湖北省黄冈中学高考数学模拟试题2

湖北省黄冈中学高考数学模拟试题1

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．1．直线x?3y?1?0的倾斜角是 （ ）

A．

??2?5? B． C． D．

36632．已知?,?,?为平面，命题p：若???,???，则?//?；命题q：若?上不共线的三点到?的距离相等，则?//?．对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）

A．命题“p且q”为真 C．命题“p或q”为假

B．命题“p或?q”为假 D．命题“?p”且“?q”为假

3. 某学校共有2009名学生，将从中选派5名学生在某天去国家大剧院参加音乐晚会，若采

用以下方法选取：先用简单随机抽样从2009名学生中剔除9名学生，再从2000名学生中随机抽取5名，则其中学生甲被选取的概率是

A．

5 2009（ ）

B．

111 C． D．

2000400 20093的解集为?4,b?，则实数b的值为（ ）. 2A． 9 B．18 C．36 D．48

??????5．已知a﹑b均为非零向量，条件p:a?b?0, 条件q:a与b的夹角为锐角，则p是q成

4． 若不等式x?ax?立的（ ） Ａ．充要条件

Ｂ．充分而不必要的条件 Ｄ．既不充分也不必要的条件

Ｃ．必要而不充分的条件

6．已知函数y?2sin(?x??)为偶函数(0????)，其图像与直线y=2某两个交点的横坐标分别

为x1、x2，若|x2-x1|的最小值为?，则该函数在区间（ ）上是增函数。

????????A．??,?? B．??,?

4??2?44????C．?0,?

?2???3?? D．?,?

?44?x2x3? 7．函数f?x??1?x?与x轴交点的个数是 （ ） 23A、0 B、1 C、2 D、3

8．如果关于x的一元二次方程x?2(a?3)x?b?9?0中，a、b分别是两次投掷骰子所得的点数，则该二次方程有两个正根的概率P= （ ）

221113 C． D． 961819.已知?an?是等比数列，a2?2,a5?，则a1a2?a2a3?????anan?1n?N?的取值范围

4A．

B．

1 18??是（ ）

A.?12,16? B.?8,16? C. ?8,?32??1632?? D. ?,? ?3??33?x2y210. 已知双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为e，左、右两焦点分别为F1、F2，焦

ab距为2c，抛物线C以F2为顶点，F1为焦点,点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a|PF2|＋c|PF1|＝8a，则e的值为 ( )

A.3

B. 3

C. 2

D. 6

2

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置上. 11．若(1?mx)6?a0?a1x?a2x2?????a6x6，且a1?a2?????a6?63，则实数m 的值为 __________．

12．如果把个位数字是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4

四个数字组成的有重复数字的四位数中“好数”共有 13．如图，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，

OA、OB、OC两两垂直，E、F分别为大圆弧AB与 AC的中点，则点E、F在该球上的球面距离是______

个。

?(x?2)2?(y?2)2?1,则z?x2?y2?2x?4y的最大值为 14．已知??x?y?315．直线y?2x?m和圆x?y?1交于点A、B，以x轴的正方向为始边，OA为终边（O是

坐标原点）的角为?，OB为终边的角为?，那么sin(???)是 .

22三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16． (本小题满分12分)

???已知向量m??2sinx,cosx?,n??3cosx,2cosx，定义函数

????f?x??logam?n?1?a?0,a?1?，求函数f?x?的最小正周期、单调递增区间.

??

17．（本题满分12分）

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试. 假设某学生每次通过测试的概率都是

1，每次测试通过与否互相独立. 规定：若前43次都没有通过测试，则第5次不能参加测试.

(Ⅰ)求该学生恰好经过4次测试考上大学的概率.(Ⅱ) 求该学生考上大学的概率.

18（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AB//CD，P AB⊥AD，AD=CD=2AB=2．侧面?PAD为正三角形，且平面PAD⊥平C D 面ABCD．

（1） 若M为PC上一动点，则M在何位置时，PC⊥平面MDB？

并加已证明．

A B （2） 若G为?PBC的重心，求二面角G—BD—C大小

19. (本小题满分12分)

已知函数y?|x|?1，y?11?t)(x?0)的最小值恰好是x2?2x?2?t，y?(x?2x32方程x?ax?bx?c?0的三个根，其中0?t?1．

（1）求证：a?2b?3；

32（2）设x1,x2是函数f(x)?x?ax?bx?c的两个极值点．若|x1?x2|?22， 3求函数f(x)的解析式.

20．（本题满分13分）

x22 已知椭圆2?y?1(a?2)，直线l与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点，连

a接OM并延长交椭圆于点C。

（1） 设直线AB与直线OM的斜率分别为k1、k2，且k1?k2??1，求椭圆的离心率。 2（2） 若直线AB经过椭圆的右焦点F，且四边形OACB是平行四边形，求直线AB斜

率的取值范围。

21． （本题满分14分）

?已知点B1(1,y1),B2(2,y2),?,Bn(n,yn),?(n?N)顺次为直线y?x1?上的点,点412A1(x1,0),A2(x2,0),?An(xn,0),?(n?N?)顺次为x轴上的点,其中x1?a(0?a?1),对

任意的n?N,点An、Bn、An?1构成以Bn为顶点的等腰三角形. (Ⅰ)证明:数列?yn?是等差数列;

(Ⅱ)求证:对任意的n?N,xn?2?xn是常数,并求数列?xn?的通项公式;

?? (Ⅲ)在上述等腰三角形AnBnAn?1中是否存在直角三角形,若存在,求出此时a的值;若不存

在,请说明理由.

参考答案及评分标准

1-5 DCACC 6-10 ABACA 11.1或-3 12。12 13。

?4 14。15 15。?

53???16．解：因为m?n?23sinxcosx?2cos2x?3sin2x?cos2x?1

所以 f?x??loga故 T???????3sin2x?cos2x?loga?2sin?2x???

6?????2??? ????6分 2??? 令g?x??2sin?2x??，则g?x?的单调递增的正值区间是

6??

?????k??,k????k?Z?，

126?? 单调递减的正值区间是?k??,k????k?Z?

612????5???5???当0?a?1时，函数f?x?的单调递增区间为?k??,k????k?Z?

612??????当a?1时，函数f?x?的单调递增区间为?k??,k????k?Z? （注：区间为开的

126??不扣分）????12分

17．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）记“该学生恰好经过4次测试考上大学”的事件为事件A，则

1411?2?P(A)?C3??????.??6分

3?3?327（Ⅱ）记“该生考上大学”的事件为事件B，其对立事件为B，则

22211P(B)?4C()(3)?(333∴P(B)?1?P(B)?1?26416)4?()??324381112.243

112131?. ??12分 243243 18．解：（1）当M为PC的中点时，PC⊥平面MDB．------------------1分 事实上，连BM，DM，取AD的中点N，连NB，NP．

因为PN?AD，且平面PAD?平面ABCD，所以PN⊥平面ABCD． 在Rt?PNB中，PN?3,NB?2，所以PB?5，又BC?5

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若x?[0,?)，求函数f(x)?sin(x?B)?sinx的值域.

