深圳人口与医疗需求预测

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2012年全国大学生数学建模夏令营选拔

论文题目：深圳人口与医疗需求预测

参赛队员信息

2012年 6 月 8 日1

摘要

深圳目前人均医疗设施低于全国类似城市平均水平的情况下仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳市的人口结构会发生较大的变化，及人口数量也会发生较大变化，为了解决此问题，本文根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求。

问题一我们从近十年（1999-2000）人口情况数据入手，通过用高阶方程对人口数量进行预测并用阻滞函数进行修正优化得出年份与总人口模型，预测2011 人口将达到1074.43百万，2019将达到1435.13百万，2019年将达到1488.0百万。我们把人口结构分为以下几个阶段儿童（0-14），青少年（15-29），中年（30-50），老年（50以上）四个年龄阶段运用所给数据得出在不同年份的比例，2000年儿童为0.084944，青年0.599474，中年0.271511老年0.044071，2005年儿童0.090912，青年0.527751，中年0.32527老年0.056068通过Matlab最小二乘法散点拟合得出各个比例和年份的函数关系，搜集以往各区的人口数量，经分析其呈线性关系，于是用一次函数来作为其模型，通过年龄结构和患病率相关，住院人口和床位有关，预测未来医疗床位需求。

问题二我们把医院分为三类，运用高阶方程预测未来深圳市的床位需求，预测了2011年床位需求将达到37844,2013年将达72070。并统计不同级别的医疗床位每年情况，我们准备预测高血压，癌症，根据以往每年在不同级别医院的就诊情况，来预测这两种病未来几年在不同级别的床位需求。

关键词：Matlab 最小二乘法高阶方程阻滞函数床位需求

一问题重述..................................................... 5 二问题分析..................................................... 5 三符号说明与模型假设........................................... 6

3.1 符号说明 ............................................... 6 3.2 模型假设 ............................................... 6 四模型的建立与求解............................................. 7

4.1问题一的模型与解答....................................... 7

4.1.1 曲线拟合 ........................................ 9 4.1.2 优化模型 ....................................... 10 4.1.3 深圳市户籍人口变化特征 ......................... 11 4.1.4 深圳市非户籍人口变化特征 ....................... 14 4.1.5 各区的医疗床位需求情况预测 .................... 16 4.2 问题二的模型与解答 ..................................... 16 五结果分析.................................................... 17 六模型的评价与改进............................................ 17 七模型的推展和讨论............................................ 18 八参考文献.................................................... 18 九程序附录.................................................... 19

一问题重述

30多年来，深圳市卫生事业取得了长足发展，形成了市、区及社区。医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。但是由于资源环境的有限以及人类在政治、经济、科学技术等方面的发展。可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。

深圳的流动人口远远超过户籍人口，年轻人口占绝对优势并且他们身体强壮，发病较少。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响深圳市外来务工人员的数量。

由此，我们要解决下几个问题。

1. 根据深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础建立模型来预测未来全市和各区医疗床位需求。

2. 根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求并给出大体估计值。

二问题分析

问题一首先根据所给的数据画出相应的散点图，经观察，分析，选用了数学中的高阶方程作为简单模型来解决总人口数与年份之间的关系，利用matlab编程求出函数，由于要考虑到最大环境容量，所以得修改模型。利用阻滞函数，来优化模型。用matlab 编程求出函数。以此来预测未来十年深圳的人口情况。根据所给的常驻人口选用高阶方程作为模型来求出非常人口变化特征，总人口函数减去常住人口的函数就是非常住人口。然后根据已给数据把人口结构划分为四个阶段儿童青年中年老年。分别求出每个不同年龄阶段的情况，住院人数必定和年龄结构有关。因此根据所收集的资料。求出住院人数与年龄结构的函数，再根据年龄结构与时间函数关系来预测每个不同年龄段，随着时间变化的住院情况，以此来预测未来全市的医疗床位的情况，再根据各区比例来预测各区的医疗床位情况。

问题二首先根据所收集的资料，将医疗床位分为三类。并统计不同级别的医疗床位每年的变化情况，再根据所研究的两种病来分析近几年来的得病率。

再分析它在不同类型医院就医比例。并建立相应的函数关系。然后根据函数关系来预测未来医疗床位的需求。

三符号说明模型假设

3.1 符号说明

yi表示年末常人口

t表示相应的年份（0代表1999，既ti=实际年份-1999）。

yi'yi\表示每年的户籍人口数表示每年的非户籍人口数

i?1,2,3............

