湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题(3)

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）

姓名： 班级 ： 分数 ：

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）

1.定义集合运算: A?B??z|z?xy,x?A,y?B?.设A??2,0?，B??0,8?，则集合

A?B的所有元素之和为（ ）

A.16 B.18 C. 20 D.22 2.已知?an?是等比数列，a2?2,a5?围是（ ）

A.?12,16? B.?8,16? C. ?8,1，则a1a2?a2a3?????anan?1n?N?的取值范4???32?? D. ?3??1632??3,3? ??3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概

率为（ ）

A.

31550 B. C. D. 515881４．已知a、b为非零的不共线的向量，设条件M:b?a?b；条件N:对一切x?R，不等式a?xb?a?b恒成立．则M是N的（ ）

Ａ．必要而不充分条件 Ｂ．充分而不必要条件 Ｃ．充分而且必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 5．设函数f(x)定义在R上，给出下述三个命题：

①满足条件f(x?2)?f(2?x)?4的函数图象关于点?2,2?对称；②满足条件

??f(x?2)?f(2?x)的函数图象关于直线x?2对称；③函数f(x?2)与f(?x?2)在同一

坐标系中，其图象关于直线x?2对称.其中，真命题的个数是

（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27和43，M、N分别为AB、CD的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：

①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为1 其中真命题为（ ）

A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④

07.设a?sin(sin2008)，b?sin(cos20080)，c?cos(sin20080)，d?cos(cos20080),

则a,b,c,d的大小关系是（ ）

Ａ．a?b?c?d Ｂ．b?a?d?c

Ｃ．c?d?b?a Ｄ．d?c?a?b

8. 设函数f(x)?x3?3x2?6x?14，且f(a)?1，f(b)?19，则a?b?（ ）

A.2 B.1 C.0 D.?2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.） 9．在平面直角坐标系中，定义点P?x1,y1?、Q?x2,y2?之间的“直角距离”为

d(P,Q)?x1?x2?y1?y2.若C?x,y?到点A?1,3?、B?6,9?的“直角距离”相等，其中实

数x、y满足0?x?10、0?y?10，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 ． 10.已知集合???x,y?|x2?y2?2008，若点P(x,y)、点P?(x?,y?)满足x?x?且

??y?y?，则称点P优于P?. 如果集合?中的点Q满足：不存在?中的其它点优于Q，则

所有这样的点Q构成的集合为 ． 11.多项式1?x?x2?????x100??的展开式在合并同类项后，x3150的系数为 .（用数字作答）

12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为

9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 813.将一个4?4棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 不同的染法.（用数字作答）

14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k棵树种植在点

Pk?xk,yk?处，其中x1?1,y1?1，当k?2时，

??k?1??k?2?x?x?1?5?5?;k?1?????k?5??5? ??yk?yk?1??k?1???k?2?.???5????5???其中，?a?表示实数a的整数部分，例如?2.6??2，?0.6??0. 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 .

三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.） 15．（本小题满分14分）设实数a,b???,??，求证：

ba????? ab??其中等号当且仅当a??,b??或a??,b??成立，?,?为正实数.

１6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为

21，乙获胜的概率为．如果将“乙获得冠军”33的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．

17. （本小题满分16分）已知函数f(x)?ln?1?x??x在区间?0,n?n?N?上的最小值为

??bn，令an?ln?1?n??bn，pk?求证：p1?p2?????pn?

a1a3???a2k?1k?N?，

a2a4???a2k??2an?1?1.

x2y2??1的切线18. （本小题满分18分）过直线l:5x?7y?70?0上的点P作椭圆

259PM、PN，切点分别为M、N，联结MN.

（1）当点P在直线l上运动时，证明：直线MN恒过定点Q； （2）当MN∥l时，定点Q平分线段MN.

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）详细解答

1.解：集合A?B的元素：z1?2?0?0，z2?2?8?16，z3?0?0?0，z4?0?8?0，故集合A?B的所有元素之和为16. 选A.

1a1132. 解: 设?an?的公比为q，则q?5?4?，进而q?.

2a228所以，数列?anan?1?是以a1a2?8为首项，以q?21为公比的等比数列. 4a1a2?a2a3?????anan?11??8?1?n?4?32???1?4?n.