17、甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率； （Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。

18、（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， M、N分别为PA、BC的中点，

PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2，CD=1 （1）证明：MN∥平面PCD； （2）证明：MC⊥BD；

（3）求二面角A—PB—D的余弦值。

19、(本小题满分12分) 已知函数f(x)?(I) (II)

1332x?ax?(a?3)x?b, 324若函数f(x)在x??1处取得极值?,求实数a,b的值；

3若a=1,且函数f(x)在[-1，2]上恰有两个零点，求实数b的取值范围.

20、(本小题满分13分)

已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为22,离心率e?于P，Q两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求?POQ的面积；

2，过右焦点F的直线l交椭圆2（Ⅲ）若以OP,OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程.

21、（本小题满分14分）

已知a1?1，an?1?an?4(n?N*) an?1an?2}是等比数列； an?2 （1）求a2，a3，a4的值并证明数列{ （2）判断xn与2的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：|a1?2|?|a2?2|?...?|an?2|≤2?()

12n?1.

参考答案

一、选择题：1D 2A 3B 4A 5 C 6 C 7B 8C 9A 1. 【解析】由已知，故选D.

10 B

A??xx?1?,B??xx?2或x??2?，所以A?B??xx??2或x?1?，

2?4222cos??sin?cos????故选A.

42452523、【解析】公差为d,(a1?2d)?a1(a1?3d)?a1??4d??8,a2??6?故选B.

2、【解析】sin(???)?4、【解析】命题①②③错误，命题④正确，故选A.

5、旋转后的直线方程为y?3x,d?r?相切，故选C.

6. 【解析】由已知，

7. 【解析】据题意，

?1x?1?(2),x?0，故选C. f(1?x)???log1(1?x),x?0?24PF1?PF2，且PF1?PF2?2，解得PF1?8,PF2?6.

3222 又

PF1?PF2?F1F2cos?FPF?，在中由余弦定理，得?PFFFF?41212122PF1PF2?7. 8从而sin?F1PF2?1?cos2?F1PF2?15835，所以S?PFF12115??6?8??315，故选B. 28或

4

在个位的个数为

8、0在个位的个数为

2A?60； 2

?96?60?96?156 C12?4?A49、切线与y?x3相切于点(m,m3),切线方程为y?m3?3m2(x?m)过点（1，0）得m?0,故切线方程为y?0,或y?3，22765(x?1)解得a??或a??1选A 44?2a?b?6?10、由导数正负性知函数在[-3，0]上单减，在[0，+?)单增，故不等式等价于?a?0设

?b?0?P(a,b),M(2,?3)?kPM?二、填空题：

11、【解析】根据分层抽样原理，男生被抽取的人数为20×12、2或25 13、22 14、三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥全面积的乘积的15、15. ①②③

三、解答题：

16、【解】（Ⅰ）由已知及正弦定理，得sinBcosCb?33,kPM?3或kPM??，选B a?2230＝12人. 501 3?(2sinA?sinC)cosB. （2分）

即sinBcosC?cosBsinC?2sinAcosB，所以sin(B?C)?2sinAcosB. （4分）

1因为sin(B?C)?sinA?0，则2cosB?1，即cosB?. （5分）

2?因为B∈(0，π)，所以B＝. （6分）

3π?????)sxi?nxsinc?osxcos?s ixn（Ⅱ）因为B?，则f(x)?sinx(333333??sinx?cosx?3sin(x?). （9分） 226??5??1x?[0,?)，则??x??，所以sin(x?)?[?,1]. （11分）

666623,3]. （12分） 故函数f(x)的值域是[?217、【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综

sin合题。

解：记“第i局甲获胜”为事件Ai(i?3,4,5)，“第j局甲获胜”为事件Bi(j?3,4,5)。 （Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则

A?A3?A4?B3?B4，由于各局比赛结果相互独立，故

P(A)?P(A3?A4?B3?B4)?P(A3?A4)?P(B3?B4)?P(A3)P(A4)?P(B3)P(B4)?0.6?0.6?0.4?0.4?0.52。

（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

B?A3?A4?B3?A4?A5?A3?B4?A5，由于各局比赛结果相互独立，故

P(B)?P(A3?A4?B3?A4?A5?A3?B4?A5)?P(A3?A4)?P(B3?A4?A5)?P(A3?B4?A5)?P(A3)P(A4)?P(B3)P(A4)P(A5)?P(A3)P(B4)P(A5)

?0.6?0.6?0.4?0.6?0.6?0.6?0.4?0.6?0.648

18、18．（本小题满分12分）

解：（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE， 由已知M，N分别是PA，BC的中点， ∴ME∥PD，NE∥CD

又ME，NE?平面MNE，ME?NE=E，

3分

2分

所以，平面MNE∥平面PCD， 所以，MN∥平面PCD

（2）证明：因为PD⊥平面ABCD， 所以PD⊥DA，PD⊥DC， 在矩形ABCD中，AD⊥DC， 如图，以D为坐标原点， 射线DA，DC，DP分别为 x轴、y轴、z轴

正半轴建立空间直角坐标系 则D（0，0，0），A（2，0，0）， B（2，1，0）C（0，1，0）， P（0，0，2）

所以M（

5分

2222，0，），BD?(?2,1,0)，MC?(?,1,?)

22226分

∵MC·BD=0，所以MC⊥BD

7分

（3）解：因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC， 所以BD⊥平面MCE, 所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，

由已知E( 9分

22,1,0) ,0,0)，所以平面PBD的法向量EC?(?22M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，

又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM， 所以DM⊥平面PAB， 所以平面PAB的法向量MD?（-

11分 12分

22，0，?） 22

设二面角A—PB—D的平面角为θ， 则cos??EC?MD|EC||MD|?6. 6

所以，二面角A—PB—D的余弦值为

6. 6 12分

19、（19）(本小题满分

'212分)

解：（I）f(x)?x?3ax?a?3，……………………………………….2分

?f'(?1)?1?3a?a?3?04?,….3分 函数f(x)在x??1处取得极值?，则?1343?f(?1)???a?a?3?b??323?解之，a??2,b?1.

经检验，当a??2,b?1时函数f(x)在x??1处取得极值………………………5分 （II）若a=1，f(x)?'1332x?x?2x?b，f'(x)?x2?3x?2， 32令f(x)?0,得，x?1或x?2， x -1 (-1,1) 1 极大值 (1,2) - ↘ 2 f'(x) f(x) + 23 6↗ b?b?5 6b?2 3…………………………………………………………………………………..9分

如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且

?AOP??6，?AOQ??,???0,??.

y 34?)的值；

556????????（Ⅱ）设函数f????OP?OQ，求f???的值域．

（Ⅰ）若点Q的坐标是(,)，求cos(??17．（本小题满分13分）

Q P O A x 在一次数学考试中，共有10道选择题，每题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，评分标准规定：“每道题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有6道题是正确的，其余题目中：有两道题可判断两个选项是错误的，有一道可判断一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，请求出该考生： （Ⅰ）得50分的概率；

（Ⅱ）比较得35分和40分的概率的大小．并说明他最有可能得到的分数。 18．（本小题满分12分）

如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=3，EF=2.

