高考数学2009年高考试题 - 数学(重庆卷)(理)
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知识改变命运,学习成就未来
一、选择题
1.直线y?x?1与圆x?y?1的位置关系为( ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离
22
A.(
158,) 33B.(15,7) 3C.(,)
48335i=( ) zA.2?i B.2?i C.?2?i D.?2?i
243.(x2?)8的展开式中x的系数是( )
x2.已知复数z的实部为?1,虚部为2,则
A.16 D.1120
B.70
C.560
D.(,7)
43二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案写在答题卡相应位置上.
11.若A?x?Rx?3,B?x?R2?1,则
???x?A?B? .
12.若
f(x)?(b?a)?2,4.已知a?1,b?6,a?则向量a与向量b的夹角是( )
A.
1?a是奇函数,则x2?1a? .
13.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答).
14.设a1?2,an?1?? 6B.
? 4C.
? 3D.
? 25.不等式x?3?x?1?a?3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(??,?1]?[4,??) B.(??,?2]?[5,??) C.[1,2]
D.(??,1]?[2,??)
2a?22*,bn?n,n?N,
an?1an?1则数列?bn?的通项公式bn= .
x2y215.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦
ab点分别为F1(?c,0),F2(c,0),若双曲线上存在一点P使
6.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙
馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为( )
A.
82548 B. C. D919191.
sinPF1F2a?,则该双曲线的离心率的取值范围60sinPF2F1c 91是 .
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分.)
设函数f(x)?sin(7.设?ABC的三个内角A,B,C,向量
m?(3sinA,sinB),n?(cosB,3cosA),若
m?n?1?coA?sB(,则C=( )
A.
?x??x?)?2cos2?1. 468? 6B.
? 3C.
2? 3D.
5? 6(Ⅰ)求f(x)的最小正周期.
(Ⅱ)若函数y?g(x)与y?f(x)的图像关于直线
2x2?ax?b)?2,8.已知lim(其中a,b?R,则a?bx??x?1的值为( )
A.?6 B.?2
C.2
04x?1对称,求当x?[0,]时y?g(x)的最大值.
3 17.(本小题满分13分,(Ⅰ)问7分,(Ⅱ)问6分) 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为
D.6
9.已知二面角??l??的大小为50,P为空间中任意一点,则过点P且与平面?和平面?所成的角都是25的直线的条数为( )
A.2 B.3 C.4
10.已知以T?40 D.5 为周期的函数
??m1?x2,x?(?1,1],其中m?0。若方程f(x)????1?x?2,x?(1,3]恰有5个实数解,则m的取值范围为( ) 3f(x)?x21和,且各株大树32是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:
(Ⅰ)两种大树各成活1株的概率;
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知识改变命运,学习成就未来
(Ⅱ)成活的株数?的分布列与期望. 18.(本小题满分13分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问8分) 设函数f(x)?ax?bx?k(k?0)在x?0处取得极值,且曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线
2点Q满足x2?y2?1上的点,N是点M在x轴上的射影,
?????????????????????条件:OQ?OM?ON,QA?BA?0.求线段QB的中
点P的轨迹方程;
21.(本小题满分12分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问7分)
设m个不全相等的正数a1,a2,?,am(m?7)依次围成一个圆圈.
(Ⅰ)若m?2009,且a1,a2,?,a1005是公差为d的等差数列,而a1,a2009,a2008,?,a1006是公比为q?d的等比
x?2y?1?0.
(Ⅰ)求a,b的值;
数列;数列a1,a2,?,am的前n项和Sn(n?m)满足:ex(Ⅱ)若函数g(x)?,讨论g(x)的单调性. f(x)S3?15,S2009?S2007?12a1,求通项an(n?m); 19.(本小题满分12分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问7分) 如题(19)图,在四棱锥S?ABCD中,AD?BC且
(Ⅱ)若每个数an(n?m)是其左右相邻两数平方的等比中项,求证:a1???a6?a7???am?ma1a2am;
绝密★启用前
2009年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题(理工农医类)答案
一、选择题:每小题5分,满分50分 . (1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C
(7) C (8) D (9) B (10) B. 二.填空题:每小题5分,满分25分 . (11) (0,3) (12) (15) (1, 2?1) 三.解答题:满分75分 . (16)(本小题13分)
解:
22AD?CD;平面CSD?平面ABC,
CS?DS,CS?2AD?2;E为BS的中点,CE?2,AS?3.求:
(Ⅰ)点A到平面BCS的距离;
(Ⅱ)二面角E?CD?A的大小. 20.(本小题满分12分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问7分) 已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为
1n?1 (13) 36 (14) 2 2433y?,离心率e?,M是椭圆上的动点.
