电磁场理论复习题

期末复习题,含答案

第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律

1. 设：直角坐标系中，标量场u xy yz zx的梯度为A，则

e(y z) e(x z) e(x y)xyzA= A

0 。

2.

x(y z) e y4xy已知矢量场A e

2

zxz，则在M（1，1，1）处 A 。 e

3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量

A A的 旋度 及 散度 。

4. 写出线性和各项同性介质中场量D、E、B、H、J所满足的方程（结构方

程）： 。 5.

q

J J dS

t 电流连续性方程的微分和积分形式分别为St。

6. 设理想导体的表面A的电场强度为E、磁场强度为B，则

（a）E、B皆与A垂直。

（b）E与A垂直，B与A平行。

（c）E与A平行，B与A垂直。

（d）E 、B皆与A平行。 答案：b

yE0sin(ωt βz) (V/m)，其中E0、ω、β为常数。则7. 设自由真空区域电场强度E e

空间位移电流密度Jd（A/m2）为：

yE0cos(ωt βz) （b）e yωE0cos(ωt βz) （a）e

yβE0cos(ωt βz) 答案：c yω 0E0cos(ωt βz) （d） e（c）e

8. 已知无限大空间的相对介电常数为 r

x

x 0cosE (V/m)，其中 4，电场强度 e

2d

0、d为常数。则x d处电荷体密度 为：

（a）

4 d

（b）

4 0 0

d

（c）

2 d

（d）

2 0 0

d

答案：d

9. 已知半径为R0球面内外为真空，电场强度分布为

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2

rcos e sin ) (r R0)( e

R E 0

B(e r2cos e sin ) (r R0) 3 r

求（1）常数B；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。

Sol. (1) 球面上

由边界条件 E1t E2t得：

2R0

sin

BR0

3

sin B 2R0

2

（2）由边界条件D1n D2n s得：

s 0(E1n E2n) 0(E1r E2r)

6 0R0

cos

（3）由 D 得：

2

r R0) (E sin ) 0 (1 (rEr)1

0 0 E 02

0 ( r R) rrsin r0

即空间电荷只分布在球面上。

10. 已知半径为R0、磁导率为 的球体，其内外磁场强度分布为

rcos e sin ) (r R0) 2(e

H A

r2cos e sin ) (r R0) 3(e r

且球外为真空。求（1）常数A；（2）球面上的面电流密度JS 大小。

Sol. 球面上（r=R0）：Hr为法向分量；H 为法向分量

（1）球面上由边界条件B1n B2n得： H1r 0H2r A

0

R0

3

（2）球面上由边界条件H1t H2t Js得

Js (H1 H2 )|r R0 (2

0

)sin

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第3章 静电场及其边值问题的解法

1. 静电场中电位 与电场强度E的关系为 E ；在两种不同的电介质（介电常数

1 2

1 2 ； 1 2

分别为ε1和ε2）的分界面上，电位满足的边界条件为 。

2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为ρ，则静电场： E

E= 。

3. 4.

E 电位 和电场强度E满足的泊松方程分别为 、 。

2

wm E

介电常数为 的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 。

2

2

5. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的分量总是

连续的。 6.

如图，E1、E2分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度， ， 30°，

则 60° ，|E1||E2|

n

7. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度 s与电位沿其法向的方向导数

关系为 。

的

8. 如图，两块位于x = 0 和 x = d处无限大导体平板的电位分别为0、U0，其内部充满体

密度 e x d ) 的电荷（设内部介电常数为 ）。（1）利用直接积分法计算0 < x < d

区域的电位 及电场强度E；（2）x = 0处导体平板的表面电荷密度。

Sol. 为一维边值问题： (x)

2

d dx

2

2

0 0

(1 e

x d

)

x

边界条件： (x 0) 0， (x d) U0

（1）直接积分得：

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(x)

0 0

(e

x d

x

2

2

e

d

) [

U0d

0 0d

(1 d

2

e

d

)]x

U d

x x[0(ex d x) 0 0(1 dE(x) e edx 0d 0d

n

s得： s 0

2

e

d

)]

（2）由

n

0

x

x 0

0E(x)

x 0

0[

0U0 0d

1 dd

2

e

d

(1

1d

)]

9. 如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而

顶盖的电位为V0 。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。 Sol. （略）见教材第82页例3.6.1

10. 如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d处有一个点

电荷q0 。利用镜像法求z轴上z > a各点的电位分布。 Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于：