（1）求异面直线AD与EF所成的角；

（2）当二面角D—EF—C的大小为45°时，求二面角A—EC—B的正切值。 19．（本题满分12分）

x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左，右两个焦点分别为F1，F2，短轴的上端点为B，短轴

ab上的两个三等分点为P，Q，且F1PF2Q为正方形。 （1）求椭圆的离心率；

（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的 一个截距为?

20．（本题满分13分）

已知函数

32，求此椭圆方程。 4f(x)?x?b的图象与函数g(x)?x?3x?2的图象相切,记

2F(x)?f(x)g(x)

（Ⅰ）求实数b的值及函数F(x)的极值；

（Ⅱ）若关于x的方程F(x) 21．（本小题共14分） 已知函数f(x)?log3?k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围

13x横坐标为的点P,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)图象上的两点，

21?x满足: 2OP?OM?ON（O为坐标原点）. （Ⅰ）求证：y1?y2为定值； （Ⅱ）若Sn?f()?f()??f(1n2nn?1),其中n?N*,且n?2,求Sn； n?1,n?1,??6 （Ⅲ）已知an??其中n?N*,Tn为数列{an}的前n项和，若

1?,n?2.??4(Sn?1)(Sn?1?1)Tn?m(Sn?1?1)对一切n?N*都成立，试求m的取值范围.

参考答案

一．选择题（每小题5分，共50分）

(A卷) CCDCD, CABCD. (B卷) DDABB, DCCBB.

二．填空题。（每小题5分共25分）

111. 90°. 12．— 13． 1 个。 14．ABE或BDEF． 15．22,

4三，解答题

16.（本小题满分12分）

3?1。 234,sin??. （2分） 55???334133?4所以cos(??)?cos?cos?sin?sin??. （6分） ???666525210???????????31（Ⅱ）f????OP?OQ?(cos,sin)?(cos?,sin?)?cos??sin??sin(??).

36622解：（Ⅰ）由已知可得cos??（9分）

因为??[0,?)，则??故f???的值域是(???4?3??[,)，所以??sin(??)?1. 333233,1]. （12分） 217．（本小题满分12分）

解：设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选择对为事件A,

“有一道可判断一个选项是错误的”选择对为事件B, “有一道因不理解题意”选择对为事件C, 则P(A)? （Ⅰ）得50分的概率为P?111,P(B)?,P(C)???3分 23411111????; ????????5分 223448123111311211711;?8分 （Ⅱ）得35分的概率为P?C2????????????223422342234481123113121171111;?11分 得40分的概率为P?????C2????C2????22342234223448他得到35分和40分的概率相同，他最有可能得到的分数是35分或40分 ?12分

18．（本小题满分12分） 解：（方法一）（1）作EM⊥CF于M,则EM∥BC∥AD,计算:∠MEF=30,即为所求。?6分 （2）当二面角D—EF—C的大小为450，即∠DEC=45.计算：CE=CD=AB=23.

0

0

3作BN⊥CE于N,则∠ANB即为二面角A—EC—F的平面角，计算：BN=，

2tan∠ANB=

（方法二）如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系 C?xy.z ??????1分

AB4343?,∴二面角A—EC—B的正切值为,。???12分 BN33

设AB?a,BE?b,CF?c,(b?c)则C(0,0,0),A(3,0,a),B(3,0,0),E(3,b,0),

F(0,c,0),D(0,0,a) ??????2分

（I）DA?(3,0,0),CB?(3,0,0),FE?(3,b?c,0), 由|FE|?2,得3?(b?c)2?4,?b?c??1.????4分 所以FE?(3,?1,0). 所以cos?DA,FE??DA?FE|DA|?|FE|?33?2?3， ??????5分 2 所以异面直线AD与EF成30° ??????6分 （II）当二面角D—EF—C的大小为45，即∠DEC=45.

设n?(1,y,z)为平面AEC的法向量,则n?AE?0,n?EC?0，

0

求得n?(1,?31,?). ??????8分 32 又因为BA⊥平面BEFC，BA?(0,0,1),

所以cos?n,BA?n?BA|n|?|BA|??57 ??????11分 19∴二面角A—EC—B的正切值为

19．（本题满分12分）

43,。???12分 3b 35分

解：（1）由题意知：P(0,)，设F1(?c,0) 因为F1PF2Q为正方形，所以c?22即b?3c，∴b2?9c2，即a?10c， 所以离心率e?b3

10 10 （2）因为B（0，3c），由几何关系可求得一条切线的斜率为22

所以切线方程为y?22x?3c， 因为在x轴上的截距为?7分

32，所以c?1， 412分

x2y2??1 所求椭圆方程为

10920．（本题满分13分） 解：（Ⅰ）依题意，令f?(x)?g?(x),得1?2x?3,故x??1.

∴函数f(x)的图象与函数g(x)的图象的切点为(?1,0).

将切点坐标代入函数f(x)?x?b可得 b?1 ?????3分 或:依题意得方程f(x)?g(x)，即x2?2x?2?b?0有唯一实数解

故??22?4(2?b)?0，即b?1 ?????4分 ?F(x)?(x?1)(x2?3x?2)?x3?4x2?5x?2, 故F?(x)?3x2?8x2?5?3(x?1)(x?5),

3令F?(x)?0,解得x??1,或x??5 ?????????6分

3列表如下 :

x F?(x) F(x) 5(??,?) 35? 35(?,?1) 3?1 (?1,??) ? 递增 0 极大值4 27 - 递减 0 极小值0 ? 递增

从上表可知F(x)在x??5处取得极大值4,在x??1处取得极小值 ??9分

327（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数y?F(x)大致图象如下图所示F(x)

5-3-1y=F(x)y=kO427yx

???????????11分

作函数y?k的图象,当y?F(x)的图象与函数y?k的图象有三个交点时, 关于x的方程F(x)?k恰有三个不等的实数根 结合图形可知：k?(0,4) ………………………13分 2721．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）证：由已知可得，OP?1(OM?ON)， 2∴P是MN的中点，有x1 + x2 = 1.

?y1?y2?f(x1)?f(x2)

?log3?log3?log33x13x23x13x2?log3?log3(?)1?x11?x21?x11?x23x1x23x1x2?log3(1?x1)(1?x2)1?(x1?x2)?x1x2

3x1x2?1. ??????????????4分

1?1?x1x2时,y1?y2?f(x1)?f(x1)?1 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知当x1?x2?1

（1）求?ABC的顶点C的轨迹方程；

????????（2）若过点P（0，a）的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求PE?PF的取值范围.

（3）若G（-a,0），H（2a,0），?为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数?（??0），使得?QHG???QGH恒成立？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由.