xipi表示总人口真实值

E: 相对误差

: 每年的人口增长率 : 儿童数量 : 青年数量 : 中年数量

a1a2a3a4：年老数量

G(t): 全市医疗床位总需求

n为人口最大容量

3.2 模型假设

1 假设常住人口迁出与迁入人数相对很小，故省去其对人口变化的影响。 2 常住人口变化仅与出生率与死亡率有

3未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关

四模型的建立与求解

4.1问题一的模型建立与解答 4.1.1曲线拟合

根据深圳市医疗机构2000-2010的医疗床位数据可以列出下表。并建立模型检验人口增长与医疗床位的需求的关系。

深圳市人口统计表

人口单位：（万）

年份总人口常住人口非常住人口 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

首先，我们根据深圳市人口统计表中的数据可以利用Matlab绘制出深圳市年末常住人口与年份之间的散点图如图一。

632.56 701.24 724.57 746.62 778.27 800.8 827.75 871.1 912.37 954.28 995.01 1037.2

119.85 124.92 132.04 139.45 150.93 165.13 181.93 196.83 212.38 228.07 241.45 251.03

512.71 576.32 592.53 607.17 627.34 635.67 645.82 674.27 699.99 726.21 753.56 786.17

图一

由其计算出的结果可以写出函数关系如下（1）

yi?0.2009ti3?2.5944ti2?40.4272ti?645.9155

1（1）

?2?E????xi?yi???i?1?102?0.976

可以算出相对误差为0.976

根据上式我们可以预测出未来十年的人口变化情况如下

然后，我们根据深圳市人口统计表可以计算出深圳市年人口增长率pi与人口

yi间图像如图二所示。

图二

pi?0.0111yi3?0.2801yi2?2.3549yi?6.5314（2）

?yi?yi?1?yi(i?1,2,3......)8

年末人口增量

pi?yi?1?yi..................(i?1,2,3........)yi

人口增长率根据以上高阶方程可以预测出未来人口与增长率之间的函数关系。但是根据图形可以观察出未来的增长率很快下降为0，很显然这个方程不能准确的描述它们之间的关系。然而根据图像的大体趋向我们可以联想到利用一个反函数来描述

y?ax可以更好的描述增长率与总人口

其变化趋势。由此，我们联想到了反函数

之间的关系。利用Matlab的最小二乘原理可以计算出：

y?33.596x

人口增长率函数关系由函数关系（1）我们计算了未来的人口大体变化情况，但是我们的条件过于单一，虽然过去十年的大体趋势可以很好的描述。如果我们根据以往的数据显示，当环境量达到一个最大值时，人口就不可能无限的增长。由此，我们可以利用阻滞增长模型来对其进行修改、优化。 4.1.2优化模型

经观察，深圳市人口高阶方程的模型是一直递增的，与现实相悖。考虑到深圳市的资源，以及居住空间是有的，我们决定用阻滞函数来优化上述模型

随着人口数量的增加，虽然人均寿命延长，死亡率下降，但是出生率下降的更明显，导致人口增长率下降，这就是阻滞增长现象。假设在时刻t人口增长率

pi为相应的人口数量

yi的线性递减函数，即：

其中参数r>0,为人口固有增长率，即人口很少时的的人口增长率；参数n>0,

1?yi/n称为人口最大容量。另外，n?x(t)为人口尚未实现的部分，是人口尚未

pi?r(1?yi/n)实现部分占最大容量的比例。

dyi?ryi(1?yi/n)y?ydt。用分离变量法，得到满足其初始条件i?0的解为

nyiyi?yi?(n?y)e?ri

根据此模型，我们建立了相应的深圳市人口与年份之间的函数关系，通过matlab软件求解得出其模型函数为：

508563.291619y?636.24466?163.0713e?0.41916(t?1999)经检验以往数据,得出

y2?763.2683

万，

y4? 775.8y6? 843万，发现

出入不太大。因此我们决定用此模型来优化模型。进而预测未来几年深圳市的人口。分别代入t=2011,2012,2013………2020。得出其相应的人口数为万，

y12?1114.0y11?1074.4万，

y15?1241.8 万……….