无限大接地导体平面 + 接地导体球

边界条件： 平面 球面 0 使 平面

0，引入镜像电荷：z d,q q0

使 球面 0，引入镜像电荷：

2

aaz ,q q0

1 1

dd

22

z a a,q aq aq220 |z |d|z |d

z轴上z > a各点的电位：

14 q04

00

q0q1q2q

z z2z d |z d|z z1

3

12a1

224

|z d|z dzd a

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11. 已知接地导体球半径为R0 ，在x轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+q、-q ，

位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3）x轴上x>2R0各点的电场强度。 Sol. (1) 引入两个镜像电荷：

q1

R02R0R02R0

q

q2

R

2

，x1

2R0

R02

2

q2

( q)

q2

，x2

R0

2R0

R02

（2） (x,y,z)

14

2

qqqq 1 2 （略） RR R2R 1

2

2

R R2

(x 2R0) y z， R1 (x R0/2) y z，R

2

2

2

(x R0/2) y z(x 2R0) y z

2

2

2

222

（3）x轴上x>2R0各点的电场强度：

q q/2q/2q

E ex 2222

(x R0/2)(x R0/2)(x 2R0) (x 2R0)

12. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q，求

（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。

Sol. （1）q1 q0，( a, 0, 0)

q2 q0，(0, a, 0) q3 q0，(a, 0, 0)

14

（2） (x,y,z)

q0q3 q1q2 R R R R

123 0

(0, a, 0)

（略）

x (y a) z，R1 x (y a) z

2

2

2

2

2

2

其中： R0

R2

(x a) y z (x a) y z

2

2

2

222

，R3

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第4章 恒定电场与恒定磁场

1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于，净余电荷只能分布

在该导电媒质的 表面 上。

2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中， J ； D 。

3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E和电流密度J的边界条件

为： 1 t 2 t 、 1 n 2 n 。

4. 在电导率为 的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小E的关系为 p c E 。

A ；A所满足的泊松方程5. 恒定磁场的矢量磁位A与磁感应强度B的关系为 B

2

为 A μ J 。

2

E EJ J

6. 如图，H1、H2分别为两种理想介质内在交界面上的磁场强度， 2 3 1， 1 30 ，

则 2 、B1

B2分别为： 答案：B

（A）60 、3。 （B）60 、33。 （C）45 、3。 （D）45 、33。

7. 对线性和各项同性磁介质（磁导率设为 ），恒定磁场（磁场强度大小为H ）的磁能密

度wm

HdV

HV空间磁能Wm = 。

2

1

1

2

22

xxy e yyx e zCxyz，8. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：A eC为常数，且A

满足库仑规范。求（1）常数C ；（2）电流密度J；（3）磁感应强度B。 ay ay a ax a az

x(z y(x z( e) e ） （直角坐标系中： a e

y z z x x y

Ay Ax Az

2xy 2xy Cxy 0 C 4 Sol. (1) 库仑规范： A 0 x y z

xx2y e yy2x e z4xyz得： (2) 由 A μJ，A e

2

2222 A1 A A A 1

e x2y e y2x J 222

x y z

x4xz e y4yz e z(y2 x2) (3) B A e

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9. (P.136. 习题4.2) 在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（ 1, 1和

，其厚度分别为d1和d2。若在两极板上加上恒定的电压U0。试求板间的电位 2, 2）

、电场强度、电流密度J以及各分界面上的自由电荷密度。 E

Sol. 用静电比拟法计算。用电介质（ 和 ）替代导电媒质，静电场场强分别设为E1、E2

2U0

E e(0 x d1)x 1

2d1 1d2

1U0 E e (d1 x d2)2x d d2112

E1d1 E2d2 U0

D1 D2 1E1 2E2

x 电位移：D1 D2 1E1 e

1 2U0 2d1 1d2

2U0

Ex x (0 x d1) 1

2d1 1d2

(x)

x ( )d211 Ed E(x d) 1

U0 (d1 x d2)1121

2d1 1d2

静电比拟： E E ， J D， σ ε， ，则导电媒质中的恒定电场：

2U0 2U0

e x d1) x (0 x d)1 x d d (0 1 d d 21122112

， E(x)

1U0

1x ( 2 1)d1U (d x d) e ( d 1 x d2)2012x d d d d21122112

x J e

1 2U0 2d1 1d2

1 n

s

x 0

1 1

1 x

1 2U0 2d1 1d2

s

x d1 d2

2

2 n

2

2 ( x)