21.已知数列{an}满足a1?（1）求a2、a3、a4； （2）是否存在实数t，使得数列?请说明理由； （3）记bn?1(n?1)(2an?n)，an?1?(n?N?) 2an?4n?an?tn??是公差为?1的等差数列，若存在求出t的值，否则，

?an?n?23?1. 1213n?22(n?N?)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn???an?2

参考答案

1—10 DBBCC CDABC 11.0.7992 12.

7? 13.?20 14.10?223 15.①② 4?16.（1）??APB?90,AB?a,?PBA??，

?PB?acos?.

又在?BPC中，BC=a，?BPC?45，??BCP???45，

???aPBaacos??,??，

sin45?sin(??45?)sin45?sin(??45?)?sin45?cos??sin(??45?).

?sin??2cos?.

tan??2. ???????????????（6分）

22（2）由（1）知sin??2cos?，又sin??cos??1

?sin??255，cos??. 5525a5a,PB?acos??. 555a， 5?PA?asin??在?BPC中，BC?a,PB?5a25a8a2210a?PC?a?()?2a?cos(???)?,?PC?.

555522????????????????25a210a24a2?从而PA?PC?|PA|?|PC|cos135?.??????（10分） ??(?)??5525

17.解：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A“乙摸球一次摸出红球”为事件B，则

P(A)?P(B)?412?，P(A)?P(B)?且A，B相互独立.????????（2分） 4?833（1）乙恰好摸到一个红球的概率为

1212122P?P(A?A?B)?P(A?B?B)???????（4分） 13333339（2）因为甲在前三次摸球中，没有摸到红球的概率为

21214P?P(A?B)?P(A?B?A)???()3?，所以甲至少摸到一个红球的概率为

333271413P2?1?P?1????????????????????????????（6分）

2727（3）根据题意，?的可能取值为0，1，2，3，其中

21214P(??0)?P(A?B)?P(A?B?A)???()3?，

33327122110P(??1)?P(A?A)?P(A?B?A)???()2??，

333327122131P(??2)?P(A?A?A)?()2??，P(??3)?P(A?A?A)?()?。

3327327故?的分布列为

? P 0 1 2 3 14 2710 272 271 27?????????????????????????????????（9分）

数学期望E??0?分）

14102117?1??2??3??.??????????????（10272727272718.（1）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz（如图），则

????????31a1D(a,,1),A1(0,0,1),B(a,0,0),C(0,2,0),BD?(?,,1),AC?(0,2,?1)， 14242????????a1?BD?AC?(?,,1)?(0,2,?1)?0， 142?????????A1C.?????????????????????（5分） ?BD?AC1，即BD

故无论a为任何正数，均有BD?A1C.????????????????（6分）

?????31????（2）A1D?(a,,0),A1B?(a,0,?1)，

42??????31?????????????n?AD?ax?y?0?142设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则n?A，，故，nD?AB??????11?n?AB?ax?z?0?13??13?y??ax即?2，取n?(,?,1).

a2?z?ax???又平面A1B1D的一个法向量为m?(0,0,1)???????????????（8分） ??????m?n?cosm,n?????|m|?|n|113()2?(?)2?1a2?1113?a24，

???????结合图形知m,n与二面角B—A1D—B1相等，即m,n?60，?1113?2a4?1， 2解得a?23， 323?时，二面角B—A1D—B1为60.???????????????（12分） 3故当a?

19.（1）因为f?(x)??3x?4mx?m，所以f?(2)??12?8m?m??5， 解得m??1或m??7（舍），即m??1.

222（2）由f?(x)??3x2?4x?1?0，解得x1?1,x2?列表如下： 1. 3（x f?(x) f(x) 0 2 （0，1） 31 3 最小值1，1） 3+ 1 2 — 50 27 所以，函数f(x)在区间[0，1]的最小值为f()?1350. 27（3）因为f(x)??x3?2x2?x?2?(1?x2)(2?x)，由（2）知，当x?[0,1]时，有不等式

(1?x2)(2?x)?50127x272?(2?x),?(2x?x). ，所以即22271?x501?x50当a?0,b?0,c?0，且a?b?c?1时，0?a?1,0?b?1,0?c?1， 所以

abc2727222???[2(a?b?c)?(a?b?c)]?[2?(a2?b2?c2)]. 2221?a1?b1?c5050又因为(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca?3(a2?b2?c2)，

1. 3abc2719???(2?)?故. 1?a21?b21?c2503101当且仅当a?b?c?时，取等号.

3所以a?b?c?222

?????????????xy20.（1）设C（x,y），由MA?MB?MC?0知，?M是?ABC的重心，?M(,).

33?????????????????y又|NA|?|NB|且向量MN与AB共线，?N在边AB的中垂线上，?N(0,).

3????????42a2y2y222)，即x??a2. 而|NC|?7|NA|，?x?y?7(?9793y2?a2（2）设E（x1,y1）、F（x2,y2），过点P（0,a）的直线方程为y?kx?a，代入x?322222222得(3?k)x?2akx?4a?0，???4ak?16a(3?k)?0，即k?4.

2?k2?3?1,?44?4?0. 或22k?3k?3

2ak?4a2?x1?x2?,x1x2?.223?k3?k?????????4a2(1?k2)2?PE?PF?(x1,y1?a)?(x2,y2?a)?x1x2?kx1?kx2?(1?k)x1x2?

3?k2?4a2(1?422)?(??,4a)?(20a,??). 2k?3202y0222?a2，即y0（3）设Q(x0,y0)(x0?0,y0?0)，则x??3(x0?a0). 3当QH?x轴时，x0?2a,y0?3a,??QGH=当QH不垂直x轴时，tan?QHG???，即?QHG=2QGH，故猜想??2. 4y0y,tan?QGH=0，

x0?2ax0?a2y0x0?ay02tan?QGH?tan2?QGH=???tan?QHG. =

yx0?2a1?tan2?QGH1?(0)2x0?a又2?QGH与?QHG同在(0,?)?(,?)内，?2?QGH=?QHG. 22?故存在??2，使2?QGH=?QHG恒成立.

21. （1）?a1?1(n?1)(2an?n)，an?1?， 2an?4n38?a2?0,a3??,a4??.????????????????????????（3分）

45(n?1)(2an?n)?t(n?1)an?1?t(n?1)an?tnan?4na?tn???n（2）

(n?1)(2a?n)an?1?n?1an?nan?nn?n?1an?4n?(t?2)an?(4t?1)nan?tnt?1??,

3an?3nan?n3?a?tn?t?1是公差为的等差数列. ?数列?n?a?n3?n?由题意，知

t?1??1，得t??2.??????????????????（7分） 3（3）由（2）知

an?2na1?2??(n?1)?(?1)??n，

an?na1?1

?n2?2n,???????????????????（9分） 所以an?n?1此时bn?1?n?3111??[?]， n?22n?2n?2n2?(n?2)?2(n?2)(3)(n?2)n(3)(n?2)(3)n32?n?311111?Sn?[???? 422(3)3?33(3)?4(3)?21111???????](3)5?5(3)3?3(3)n?2?(n?2)(3)n?n

1111111123?1?[????]??(??)??. n?1n?22626123(3)?(n?1)(3)?(n?2)3故Sn??分）

23?1.??????????????????????????????（1412

湖北省黄冈中学高考数学模拟试题4

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。试卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

x?1?1．已知集合M?{x||x|?2}，N???0?，则集合M?(CRN)等于（ ） ?x|?x?3?

