第三章第九讲：燕尾定理.题库教师版

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．

AEO

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题证明一下燕尾定理：

如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4?S2:S3?BD:DC

AS2ES3BS1S4DCFBDC

【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，

所以有S1:S4?BD:DC；三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2?ED:EA；三角形ACE与三角形CED同高，S4:S3?ED:EA，所以S1:S4?S2:S3；综上可得S1:S4?S2:S3?BD:DC.

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在

BC上，且BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AAAEBDFCB33EF312CD

EFBDC【解析】 方法一：连接CF，

SSBD1AE?，△ABF??1, 根据燕尾定理，△ABF?S△ACFDC2S△CBFEC设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，如图所标 55所以SDCEF?S△ABC?

121211方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD?S△ABC?，

33BFS△ABD11121??， S△ADE?S△ADC??S△ABC?，所以

FES△ADE122331111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?，

22323212

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燕尾定理

2115而S△CDE???S△ABC?．所以则四边形DFEC的面积等于．

32312

【巩固】如图，已知BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.

AEFFAEFAEBDCBDCBDC

【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步

判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，

(法一)连接CF，因为BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，

11所以S△ABE?S△ABC?10，S△ABD?S△ABC?15．

32SSAE1BD?，△ABF??1, 根据燕尾定理，△ABF?S△CBFEC2S△ACFCD

1所以S△ABF?S△ABC?7.5，S△BFD?15?7.5?7.5，

4所以阴影部分面积是30?10?7.5?12.5．

1 (法二)连接DE，由题目条件可得到S△ABE?S△ABC?10，

3AFS△ABE1112??， S△BDE?S△BEC??S△ABC?10，所以

FDS△BDE1223111111 S△DEF??S△DEA???S△ADC????S△ABC?2.5，

22323221 而S△CDE???S△ABC?10．所以阴影部分的面积为12.5．

32

【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cm2，E 在AC上，点D在BC上，且AE:EC?3:5,BD:DC?2:3，

AD与BE 交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AAAEFBDCBFDCEEBDFC【解析】 连接CF，

S△ABFBD26SAE36???，△ABF???, S△ACFDC39S△CBFEC510根据燕尾定理，

设S△ABF?6份，则S△ACF?9份,S△BCF?10份，S△EFC?9?所以SDCFE?200?(6?9?10)?(5453份，S△CDF?10???6份，

3?582?34545?6)?8?(?6)?93(cm2) 88

EC?2AE，【巩固】如图，已知BD?3DC，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC

面积的几分之几？

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AA11E24.5D1CEO9O213.5BDCB3

【解析】 连接CO,设S△AEO?1份，则其他部分的面积如图所示，所以S△ABC?1?2?9?18?30份，所以四部

12?4.5139313.59分按从小到大各占△ABC面积的, ?,?,?30306030103020

11【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在△ABC中，CP?CB，CQ?CA，BQ与AP相交于

23点X，若△ABC的面积为6，则△ABX的面积等于 ．

CCQXABAPQXBCPQ41XA14PB 【解析】 方法一：连接PQ．

11211由于CP?CB，CQ?CA，所以S?ABQ?S?ABC，S?BPQ?S?BCQ?S?ABC．

2332621由蝴蝶定理知，AX:XP?S?ABQ:S?BPQ?S?ABC:S?ABC?4:1，

3644122所以S?ABX?S?ABP??S?ABC?S?ABC??6?2.4．

55255方法二：连接CX设S△CPX?1份，根据燕尾定理标出其他部分面积，

所以S△ABX?6?(1?1?4?4)?4?2.4

【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，BD?2DC，CE?2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分

的面积各是多少?

AEFBDCB68A1F24ECD

【解析】 连接CF，设S△AEF?1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以

16282?42S△AEF?,S△ABF??,S△BDF?,SFDCE??

2121721217

【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC?2:3,BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积 ．

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AAA1.6E2F2.412CDEFBDCBFDEBC【解析】 连接CF,根据燕尾定理，

SS△ABFBD1AE2??，△ABF??, S△ACFDC2S△CBFEC3CF

设S△BDF?1份，则S△D份,S△EFC?4?所以S△ABC?2份，S△ABF?2份，S△AFC?4份，S△AEF?4?2 6?1.2?33?2.4份,如图所标,所以SEFDC?2?2.4?4.4份,S△ABC?2?3?4?9份 2?3?22?4.4?9?45(cm2)

【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC?2，CD?2，CB?3，AM?BM，那么三角形AMN(阴影

部分)的面积为多少？

AMNCDBAMNCDB

【解析】 连接BN．

△ABC的面积为3?2?2?3

根据燕尾定理，△ACN:△ABN?CD:BD?2:1； 同理△CBN:△CAN?BM:AM?1:1

设△AMN面积为1份，则△MNB的面积也是1份，所以△ANB的面积是1?1?2份，而△ACN的面积就是2?2?4份，△CBN也是4份，这样△ABC的面积为4?4?1?1?10份，所以△AMN的面积为3?10?1?0.3．

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC?2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少

平方厘米?