131?4??显然，8?a1a2?a1a2?a2a3?????anan?1?32. 选C. 353. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为3?243种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方

132法数为C3?C5?A2?60种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为112C3?C5?C4?90种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为P?60?9050?.选D. 24381４． 解：设OA?a，OB?b，则xb表示与OB共线的任一向量，a?xb表示点A到直线OB上任一点C的距离AC，而a?b表示点

A到B的距离. 当b?a?b时，

??AB?OB.由点与直线之间垂直距离最短知，AC?AB，即对一切x?R，不等式

a?xb?a?b恒成立．反之，如果AC?AB恒成立，则?AC?min?AB，故AB必为点A到OB的垂直距离，OB?AC，即b?a?b. 选C.

5．解：用x?2代替f(x?2)?f(2?x)?4中的x，得f(x)?f(4?x)?4.如果点?x,y?在y?f(x)的图象上，则4?y?f(4?x)，即点?x,y?关于点?2,2?的对称点?4?x,4?y?也在y?f(x)的图象上.反之亦然，故①是真命题.用x?2代替f(x?2)?f(2?x)中的

??x，得f(x)?f(4?x).如果点?x,y?在y?f(x)的图象上，则y?f(4?x)，即点?x,y?关于点x?2的对称点?4?x,y?也在y?f(x)的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.

6. 解：假设AB、CD相交于点N，则AB、CD共面，所以A、B、C、D四点共圆，而过圆的弦CD的中点N的弦AB的长度显然有AB?CD，所以②是错的．容易证明，当

MN最大为５，以AB为直径的圆面与以CD为直径的圆面平行且在球心两侧时，故③对．当

以AB为直径的圆面与以CD为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．

7. 解：因为2008?5?360?180?28，所以，

0000a?sin(?sin280)??sin(sin280)?0；b?sin(?cos280)??sin(cos280)?0； c?cos(?sin280)?cos(sin280)?0；d?cos(?cos280)?cos(cos280)?0．

00又sin28?cos28，故b?a?d?c.故选B.

8. 解：由f(x)?x3?3x2?6x?14??x?1??3?x?1??10，令g(y)?y3?3y，则g(y)3为奇函数且单调递增.

而f(a)??a?1??3?a?1??10?1,f(b)??b?1??3?b?1??10?19,

33所以g(a?1)??9,g(b?1)?9,g(?b?1)??9,从而g(a?1)?g(?b?1), 即a?1??b?1,故a?b??2.选D.

9． 解：由条件得 x?1?y?3?x?6?y?9 ①

当y?9时，①化为x?1?6?x?6，无解； 当y?3时，①化为x?1?6?x?6，无解；

当3?y?9时，①化为 2y?12?x?6?x?1 ②

若x?1，则y?8.5，线段长度为１；若1?x?6，则x?y?9.5，线段长度为52；若x?6，则y?3.5，线段长度为４．综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为

1?52?4?52?1．填52?1．

10. 解:P优于P?，即P位于P?的左上方，“不存在?中的其它点优于Q”，即“点Q的左上方不存在?中的点”.故满足条件的点的集合为

??????x,y?|x2?y2?2008,x?0且y?0.填?x,y?|x2?y2?2008,x?0且y?0．

???11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程

s?t?r?150 ①

2的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为C152.

下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设s?100.将方程①化为

(s?101)?t?r?49

2记s??s?101，则方程s??t?r?49的自然数解的组数为C51.

因此，x150212的系数为C152?C3C51?7651.填7651.

12.解：因为底面周长为3，所以底面边长为

133，底面面积为S?. 2892，所以高为3.该球的直径为1?8444V??R3??.填?.

333又因为体积为

?3?2?2，球的体积

213.解：第一行染2个黑格有C4种染法.第一行染好后，有如下三种情况：

（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；

2（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有C4种染法，第四行的

染法随之确定；

（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.

因此，共有染法为6??1?6?4?2??90种.填90. 14.解：令f(k)??，则 ?????5??5??k?1??k?2??k?5?1??k?5?2??k?1??k?2??k?1??k?2?f(k?5)??????1???1??????f(k)??????55??5??5??5??5???? 故f(k)是周期为5的函数.

