴xn?2?xn?1与xn?1?xn同号。 42由x2?x1?c?0得xn?2?xn?0，∴xn?1?xn。

2 ∴limxn?1?lim(?xn?xn?c)?limxn?c。

n??n??n?? 当c?11时，存在N，使xN?，即xN?xN?1?1xN?2?xN?1 42即xN?2?xN?1与xN?1?xN异号。与数列{xn}是单调递减数列矛盾。 综上所述，当0?c?1时，数列{xn}是单调递增数列。 4【考点】充分必要条件，数列的单调性证明。

【解析】（I）要证数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0，即要①由c?0得出数列{xn}是单调递减数列：②由数列{xn}是单调递减数列得c?0。

（II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列，即要求出数列{xn}的后项与前项之差大于0时c的取值范围。由（I）和c?0时，an?a1?0，不合题意。因此在c?0的条件下推导。

四、逻辑推理：

典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年全国大纲卷理5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，

AE?BF?3，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。 7当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为【 】

A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A。

【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。

【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可。

也可以通过三角形相似的相似比求解：如图，

为便是于计算，将正方形ABCD的边长扩大7倍，这样边长为7，

AE?BF?3，BE?CF?4。

BE4?。 BF35CF4316165DHDH3 ∴???DH?； ???GC??DG?7??；

544GCGC4333DG3 ∴这些三角形相似的两边长之比

CI?DH?7CI?54?3?CI?13?BI?7?13?1； 742221BI32219?2??BJ??AJ?7??； BJBJ43339AKAK319199DK3???AK??DK?7??；?4??DL?3。 194AJ444DLDL43 ∴经过7次碰撞，到达与点E成轴对称的点L处，根据正方形的对称性，再经过7次碰撞，到达点E，共14次碰撞。故选A。

例2. （2012年全国大纲卷文5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，

1动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。 AE?BF?，3当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为【 】 A 8 B 6 C 4 D 3 【答案】B。

【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。

【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞6次即可。

也可以通过三角形相似的相似比求解：如图，

为便是于计算，将正方形ABCD的边长扩大3倍，这样边长为7，AE?BF?1，BE?CF?2。

BE2?。 BF1GK32331DHDH2 ∴???DH?1； ???FK??DG?3?1??；

1DG1FKFK12222 ∴这些三角形相似的两边长之比

∴经过3次碰撞，到达与点E成轴对称的点H处，根据正方形的对称性，再经过3次碰撞，到达点E，共6次碰撞。故选B。

例3. （2012年江西省理5分）观察下列各式：a?b?1,a?b?3,a?b?4,a?b?7,a?b?11,?则a?b?【 】

A．28 B．76 C．123 D．199 【答案】C。

【考点】归纳推理的思想方法。

【解析】观察各等式的右边,它们分别为1，3，4，7，11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123,…，故a?b?123。故选C。 nπ

例4. （2012年福建省文5分）数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 012等于【 】

2

A．1006 B．2012 C．503 D．0 【答案】A。

【考点】规律探索题。

π3π

【解析】寻找规律：a1＝1cos＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝3cos＝0，a4＝4cos2π＝4；

225π7π8π

a5＝5cos＝0，a6＝6cos3π＝－6，a7＝7cos＝0，a8＝8cos＝8；

222

······

10101010223344559，??,4r+1，r?N?。 ∴该数列每四项的和ak+ak+1+ak+2+ak+3=2k=1,5，∵2012÷4=503，∴S2 012＝2×503＝1006。故选A。

??（x?m?3）,g?x??2x?2，若同时满足条件： 例5. （2012年北京市理5分）已知f?x??m(x?2m)①?x?R，f?x?＜0或g?x?＜0，②?x?(-?, -4), f?x??g?x?＜0，