A．{x|?2?x??1} C．{x|?1?x?2}

B．{x|x?3} D．{x|?2?x??1}

2．设f(n)?in?i?n(n?N)，则集合{x|x?f(n)}中元素的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．无穷多个 3、“数列{an}为等比数列”是“数列{an?an?1}为等比数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4. (1?3x)6(1?110)展开式中的常数项为 ( ) 4xA．1 B．46 C．4245 D．4246

5．下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是 “a平行于b所在平面内的无数条直线”；

②“l⊥平面?”的充要条件是“直线l⊥平面?内的所有直线”；③“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是“直线a，b不相交”；④“平面?∥平面?”的充分不必要条件是“平面?内存在不共线三点到平面?的距离相等”其中正确命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

6．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15?的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60?和30?，看台上第一排和最后一排的距离106米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（ ） A．

3136（米/秒） B．（米/秒）C．（米/秒） D．（米/秒） 55557．设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),则下列命题中是真命题的个数是（ ） ①存在一个圆与所有直线相交 ②存在一个圆与所有直线不相交 ③存在一个圆与所有直线相切 ④M中所有直线均经过一个定点 ⑤存在定点P不在M中的任一条直线上 ⑥对于任意整数n(n?3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上

⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知球O的半径为2cm，A、B、C为球面上三点， A与B、B与C的球面距离都是?cm，

A与C的球面距离为

4?cm，那么三棱锥O—ABC的体积为（ ） 3C．

A．

233

cm 3B． 23cm3

433

cm 3D．43cm3

x2y29．已知点P为双曲线2?2?1(a?0,b?0)右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右

ab焦点，I为?PF?S?IPF2??S?IF1F2成立，则?的值为（ ） 1F2的内心，若S?IPF1

a2?b2A．

2aB．

aa2?b2 C．

b aD．

a b10、平面上有四点，连结其中的两点的一切直线中的任何两条直线不重合、不平行、不垂

直，从每一点出发，向其他三点作成的一切直线作垂线，则这些垂线的交点个数最多为（ ）

A．66 B．60 C．52 D．44

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题(本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上)

?x?2?11．已知x,y满足?x?y?4，且目标函数z?3x?y的最小值是5，则z的最大值

??2x?y?c?0?为_________.

12、已知x,y的取值如下表所示：

x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 ??0.95x?a，则a? ． 从散点图分析，y与x线性相关，且y

?ax2?bx?cx??113. 已知函数f(x)??，其图象在点(1,f(1))(1,)处的切线方程为

x??1?f(?x?2)y?2x?1，则它在点(?3,f(?3))处的切线方程为_________

14．已知数列{bn}满足b1?1，b2?x(x?N*)， bn?1?|bn?bn?1|(n?2,n?N*). ①若x?2，则该数列前10项和为_________；

②若前100项中恰好含有30项为0，则x的值为_________.

15．在正方体上任意选择4个顶点，作为如下五种几何形体的4个顶点：①矩形；②不是矩

形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. 能使这些几何形体正确的所有序号是______________.

答 题 卡

一、选择题

题号 答案 二、填空题

11． 12． 13． 14． 15．

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分12分） 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知cosA＝，tan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35BB26＋cot＝，

522c＝9.

（1）求tanB的值； （2）求△ABC的面积． 17．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点. （1）求证：AD⊥PB；

（2）求二面角A—BC—P的正切值.

18．（本小题满分12分）

某校调查了高三年级1000位同学的家庭月平均收入情况，得到家庭月平均收入频率

分布直方图如图，

（1）某企业准备给该校高三同学发放助学金，发放规定如下：家庭收入在4000元以

?（元）间的每位同学得,6000下的每位同学得助学金2000元，家庭收入在?4000?（元）间的每位同学得助学金1000元，,8000助学金1500元，家庭收入在?6000? （元）,10000家庭收入在?8000，间的同学不发助学金，记该年级某位同学所得

助学金为?元，写出?的分布列，并计算该企业发放这个年级的助学金约需要的资金；

（2）记该年级某班同桌两位同学所得助学金之差的绝对值为?元，求P(??500).

19．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－()n－1＋2（n为正整数）．

（I）令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令cn＝

12n＋1an,求Tn＝c1＋c2＋…＋cn． n 20．（本小题满分13分）

x2y2 已知点A（1，1）是椭圆2?2?1(a?b?0)上一点， F1，F2是椭圆的两焦点，且

ab满足|AF1|?|AF2|?4.

（1）求椭圆的两焦点坐标；

（2）设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称； （3）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是

否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由。

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?lnx?1?x，其中a为大于零的常数． ax（1）若函数f(x)在[1,??)上单调递增，求a的取值范围； （2）求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值；

（3）求证：对于任意的n?N*且n?1时，都有lnn?111??????成立． 23n参考答案

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号 答案

二、填空题（每小题5分，共25分）

11、10 12． 2.6 13．y?2x?3?0 14． 9； 6或7或8 15．①③④⑤ 三、解答题（共75分） 16．解：（1）由tan1 A 2 C 3 D 4 D 5 C 6 A 7 C 8 A 9 B 10 D BB?cot?22sin2BB?cos212622?， ?BBBB5sincossincos22225. 134123?cosA?，?sinA??sinB，?B为锐角，?cosB?，

55135?tanB?.??????????????6分

124123563 （2）由sinC?sin(A?B)?sinA?cosAsinB?????，

51351365ac52? 又?c?9，?，得a?， sinAsinC71152590?S?ABC?acsinB???9??.????????12分

22713717．解法一：（1）取AD的中点G，连结PG、GB、BD

P?PA?PD， ?PG?AD．………2分

?AB?AD，且?DAB?60?，

??ABD是正三角形，BG?AD．………4分 ?AD?平面PGB．?AD?PB．………6分

CD （2）取BC的中点E，联结PE、GE．

FG∵四边形ABCD是直角梯形且AB//CD，

AB?GE//AB，GE?BC． ?BC?平面PEG，

?BC?PE，

??PEG是二面角A?BC?P的平面角．……………………………9分 设DC?a，则AB?AD?2a． z ?G、E分别为AD．BC中点，

P AB?CDa?2a3?GE???a．………10分

222?G是等腰直角三角形PAD斜边的中点， M C 1?PG?AD?a． D 2得sinB?G A B x y ?tan?PEG?PG2?， EG32． ………………………12分 3∴二面角A?BC?P的正切值为

