第三章圆板的应力分析

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第三章第四幕推荐度：
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第三章薄板理论及设计

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引工程应用平封头：平封头：贮槽底板：贮槽底板：

子

常压容器、高压容器；常压容器、高压容器；可以是各种形状；可以是各种形状；

换热器管板：薄管板、厚管板；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。反应器触媒床支承板等。

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什么是板？? 什么是板？?厚度远小于其它两个方向尺寸(圆板为其直径) 板：厚度远小于其它两个方向尺寸(圆板为其直径)且中面为平面的物体。为平面的物体。板类结构是工程中最常见的部件之一，板类结构是工程中最常见的部件之一，通常承受两种不同作用方式的外载，如图所示。同作用方式的外载如图所示。t

(a)受纵向载荷的板 (a)受纵向载荷的板

(b)受横向载荷的板 (b)受横向载荷的板

第一种载荷情况为弹性力学平面应力问题，第一种载荷情况为弹性力学平面应力问题，第二种载荷载荷情况为弹性力学平面应力问题情况为板的弯曲问题问题，将讨论第二种情况。当两种外载情况为板的弯曲问题，本节将讨论第二种情况。当两种外载同时作用时，可通过叠加求解求解。同时作用时，可通过叠加求解。目录结束放映

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§3.1 基本概念与假设 §3.2 圆板轴对称弯曲基本方程 §3.3 圆板与环板的计算 §3.4 带有平盖圆筒的边缘分析 §3.5 平盖的工程设计目录结束放映

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§3.1 基本概念与假设变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，在翘曲，且其周长也有所改变。因此，在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯扭矩和剪力外还有薄膜力(沿中面的拉压力) 矩、扭矩和剪力外还有薄膜力(沿中面的拉压力)。

挠度：中面各点沿中面法线方向的位移，常用w表示。挠度：中面各点沿中面法线方向的位移，常用表示。表示当中面的wmax远小于板厚 t 时，通常称为板的小挠度问当中面的此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩；题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩；为同一量级时，则为板的大挠度问题，当wmax与 t 为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内的薄膜力较大，因而不能忽略。的薄膜力较大，因而不能忽略。一般在工程要求的精度范围内，一般在工程要求的精度范围内，当 wmax t ≤1 5 时，按小挠度问题计；按大挠度问题考虑。小挠度问题计；当 1 5 < wmax t < 5时，按大挠度问题考虑。5

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薄板与厚板：一般认为当板厚小于其它最小尺寸的1/5时，小于其它最小尺寸的1/5 薄板与厚板：一般认为当板厚t小于其它最小尺寸的1/5时属于薄板；否则为厚板。对于薄板，在作出一些假设后，属于薄板；否则为厚板。对于薄板，在作出一些假设后，其分析可以简化且能给出满意的结果。至于厚板，分析可以简化且能给出满意的结果。至于厚板，则须按三维问题来分析，其求解过程较为复杂。问题来分析，其求解过程较为复杂。

基本假设：对于小挠度薄板，除假设材料是均匀连续和各向基本假设：对于小挠度薄板，同性的外，同性的外，还采用了以下与梁弯曲理论类似的假设

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弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff 板弯曲时其中面保持中性， ① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，变形，只有沿中面法线 w 的挠度。只有横向力载荷

②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同变形前位于中面法线上的各点，一法线上，且法线上各点间的距离不变。一法线上，且法线上各点间的距离不变。类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应平行于中面的各层材料互不挤压，力较小，可忽略不计。力较小，可忽略不计。本章主要讨论圆形薄板(简称圆板) 轴对称横向载荷作本章主要讨论圆形薄板(简称圆板)在轴对称横向载荷作圆形薄板用下的小挠度弯曲问题。小挠度弯曲问题用下的小挠度弯曲问题。 77 首页下一页目录结束放映

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§3.2 圆板轴对称弯曲基本方程对于圆板，常取柱坐标 r,θ, z ,原点位于中面圆心。对于圆板，原点位于中面圆心。