y20?1488.0万

高阶方程与阻滞函数的对比如下：

4.1.3深圳市户籍人口变化特征

利用相同的方法，我们可以计算出户籍人口与年份、以及非户籍人口与年份之间的函数关系和户籍人口与年份图三、以及非户籍人口与年份的之间图四。

图三

常住人口与年份之间的函数关系：

yi'?0.4257ti2?8.1953ti?115.6430

（3）

4.1.4深圳市非户籍人口变化特征

图四根据Matlab可以将以上图形的高阶方程导出

yi\?0.2956xi2?18.2660xi?540.2195（4）

对于预测深圳市人口结构的发展趋势，可先由将深圳市人口按照不同的年龄划分为四个层次：儿童阶段为0--14岁；青年阶段为15--29岁；中年阶段为30-49岁以上；老年阶段为50以上。全市青少年总数量，

yiaa为全市总人口数，1为全市儿童总数量，2为

a4全市老年人的总数量。则可得

a3为全市中年人总数量，

出2000、2005、2010年全市各年龄层次人口的总人数以及年增长率如下所示：

2000、2005、2010年全市各年龄层次人口年份儿童（0-14）青年(15-29) 中年(30-49) 老年(50以上) 人口总数

2000年 595329 4201406 1902878 308870 7008483 2005年 752518 4368438 2692411 464099 8277466 2010年 1023345 4566163 4000975 767271 10357754

根据以上图形我们可以观察出儿童、青年、中年、老年这四个群体只有青年跟年份基本上呈现线性增长。其中老年人、中年人上升的速率明显大于其他群体，

很显然深圳市人口老龄化加快，其次幼儿也有加快的痕迹。

所以我们可以假设未来人口结构也呈现此种线性变化趋势。则利用Matlab可以线性拟合出每个年龄段的函数关系如下：

a1?1.0?5*(0.5682x?0.1327x?5.51782儿童青年 a2?1.0?006*(0.1824x?4.0139)

a3?1.0e?006*(0.2595x2?0.011x?1.6324)2中年 a4?1.0e?005*(0.7397x?0.6669x?3.0158)

老年

4.1.5各区的医疗床位情况的预测

我们搜集了2000年 2010年两年各区的医疗床位情况如下表所示市区年份

2000 2010

罗湖区福田区南山区宝安区龙岗区盐田区 2127 2217

3059 3215

2534 2668

9329 9812

5682 4873

730 776

我们假设其呈线性增长运用matlab编辑最小二乘法，求出其医疗床位与年份之间的函数关系式分别为

罗湖区：福田区：南山区：宝安区：龙岗区：盐田区：

Q1?89.8t?1140, ,

Q2?156.6t?1337Q3?134t?1060, ,

Q4?483.5t?4011Q5?191t?2581Q6?46.3t?224,

.（取t=11,12，?，20）

4.2问题二的模型建立与求解：

我们搜集了1979至2009年深圳市的医疗床位情况。通过Excel画出如下散点图。

医疗床位25000200001500010000500001979198919992009医疗床位

经观察分析，我们利用高阶方程建立与其相应的模型，通过matlab软件编辑相应的函数程序，求的其函数式为:

G(t)?0.2715(t?1979)x3?9.2455(t?1979)x2?77.0445(t?1979)x?510.4385

假设每年的床位变化率是一个常数，因此预测的未来几年的床位需求情

况G(2019)=97061,平均每年的增长率k=[G(2019)-G(2009)]/G(2009)×10=38.8% 所以G（2011）=G(2009)×(1+k)（1+k）=37844.G(2013)=G(2011)×(1+k)(1+k)=72070……我们根据搜集的数据，把医院分为三类综合医院D1，专科医院D2，街边校医院D3.根据一阶方程拟合得出高血压症人口的发展趋势为：

y2?1067.3t?6657.2y1?246.6t?1083 癌

癌症应在综合医院和专科医院救治，高血压可在综合医院，专科医院，街道（镇）医院进行治疗，癌症就只能在综合医院和专科医院治疗.

各级医院床位需求=某种病的患病人数?同一等级医院的数量可治疗这种病的医院总个数.

由于原题中未给出相应的各等级医院数和各医院床位数，因此，我们无法得出具体结果.

五结果分析

问题一通过阻滞函数模型的建立与分析和求解，预测得到未来十年深圳市人口数量是呈增长趋势的，2020年深圳总人口数，通过预测计算，将达到1488.0万人，在来十年中，人口结构将趋于老龄化，虽然儿童比例与老年人比例都有所上升，但是通过计算可得2011--2020年，儿童增长的平均比率为0.125，老年人平均增长比率为0.230老年人的增长比例明显高于儿童10.5%.未来各区医疗床位的需求量随着各区人口数的增长而相应增加，其中老年人所占比例较大，经预测2015年儿童人数将达到1407800 ，青年人口数为4743400，中年人口数为5828600.老年人口数将达到1218400. 2020年儿童人数将达到1905900，青年人口4925800，中年人口8175200.老年人口1817400致使各医疗机构数量也应当有所增加，以便于迎合未来人口增长且老龄化日益严重的趋势.