解法二：（1）同解法1 （2） ∵侧面PAD?底面ABCD，又?PG?AD， ?PG?底面ABCD．?PG?BG．?PG?AD．

∴直线AD、GB、GP两两互相垂直，……………………8分

故可以分别以直线AD、GB、GP为x轴．y轴和z轴建立如 图所示的空间直角坐标系G?xyz． 设PG?a，C(x,y,z)，则可求得

P(0,0,a),A(a,0,0),B(0,3a,0),D(?a,0,0)，…………10分 ????????????则GP?(0,0,a),AB?(?a,3a,0),PB?(0,3a,?a)． ?????????AB?2DC且AB//CD，?AB?2DC，

即(?a,3a,0)?2[(x,y,z)?(?a,0,0)]．?(x,y,z)?(?a,323a,0)， 2即C(?a,323a,0)．……………………………………………………11分 2?????PG?平面ABCD，?GP是平面ABCD的法向量，

??????????2?????n?GP3??,P?? . ?cos?n,GP??????. ?tan?nG3|n|?|GP|13∴二面角A?BC?P的正切值为

18．解：（1）?的分布列是

2． ………………………………………12分 3? P 2000 0.3 1500 0.3 1000 0.2 0 0.2

???????4分

E??2000?0.3?1500?0.3?1000?0.2?0?0.2?1250（元）

所以需要资金约为：1250?1000?1250000（元）…………………………6分 （2）P???1000??2?0.2?0.2?2?0.3?0.2?0.2，…………………8分

P???1500??2?0.3?0.2?0.12，…………………………9分 P???2000??2?0.3?0.2?0.12，……………………10分

所以P???500??0.2?0.12?0.12?0.44。………………………………12分

19．解：（1）在Sn??an?()n?1?2中，令n?1，可得S1??a1?1?2?a1，

1211，当n?2时， Sn?1??an?1?()n?2?2， 221 ?an?Sn?Sn?1??an?an?1?()n?1，

21 ?2an?an?1?()n?1，即2nan?2n?1an?1?1.

2 即a1? ?bn?2nan，?bn?bn?1?1，即当n?2时，bn?bn?1?1. 又b1?2a1?1，?数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 于是bn?1?(n?1)?1?n?2nan，?an? （2）由（1）得cn?n.??????????6分 n2n?11an?(n?1)()n，所以 n21111 Tn?2??3?()2?4?()3?????(n?1)()n， ①

222211111Tn?2?()2?3?()3?4?()4?????(n?1)()n?1， ② 2222211111由①--②得Tn?1?()2?()3?????()n?(n?1)()n?1

2222211[1?()n?1]13n?32?1?4?(n?1)()n?1??n?1，

12221?2n?3?Tn?3?n.????????????12分

2

x2y220．解：（I）由椭圆定义知：2a?4，?a?2,??2?1

4b把（1，1）代入得

11??1 4b24x2y2?b?，则椭圆方程为??1，

43432?c2?a2?b2?4?4826?，?c? 333故两焦点坐标 为(2626,0),(?,0) ………………4分 33 （II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（?1，?1），

此时|AB|?22取椭圆上一点M(?2,0)，则|AM|?10.

?|AM|?|AB|.

从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立。 …………8分 （III）设AC方程为：y?k(x?1)?1

?y?k(x?1)?1? 联立?x232

??y?1?44消去y得 (1?3k2)x2?6k(k?1)x?3k2?6k?1?0 ∵点A（1，1）在椭圆上

3k2?6k?1?xC? ………………10分 23k?1∵直线AC、AD倾斜角互补 ∴AD的方程为y??k(x?1)?1

3k2?6k?1同理xD? ………………11分

3k2?1又yc?k(xC?1)?1，yD??k(xD?1)?1，yC?yD?k(xC?xD)?2k 所以kCD?yC?yD1?

xC?xD313即直线CD的斜率为定值 ………………13分

21．解：f?(x)?ax?1(x?0) ……………2分 ax21

在[1,??)上恒成立 x

（1）由已知，得f?(x)?0在[1,??)上恒成立， 即a?

又当x?[1,??时，

1?1，?a?1，即a的取值范围为[1,??)……………4分 x （2）当a?1时，?f?(x)?0在（1，2）上恒成立，

这时f(x)在[1，2]上为增函数，?f(x)min?f(1)?0.

1，?f?(x)?0在（1，2）上恒成立，这时f(x)在[1，2]上为减函数, 21. ?f(x)min?f(2)?ln2?2a11 当?a?1时，令f?(x)?0，得x??(1,2).

a211又?对于x?[1,)有f?(x)?0，对于x?(,2]有f?(x)?0，

aa111?f(x)min?f()?ln?1?. ……………7分

aaa

当0?a?

综上，f(x)在[1，2]上的最小值为: ①当0?a?11111时，f(x)min?ln2?；②当?a?1时，f(x)min?ln?1?. 22a22a③当a?1时，f(x)min?0. ………9分

（3）由（1），知函数f(x)?

1?1?lnx在[1,??)上为增函数， xnn?1，?f()?f(1)， 当n?1时，?n?1n?11即lnn?ln(n?1)?，对于n?N*,且n?1恒成立,

nlnn?[lnn?ln(n?1)]?[ln(n?1)?ln(n?2)]?????[ln3?ln2]?[ln2?ln1]

?

1111???????. nn?132111??????恒成立.??????14分 23n?对于n?N*，且n?1时，lnn?

湖北省黄冈中学高考数学模拟试题5

本试卷共4页，三大题21小题。其中第一、二、三大题为选择题，第四、五、六、七大题为非选择题。全卷满分150分。考试用时150分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷时，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题上相应位置上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上无效。

3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题上对应的答题区域内。答在试卷上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一．选择题（每小题5分，共50分）

1．若集合A1，A2满足A1?A2?A,则记[A1，A2]是A的一组双子集拆分.规定：[A1，A2]和[A2，

A1]是A的同一组双子集拆分，已知集合A={1，2}，那么A的不同双子集拆分共有

（ ） A．8组 B．7组 C．5组 D．4组

2 ,如图，弹簧挂着小球作上下振动，时间t(s)与小球相对平衡位置（即静止的位置）

的高度h(cm)之间的函数关系式是h?2sin(4?t??42)（t?[0,??)），

2则小球最高点与最低点的距离、每秒能往复振动的次数分别为 （ ） A．2 ，2

B．4 ，2

C．4 ，

? D．2 ，（ ）

?

3．在以下关于向量的命题中，不正确的是 A．若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x), (x y≠ 0 )，则a⊥b

B．平行四边形ABCD是菱形的充要条件是(AB?AD)(AB?AD)?0. C．点G是△ABC的重心，则GA+GB+CG=0 D．△ABC中，AB和CA的夹角等于180°－A

4．设0????,若cos??isin??

A．

?1?3i,则?的值为 2iC．

（ ） D．

2? 3B．

? 2? 3? 65．(2x3?