1.圆板的变形与内力 1.圆板的变形与内力在轴对称载荷作用下，在轴对称载荷作用下，圆板中的变形和内力也一定轴对称。变形和内力也一定轴对称。因此

0 z

t 2

t 2x

且其它位移、无关，因而不存在扭矩。且其它位移、应变和应力分量均与 θ 无关，因而不存在扭矩。直法线假设表明τ rz 很小，相应的变形可不计，即： rz ≈ 0 ; 很小，相应的变形可不计， γ 互不挤压假设认为：互不挤压假设认为： z ≈ 0 。 σ 因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力为弯曲应力，沿板厚线性分布，分量 σ r ,σθ ,τ rz。σ r ,σθ为弯曲应力，沿板厚线性分布， rz 与 τ 梁中的剪应力一样为抛物

线分布，如下图所示。梁中的剪应力一样为抛物线分布，如下图所示。8 首页下一页目录结束放映

v = 0,γ rθ = γ θz = 0,τ rθ =τθz = 0

图2-25 圆形薄板

根据中性面假设：根据中性面假设：(u)z=0 ≈ 0 (σr )z=0 = (σθ )z=0 = 0 ; ,

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于是，于是，可将各应力分量沿板厚合成为相应的内力。为相应的内力。 σ r ,σθ可分别合成为弯矩 Mr , Mθ , rz可合成为横向剪力 Qr, τ 它们之间的关系为

dθt2 r z t2

Mr = ∫σ r zdz,Mθ = ∫σθ zdz t 2 t 2

τrz

σr

σθ

(a)

Qr = ∫τ rzdz t 2

(e)Mθ

Qr dθ Mr

Mθ 以上各内力的正向如图2 28(b)所示，以上各内力的正向如图2-28(b)所示， M 所示 r dr 且它们都只是r的函数而与z无关的函数，无关。且它们都只是的函数，而与无关。 Qr (b) 另外，由于弯曲应力不引起厚度的另外，由于弯曲应力不引起厚度的图2-28 各应力沿改变，改变，因而中面同一法线上各点的挠度板厚的分布与合成相等，也就是中面的挠度。相等，位移 w也就是中面的挠度。也就是中面的挠度9 首页下一页目录结束放映

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2.平衡方程 2.平衡方程设圆板承受轴对称横向分布载荷 q(r)。通常薄板弯曲的平衡方程以内力表示，因此可沿坐标(r 平衡方程以内力表示，因此可沿坐标，θ)截取中面上的微截取中面上的微其受力如图2 26所示小面积作为微元体，其受力如图2-26所示。图中弯矩以双箭方向遵循右手螺旋法则。头表示，方向遵循右手螺旋法则。Mθ q

dθ

0 z

Mr r

Mr + dMr Qr + dQr

dr M θ

图2-26 圆板的微体受力

∑Fz = 0: (Qr + dQr )(r + dr)dθ Qr rdθ + qrdθdr = 0d(Qr r) dQr = qr Qr + r = qr 或 dr dr10 首页下一页

(2-55)目录结束放映

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Mθ q

dθ

0 z

Mr r

dθ 2 Mθ

Mr + dMr Qr + dQr

dr M c θ

Mr + dMr

Mr dθr

Mθ dθ 2

ΣMc = 0: dθ dr (Mr + dMr )(r + dr)dθ Mrrdθ 2Mθ dr Qr r + dθdr = 0 2 2 Mrdrdθ + dMr rdθ Mθ drdθ Qr rdrdθ = 0dMr d(rMr ) + Mr Mθ = Qr r 或 Mθ = Qr r (2-56) r dr dr

图2-26 圆板的微体受力

式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含 55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，个未知量，须考虑圆板弯曲后的变形关系。有 Mr , Mθ , Qr 3个未知量，须考虑圆板弯曲后的变形关系。11 首页下一页目录结束放映