2 1U0 2d1 1d2

s

x d1

( 2 1)U0 2 2 1 1

1 2 1 2 12

n n x x d d x d1 x d12112

x 0

可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号 s才有电容定义。

s

x d1 d2

。只有理想电容器

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第5章电磁波的辐射

1. 复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为

2. 坡印亭矢量S的瞬时表示式是 （略） ，平均值是 （略） 。 2 E

3. 自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为 2E 0，这个方程在正弦2

t

2 2

E kE 0。 电磁场的情况下变为

4. 在无损耗的均匀媒质 , 中，正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为

2

H kH 0

2

，其中 a 。

(a) k2 2 (b) k2 2 2 2

2

(c) k

2

(d) k2

1

2

B A， 5. 在时变电磁场中，磁感应强度B与位的关系为

AE

电场强度E与位的关系为。 6. 电偶极子天线的功率分布与 的关系为。

(a) sin2 (b) sin (c) cos2 (d) cos

7. 自由空间的原点处的场源在t时刻发生变化，此变化将在时刻影响到r处的位

函数 和A。

（a）t

rc

（b）t

rc

(c) t (d) 任意

8. 在球坐标系中，电偶极子的辐射场（远区场）的空间分布与坐标的关系是 c

（a）

sin r

2

（b）

sin r

2

(c)

sin r

(d)

sin r

2

2

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ysin(10 x)cos( t kzz)。试求电场和磁场9、已知真空中某时谐电场瞬时值为E(x,z,t) e

复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。

ysin(10 x)e jkzze解：所给瞬时值表示式可以写成：E(x,z,t) Re[e

j t

]

ysin(10 x)e jkzz 因此电场强度的复矢量表示为：E(x,z) e

由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为

xe

H(x,z)

1j 0

( E)

1

j 0 x

E

x

ye y

E

ze z

E

yz

E zey

j 0 z j 0

xe Ey

x

k10 jkz

xzsin(10 x) e z ecos(10 x) ez

0j 0

功率流密度矢量的平均值Sav等于复坡印廷矢量的实部，即

xe

11 *

Sav Re(S) Re(E H) ReEx

22

*Hx

121

H * e H *) xE zERe(eyzyx

ye

E

y

ze

E

z

*

Hy *

Hz

5 kzk

x zzsin2(10 x) Re esin(20 x) e

2j 0 0

kz2 0

sin(10 x)

2

z e

xA0cos( t kz) 10、已知真空中时变场的矢量磁位为A(z,t) e

求：(1) 电场强度E和磁场强度H；

(2) 坡印廷矢量S及其平均值Sav。

xA0e jkzeA解：(1) 把矢量磁位的瞬时值表示为 (z,t) Re[e

j t

]

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xA0e jkz 则矢量磁位的复数形式为 A(z) e

根据磁场强度复数形式H与矢量磁位复数形式A之间关系可以求出

xe

11

H(z) ( A)

Ax

ye y

A

y

ze z

A

z

0 0 x

y e

Ax z

y( jkA0)e jkz e

y(kA0)cos( t kz ) 磁场强度的瞬时值为：H(z,t) e

2

根据麦克斯韦方程组的第一个方程 H J j D，此时J 0，电场强度与磁场强度之间关系为：

xe

E(z)

1j 0

( H)

1

j 0 x

H

ye y

H

ze z

H

xe

Hy

j 0 z

x e

kA0j 0

2

e

jkz

xyz

k2A0 cos( t kz ) 电场强度的瞬时值为：E(z,t) ex

2

(2) 坡印廷矢量为

3232

kA0kA0 22

x e y zS E H ecos( t kz ) ecos( t kz )

2 2

坡印廷矢量的平均值为

32 kA01 *

zSavRe(S) Re(E H) e

22

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第6章、均匀平面波的传播

1. 两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波，则它们

的振幅 相同 ，相位相差 / 2 。

2. 均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电场的振幅 ，相

位相差 。

3. 均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质 r 2.25, r 1, 0 表面上，则电场反

。 射系数为

4. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度为E ax100cos t 20 z V/m，则波的

z传播方向为 ，频率为 3×109，波长为波的极化方式为，

100

对应的磁场为 H a cos t 20 z A / m ，平均坡印亭矢量Sav

50002S a为 W / m 。

5. 均匀平面波电场方向的单位矢量eE、磁场方向的单位矢量eH以及传播方向的单位矢量

e e een三者满足的关系是 n E H 。

1

6. 设海水的衰减常数为 ，则电磁波在海水中的穿透深度为，在此深度上电场

1

的振幅将变为进入海水前的 。

7. 在良导体中，均匀平面波的穿透深度为。

（a）

2

（b）

2

(c)

2

(d)