17)的展开式中的常数项为a，最后一项的系数为b，则a?b的值为 （ ） xA．13 B．14 C．15 D．16

C1 A1 E B1 6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝3，D，E

分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为 （ ）

D C A B A．

? 6B．

? 4C．

?? D．327．某中学组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为

f(x)=

12??10e?(x-80)2200(x∈R)，则下列命题不正确的是 （ ） ．．．

A.这次考试的数学平均成绩为80分 B.这次考试的数学成绩标准差为10

C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

?x2?1?8．“

f(x)??x?1??a?2(x?1)是定义在(0,??)上的连续函数”是“直线(a2?a)x?y?0和(x?1)

（ ）

直线x?ay?0互相垂直”的

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

9．双曲线x2?y2?2的左、右焦点分别为F1、F2，点Pn(xn,yn)(n?1,2,3?）在其右支上，

且满足|Pn?1F2|?|PnF1|,P1F2?F1F2，则x2010的值是

A．40202

B．40192

C．4020

（ ） D．4019

10．已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，g(x)?0，f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，

f(x)?axg(x)，

?f(n)?f(1)f(?1)5??，在有穷数列??( n=1,2,?,10)中，任意取前g(1)g(?1)2g(n)??63的概率是 （ ） 641231A． B． C． D．

5552二．填空题。（每小题5分共25分）

0?x?2??11．若平面区域?0?y?2是一个梯形，则实数k的取值范围是 。

??y?kx?2k项相加，则前k项和大于

12．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择： 项目 投资额/亿元 利润/亿元 A 5 0.55 B 2 0.4 C 6 0.6 D 4 0.5 E 6 0.9 F 1

0.1 设计一个投资方案，使投资13亿元所获利润大于1.6亿元，则应选的项目是 ．

（只需写出一种符合条件的项目组合的代号）

13．球O与单位正方体ABCD—A1B1C1D1各面都相切，P是球面O上一动点，AP与面ABCD所

成角为?，则tan?的最大值为 。AP的最大值为 。

14．函数y?kx?b，其中k，b(k?0)是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数f(x)，在点x0附近一点x的函数值f(x)，可以用如下方法求其近似代替值：f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，利用这一方法，m?是 。

3.996的近似代替值

?1(x?1)1?15．定义域为R的函数f(x)??|x?1|,若关于x的方程f2(x)?bf(x)??0有5

2?1(x?1)?22222个不同的根x1、x2、x3、x4、x5,则x1等于 。 ?x2?x3?x4?x5三，解答题

16.（本小题满分12分）

如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且

?AOP??6，?AOQ??,???0,??.

y 4?)的值；

56????????（Ⅱ）设函数f????OP?OQ，求f???的值域．

（Ⅰ）若点Q的坐标是 (m,)，求cos(??Q P O A x 17．（本小题满分12分）

在一次数学考试中，共有10道选择题，每题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，评分标准规定：“每道题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有6道题是正确的，其余题目中：有两道题可判断两个选项是错误的，有一道可判断一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，请求出该考生： （Ⅰ）得50分的概率；

（Ⅱ）设该考生所得分数为?，求?的数学期望． 18．（本小题满分12分）

如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=3，EF=2.

（1）求异面直线AD与EF所成的角；

（2）当二面角D—EF—B的大小为45°时，求二面角A—EC—F的大小。 19．（本小题满分13分）

x2y2设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆2?2?1，（a>b>0）上的两点，已知向量m=(

ba(

), 且m?n?0，若椭圆的离心率e? (Ⅰ)求椭圆的方程：

) ,n=

3，短轴长为2，O为坐标原点： 2 (Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)，(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值：

(Ⅲ)试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明：如果不是，请说明理由。 20.(本小题满分13分)

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （Ⅰ）若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型 ．．．．

的基本要求；

（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：(1)y＝是否符合公司要求？ 21．（本小题满分13分）

x?2；(2)y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型 150x3a2?x?bx?c(a,b,c?R)，函数f(x)的导数记为f?(x). 设函数f(x)?32（1）若a?f?(2),b?f?(1),c?f?(0)，求a、b、c的值；

（2）在（1）的条件下，记F(n)?111，求证：F(1)+ F(2)+ F(3)+?+ F(n)<(n?N*);

f?(n)?218（3）设关于x的方程f?(x)=0的两个实数根为α、β，且1<α<β<2.试问：是否存在正整

数n0，使得|f?(n0)|?

1？说明理由. 4 参考答案

一．选择题（每小题5分，共50分）

(A卷) CBCDA, ADACB. (B卷) ACABC, DCDBB.

二．填空题。（每小题5分共25分）

11．(2,??)。 12．ABE或BDEF． 13．22. 三，解答题

16.（本小题满分12分）

3?1 . 14．1.999 。 15．15 . 234,sin??. ???2分 55????33?4所以cos(??)?cos?cos?sin?sin= ???6分

66610解：（Ⅰ）由已知可得m?cos??????????????31（Ⅱ）f????OP?OQ?(cos,sin)?(cos?,sin?)?cos??sin??sin(??).

36622???9分

因为??[0,?)，则???4?3??[,)，所以??sin(??)?1. 333233故f???的值域是(?,1]. ???12分

2?17．（本小题满分12分）

解：设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选择对为事件A,

“有一道可判断一个选项是错误的”选择对为事件B, “有一道因不理解题意”选择对为事件C,则 P(A)? （Ⅰ）得50分的概率为P?11,P(B?)231,P(C?)??2分

411111????; ????????4分 223448（Ⅱ）?的可能值是30,35,40,45,50

11231????; ????????5分 22348123111311211711; ?7分 得35分的概率为P?C2????????????223422342234481123113121171111;?9分 得40分的概率为P?????C2????C2????22342234223448得30分的概率为P?得45分的概率为

11131121111711P?????????C2????; ??????11分

2234223422344811771455E??30??(35?40)??45??50??. ??????12分

84848481218．（本小题满分12分）

解：（方法一）（1）作EM⊥CF于M,则EM∥BC∥AD,计算:∠MEF=30,即为所求。?5分 （2）当二面角D—EF—B的大小为450，即∠DEC=45.计算：CE=CD=AB=23.

0

0

3作BN⊥CE于N,则∠ANB即为二面角A—EC—F的平面角的补角，计算：BN=，

2tan∠ANB=

AB4343?,∴二面角A—EC—F的大小为??arctan。???12分 BN33（方法二）如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系 C?xy.z ??????1分

设AB?a,BE?b,CF?c,(b?c)则C(0,0,0),A(3,0,a),B(3,0,0),E(3,b,0),

F(0,c,0),D(0,0,a) ??????2分

（I）DA?(3,0,0),CB?(3,0,0),FE?(3,b?c,0), 由|FE|?2,得3?(b?c)2?4,?b?c??1. 所以FE?(3,?1,0). 所以cos?DA,FE??DA?FE|DA|?|FE|?33?2?3， ??????4分 2 所以异面直线AD与EF成30° ??????5分 （II）当二面角D—EF—B的大小为45，即∠DEC=45.