则m的取值范围是 ▲ 【答案】??4, ?2?。【版权归锦元数学工作室，不得转载】 【考点】简易逻辑，函数的性质。

【解析】由g?x??2x?2<0得x<1。

∵条件①?x?R，f?x?＜0或g?x?＜0，∴当x?1时，f?x?＜0。 当m=0时，f?x?=0，不能做到f?x?在x?1时，f?x?＜0，所以舍去。

∵f?x?作为二次函数开口只能向下，∴m<0，且此时两个根为x1=2m，x2=?m?3。

?m<0?m<0?1?? 为保证条件①成立，必须?x1=2m<1??m

2?x=?m?3<1??2??m>?4 又由条件②?x?(-?, -4), f?x??g?x?＜0的限制，可分析得出x?(-?, -4)时，f?x?恒负。 ∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即－4应该比x1，x2两根中小的那个大。 由2m=?m?3得m=?1，

∴当m???1, 0?时，?m?3

当m???4, ?1?时，2m

例6. （2012年湖北省文5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3， 6,10，…记为数列?an?，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列?bn?，可以推测：

（Ⅰ）b2012是数列?an?中的第 ▲ 项； （Ⅱ）b2k?1 = ▲ 。（用k表示）

【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）【考点】归纳规律。

5k?5k?1?2。

【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为an?n(n?1)，写出其若干项有：21,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110。

故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15。 从而由上述规律可猜想：b2k?a5k?5k(5k?1)（k为正整数）， 2(5k?1)(5k?1?1)5k(5k?1)。 b2k?1?a5k?1??22故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项。

例7. （2012年湖南省理5分）设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入

NN和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每22NN段个数，并对每段作C变换，得到p2；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段i个数，并对每段C变22对应的前

换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置. （1）当N=16时，x7位于P2中的第 ▲ 个位置； （2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第 ▲ 个位置. 【答案】（1）6；（2）3?2n?4?11。

【考点】演绎推理的基本方法，进行简单的演绎推理。 【解析】（1）当N=16时,

P0?x1x2x3x4x5x6?x16,可设为(1,2,3,4,5,6,?,16),

P,3,5,7,9,?2,4,6,8,?,16), 1?x1x3x5x7?x15x2x4x6?x16,即为(1P2?x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6?x16,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,?,16), x7位于P2中的第6个

位置。

（2）考察C变换的定义及（1）计算可发现：

第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号

以1为首项，第二段序号以2为首项；

第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以为4公差的等差数列，且第

一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项； 依此类推可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n（n≥8）故每段的数字有2n-4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第3?2置。

例8. （2012年福建省理4分）数列{an}的通项公式an=ncos【答案】3018。 【考点】规律探索题。

π3π

【解析】寻找规律：a1＝1cos＋1＝1，a2＝2cosπ＋1＝－1，a3＝3cos＋1＝1，a4＝4cos2π＋1＝5；

225π7π8π

a5＝5cos＋1＝1，a6＝6cos3π＋1＝－5，a7＝7cos＋1＝1，a8＝8cos＋1＝9；

222

······

n?4?11个位

n?+1，前n项和为Sn，则S2 012＝ ▲ . 29，??,4r，r?N?。 ∴该数列每四项的和ak+ak+1+ak+2+ak+3=6k=1,5，∵2012÷4=503，∴S2 012＝6×503＝3018。

例9. （2012年福建省文4分）某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用．要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小，例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图①，则最优设计方案如图②，此时铺设道路的最小总费用为10.

?? 现给出该地区可铺设道路的线路图如图③，则铺设道路的最小总费用为 ▲ ． 【答案】16。

【考点】最优设计方案。

【解析】根据题意先选择中间最优线路，中间有三条，分别是A→F→G→D，E→F→B，E→G→C，费用最低的是A→F→G→D为3＋1＋2＝6；再选择A→F→G→D线路到点E的最低费用线路是：A→E费用为2；再选择A→F→G→D到C→B的最低费用，则选择：G→C→B，费用最低为3＋5＝8，所以铺设道路的最小费用为：6＋2＋8＝16。

例10. （2012年陕西省理5分） 观察下列不等式【版权归锦元数学工作室，不得转载】

1?13? 2221151?2?3?，

23311171?2?2?2?

