2010年高考试题 - 数学理(全国卷2) - 图文

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）（数学

理）

【教师简评】

按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.

1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.

2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.

3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.

?3?i?（1）复数???

?1?i?2（A）?3?4i （B）?3?4i （C）3?4i （D）3?4i 【答案】A

【命题意图】本试题主要考查复数的运算.

?3?i??(3?i)(1?i)?2【解析】???(1?2i)??3?4i. ???2?1?i???22（2）.函数y?（A） y?e（C）y?e

【答案】D

1?ln(x?1)2(x?1)的反函数是

2x?12x?1?1(x?0) （B）y?e?1(x?0)

2x?1?1(x?R) （D）y?e2x?1?1(x?R)

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得

，即

∴在反函数中

，又

，故选D.

；

?x≥?1,?（3）.若变量x,y满足约束条件?y≥x,则z?2x?y的最大值为

?3x?2y≤5，?（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】C

【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.

【解析】可行域是由A(?1,?1),B(?1,4),C(1,1)构成的三角形，可知目标函数过C时最大，最大值为3，故选C.

（4）.如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7? （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C

【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】a3?a4?a5?3a4?12,a4?4,?a1?a2???a7?x?x?6x?127(a1?a7)2?7a4?28

（5）不等式＞0的解集为

（A）?xx＜?2,或x＞3? （B）?xx＜?2，或1＜x＜3? （C） ?x?2＜x＜1，或x＞3? （D）?x?2＜x＜1，或1＜x＜3?

【答案】C

【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

【解析】

解得-2＜x＜1或x＞3，故选C

利用数轴穿根法

（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

【答案】B

【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两

个有

种方法，共有种，故选B.

（7）为了得到函数y?sin(2x?（A）向左平移（C）向左平移

?2?3)的图像，只需把函数y?sin(2x??6)的图像

?4个长度单位 （B）向右平移

??4个长度单位

个长度单位 （D）向右平移

2个长度单位

【答案】B

【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.

2?【解析】y?sin(xy?sin(x2??6=)sin2(x??4?12)，y?sin(2x??3)=?sin2(x??6)，所以将

?6)的图像向右平移个长度单位得到y?sin(2x??3)的图像，故选B.

uuruur （8）VABC中，点D在AB上，CD平方?ACB．若CB?a，CA?b，a?1，b?2，uuur则CD?

（A）

13a?23b （B）

23a?13b （C）

35a?45b （D）

45a?35b

【答案】B

【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD平分?ACB，由角平分线定理得

ADDB=CACB?21，所以D为AB的三等分

????2????2????????????????????2????1????2?1?点，且AD?AB?(CB?CA)，所以CD?CA+AD?CB?CA?a?b，故选

333333B.

（9）已知正四棱锥S?ABCD中，SA?23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A）1 （B）3 （C）2 （D）3

【答案】C

【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.

【解析】设底面边长为a，则高

所以体积

，

设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4

时，体积最大，此时

1??（10）若曲线y?x2在点?a,a2?，故选C.

1???处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a? ?（A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A

【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.. 【解析】y'??1212x?32,?k??12a?32，切线方程是y?a?12??12?12a?32(x?a)，令x?0，

y?32a?，令y?0，x?3a，∴三角形的面积是s?12?3a?32a?18，解得a?64.故选

A.

（11）与正方体ABCD?A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 （A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个

【答案】D 【解析】直线

上取一点，分别作

垂直于

于

则分别作

，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线

定理可得，PN⊥

PM⊥

；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距

离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

xa22（12）已知椭圆C:

?yb22?1(a＞b＞0)的离心率为

32，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的

????????直线与C相交于A、B两点．若AF?3FB，则k?

（A）1 （B）2 （C）3 （D）2

【答案】B

【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.

【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为

垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，

，由，

得，∴

即k= 第Ⅱ卷

注意事项：

1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。 2．本卷共10小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）已知a是第二象限的角，tan(??2a)??【答案】?1243，故选B.

，则tana? ．

【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.

442ta?n42???【解析】由tan(??2a)??得tan2a??，又tana，解得2331?tan?3tan???12或axta?n?92a是第二象限的角，所以tan???，又

312.

（14）若(x?)的展开式中x的系数是?84，则a? ．

【答案】1

【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.

【解析】展开式中x3的系数是C93(?a)3??84a3??84,?a?1.

（15）已知抛物线C:y2?2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于

?????????点A，与C的一个交点为B．若AM?MB，则p? ．

【答案】2

【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.

【解析】过B作BE垂直于准线l于E，∵AM?MB，∴M为中点，∴BM?率为3，?BAE?300，∴BE?12?????????12AB，又斜

AB，∴BM?BE，∴M为抛物线的焦点，∴p?2.

（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，

AB?4．若OM?ON?3，则两圆圆心的距离MN? ． 【答案】3

【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.

【解析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵AB?4，所以

OE??AB?2R????23，∴ME=3，由球的截面性质，有OM?ME,ON?NE，∵

2???3，所以?MEO与?NEO全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由

ME?MOOE?3

2OM?ON面积相等，可得，MN=2三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）

?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?513，cos?ADC?35，求AD．

【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.

【参考答案】

由cos∠ADC=＞0，知B＜.

由已知得cosB=，sin∠ADC=.

从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.

由正弦定理得 ，所以=.

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

（18）（本小题满分12分）

已知数列?an?的前n项和Sn?(n2?n)?3n． （Ⅰ）求limn??anSna222；

ann2（Ⅱ）证明：

a112??…?＞3．

ns1(n?1)?【命题意图】本试题主要考查数列基本公式an??的运用，数列极限和数列不

s?s(n?2)n?1?n等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】

【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.

（19）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，AA1?AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE?3EB1．

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角

A1?AC1?B1的大小．

【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力. 【参考答案】

(19)解法一：

（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.

因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. ??????3分

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.

（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB1=

，DG=

，CG=

，AC=

.

作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处. （20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；

（Ⅲ）?表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求?的期望．

【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】

【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.

（21）（本小题满分12分）

己知斜率为1的直线l与双曲线C：

xa22?yb22?1?a＞0，b＞0?相交于B、D两点，且BD

的中点为M?1,3?． （Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DF?BF?17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】

【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定. （22）（本小题满分12分） 设函数f?x??1?e?x．

xx?1（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f?x??（Ⅱ）设当x?0时，f?x??xax?1；

，求a的取值范围．

【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能

力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】

【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5maa.html