问题二根据深圳市人口的年龄结构和患病情况，及所收集的数据，计算预测出未来2015后全市医疗床位需求将达到28026张，计算预测出高血压、癌症在不同类型医疗机构就医的床位需求，具体如下：2种病症的患者人数在未来一段时间内大致接近一次函数发展趋势，并且得出各医疗机构床位需求函数：

各级医院床位需求=某种病的患病人数?同一等级医院的数量可治疗这种病的医院总个数.

由于原题中未给出相应的各等级医院数和各医院床位数，因此，我们无法得出具体结果.

六模型的评价与改进

模型的优点：我们用的模型高阶方程，简单，通俗易懂，经相关检验，与实际数据出入不太大，经过模型优化，利用阻滞函数，和实际数据基本能够相拟合。准确率较高，误差较小。作为主要函数来预测未来深圳市人口的数量，较为合理。我们应用了几乎所有数据更能体现出数据的可靠性和真实性.

模型的缺点：我们计算得出的预测数据是在较多的假设的基础之上得出的，从客观上讲，较为理想化，有很多客观或主观因素不能全面的考虑进去，只能得到在一定程度上更接近正确的合理性数据.

而且某些年份所提供的医疗机构数量，疾病近几年的发病情况，以及在各级别医院的就诊情况方面的数据较少，在拟合时只能用一次曲线来表达，所以在数据不充足的情况下，该部分问题的误差略微的增大可能会导致结果的不准确.并且由于有限的时间，我们只能将最关键的情况考虑进去.

七模型推广

在建模中我们使用了高阶方程，阻滞函数优化模型计算出2011--2020年未来十年的人口数，这仅仅是次模型应用的一小部分，在各个领域还能有更广泛地应用.它的主要功能是用于因变量的预测与判别.

例如在医院的患病人数的预测，将每个时期的患病人数和时间进行模型运算，可得到某段时间的该种疾病的患病率，这样有助于医护人员做好防范措施，并筹备食疗方案，避免病情的扩撒从而找到个更好的治疗方法，造福群众.

在商业方面，购买某公司产品的人数，也能通过阻滞函数模型进行计算市场占有量，据目前形式可知道，市场占有率不会超过总人数的20%，这样商家就可以根据广大消费者喜爱的方面去进行创意设计产品，来考虑市场要求的变化，来达到更好的效益.

在各种领域都可以找到阻滞函数模型的应用.一般认为阻滞函数适用于研究人口的长期演变过程，并用来作为包括短期和中长期在内的人口预报，其预报的精确程度依赖于模型假设近似实际信息的精确程度。

八参靠文献

1数学建模（章绍辉版）科学出版社

2 MATLAB工程计算及分析（尚涛谢龙汉杜如虚）清华大学出版社

九程序附录

9.1深圳市人口预测高阶方程的函数程序

>> x=0:1:11;

y=[632.56,701.24,724.57,746.62,778.27,800.8,827.75,871.1,912.37,954.28,995.01,1037.2];

n=3;

p=polyfit(x,y,n) xi=linspace(0,20,100); z=polyval(p,xi);

plot(x,y','o',xi,z,'k:',x,y,'b') legend('原始数据','拟合曲线') p =

0.2009 -2.5944 40.4272 645.9155 9.2优化后的深圳市人口预测的阻滞函数

t=1999:1:2009;

x=[632.56,701.24,724.57,746.62,778.27,800.8,827.75,871.1,912.37,954.28,995.01];

f=@(b,t)b(2).*b(3)./(b(3)+(b(2)-b(3)).*exp(-b(1).*(t-1999))); [b1,r1]=nlinfit(t(1:7),x(1:7),f,[0.11,6,632.56]) sse1=sum(r1.^2) x1=f(b1,[t,2010,2011]) plot(t,x)

9.3总人口增长率与年份

>> x=[6.3256 7.0124 7.2457 7.4662 7.7827 8.008 8.2775 8.711 9.1237 9.5428 9.9501];

y=[1085.74681 332.69637 304.31842 423.91042 289.48822 336.53846 523.70885 473.7688 459.35311 426.81393 424.01584];

n=3;

p=polyfit(x,y,n) xi=linspace(5,11,200); z=polyval(p,xi);

plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b') legend('原始数据','拟合曲线') p =

1.0e+004 *

-0.0111 0.2801 -2.3459 6.5317 9.4 常住人口高阶方程

>> x=0:1:11;

y=[119.85 124.92 132.04 139.45 150.93 165.13 181.93 196.83 212.38 228.07 241.45 251.03]

n=2;

p=polyfit(x,y,n) xi=linspace(0,20,200); z=polyval(p,xi);