2344……

照此规律，第五个不等式为 ▲ . ．．．【答案】1?1111111?2?2?2?2?。 2234566【考点】归纳规律。

【解析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方；右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式：?i?0n1?n?1?<2<2n?1。 n?1令n=5，即可得出第五个不等式?i?051?n?1?211，即1?61111111?2?2?2?2?。 2234566例11. （2012年北京市文13分）设A是如下形式的2行3列的数表，

a d b e c f 满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0。记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。 （1）对如下数表A，求k（A）的值

1 0.1 （2）设数表A形如

1 d 其中－1≤d≤0.求k（A）的最大值；

（3）对所有满足性质P的2行3列的数表A ，求k(A)的最大值。

【答案】解：（1）由题意可知r1?A?=1.2，r2?A?=?1.2，c1?A?=1.1，c2?A?=0.7，c3?A?=?1.8，

1 d －1－2d －1 1 －0.3 －0.8 －1 ∴K?A??0.7。

r2?A???1?2d， c1?A??c2?A??1?d， c3?A???2?2d （2）r1?A??1?2d，∵－1≤d≤0，

∴r1?A?=r2?A??1?d?0， c3?A??1?d?0。 ∴k?A?=c1?A??c2?A??1?d?1。 ∴当d=0时，k（A）取得最大值1。 （3）任给满足性质P的数表A（如下所示）

a d b e c f 任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍

满足性质P，并且k（A）=k（A*）

因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，

由k（A）的定义知，k（A）≤r1（A），k（A）≤c1（A），k（A）≤c2（A）， ∴3k?A??r1?A??c1?A??c2?A???a?b?c???a?d???b?e?

??a?b?c?d?e?f???a?b?f??a?b?f?3

∴k（A）≤1

由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k（A）=1，故k（A）的最大值为1。

【考点】逻辑推理。

【解析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即为所求。

（2）k（A）的定义可求出k（A）=1+d，然后根据d的取值范围可求出所求。

（3）任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足

性质P，并且k（A）=k（A*）。因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，然后利用不等式的性质可知3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A），从而求出k（A）的最大值。

例12. （2012年上海市理18分）对于数集X?{?1,x1,x2,?,xn}，其中0?x1?x2???xn，n?2，定

??????????????义向量集Y?{a|a?(s,t),s?X,t?X}. 若对于任意a1?Y，存在a2?Y，使得a1?a2?0，则称X具有性质

P. 例如X?{?1,1,2}具有性质P.

（1）若x＞2，且{?1,1,2,x}，求x的值；（4分）

（2）若X具有性质P，求证：1?X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）

（3）若X具有性质P，且x1=1，x2?q（q为常数），求有穷数列x1,x2,?,xn的通项公式.（8分）

??????【答案】解：（1）选取a1?(x,2)，则Y中与a1垂直的元素必有形式(?1,b)。

∴x=2b，从而x=4。

???????????? （2）证明：取a1?(x1,x1)?Y，设a2?(s,t)?Y满足a1?a2?0。

由(s?t)x1?0得s?t?0，∴s、t异号。

∵－1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为－1，另一为1。

故1?X。

假设xk?1，其中1?k?n，则0?x1?1?xn。

????????????选取a1?(x1,xn)?Y，并设a2?(s,t)?Y满足a1?a2?0，即sx1?txn?0。

则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为－1。 若s=－1，则x1?txn?t?x1，矛盾； 若t=－1，则xn?sx1?s?xn，矛盾. ∴x1=1。

（3）猜测xi?qi?1，i=1, 2, …, n。

记Ak?{?1,1,x2,?,xk}，k=2, 3, …, n。 先证明：若Ak?1具有性质P，则Ak也具有性质P。

???????????? 任取a1?(s,t)，s、t?Ak.当s、t中出现－1时，显然有a2满足a1?a2?0。

当s??1且t??1时，s、t≥1。

∵Ak?1具有性质P，∴有a2?(s1,t1)，s1、t1?Ak?1，使得a1?a2?0。

从而s1和t1中有一个是－1，不妨设s1=－1， 假设t1?Ak?1且t1?Ak，则t1?xk?1。

由(s,t)?(?1,xk?1)?0，得s?txk?1?xk?1，与s?Ak矛盾。

?????????∴t1?Ak，从而Ak也具有性质P。 现用数学归纳法证明：xi?q当n=2时，结论显然成立。

假设n?k时，Ak?{?1,1,x2,?,xk}有性质P，则xi?qi?1i?1，i=1, 2, …, n。

，i=1, 2, …, k；

则当n?k+1时，若Ak?1?{?1,1,x2,?,xk,xk?1}有性质P，则Ak?{?1,1,x2,?,xk} 也有性质P，所以Ak?1?{?1,1,q,?,qk?1,xk?1}。

