苏教版高中数学必修四：第2章-平面向量2.2.2课时作业（含答案）

精品资料 2．2.2 向量的减法

课时目标

1．理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．

向量的减法

(1)定义：若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．

→→

(2)作法：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝________.如图所示．

(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为

→→

__________，被减向量的终点为__________的向量．例如：OA－OB＝__________.

一、填空题

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1．若OA＝a，OB＝b，则AB＝________.

2．若a与b反向，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝________.

→→→→

3．化简(AB－CD)－(AC－BD)的结果是________． 4.

→→→→→

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA－BC－OA＋OD＋DA＝________.

5．如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a

→

，b，c，则OD＝____________(用a，b，c表示)．

→→→

6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝2，则|BC＋DC|＝________.

→→→→

7．已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则a－b＋c－d＝________.

→→→

8．若|AB|＝5，|AC|＝8，则|BC|的取值范围是________．

→→

9．边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为________．

10．已知非零向量a，b满足|a|＝7＋1，|b|＝7－1，且|a－b|＝4，则 |a＋b|＝________. 二、解答题 11.

→→→

如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设AB＝a，DA＝b，OC＝c，

→

求证：b＋c－a＝OA. 12.

→→→

如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作出下列向量并分别求出其长度

(1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.

能力提升

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13．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，先用a，b表示向量AC和DB，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？

14.

→→→→

如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：OH＝OA＋OB＋OC.

→→

1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB＝BA就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．

→→→

3．以向量AB＝a、AD＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC＝a＋b，→→

BD＝b－a，DB＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．

2．2.2 向量的减法

知识梳理 →→BA 始点 终点 BA 作业设计 1．b－a 2．2 3．0 →4.CA

5．a－b＋c

→→→→→

解析 OD＝OA＋AD＝OA＋BC →→→

＝OA＋OC－OB＝a＋c－b ＝a－b＋c. 6．23 解析

如右图，设菱形对角线交点为O， →→→→→∵BC＋DC＝AD＋DC＝AC， 又∠DAB＝60°，

∴△ABD为等边三角形， ∴OB＝1，在Rt△AOB中， →→→

|AO|＝|AB|2－|OB|2＝3， →

∴|AC|＝23. 7．0

→→→→→→

解析 a－b＋c－d＝OA－OB＋OC－OD＝BA＋DC＝0. 8．[3,13]

→→→

解析 ∵|BC|＝|AC－AB|且 →→→→→→||AC|－|AB||≤|AC－AB|≤|AC|＋|AB|.

→→

∴3≤|AC－AB|≤13.

→

∴3≤|BC|≤13. 9.3 解析

→→→→→→→

如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则AB－BC＝AB＋CB＝AB＋BD＝AD. 在△ABD中，AB＝BD＝1， ∠ABD＝120°，易求AD＝3， →→

∴|AB－BC|＝3. 10．4

解析 如图所示．

设OA＝a，OB＝b，则|BA|＝|a－b|.

以OA与OB为邻边作平行四边形OACB， 则|OC|＝|a＋b|.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42. 故|OA|2＋|OB|2＝|BA|2， 所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形， 从而OA⊥OB，所以?OACB是矩形， 根据矩形的对角线相等有|OC|＝|BA|＝4， 即|a＋b|＝4.

→→→

→→→→→→→→

11．证明 方法一 ∵b＋c＝DA＋OC →→→＝OC＋CB＝OB， →→→→OA＋a＝OA＋AB＝OB，

→→

∴b＋c＝OA＋a，即b＋c－a＝OA.

→→→→→

方法二 ∵c－a＝OC－AB＝OC－DC＝OD， →→→→

OD＝OA＋AD＝OA－b，

→→

∴c－a＝OA－b，即b＋c－a＝OA.

→→→

12．解 (1)由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC，

→

又AC＝c，∴延长AC到E， →→使|CE|＝|AC|.

→

则a＋b＋c＝AE， →

且|AE|＝22.

∴|a＋b＋c|＝22.

→→

(2)作BF＝AC，连结CF， →→→则DB＋BF＝DF， →→→→

而DB＝AB－AD＝a－BC＝a－b，

→→→→

∴a－b＋c＝DB＋BF＝DF且|DF|＝2. ∴|a－b＋c|＝2.

→

13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC＝a＋b， →→→

DB＝AB－AD＝a－b.

则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形； 当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．

→→

14．证明 作直径BD，连结DA、DC，则OB＝－OD， DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.

∴CH∥DA，AH∥DC，

故四边形AHCD是平行四边形． →→∴AH＝DC，

→→→→→又DC＝OC－OD＝OC＋OB，

→→→→→→→→∴OH＝OA＋AH＝OA＋DC＝OA＋OB＋OC. →→→→故OH＝OA＋OB＋OC.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5uyx.html