32(Ⅰ)若C,D的坐标分别是(0,?(Ⅰ)
3),(0,3,求)MC?MD的最大值;
(Ⅱ)如题(20)图,点A的坐标为(1,0),B是圆
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知识改变命运,学习成就未来
f(x)=sin?4xcos?6?cos?4xsin?6?cos?4x
P(Ak)?Ck2()k()2?k2313 ,
3?3?sinx?cosx =2424 =3sin(11P(Bl)?Cl2()l()2?l .
22 据此算得
?x?) 432?? 故f(x)的最小正周期为T =
?4 =8
144 , P(A1)? , P(A2)? . 999111 P(B0)? , P(B1)? , P(B2)? .
424 P(A0)? (Ⅰ) 所求概率为
P(A2?B1)?P(A1)?P(B1)? (Ⅱ) 解法一:
?的所有可能值为0,1,2,3,4,且
(Ⅱ)解法一:
在y?g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于
412?? . 929x?1的对称点(2?x,g(x)) .
由题设条件,点(2?x,g(x))在y?f(x)的图象上,从而
g(x)?f(2?x)?3sin[ =3sin[111 , P(??0)?P(A0?B0)?P(A0)?P(B0)???9436
?(2?x)?] 43???2?x?]
43?11411P(??1)?P(A0?B1)?P(A1?B0)????? ,
92946
x?) 433???2? 当0?x?时,?x??,因此
434334y?g(x)在区间[0,]上的最大值为
333cos? gma? x32 解法二:
因区间[0,]关于x = 1的对称区间为[,2],且
=3cos(??114141P(??2)?P(A0?B2)?P(A1?B1)?P(A2?B0)??????949294
=
13 , 36?41411P(??3)?P(A1?B2)?P(A2?B1)????? .
94923411 P(??4)?P(A2?B2)??? .
94923综上知?有分布列
43y?g(x)与y?f(x)的图象关于
x = 1对称,故y?g(x)在[0,]上的最大值为
? 43P 从而,?的期望为
0 1/36 1 1/6 2 13/36 3 1/3 2y?f(x)在[,2]上的最大值
3 由(Ⅰ)知f(x)=3sin( 当
?x?) 43?E??0??111311?1??2??3??4? 36636392?????x?2时,???? 364364 因此y?g(x)在[0,]上的最大值为
3 gmax?3sin(17)(本小题13分)
解:设Ak表示甲种大树成活k株,k=0,1,2 Bl表示乙种大树成活l株,l=0,1,2 则Ak,Bl独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有
7(株) 3解法二:
分布列的求法同上
令?1,?2分别表示甲乙两种树成活的株数,则
?6?3 . 22132241故有E?1=2?=,E?2?2??1
3327从而知E??E?1?E?2?
3?1:B(2,),?2:B(2,)
18、(本小题13分)
解(Ⅰ)因f(x)?ax?bx?k(k?0),故f?(x)?2ax?b 又f(x)在x=0处取得极限值,故f?(x)?0,从而b?0
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知识改变命运,学习成就未来
由曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x?2y?1?0相互垂直可知
该切线斜率为2,即f?(1)?2,有2a=2,从而a=1
(Ⅱ)如答(19)图1,过E电作EG?CD,交CD于点G,又过G点作GH?CD,交AB于H,故?EGH为二面角
记为?,过E点作EF//BC,交CS于E?CD?A的平面角,
点F,连结GF,因平面
ex(Ⅱ)由(Ⅰ)知,g(x)?2(k?0)
x?kex(x2?2x?k)g?(x)?(k?0) 22(x?k)令g?(x)?0,有x?2x?k?0 (
1
)
当
2ABCD?平面CSD,GH?CD,易知GH?GF,故
???2??EGF.