设n?(1,y,z)为平面AEC的法向量,则n?AE?0,n?EC?0，

0

求得n?(1,?31,?). ??????8分 32 又因为BA⊥平面BEFC，BA?(0,0,1),

所以cos?n,BA?n?BA|n|?|BA|??57 ??????10分 19所以二面角A—EC—F的大小为??arccos19．（本小题满分13分）

57 ??????12分 19ca2?b23解： （1）2b?2.b?1,e????a?2.e?3 aa2y2?x2?1 ??????3分 椭圆的方程为4 （2）设AB的方程为y?kx?3

??????5分

由已知

x1x2y1y21k23k30?2?2?x1x2?(kx1?3)(kx2?3)?(1?)x1x2?(x1?x2)?

4444bak2?413k?23k3?(?2)??2?,解得k??44k?4k?44 （Ⅲ）（2）当A为顶点时，B必为顶点.S△AOB=1 当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b

????7分

?y?kx?b?2kb?2222 ?(k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x??y1222k?4??x?1?4b2?4x1x2?2??????10分

k?4x1x2?y1y2(kx?b)(kx2?b)?0?x1x2?1?0代入整理得: 2b2?k2?4 ??11分 4411|b|4k2?4b2?162 S??|b||x1?x2|?|b|(x1?x2)?4x1x2|?22k2?44k2??1 所以三角形的面积为定值1. ??????13分 2|b|20.(本小题满分13分) 解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是： 当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)?（Ⅱ）（1）对于函数模型f(x)?x恒成立. ??3分 5x?2： 150100020?2??2?9. 1503当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max?f(1000)?所以f(x)≤9恒成立. （5分）

f(x)12f(x)111??在[10，1000]上是减函数，所以[]max???. x150xx15055f(x)121x???，即f(x)?不恒成立. 从而x150x55因为函数

故该函数模型不符合公司要求. ???8分

（2）对于函数模型f(x)＝4lgx－3：

当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max?f(1000)?4lg1000?3?9. 所以f(x)≤9恒成立.

x4lge1?. ，则g?(x)?5x54lge12lge?1lge2?1????0，所以g(x)在[10，1000]上是减函当x≥10时，g?(x)?x555设g(x)＝4lgx－3－

数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0.所以4lgx－3－

xxx＜0，即4lgx－3＜，所以f(x)?恒成555立.故该函数模型符合公司要求. ???13分

21．（本小题满分13分） 解：（1）f?(x)?x2?ax?b，由已知可得a??1,b?c??3. ??????4分 （2）f?(n)?n2?n?3,F(n)? 当n=1时，F(1)??1?11?2

f?(n)?2n?n?11111；当n=2时，F(1)?F(2)??1?1?0?； 1818111111?2??(?). 当n≥3时，F(n)?2n?n?1n?n?2(n?1)(n?2)3n?2n?1111111 所以F(1)+ F(2)+ F(3)+?+ F(n)< F(1)+F(2)+[(1?)?(?)?(?)??+

342536(1111111111?)]?[1?????]?， n?2n?1323n?1nn?11811*

(n?N). ?????????9分 18 （3）根据题设，可令f?(x)?(x??)(x??). ?f?(1)?f?(2)?(1??)(1??)(2??)(2??) 所以F(1)+ F(2)+ F(3)+?+ F(n)< =(??1)(2??)(??1)(2??)?[(??1)?(2??)2(??1)?(2??)21][]?，

2216?0?|f?(1)|?111或0?|f?(2)|?，所以存在n0=1或2， 使|f?(n0)|?.……13分。 444注意解答题给步骤分， 若用其他方法解答对应给分。

湖北省黄冈中学高考数学模拟试题6

本试卷共4页，三大题21小题。其中第一、二、三大题为选择题，第四、五、六、七大题为非选择题。全卷满分150分。考试用时150分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷时，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码

粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题上相应位置上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上无效。

3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题上对应的答题区域内。答在试卷上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一．选择题（每小题5分，共50分）

1．若集合A1，A2满足A1?A2?A,则记[A1，A2]是A的一组双子集拆分.规定：[A1，A2]和[A2，

A1]是A的同一组双子集拆分，已知集合A={1，2}，那么A的不同双子集拆分共有

（ ） A．8组 B．7组 C．5组 D．4组

2．若将函数y?sin?x的图象向右平移

合，则?的一个值为

A．

??个单位长度后，与函数y?sin(?x?)的图象重

43（ ）

C． ?3 4B．

4 33 4D． ?4 3（ ）

3．在以下关于向量的命题中，不正确的是 A．若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x), (x y≠ 0 )，则a⊥b

B．平行四边形ABCD是菱形的充要条件是(AB?AD)(AB?AD)?0. C．点O是△ABC的重心，则OA?OB?OC?0. D．△ABC中，AB和CA的夹角等于A.

4．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出样本容量n 为的样本，样本中A型产品有16件，那么样本容量n有（ ）

A．20件

B．60件

C．80件

D．100件

5．已知等差数列{an}的通项公式为an?3n?5,则(1?x)5?(1?x)6?(1?x)7的展开式 中

含x项的系数是该数列的 （ ）

A．第9项

B．第19项

C．第10项

D．第20项

46．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生相

邻排列的概率是

A．

B．

（ ）

1 301 15C．

1 10 D．

1 5B1 A1 D E 7．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，

BC＝3，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线 DE与平面BB1C1C所成的角为 （ ）

C1 C A B ??? C． D．4320?x?2??8．若平面区域?0?y?2是一个梯形，则实数k的取值范围是

??y?kx?2

A．

B．

? 6（ ）

A．(1,2) B．(2,??) C．(1,??) D．(??,2)

9．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1?a4?a7?99,a2?a5?a8?93，若

对任意n?N*,都有Sn?Sk成立，则k的值为 （ ）

A．22

B．21

C．20

D．19

10．下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、

F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则 （ ）

A．e1＞e2＞e3

B． e1＜e2＜e3 C． e1＝e3＜e2 D．e1＝e3＞e2

二．填空题。（每小题5分共25分）

CD2CD2??1，则∠A＋∠B＝ . 11. CD是锐角△ABC的边AB上的高，且

AC2BC2212．抛物线y?ax的准线方程是y?1，则a的值为 .

13．两个函数y?x?1与y?lnx的图象共有公共点 个。

14．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择：

项目 投资额/亿元 利润/亿元 A 5 0.55 B 2 0.4 C 6 0.6 D 4 0.5 E 6 0.9 F 1 0.1 设计一个投资方案，使投资13亿元所获利润大于1.6亿元，则应选的项目是 ．（只

需写出一种符合条件的项目组合的代号）

15．球O与单位正方体ABCD—A1B1C1D1各面都相切，P是球面O上一动点，AP与面ABCD所

成角为?，则tan?的最大值为 。AP的最大值为 。 三、解答题

16.（本小题满分12分）

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