AFBGDECBBAA3F3G1DDEFx2y3xyCEG

C【解析】 设S△DEF?1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影?55S△BCD?平方厘米. 1212

【例 2】 如图所示，在四边形ABCD中，AB?3BE，AD?3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边

形BODC的面积为________．

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AF2EBOCDBE1A4O6F8D6C

【解析】 连接AO,BD,根据燕尾定理S△ABO:S△BDO?AF:FD?1:2,S△AOD:S△BOD?AE:BE?2:1,设

S△BEO?1,则其他图形面积，如图所标，所以SBODC?2SAEOF?2?12?24.

ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形【例 3】

AGCD的面积是_________平方厘米．

DCDCGFGFAEBGB，【解析】 连接AC、设S△AGC

?1份，根据燕尾定理得S△AGB?1份，S△BGC?1份，则S正方形?（1?1?1）?2?6AEB份，SADCG?3?1?4份，所以SADCG?122?6?4?96(cm2)

【例 4】 如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的

面积是_____平方厘米．

ADADEGHEGH

【解析】 连接BH,根据沙漏模型得BG:GD?1:2,设S△BHC?1份，根据燕尾定理S△CHD?2份，S△BHD?2份，

1277（1?2?2)?2?10份，SBFHG???，所以SBFHG?120?10??14(平方厘米). 因此S正方形?2366

【例 5】 如图所示，在△ABC中，BE:EC?3:1，D是AE的中点，那么AF:FC? ．

BFC

BFCAFAFDDBECBEC

【解析】 连接CD．

由于S△ABD:S△BED?1:1，S△BED:S△BCD?3:4，所以S△ABD:S△BCD?3:4，

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【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，

则阴影四边形的面积是多少？

AD377AEx+3ED73F7xB3F77CBC

【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.

再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．

设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF?FE，再连结DE． 所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，

则x:?3?3??AD:DB??x?10?:10，所以x?15，四边形的面积为18．

方法二：设S△ADF?x，根据燕尾定理S△ABF:S△BFC?S△AFE:S△EFC,得到S△AEF?x?3，再根据向右下飞的燕子，有(x?3?7):7?x:3，解得x?7.5四边形的面积为7.5?7.5?3?18

【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积

是 ．

2134

【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的

字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：

2:S阴影??1?3?:4，解得S阴影?2.

方法二：回顾下燕尾定理，有2:（S阴影?4）?1:3，解得S阴影?2.

【例 10】 如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?

AF84O403035EB【解析】 设S△BOF

?x，由题意知BD:DC?4:3根据燕尾定理,得

DC33S△ABO:S△ACO?S△BDO:S△CDO?4:3,所以S△ACO??(84?x)?63?x，

443再根据S△ABO:S△BCO?S△AOE:S△COE，列方程(84?x):(40?30)?(63?x?35):35解得x?56

4S△AOE:35?(56?84):(40?30),所以S△AOE?70

所以三角形ABC的面积是84?40?30?35?56?70?315

【例 11】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分

的面积．

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AADEDEMNBFCBFC

【解析】 令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．

在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM?AE:CE?1:1,S△ACM:S△BCM?AD:BD?1:1,

1所以S△ABM?S△ACM?S△BCN?S△ABC

311由于S△AEM?S△AMC?S△ABMS，所以BM:ME?2:1

22在△EBC中，根据燕尾定理，S△BEN:S△CEN?BF:CF?1:1S△CEN:S△CBN?ME:MB?1:2

设S△CEN?1(份)，则S△BEN?1(份)，S△BCN?2(份)，S△BCE?4(份)，

1111所以S△BCN?S△BCE?S△ABC,S△BNE?S△BCE?S△ABC，因为BM:ME?2:1,F为BC中点,

244822111111所以S△BMN?S△BNE??S△ABC?S△ABC,S△BFN?S△BNC???S△ABC,

33812224855?11?S△ABC??15?3.125(平方厘米) 所以S阴影????S△ABC?1282424??

【例 12】 如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，

AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

AGMFCBDEAGNMBDENFC【解析】 连接CM、CN．

1根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AG:GC?1:1，S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3，所以S△ABM?S△ABC；

5再根据燕尾定理，S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1，所以S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3，所以AN:NF?4:3，那么

S△ANG151542?2?S△ABC． ???，所以SFCGN??1??S△AFC??S△ABC?77428S△AFC24?37??15根据题意，有S△ABC?S△ABC?7.2，可得S△ABC?336(平方厘米)

528

【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，?ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，

若?ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．

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燕尾定理

ADNCBADNBEMMCFE

【解析】 由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，

那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积． 连接CM、CN．

根据燕尾定理，S?ABM:S?ACM?BF:CF?2:1，而S?ACM?2S?ADM，所以S?ABM?2S?ACM?4S?ADM，那

4么BM?4DM，即BM?BD．

5BMBF4214147那么S?BMF?． ??S?BCD????，S四边形CDMF???BDBC53215215301111另解：得出S?ABM?2S?ACM?4S?ADM后，可得S?ADM?S?ABD???，

55210117则S四边形CDMF?S?ACF?S?ADM???．

31030

【例 13】 如图，三角形ABC的面积是1，BD?DE?EC，CF?FG?GA，三角形ABC被分成9部分，

请写出这9部分的面积各是多少?

