第2章时域离散信号和系统的频域分析

第2章 时域离散信号和系统的 频域分析x(n) 1 012 3 4 |X(e j )| n

-2

-

0

2

对于离散时间信号与系统—— 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则用Z变换或傅里叶变换这一数学工具 本章主要内容： 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换 分析信号和系统的频域特性。 2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之 间的关系 2.3 序列的Z变换 2.4 系统函数与频率响应

2. 1 序列的傅立叶变换的定义及性质一、序列的傅里叶变换的定义众所周知，连续时间信号x(t)的傅里叶变换定义为：

X ( j ) FT [ x(t )] x(t )e - j t dt-

而X(jΩ)的傅里叶反变换定义为1 x( t ) FT [ X ( j )] 2 -1

-

X ( j )e j t d

离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为

X (e j ) 反变换1 x ( n) 2

n -

- j n x ( n ) e

-

X (e j )e j n d

在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数字

域频率。 X(ejω)一般为复数。值得注意的是，式中右边的级数并不总是收敛的，或者 说并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。

只有当序列x(n)绝对可和n - - j n | x ( n ) e | n -

| x ( n) |

式中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在。

周期序列的傅立叶变换

周期序列本身并不满足绝对可和条件.引入频域冲激函数 ( ) 及信号的正交傅里叶展开这 一工具后，可以将周期离散序列的傅里叶分析也同样 纳入到离散时间信号的傅里叶变换(DTFT)的框架下进 行讨论.

周期序列的傅里叶变换

在模拟系统中，我们曾有：

FT[e

j 0t

]

-

e j 0t e - j t dt 2 ( - 0 )

在数字系统中，我们通过狄拉克函数 0 (e j ) 来开拓傅里叶变换的范围(广义的DTFT)

0 (e例如：

j

) 2 ( - 2k ) 0 k -

2k 2k j

k 0, 1, 2,...∵

x ( n) 1 x ( n) u ( n)

X (e

j

) 0 (e

)

1 2

-

0 (e j )e j n d 1

X (e j )

1 1 - e j

1 0 (e j ) 2

x(n) e j nx(n) cos( 0 n)

X (e j ) 0 (e j ( - 0 ) )

1 X (e j ) [ 0 (e j ( - 0 ) ) 0 (e j ( 0 ) )] 234

二、常用序列的傅里叶变换1.单位脉冲序列 ( n) 其傅里叶变换为

X (e j ) 含义是什么

n -

- j n ( n ) e 1

这就是用单 位脉冲响应能够 表征线性时不变 系统的原因。

T [ (n)] h(n)

单位脉冲信 号包含了所有频 率分量，而且这

些分量的幅度和 相位都相同。

2.矩形序列

1 RN (n) 0其傅里叶变换为X (e j ) n -

0 n N -1 n为其它N -1 n 0

- j n - j n R ( n ) e e N

1 - e - j N 1 - e - j

e - j N / 2 (e j N / 2 - e - j N / 2 ) e - j / 2 (e j / 2 - e - j / 2 ) e - j ( N -1) sin N / 2 sin / 2

设N=5,幅度与相位随ω变化曲线

图 2.1 RN(n)的幅度与相位曲线

3.实指数序列

x(n) a nu(n) (a为实数, 0 a 1)其傅里叶变换为|X(e j )|

X (e ) a n e - j nj n 0

(a en 0

- j n

1 ) 1 - ae- j

0

(a) arg[X(e j )]

2

设a=0.6,幅度与相位随ω 变化曲线如图。

0

(b)

2

离散时间信号傅里叶变换的两个特点： (1)X(ejω)是以2π为周期的ω的连续函数。 (2)当x(n)为实序列时，X(ejω)的幅值| X(ejω) |在0≤ω≤2π

区间内是偶对称函数，相位arg[X(ejω)]是奇对称函数。

三、序列的傅里叶变换的性质1.线性

设 FT[ x1 (n)] X1 (e j ), FT[ x2 (n)] X 2 (e j )j j 则 FT[ax1 (n) bx2 (n)] aX1 (e ) bX2 (e )

式中a,b为常数。 2.时移与频移j 设 FT[ x(n)] X (e ) ,则

- j n0 j FT [ x ( n n )] e X ( e ) 时移特性 0

频移特性 FT[e j 0n x(n)] X (e j ( - 0 ) )

3.周期性

X (e

j ( 2 M )

)

n -

x(n)e

- j ( 2 M ) n

n -

- j n - j 2 Mn j x ( n ) e e X ( e )

序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。 4.对称性质* x ( n ) x 设一复序列，如果满足 e e ( - n)

则称序列为共轭对称序列。* x ( n ) x 如果满足 o o ( - n) ,则称序列为共轭反对称序列。

比较：对于实序列中偶对称和奇对称的定义。

xe (n) xe (-n)

xo (n) - xo (-n)

1)任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列 之和(如是实序列，就是偶对称序列和奇对称序列之和)

x(n) xe (n) xo (n)1 xe ( n) [ x( n) x * ( - n)] 2 1 xo ( n) [ x( n) - x * ( - n)] 2

类似地，序列的傅里叶变换 X (e j ) 可以被分解成共轭对 称与共轭反对称两部分之和。

X (e j ) X e (e j ) X o (e j )

2)离散时间信号的傅里叶变换(DTFT)的对称特性 (同学们自己证明)j DTFT [Re [x( n)]] X e (e ) j DTFT [ j Im [ x ( n )]] X ( e ) o j DTFT [ x ( n )] Re [ X ( e )] e j DTFT [ x ( n )] j Im [ X ( e )] o

X (e j ) X * (e - j ) Re [X (e j )] Re [X (e - j )] j - j Im [ X ( e )] Im [ X ( e )] j - j X ( e ) X ( e ) j - j arg[ X ( e )] arg[ X ( e )]

实序列频谱的实部是 的偶函数 虚部是 的奇函数 幅度是 的偶

函数

相位是 的奇函数

结论

序列分成实部和虚部两部分，其实部对应的傅里叶变换具

有共轭对称性，其虚部(包括j)对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。

序列的共轭对称分量和共轭反对称分量的傅里叶变换分别 等于序列傅里叶变换的实部和j乘虚部。

推论 对于实序列的 DTFT,要画出 X(ejω)的幅频特性，只需 要 X(ejω)半个周期即可，通常在实际中是选择ω∈[0,π ] 的 部分。

5.时域卷积定理

FT[ x(n)] X (e j )若 w ( n ) x ( n ) y ( n) ,则

FT [ y(n)] Y (e j )

W (e j ) FT[ x(n) y(n)] X (e j )Y (e j )

6.频域卷积定理(复卷积定理) 若 FT[ x(n)] X (e j ) ,FT [ y(n)] Y (e j )

则FT [ x( n) y( n)]

1 X (e j ) * Y (e j ) 2

7.帕斯瓦尔(Parseval)定理

1 x(n) 2 n - 2

-

X (e

j

) d

2

信号时域的总能量与频域中的总能量是一样的。

表2.1.1 序列傅里叶变换的性质

表2.1.1 序列傅里叶变换的性质(续)

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