1CS?1,在2,
因
由于E为BS边中点,故CF?Rt?CFE中,
EF?CE2?CF2?2?1?1?4k 即当?k>1时,4g?(x)>0在?R上恒成立,0?EF?平面CSD,又EG?CD
故由三垂线定理的逆定理得FG?CD,从而又
故函数g(x)在R上为增函数
(
2
)
当
可得?CGF:?CSD,
?4k即当?k=1时,4??因此
GFCF而在Rt?CSD中, ?DSCDex(x?1)2g?(x)?2?0(x?0) 2(x?k)K=1时,g(x)在R上为增函数
(3)??4?4k?0,即当0 2CD?CS2?SD2?4?2?6,CF11 故GF??DS??2?CD63在Rt?FEG中,tanEGF?故所求二面角的大小为???EF?3可得?EGF?, 3FG ?6x1?1?1?k,x2?1?1?k 当 解法二: (Ⅰ)如答(19)图2,以S(O)为坐标原点,射线OD,OC 分别为x轴,y轴正向,建立空间坐标系,设A(xA,yA,zA),x?(??,1?1?k)是g?(x)?0,故g(x)在(??,1?1?k)上为增函数 当 因 平 面 x?(1?1?k,1?1?k)时,g?(x?)故0COD?平面ABCD,AD?CD,故AD?平面COD uuuv即点A在xoz平面上,因此yA?0,zA?AD?1 g(x)在(1?1?k,1?1?k)上为减函数 x?(1?1?k,+?)时, g?(x?)故 又 uuv2x?1?AS?3,xA?22A2 g(x)在(1?1?k,+?)上为增函数 (19)(本小题12分) 解法一: (Ⅰ)因为 AD//BC,且BC?平面BCS,所以 从而(A2,0,1) 因AD//BC,故BC⊥平面CSD,即BCS与平面 yOx重合,从而点A到平面BCS的距离为 xA?2. (Ⅱ)易知C(0,2,0),D(,0,0). 因E为BS的中点. ΔBCS为直角三角形 , AD/平面/BC,SA点到平面BCS的距离等于D点到从而 平面BCS的距离。 因 为 平 面 CS?平面Duuvuuv BS?,AB?C,D故A知DC2CED?22 设B(0,2, ZB),ZB>0,则ZA=2,故B(0,2,2),所以E(0,1,1) . 在CD上取点G,设G(x1,y1,0),使GE⊥CD . 由CD?(2,?2,0),GE?(?x1,?y1?1,1),CD?GE?0故 AD?平面CSD,从而AD?SD,由AD//BC,得 ?,又由CS?DS知DS?平面BCS,从而 DS为点A到平面BCS的距离,因此在Rt?ADS中 DS?AS?AD?3?1?2 22uuuvuuuvuuuvuuuv欢迎各位老师踊跃投稿,稿酬丰厚 邮箱:zxjkw@163.com 第 4 页 共 6 页 知识改变命运,学习成就未来 2x1?2(y1?1)?0 ① ???????? 因为QA?BA?0, uuuvuuuvuuuv又点G在直线CD上,即CG//CD,由CG=(x1,y1?2,0), 则有(1?xQ?yQ)?(1?xN?yn)?(1?xQ)(1?xN)?yQyN?0, x12?y1?2 ② ?2所以 xQxN?yQyN?xN?xQ?1. ② 记P点的坐标为(xP,yP),因为P是BQ的中点 所以 2xP?xQ?xP,2yP?yQ?yP 由因为 xN?yN?1,结合①,②得 2224,,0) , 联立①、②,解得G=(33uuuv22,?,1).又由AD⊥CD,故GE=(?所以二面角E-CD-A33的平面角为向量GE与向量DA所成的角,记此角为? . uuuvuuuvuuuv23uuuvuuuvuuuvuuuv因为GE=,DA?(0,0,1),DA?1,GE?DA?1,所 3以 uuuvuuuvGE?DA3 cos??uu uvuuuv?2GE?DA故所求的二面角的大小为 122xP?yP?((xQ?xN)2?(yQ?yN)2) 412222 ?(xQ?xN?yQ?yn?2(xQxN?yQyN)) 41 ?(5?2(xQ?xN?1)) 43 ??xP 4故动点P的估计方程为 ?. 61(x?)2?y2?1 2(21)(本小题12分) (20)(本小题12分) 解:(Ⅰ)由题设条件知焦点在y轴上,故设椭圆方程 ,1a 解:(I)因a1,a2009,a2008,???006是公比为d的等比 2x2y2为2?2?1(a >b> 0 ). ab43 设c?a?b,由准线方程y?得.由 322数列,从而a2000?a1d,a2008?a1d 由 S2009?S2008?12a1得a2008?a2009?12a1,故 解得d?3或d??4(舍去)。因此d?3 又 S3?3a1?3d?15。解得a1?2 从而当n?1005时, e?3c3得?,解得 a = 2 ,c = 3,从而 b = 1,2a22y2?1 . 椭圆方程为x?4y2?1的焦点,所 又易知C,D两点是椭圆x?42以,MC?MD?2a?4 从而MC?MD?