???????????? 取a1?(xk?1,q)，并设a2?(s,t)满足a1?a2?0，即xk?1s?qt?0。

由此可得s与t中有且只有一个为－1。

若t??1，则s?1，所以xk?1? ∴s??1，xk?1?qt?q?q 综上所述，xi?qi?1k?1q?q，这不可能； s?qk，又xk?1?qk?1，所以xk?1?qk。

xi?qi?1，i=1, 2, …, n。

【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。 【解析】（1）根据题设直接求解。（2）用反证法给予证明。

（3）根据题设，先用反证法证明：若Ak?1具有性质P，则Ak也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测xi?qi?1，i=1, 2, …, n。

例13. （2012年北京市理13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。

对于A∈S(m，n)，记Ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）； 记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。 （1）对如下数表A，求K?A?的值；

1 0.1 （2）设数表A∈S（2,3）形如

1 a 1 b c －1 1 －0.3 －0.8 －1 求K?A?的最大值；

（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K?A?的最大值。

【答案】解：（1）由题意可知r1?A?=1.2，r2?A?=?1.2，c1?A?=1.1，c2?A?=0.7，c3?A?=?1.8， ∴K?A??0.7。

（2）先用反证法证明K?A??1：

若K?A?>1，则C1?A?=a?1>1，

???1

a?1>1a?11????同理可知0由题设所有数和为0，即a?b+c?1=0?a?b=?1?c， ∴0

易知当a=b=0时，K?A?=1存在。 ∴K?A?的最大值为1。 （3）K?A?的最大值为

2t?1。 t+22t?1 j=1，2， ???，2t+1?： 首先构造满足K?A?=的A=?ai，j??i=1, 2；t+2t?1， a1,1=a1,2=???=a1，t=1，a1，t+1=a1，t+2=???=a1，2t+1=t+2t2?t?1a2,1=a2,2=???=a2，t=，a2，t+1=a2，t+2=???=a2，2t+1=?1。

t?t?2?经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

t2?t?1t+12t+12t+1>1?>，c1?A?=c2?A?=???=ct?A?=1?， r1?A?=r2?A?=t?t?2?t+2t+2t+1ct?1?A?=ct?2?A?=???=c2t+1?A?=1+t?12t+1。 =t+2t+2

下面证明

2t+1是最大值。 t+22t+1。 t+2若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得K?A?=x>由K?A?的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1

的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间?x， 2?中. 由于x>1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x?1。

设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g

考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每

个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x?1（即每个负数均不超过。 1?x）

因此r1?A?=r1?A??t?1??t?1??1?x?=2t?1??t?1?x=x???2t?1??t+2?x??

因此K?A?的最大值为

【考点】逻辑推理，反证法的应用。

【解析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即为所求。 （2）用反证法证明。 （3）先构造满足K?A?=。

2t+1。 t+22t?12t+1 j=1，2， ???，2t+1?，用反证法证明的A=?ai，j??i=1, 2；是

t+2t+2最大值。【版权归锦元数学工作室，不得转载】

例14. （2012年湖北省理14分）（Ⅰ）已知函数f?x?=rx-x+?1-r??x>0?，其中r为有理数，且0

r求f?x?的最小值；

（II）试用（1）的结果证明如下命题：设a1?0,a2?0,b1,b2为正有理数，若b1+b2=1，则a11a22?a1b1+a2b2； （III）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当?为正有理数时，有求导公式xbb??'=?x??-1

【答案】解：（Ⅰ）f?(x)?r?rxr?1?r(1?xr?1)，令f?(x)?0，解得x?1。

当0?x?1时，f?(x)?0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；【版权归锦元数学工作室，不