计算可知：f(2)?0；f(3)?0；f(4)?0；f(5)?0；f(6)?1. 所以，

x2008?x2007?1?5f(2008)x2?x1?1?5f(2).

；

x2007?x2006?1?5f(2007)；?；

以上各式叠加，得x2008?x1?2007?5?f(2)?f(3)?????f(2008)?

?f(2)?f(3)?????f(6)??f(2)?f(3)? ?x1?2007?5?401

?x1?2007?5?401?3；

同理可得y2008?402.

所以，第2008棵树的种植点为?3,402?.填?3,402?.

15．证明：由对称性，不妨设a?b，令

a?t，则因??a?b??，可得 b?a??t??.??????????（3分） ?b?设f(t)?t?1??1???f(t)?1?，则对求导，得.????（6分） ???t?t2?t?t????易知，当t?????????f(t)?0时，，单调递减；当f(t)t?,1??1,?时，f?(t)?0，f(t)???????单调递增. ?????????????????????????（9分） 故f(t)在t?????????????或t?处有最大值且f?及f???????两者相等. ??????????????故f(t)的最大值为

??1???，即f(t)?t???.??????（12分） ??t??由

aba???t，得???，其中等号仅当a??,b??或a??,b??成立. bab??????????????????????????????（14分） １6． 解：如果某方以3:1或3:0获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．????（3分）

?1?乙胜五局的概率为??；??????????????????（6分）

?3?21?1?乙胜四局负一局的概率为C5???；????????????（9分）

?3?3?1??2?乙胜三局负二局的概率为C?????.???????????（12分）

?3??3?253254以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为

17.?????（14分） 8117. 解：（1）因为f(x)?ln?1?x??x，所以函数的定义域为??1,???，?（2分）

又f?(x)?1x?1??.?????????????????（5分） 1?x1?x当x??0,n?时， f?(x)?0，即f(x)在?0,n?n?N?上是减函数，故

??bn?f(n)?ln?1?n??n.

an?ln?1?n??bn?ln?1?n??ln?1?n??n?n.??????????（8分）

?2k?1??2k?1?4k2?1因为??1,所以 224k?2k??1?3?5??????2k?1???2k?1??2k?1??1?1. 1?33?55?7?????????2?4??????2k??2k?12k?1224262?2k?2??????????????????????????????（12分） 又容易证明

21?2k?1?2k?1，所以 2k?1pk?a1a3???a2k?11?3?5??????2k?1?1???2k?1?2k?1k?N?，

a2a4???a2k2?4??????2k?2k?1??????????????????????????（14分）

p1?p2?????pn??3?1???5?3???????2n?1?2n?1

? ?2n?1?1?2an?1?1.

即 p1?p2?????pn?2an?1?1.????????（16分）

18. 证明：（1）设P?x0,y0?、M?x1,y1?、N?x2,y2?. 则椭圆过点M、N的切线方程分别为

x1xy1yxxyy??1，2?2?1.????????????????（3分） 259259因为两切线都过点P，则有

x1x0y1y0xxyy??1，20?20?1. 259259这表明M、N均在直线

x0xy0y??1 ①上.由两点决定一条直线知，式①就是259直线MN的方程，其中?x0,y0?满足直线l的方程.???????（6分）

（1）当点P在直线l上运动时，可理解为x0取遍一切实数，相应的y0为

y0?代入①消去y0得

5x0?10. 7x05x?70x?0y?1?0 ② 2563对一切x0?R恒成立. ??????????????????????（9分）

变形可得 x0??x5y??10y??????1??0 ?2563??9??x5y?25?63?0,对一切x0?R恒成立.故有?

10y??1?0.?9由此解得直线MN恒过定点Q??259?,??.???????????（12分） ?1410?x05x0?7063??1. 解得x?4375. （2）当MN∥l时，由式②知25?05335?7?70533?0 ③ 代入②，得此时MN的方程为5x?7y?35将此方程与椭圆方程联立，消去y得

5332533128068x?x??0.????????????????（15分） 2571225由此可得，此时MN截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点Q??259?,??的横坐标，即 1410???533x?x225x?1??7?.

5331422?25代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点Q??259?,??的纵坐标，即 1410??y?5255331?125533?9??????. ??7147?3549?22?10这就是说，点Q??259?,??平分线段MN.???????????（18分） 1410??

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