2010年高考试题 - 数学（江苏卷）

绝密★启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ试题

参考公式： 锥体的体积公式: V锥体=

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 1Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。 3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上. ．．

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3?B, a+2=3, a=1.

2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。 3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.

[解析]考查古典概型知识。2

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。

[解析]考查频率分布直方图的知识。 100×（0.001+0.001+0.004）×5=30

5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x?R)是偶函数，则实数a=_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。

x2y26、在平面直角坐标系xOy中，双曲线??1上一点M，点M的横坐标是3，则M到

412双曲线右焦点的距离是___▲_______ [解析]考查双曲线的定义。

MF4 ?e??2，d为点M到右准线x?1的距离，d=2，MF=4。

d27、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______

[解析]考查流程图理解。1?2?22???24?31?33,输出S?1?2?2???2?63。 8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

25在点(ak,ak2)处的切线方程为：y?ak2?2ak(x?ak),当y?0时，解得x?所以ak?1?ak， 2ak,a1?a3?a5?16?4?1?21。 2229、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x?y?4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____

来源[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，

|c|?1，c的取值范围是（-13，13）。 1310、定义在区间?0,????过点P作PP1?上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，

2?⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值， 且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=

22。线段P1P2的长为 33

?x2?1,x?011、已知函数f(x)??,则满足不等式f(1?x2)?f(2x)的x的范围是__▲___。

x?0?1,2?1?x?2x?[解析] 考查分段函数的单调性。??x?(?1,2?1) 2??1?x?0x2x312、设实数x,y满足3≤xy≤8，4≤≤9，则4的最大值是 ▲ 。

yy2。来源[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。

111x22x3x221x3()?[16,81]，2?[,]，4?()?2?[2,27]，4的最大值是27。

xy83yyyyxy

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，?▲_____。

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。 当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC?baaant?6cosC，则bantCant?AantC=____B11?cosC1C22C??，tan?，tan， 321?cosC222tanA?tanB?1tanC2?2，

tanCtanC?= 4。 tanAtanBbaa2?b2?c23c22222226ab??a?b,a?b?（方法二）??6cosC?6abcosC?a?b，

ab2ab2tanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C???????tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB1c2c2c2????4 由正弦定理，得：上式=?cosCab1(a2?b2)13c2?662

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

2(梯形的周长）S?,则S的最小值是____▲____。

梯形的面积[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。

22(3?x)4(3?x)设剪成的小正三角形的边长为x，则：S???(0?x?1) 21331?x?(x?1)??(1?x)22（方法一）利用导数求函数最小值。

4(3?x)24(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，S?(x)? S(x)???222(1?x)31?x34(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)4?2(3x?1)(x?3) ????2222(1?x)(1?x)331S?(x)?0,0?x?1,x?，

311当x?(0,]时，S?(x)?0,递减；当x?[,1)时，S?(x)?0,递增；

33故当x?1323时，S的最小值是。 33（方法二）利用函数的方法求最小值。

4t241111?2??令3?x?t,t?(2,3),?(,)，则：S?

86t323?t?6t?83???1t2t故当?

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(AB?tOC)·OC=0，求t的值。

[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。

1t31323,x?时，S的最小值是。 833????????（1）（方法一）由题设知AB?(3,5),AC?(?1,1)，则 ????????????????AB?AC?(2,6),AB?AC?(4,4). ????????????????所以|AB?AC|?210,|AB?AC|?42.

故所求的两条对角线的长分别为42、210。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；

????????????（2）由题设知：OC=(－2,－1)，AB?tOC?(3?2t,5?t)。

由(AB?tOC)·OC=0，得：(3?2t,5?t)?(?2,?1)?0， 从而5t??11,所以t??11。 5|OC|5?????????????????????2????OC11或者：AB·OC ?tOC，AB?(3,5),t?AB????2??