当 x?1 时，f?(x)?0，所以f(x)在(1,??)内是增函数。

∴函数f(x)在x?1处取得最小值f(1)?0。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x?(0,??)时，有f(x)?f(1)?0，即xr?rx?(1?r) ①。

若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2?a1b1?a2b2成立； 若a1，a2均不为0，又b1?b2?1，可得b2?1?b1。 于是在①中令x?a1aa，r?b1，可得(1)b1?b1?1?(1?b1)， a2a2a2即a1b1a21?b1?a1b1?a2(1?b1)，亦即a1b1a2b2?a1b1?a2b2。

综上，对a1?0,a2?0，b1，b2为正有理数且b1?b2?1，总有a1b1a2b2?a1b1?a2b2 ②。 （Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：

设a1,a2,?,an为非负实数，b1,b2,?,bn为正有理数.

bnb2若b1?b2???bn?1，则a1b1a2?an?a1b1?a2b2???anbn. ③

用数学归纳法证明如下：

（1）当n?1时，b1?1，有a1?a1，③成立。

（2）假设当n?k时，③成立，即若a1,a2,?,ak为非负实数，b1,b2,?,bk为正有理数，

bkb2且b1?b2???bk?1，则a1b1a2?ak?a1b1?a2b2???akbk。

当n?k?1时，已知a1,a2,?,ak,ak?1为非负实数，b1,b2,?,bk,bk?1为正有理数，

且b1?b2???bk?bk?1?1，此时0?bk?1?1，即1?bk?1?0。

∴aa?aa∵

b11?bk?11b11b22bkkbk?1k?1?(aa?a)ab11b22bkkbk?1k?1=(ab11?bk?11ab21?bk?12?abk1?bk?11?bk?1k)bk?1。 ak?1bkb1b2?????1，由归纳假设可得

1?bk?11?bk?11?bk?1aab21?bk?12?abk1?bk?1k?a1?ab?a2b2???akbkbkb1b2， ?11?a2????ak?1?bk?11?bk?11?bk?11?bk?11?bk?1bk?1ak?1。

bkbk?1b2?akak?1∴a1b1a2?ab?a2b2???akbk???11?1?bk?1??又∵(1?bk?1)?bk?1?1，由②得 ?a1b1?a2b2???akbk???1?bk?1??1?bk?1bk?1ak?1?a1b1?a2b2???akbk?(1?bk?1)?ak?1bk?1

1?bk?1?a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1，

bkbk?1b2?akak?1?a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1. ∴a1b1a2故当n?k?1时，③成立。

由（1）（2）可知，对一切正整数n，所推广的命题成立，

【考点】利用导数求函数的最值，数学归纳法的应用。 【解析】（Ⅰ）应用导数求函数的最值。

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，分a1，a2中有一个为0和a1，a2均不为0讨论即可。 （Ⅲ）应用数学归纳法证明。

五、程序框图：

典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年全国课标卷理5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N(N?2)和实数a1,a2,...,an，输出A,B，则【 】

(A)A?B为a1,a2,...,an的和 (B)A?B为a1,a2,...,an的算术平均数 2(C)A和B分别是a1,a2,...,an中最大的数和最小的数 (D)A和B分别是a1,a2,...,an中最小的数和最大的数

【答案】C。

【考点】程序框图的结构。

【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是：A和

B分别是a1,a2,...,an中最大的数和最小的数。故选C。

例2. （2012年北京市理5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为【 】 A. 2 B .4 C.8 D. 16

【答案】C。 【考点】程序框图。

【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，程序的运行过程中各变量值变化如下表：

循环前 第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 是否继续循环 是 是 是 否 S 1 2 4 8 输出8 k 0 1 2 3 ∴最终输出结果k=4。故选C。 例3. （2012年天津市理5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为?25时，输出x的值为【 】

（A）?1 （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）9

【答案】C。 【考点】程序框图。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：

是否继续循环 x 循环前 －25 第一圈 是 4 第二圈 是 1 第三圈 否 输出3 ∴最终输出结果x?2?1+1=3。故选C。【版权归锦元数学工作室，不得转载】

例4. （2012年天津市文5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为【（A）8 （B）18 （C）26 （D）80

【答案】C。 【考点】程序框图。

】

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