FAAGGPQFBBFNDECM

【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，

CQ，CM，CN．

根据燕尾定理，S△ABP:S△CBP?AG:GC?1:2，S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2，设S△ABP?1(份)，则

1S△ABC?1?2?2?5(份)，所以S△ABP?

5211213121同理可得，S△ABQ?,S△ABN?,而S△ABG?，所以S△APQ???，S△AQG???．

72375353721311239同理，S△BPM?，S△BDM?,所以S四边形PQMN????3521273570139511511115,S四边形NFCE???S四边形MNED?????,S四边形GFNQ????

3357042321426321642

【巩固】如图，?ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四

边形JKIH的面积是多少？

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燕尾定理

CFGKAIHB

CDEAGKIHB

JFJDE【解析】 连接CK、CI、CJ．

根据燕尾定理，S?ACK:S?ABK?CD:BD?1:2，S?ABK:S?CBK?AG:CG?1:2，

1111所以S?ACK:S?ABK:S?CBK?1:2:4，那么S?ACK??，S?AGK?S?ACK?．

1?2?473212类似分析可得S?AGI?．

151又S?ABJ:S?CBJ?AF:CF?2:1，S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1，可得S?ACJ?．

41117那么，SCGKJ???．

4218417根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为

84172161619，所以四边形JKIH的面积为1?SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE??2????．

84153707070

BD:DE:EC?1:2:1，CF:FG:GA?1:2:1，AH:HI:IB?1:2:1，【例 14】 如右图，面积为1的△ABC中，

求阴影部分面积．

AHGHNMFPECAGIBDEFCBID

【解析】 设IG交HF于M，IG交HD于N，DF交EI于P．连接AM， IF ．

9 ∵AI:AB?3:4，AF:AC?3:4，?S△AIF?S△ABC

16 ∵S△FIM:S△AMF?IH:HA?2，S△FIM:S△AIM?FG:GA?2，

193 ∴S△AIM?S△AIF?S△ABC ∵AH:AI?1:3 ∴S△AHM?S△ABC，

464643 ∵AH:AB?1:4 AF:AC?3:4 ∴S△AHF?S△ABC ．

163733同理 S△CFD?S△BDH?S△ABC ∴S△FDH?S△ABC HM:HF?:?1:4，

16166416 ∵ AI:AB?3:4,AF:AC?3:4， ∴IF∥BC ，

又∵IF:BC?3:4,DE:BC?1:2，

∴DE:IF?2:3,DP:PF?2:3，

同理 HN:ND?2:3，∵HM:HF?1:4，∴HN:HD?2:5，

177 ∴S△HMN?S△HDF?． S△ABC?101601604-2-4 燕尾定理 题库 page 14 of 17

燕尾定理

同理 6个小阴影三角形的面积均为 阴影部分面积?7． 160721?6?． 16080

【例 15】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴

影部分面积.

ADEIHEQBFGCBFGCDPAIMHN 【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP

⑴求S四边形ADMI：在△ABC中，根据燕尾定理，

S△ABM:S△CBM?AI:CI?1:2S△ACM:S△CBM?AD:BD?1:2

设S△ABM?1(份)，则S△CBM?2(份),S△ACM?1(份),S△ABC?4(份),

1111所以S△ABM?S△ACM?S△ABC，所以S△ADM?S△ABM?S△ABC,S△AIM?S△ABC,

431212111所以S四边形ADMI?(?)S△ABC?S△ABC,

121261同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的

6⑵求S五边形DNPQE：在△ABC中，根据燕尾定理

S△ABN:S△ACN?BF:CF?1:2S△ACN:S△BCN?AD:BD?1:2,

11111所以S△ADN?S△ABN??S△ABC?S△ABC,同理S△BEQ?S△ABC

3372121在△ABC中，根据燕尾定理S△ABP:S△ACP?BF:CF?1:2,S△ABP:S△CBP?AI:CI?1:2

1所以S△ABP?S△ABC

51?11?11S△ABC 所以S五边形DNPQE?S△ABP?S△ADN?S△BEP?????S△ABC?105?52121?11同理另外两个五边形面积是△ABC面积的

10511113所以S阴影?1??3? ?3?610570

【例 16】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中

心六边形面积.

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