偏微分方程数值解（试题）

偏微分方程数值解试题

1、考虑一维的抛物型方程：

?u?2u??2, x?[0,?], 0?t?T?t?x u(x,t)x?0?u0, u(x,t)x???u?u(x,0)??(x)（1）导出时间离散是一阶向前Euler格式，空间离散是二阶精度的差分格式；

（2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式，

?uun?1?un?1 ??tt?tn2?t空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？

2、考虑Poission方程

??2u(x,y)?1, (x,y)???u ?0, in AB and AD?nu(x,y)?0, in BC and CD其中Ω是图1中的梯形。

图1 梯形

使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2，

图2 从物理空间到计算区域的几何变换

?，然后在??上使用差分为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域??上用N?N个网格点，空间步长为方法来离散该方程。在计算区域???????1/N(?1) 。

?（带有坐标?,?）（1）引入一个映射T将原区域?（带有坐标x,y）变换到单位正方形?。

同时导出在新区域上的方程和边界条件。

（2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。

?u?u?a?0 a constant >0，其一阶迎风有限体积法离散格式为 ?t?xa?t?1n?n?n??n? =（uuujjj?uj?1）

?x（1）写出a?0时的一阶迎风有限体积法的离散格式；

3、对线性对流方程

（2）写出a为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 （3）使用

?u?u?u?0 说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 ?t?x4、对一维Poission方程

??uxx?xex, x?(0,1) ??u(0)?u(1)?0将?01，?分成(n?1)等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？

（3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(n?1)?6，写出该差分格式的矩阵表示。

5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题

2??uxx?25?（sin(5?x)+9sin(15?x)）, x?(0,1) ??u(0)?u(1)?0给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h：n?7，粗网格2h：n?3为例）。 6、对一阶波动方程

??u?u??t??x?0?1? ?u(x,0)?sin(?x), x?(0,1)

2??u(0,t)?u(1,t)??（1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler进行时间离散的差分格式；

（2）使用线方法，分析上述格式的稳定性。

7、考虑散热片的设计问题。二维散热片如图3所示，是由一个中心柱和4个水平的子片构成；散热片从底部?root的均匀通量源通过大表面的子片散热到周围的空气中。散热片可由一个5维参数向量来表示，??(?1,?2,?,?5)，其中?i?ki,i?1,?,4，和?5?Bi；?可取给定设计集D??中的任意值。k是第i个子片热传导系数（k?1是中柱的热传导系数）；Bi是Biot数，反映在散热片表面的对流输运的热传导系数（大的Bi意味好的热传导）。比如，假定我们选择散热片具有如下参数

5i0k1?0.4,k2?0.6,k3?0.8,k4?1.2,Bi?0.1，此时??(0.4,0.6,0.8,1.2,0.1)。中心柱的

宽度是1，高度是4；子片的厚度t?0.25，长度L?2.5。我们将输出温度Troot看作是

??(?1,?2,?,?5)的函数，其中输出温度Troot是散热片底部定常态温度的均值，输出温

度Troot越低，散热效果越好。

在散热片内定常态温度分布u(?)，由椭圆型方程控制

ii

i

0

?是热传导系数为ki,i?0,?,4的散热片的区域：?是中心柱，其中u是u在?的限制，

?i,i?1,?,4对应4个子片。整个散热片区域记为?，?的边界记为?。为确保在传导系

数间断界面?iint???0???i,i?1,?,4上温度和热通量的连续性，我们有

ii?是??的外法线。在散热片的底部引入Neumann边界条件 这里n

来刻画热源；一个Robin边界条件

来刻画对流热损失，其中?iext是?暴露在流体流动中的边界部分，

0在底部的平均温度Troot(?)?l(u(，其中l(v)??))0i

?i???\\?root。i?0ext4?root?v。在这个问题中，我们取

l(v)?l0(v)。

（1）证明u(?)?X?H(?)满足弱形式

1 其中

（2）证明u(?)?X是J(w)在X中取得极小值的变量

（3）考虑线性有限元空间 找uh(?)?Xh，使得 此时

运用通常的节点基，我们得矩阵方程

其中

n是有限元空间的维数。

3k请推导出单元矩阵Ah??3?3，单元荷载向量Fhk??3，单元输出向量Lkh??；并且描述

从单元量获得总矩阵Ah,Fh,Lh的程序。

8、考虑Poisson方程

??2u(x,y)?1, (x,y)??u(x,y)???0

其中Ω是单位正方形，定义空间和泛函

1X?H0(?)?v?H1(?)v???0

??a(u,v)???u??vdA?l(v)??vdA?

若u?C2(?)，且u是上述Poisson方程的解， （1）证明u为J(w)在空间X上的极小值点，其中 J(w)?（2）证明u满足弱形式

a(u,v)?l(v), ?v?X （3）作图示均匀三角形剖分，步长h?量。

1a(w,w)?l(w) 21，写出下列节点编号所对应的刚度矩阵和荷载向3 112112223333333312211122(b) 节点编号顺序为(,), (,), (,), (,)

3333333322(4)假定基函数和节点有同样的编号，写出节点为(,) 的节点基函数。

33(a)节点编号顺序为(,), (,), (,), (,) 9、考虑一维的poisson方程

?uxx?(3x?x2)ex, x?(0,1)u(0)?u(1)?0

将(0,1)区间分成n?1等份，用中心差分离散二阶导数，完成下列各题：

??f； （1） 写出该问题的矩阵形式的离散格式：Au（2） 记A?1??ij·非负性

??1?i,j?n，证明

?ij?0, for ? i1j?,n

? i1?n

N·有界性 0???ij?j?11, for 810、交通流问题可用如下的非线性双曲型方程来刻划

????u??0 ?t?xu?u(x,t)是速度。其中???(x,t)是汽车密度（每公里汽车的辆数），假定速度u是密度?的函数：

u?umax?1??????max?

???其中umax是最大速度，0????max。f(?)??u??umax?1?用如下的Roe格式

???max??

?in?1其中

??in??t?nn??F1?F1?

i?i???x??22?Fn1?i?211?f(?i)?f(?i?1)??ai?1(?i?1??i) 222ai?12?umax(1??i??i?1)

?max求解下列绿灯亮了问题： 此时初始条件为

?(0)????L,x?0

?0, x?040.8?x,?t?。 400umax一些参数如下：?max?1,?L?0.8,umax?1,?x?（1） 给出t?2时问题的解；

（2） Roe格式满足熵条件吗？为什么？ 11、考虑1D常微分方程两点边值问题

?uxx?u?1, x??u(0)?u(1)?0

其中 ??(0,1)，定义空间和泛函

1X?H0(?)?v?H1(?)v???0

??a(u,v)???u??vdA??uvdA??l(v)??vdA?

若u?C2(?)，且u是上述1D常微分方程两点边值问题的解， （1）证明u为J(w)在空间X上的极小值点，其中 J(w)?（2）证明u满足弱形式

a(u,v)?l(v), ?v?X

（3）将 ??(0,1)均匀剖分成n?1等份（比如n?9），xi?ih,i?0,1,?,n?1，记第k个三角单元Thk?(xk?1,xk),k?1,?,n?1，写出节点编号为3所对应的节点基函数及第3个单元所对应的刚度矩阵和荷载向量。

（4）写出n?9时，该问题有限元离散所对应的线性方程组。

1a(w,w)?l(w) 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3qvf.html