16、（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。 (1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离。

[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空

间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。

（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=900，得CD⊥BC，

又PD?DC=D，PD、DC?平面PCD， 所以BC⊥平面PCD。

因为PC?平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。 易知DF=

2，故点A到平面PBC的距离等于2。 2

（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。 从而AB=2，BC=1，得?ABC的面积S?ABC?1。 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积V?因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC。 又PD=DC=1，所以PC?11S?ABC?PD?。 33PD2?DC2?2。

2。 2由PC⊥BC，BC=1，得?PBC的面积S?PBC?由VA?PBC?VP?ABC，S?PBC?h?V?故点A到平面PBC的距离等于2。

131，得h?2， 317、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值

(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大

ECβDBαdA

分析：此题关键要找出C点的位置，清楚α-β最大时tan(α-β)也最大 解：（1）因为： tan??则：BA?AEAEBC,tan???，AE?H BADADBHH4，DA?，DB? tan?tan?tan?因为 DA?DB?BA 所以

H4H?? 带入tanα=1.24,tanβ=1.20 tan?tan?tan?

H4H??，所以H=124m 1.201.201.241254（2）由题意知：tan??，tan??

dDBBCDBDB4DB4d121????tan??因为所以则DB? AEDADB?BA125DB?d121d125121?tan??tan?4d= tan(???)??d125121125?1211?tan?tan?1?d?ddd得

?125?12142=（d?0）当且仅当d?时，即d?555m时

d125?1215552ddtan(???)最大，因为0??????2，所以???也取最大值

所以，d?555m时，???取最大值

小结：此题主要考察学生对直角三角形角边关系的应用，第二问还考察学生对两角差的正切公式和基本不等式的熟练运用，第一问属于简单题，第二问属于中等题。

总结：这两题充分体现了高考是以基础性题型为主的宗旨，对学生具有扎实基础的重视。虽说第二题与别章有结合，但都属于基本知识的结合，只要学生对各章都有一个坚实的基础，解决这些题目都不会有问题。所以，在以后解三角形的复习中，我们一定要强化三角形基本定理的熟练应用，扎实基础，注重与别章基础知识综合时的灵活运用。

18、（本小题满分16分）

x2y2??1的左、右顶点为A、B，右焦点为F。在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y1?0,y2?0。

（1）设动点P满足PF?PB?4,求点P的轨迹； （2）设x1?2,x2?221，求点T的坐标； 3（3）设t?9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。

（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

2222由PF?PB?4，得(x?2)?y?[(x?3)?y]?4, 化简得x?229。 2故所求点P的轨迹为直线x?（2）将x1?2,x2?9。 215120分别代入椭圆方程，以及y1?0,y2?0得：M（2，）、N（，?） 33391y?0x?3直线MTA方程为：，即y?x?1， ?53?02?3355y?0x?3直线NTB 方程为：，即y?x?。 ?20162??0?393?x?7?联立方程组，解得：?10，

y??3?所以点T的坐标为(7,10)。 3（3）点T的坐标为(9,m)

y?0x?3m?(x?3)， ，即y?m?09?312y?0x?3m?直线NTB 方程为：，即y?(x?3)。 m?09?36直线MTA方程为：

x2y2??1联立方程组，同时考虑到x1??3,x2?3， 分别与椭圆953(80?m2)40m3(m2?20)20m,)N(,?)。 解得：M(、

80?m280?m220?m220?m220m3(m2?20)y?x?2220?m20?m（方法一）当x1?x2时，直线MN方程为： ?2240m20m3(80?m)3(m?20)??280?m220?m280?m20?m2 令y?0，解得：x?1。此时必过点D（1，0）；

当x1?x2时，直线MN方程为：x?1，与x轴交点为D（1，0）。 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

240?3m23m2?60?（方法二）若x1?x2，则由及m?0，得m?210， 2280?m20?m此时直线MN的方程为x?1，过点D（1，0）。

若x1?x2，则m?210，直线MD的斜率kMD40m210m80?m， ??240?3m240?m2?180?m2直线ND的斜率kND?20m210m20?m，得kMD?kND，所以直线MN过D点。 ??23m2?6040?m?120?m2因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。