(MC?MD2)2?22?4,当且 仅当MC?MD,即点M的坐标为(?1,0) 时上式取等号,MC?MD的最大值为4 . (II)如图(20)图,设M(xm,ym),B(xB,yB) an?a1?(n?1)d?2?3(n?1)?3n?1 当1006?n?2009时,由a1,a2009,a2008,???,a1006是公 比为d的等比数列得 ????????????? Q(xQ,yQ).因为N(xN,0),OM?ON?OQ,故 xQ?2xN,yQ?yM, xQ?yQ?(2xM)?y?4 ① 222yan?a1d2009?(n?1)?a1d2010?n(1006?n?2009) 欢迎各位老师踊跃投稿,稿酬丰厚 邮箱:zxjkw@163.com 第 5 页 共 6 页 知识改变命运,学习成就未来 ?3n?1,n?1005因此an?? 2009?n,1006?n?2009?2?3( II 2an??1 题 意 m222222a7?K?am?(a7?K?a12)?K?(a6k?5?K?a6k)2 =(k-1) (a12?K?a6)) 2(an?1由 21?an =(k-1) (a12?m ?1因此由⑤得 ?)n?得 1,m?a,1a11122+a?+a?)?6(k-1)23222a1a2a3aaam2a ① ?an?an?1an?1(1?n?m),??am?am?1a1 ② ?a?aa ③m2?1有①得a3?22a1?a2?a3?K?a6?a7?K?am?6?6(k?1)?6k?m?ma1a2a3Kam a2a11,a4?,a5?,a6?1 ④ a3a1a2a22由①,②,③得a1a2???an?(a1a2???an), 故a1a2???an?1. ⑤ 又ar?3?ar?2ar?111???(1?r?m?3),故有 ar?1arar?1arar?6?1?ar(1?r?m?6).⑥ ar?3下面反证法证明:m?6k 若不然,设m?6k?p,其中1?p?5 若取p?1即m?6k?1,则由⑥得am?a6k?1?a1,而由③得am?a1a,故a1?1, a2a2am,从而a6?a6k?am?1,而 a1得a2?1,由②得am?1?a6?a1,故a1?a2?1,由④及⑥可推得an?1(1?n?m)a2与题设矛盾 同理若P=2,3,4,5均可得an?1(1?n?m)与题设矛盾,因此m?6k为6的倍数 由均值不等式得 a1?a2?a3?K?a6?(a1? aa11)?(a2?)?(2?1)?6a1a2a1a2由上面三组数内必有一组不相等(否则a1?a2?a3?1,从而a4?a5?K?am?1与题设矛盾),故等号不成立,从而a1?a2?a3?K?a6?6 又m?6k,由④和⑥得 欢迎各位老师踊跃投稿,稿酬丰厚 邮箱:zxjkw@163.com 第 6 页 共 6 页 知识改变命运,学习成就未来 ?3n?1,n?1005因此an?? 2009?n,1006?n?2009?2?3( II 2an??1 题 意 m222222a7?K?am?(a7?K?a12)?K?(a6k?5?K?a6k)2 =(k-1) (a12?K?a6)) 2(an?1由 21?an =(k-1) (a12?m ?1因此由⑤得 ?)n?得 1,m?a,1a11122+a?+a?)?6(k-1)23222a1a2a3aaam2a ① ?an?an?1an?1(1?n?m),??am?am?1a1 ② ?a?aa ③m2?1有①得a3?22a1?a2?a3?K?a6?a7?K?am?6?6(k?1)?6k?m?ma1a2a3Kam a2a11,a4?,a5?,a6?1 ④ a3a1a2a22由①,②,③得a1a2???an?(a1a2???an), 故a1a2???an?1. ⑤ 又ar?3?ar?2ar?111???(1?r?m?3),故有 ar?1arar?1arar?6?1?ar(1?r?m?6).⑥ ar?3下面反证法证明:m?6k 若不然,设m?6k?p,其中1?p?5 若取p?1即m?6k?1,则由⑥得am?a6k?1?a1,而由③得am?a1a,故a1?1, a2a2am,从而a6?a6k?am?1,而 a1得a2?1,由②得am?1?a6?a1,故a1?a2?1,由④及⑥可推得an?1(1?n?m)a2与题设矛盾 同理若P=2,3,4,5均可得an?1(1?n?m)与题设矛盾,因此m?6k为6的倍数 由均值不等式得 a1?a2?a3?K?a6?(a1? aa11)?(a2?)?(2?1)?6a1a2a1a2由上面三组数内必有一组不相等(否则a1?a2?a3?1,从而a4?a5?K?am?1与题设矛盾),故等号不成立,从而a1?a2?a3?K?a6?6 又m?6k,由④和⑥得 欢迎各位老师踊跃投稿,稿酬丰厚 邮箱:zxjkw@163.com 第 6 页 共 6 页
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