4

j z j z

8. 在无源的真空中，已知均匀平面波的E E0e和H H0e，其中的E0和H0为

常矢量，则必有 c 。

(a) ez E0 0; (b) ez H0 0; (c) E0 H0 0; (d)E0 H0 0

9. 以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是。

(a) 不再是平面波 (b) 电场和磁场不同相 (c) 振幅不变

(d) 以TE波的形式传播

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yE0cos(6 108t 2 z) V/m 10. 已知空气中存在电磁波的电场强度为E e

试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的场强：E、H、H。

解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相

yE0ejkz 同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量：E e

z，此波为均匀平面波。 z 0 E e该式的电场幅度为E0，相位和方向均不变，且E e

传播方向为沿着 z方向。

由时间相位 t 6 108t 6 108

波的频率f 3 108 (Hz) 波数k 2 波长 相速vp

2 kdzdt

1 (m)

k

3 10 (m/s)

8

真空波阻抗

ZW

120 ( ) 由于是均匀平面波，因此磁场为

1( e E ) eE0ejkz Hzx

ZW120

j t

xH ReHe e

E0120

cos(6 10t 2 z)

8

11. 在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为E exE0sin(2 108t 2 z)，已知介质的 r 1，求 r，并写出H的表达式。

解：根据电场的瞬时表达式可以得到 2 108，k 2 ，而

k

r r0 0

r

c

r

kc

2

9

电场强度的瞬时式可以写成复矢量为

eEe j2 z j2 Ex0

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波阻抗为ZW

40 ，则磁场强度复矢量为

H

1 ) eE0e (ez Ey

ZW40

j2 z j

2

因此磁场为

H ey

E040

sin(2 108t 2 z)

12. 铜的电导率 5.8 107 S/m， r r 1。求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、波长、透入深度及其波阻抗。

(1) f 1 MHz；(2) f 100 MHz；(3) f 10 GHz 解：已知 0

1

10 9 F/m和 0 4 1036

7 H/m

，那么

1

1.044 1018 2 f r 0f

(1) 当f 1 MHz别为

1.044 1012 1，则铜看作良导体，衰减常数 和相位常数 分

2

15.132

f 15.132 103

相速：vp 波长：

4.152 10 4

f 0.4152 m/s

2

4.152 10

4 m

透入深度：

波阻抗：ZW

1

6.6 10 5 m

2

(1 j) 2.61 10

7

(1 j)f 2.61 10

4

(1 j)

(2) 当f 100 MHz时，相位常数 分别为

1.044 1010 1，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数 和

2

4

15.132f 15.132 10

4

相速：vp 波长：

4.152 10

f 4.152 m/s

2

4.152 10

5 m

透入深度：

1

6.6 10 6 m

期末复习题,含答案

波阻抗：ZW

2

(1 j) 2.61 10

7

(1 j)f 2.61 10

3

(1 j)

(3) 当f 10 GHz别为

则铜看作良导体，衰减常数 和相位常数 分 1.044 108 1，

2

4

15.132

f 15.132 105

相速：vp 波长：

4.152 10

f 41.52 m/s

2

4.152 10

6 m

透入深度：

波阻抗：ZW

1

6.6 10 7 m

2

(1 j) 2.61 10

7

(1 j)f 2.61 10

2

(1 j)

13. 海水的电导率 4 S/m， r 81， r 1，求频率为10 kHz、10 MHz和10 GHz时电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。 解：已知 0

1

10 9 F/m和 0 4 1036

7 H/m

，那么

18

109。 f9

(1) 当f 10 kHz时，相位常数 分别为

188

109 105 1，则海水可看作良导体，衰减常数 和 f99

2

3.97 10

3

f 0.397

相速：vp 波长：

1.582 103

15.83 m

f 1.582 105

2

透入深度：

波阻抗：ZW

1

2.52 m

2

(1 j) 0.316 10

3

(1 j)

f 0.099(1 j)

(2) 当f 10 MHz和相位常数 分别为

89

10

2

88.89 1，则海水也可近似看作良导体，衰减常数

2

3.97 10

3

f 12.55

相速：vp

1.582 103

f 5.00 106

期末复习题,含答案

波长：

2

0.500 m

透入深度：

波阻抗：ZW

1

0.080 m

2

(1 j) 0.316 10

3

(1 j)

f 3.139(1 j)

(3) 当f 10 GHz时，

18f9

10

9

89

10

1

0.089 1，则海水也可近似看作弱导电

媒质，衰减常数 和相位常数 分别为

2

80 3

18 fc

600

相速：vp

13

8

10 m/s

波长：

2

1300

1

m

透入深度：

波阻抗：ZW

0.012 m

(1 j

2

)

40 3

(1 j0.045)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/51ni.html