19、（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知2a2?a1?a3，数列的等差数列。

（1）求数列?an?的通项公式（用n,d表示）；

（2）设c为实数，对满足m?n?3k且m?n的任意正整数m,n,k，不等式Sm?Sn?cSk?S?是公差为dn

都成立。求证：c的最大值为

9。 2[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。 （1）由题意知：d?0，

Sn?S1?(n?1)d?a1?(n?1)d

2a2?a1?a3?3a2?S3?3(S2?S1)?S3，3[(a1?d)2?a1]2?(a1?2d)2,

化简，得：a1?2a1?d?d2?0,a1?d,a1?d2

Sn?d?(n?1)d?nd,Sn?n2d2，

当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2d2?(n?1)2d2?(2n?1)d2，适合n?1情形。 故所求an?(2n?1)d2 （2）（方法一）

m2?n2恒成立。 Sm?Sn?cSk?md?nd?c?kd?m?n?c?k， c?2k222222222m2?n29?， 又m?n?3k且m?n，2(m?n)?(m?n)?9k?k222222故c?99，即c的最大值为。

22（方法二）由a1?d及Sn?a1?(n?1)d，得d?0，Sn?n2d2。

于是，对满足题设的m,n,k，m?n，有

(m?n)229229Sm?Sn?(m?n)d?d?dk?Sk。

2222229。 2933另一方面，任取实数a?。设k为偶数，令m?k?1,n?k?1，则m,n,k符合条件，

22231222223222且Sm?Sn?(m?n)d?d[(k?1)?(k?1)]?d(9k?4)。

222所以c的最大值cmax?于是，只要9k?4?2ak，即当k?221222时，Sm?Sn?d?2ak?aSk。

22a?9所以满足条件的c?

99，从而cmax?。 22

因此c的最大值为

9。 220、（本小题满分16分）

设f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数

h(x)，其中h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得f'(x)?h(x)(x2?ax?1)，则称

函数f(x)具有性质P(a)。 (1)设函数f(x)?lnx?b?2(x?1)，其中b为实数。 x?1(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间。 (2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2?(1,??),x1?x2,设m为实数，

??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，

若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，求m的取值范围。

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 （1）(i)f'(x)?1b?21??(x2?bx?1) 22x(x?1)x(x?1)1?0恒成立，

x(x?1)2∵x?1时，h(x)?∴函数f(x)具有性质P(b)；

b2b2(ii)（方法一）设?(x)?x?bx?1?(x?)?1?，?(x)与f'(x)的符号相同。

24b2?0,?2?b?2时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当1?42当b??2时，对于x?1，有f'(x)?0，所以此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b??2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b??1，而?(0)?1， 2对于x?1，总有?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； （方法二）当b?2时，对于x?1，?(x)?x2?bx?1?x2?2x?1?(x?1)2?0

所以f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b?2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b?1，方程?(x)?0的两根为：2b?b2?4b?b2?4b?b2?4b?b2?42，而,?1,??(0,1)

22222b?b?4b?b2?4b?b2?4 当x?(1,)时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,)

22b?b2?4上递减；同理得：f(x)在区间[,??)上递增。

2综上所述，当b?2时，f(x)在区间(1,??)上递增；

22 当b?2时，f(x)在(1,b?b?4)上递减；f(x)在[b?b?4,??)上递增。

22(2)（方法一）由题意，得：g'(x)?h(x)(x2?2x?1)?h(x)(x?1)2 又h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，

所以对任意的x?(1,??)都有g?(x)?0，g(x)在(1,??)上递增。 又????x1?x2,????(2m?1)(x1?x2)。 当m?1,m?1时，???，且??x1?(m?1)x1?(1?m)x2,??x2?(1?m)x1?(m?1)x2， 2

综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，g(x)的导函数g'(x)?h(x)(x2?2x?1)，其中函数h(x)?0对于任

2意的x?(1,??)都成立。所以，当x?1时，g'(x)?h(x)(x?1)?0，从而g(x)在区间

(1,??)上单调递增。

①当m?(0,1)时，有??mx1?(1?m)x2?mx1?(1?m)x1?x1，

??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得??(x1,x2)，同理可得??(x1,x2)，所以

由g(x)的单调性知g(?)、g(?)?(g(x1),g(x2))， 从而有|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，符合题设。 ②当m?0时，??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，

??(1?m)x1?mx2?(1?m)x1?mx1?x1，于是由??1,??1及g(x)的单调性知

g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?)，所以|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。

③当m?1时，同理可得??x1,??x2，进而得|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）。

数学Ⅱ（附加题）

21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A． 选修4-1：几何证明选讲 （本小题满分10分）

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。

AOBCD

（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC， 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO， 所以∠DCO=300，∠DOC=600，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。 （方法二）证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA， 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。 即2OB=OB+BC，得OB=BC。 故AB=2BC。

B． 选修4-2：矩阵与变换 （本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=??k0??01?,N=??10?，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△01????A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。 解：由题设得MN???k0??01??0k???10???10? 01??????由??0k??0?2?2??00k?，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）。 ???????10??001??0?2?2?计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|?2?1?2。 所以k的值为2或-2。

C． 选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。 解：?2?2?cos?，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2?y2?2x,(x?1)2?y2?1，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x?4y?a?0，

又圆与直线相切，所以

D． 选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）

|3?1?4?0?a|3?422?1,解得：a?2，或a??8。

设a、b是非负实数，求证：a3?b3?ab(a2?b2)。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。 （方法一）证明：a3?b3?ab(a2?b2)?a2a(a?b)?b2b(b?a)

?(a?b)[(a)5?(b)5]

?(a?b)2[(a)4?(a)3(b)?(a)2(b)2?(a)(b)3?(b)4]

因为实数a、b≥0，(a?b)2?0,[(a)4?(a)3(b)?(a)2(b)2?(a)(b)3?(b)4]?0 所以上式≥0。即有a3?b3?ab(a2?b2)。 （方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

a3?b3?ab(a2?b2)?a2a(a?b)?b2b(b?a)?(a?b)[(a)5?(b)5]

当a?b时，a?b，从而(a)5?(b)5，得(a?b)[(a)5?(b)5]?0； 当a?b时，a?b，从而(a)5?(b)5，得(a?b)[(a)5?(b)5]?0； 所以a3?b3?ab(a2?b2)。

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、（本小题满分10分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且

P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18， P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X的分布列为：

X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 -3 0.02 （2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4?n件。 由题设知4n?(4?n)?10，解得n? 又n?N，得n?3，或n?4。

3所求概率为P?C4?0.83?0.2?0.84?0.8192

14， 5答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

23、（本小题满分10分） 已知△ABC的三边长都是有理数。

（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。

b2?c2?a2（方法一）（1）证明：设三边长分别为a,b,c，cosA?，∵a,b,c是有理数，

2bcb2?c2?a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， b2?c2?a2∴必为有理数，∴cosA是有理数。

2bc（2）①当n?1时，显然cosA是有理数；

当n?2时，∵cos2A?2cos2A?1，因为cosA是有理数， ∴cos2A也是有理数；

②假设当n?k(k?2)时，结论成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理数。 当n?k?1时，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA，

1cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]，

211cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A，

22解得：cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A

∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理数，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理数， ∴cos(k?1)A是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 （方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

AB2?AC2?BC2cosA?是有理数。

2AB?AC（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。

①当n?1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA?sinA?1?cosA也是有理数。 ②假设当n?k(k?1)时，coskA和sinA?sinkA都是有理数。 当n?k?1时，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA，

2sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA，

及①和归纳假设，知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。

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