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图2-27 圆板的变形

3.几何方程 3.几何方程圆板在轴对称载荷作用下，圆板在轴对称载荷作用下，中面将弯曲成以0z为轴的旋转面为轴的旋转面，将弯曲成以为轴的旋转面，如图所 d z 设中面上任意一点a 示。设中面上任意一点变形后的挠 +d r dr 度为w, 度为，转角为。由图可知 a b r

≈ tan = dw dr (c) 0 z A B w b1 的微小线段AB。现考察距离中面为z的微小线段。 a1 z B -dw 1 变形前AB=ab=dr;变形后变形前；变形后ab→a1b1, A1 直法线假设 AB→A1B1,且位于变形后的法线上。 z r + z 且位于变形后的法线上。又根据中性面假设， , 点处的两向应变为又根据中性面假设，a1b1=ab=AB,则A点处的两向应变为 A B AB d 2π(r + z ) 2πr 1 1 εr = = z (a) εθ = = z (b) AB dr 2πr r

d2 w z dw (c)代入得将(c)代入得 ε r = z 2 , θ = ε r dr dr12

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4.物理方程 4.物理方程由于 σ z = 0,故圆板的物理方程为 E d2 w (ε r + µεθ ) σr = ε r = z 2 2 1 µ dr (2-57)代入 (2-58) 将(2-57)代入 z dw E εθ = (εθ + µε r ) σθ = r dr 1 µ2Ez d w µ dw 2 + Mr = ∫σ r zdz σr = 2 r dr 1 µ dr t 2 (d) 2 代入(e) 代入(e) t 2 (e) Ez 1 dw d w +µ 2 σθ = t2 M = σ zdz 2 1 µ r dr dr t3 θ ∫ θ t 2 注意： z2dz = ∫ 2 d w µ dw 12 t 2 2 + Mr = D r dr dr (2-59) 1 dw d2w Et 3 Mθ = D r dr + µ dr 2 D = 12(1 µ 2 ) 板的抗弯刚度 213 首页下一页目录结束放映

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5.应力计算(p50) 5.应力计算(p50) 应力计算Ez d2w µ dw 2 + σr = 2 r dr 1 µ dr 12Mr (d) 2 σr = 3 z 1 dw Ez dw t (2-60) σθ = +µ 2 比较 2 12Mθ 1 µ r dr dr σθ = 3 z t d2w µ dw Mr = D 2 + dr r dr 3Qr 4z2 (2-59) 1 2 由材力 τ rz = 2 1 dw d w 2t t Mθ = D +µ 2 r dr dr 6Mr (σr ) z=± t = ± 2 Et 3 t 2 D= 12(1 µ 2 ) 6M σθ ) z=± t = ± 2 θ (2-60#) ( t 易见：易见：正应力的最大值在 2 板的上下表面，板的上下表面，剪应力的 3Q (τrz ) z=0 = r 最大值在中面上。最大值在中面上。 2t14 首页下一页目录结束放映

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6.挠曲微分方程 6.挠曲微分方程圆板轴对称弯曲基本方程：圆板轴对称弯曲基本方程：平衡方程：平衡方程：

圆板轴对称弯曲挠曲方程：圆板轴对称弯曲挠曲方程：将(2-59)代入(2-56),得 (2-59)代入(2-56), 代入(2

d(Qr r) = qr dr d(rMr ) Mθ = Qr r dr物理方程：物理方程：

(2-55)

d3w 1 d2w 1 dw Qr + 2 = 3 2 D dr r dr r drd 1 d dw Qr r dr r dr = D (2-61) dr 两边乘r 求导，再将(2 (2两边乘后求导，再将(2-55) 代入，代入，可得

(2-56)

d2w µ dw 1 d d 1 d dw q Mr = D 2 + dr r = r r dr (2-59) r dr dr r dr dr D 2 1 dw d w (2-62) Mθ = D +µ 2 r dr dr (2-61,62)即

为圆板轴对称式(2-61,62)即为圆板轴对称 4个方程，4个未知量。个方程，个未知量。15

弯曲问题的挠曲微分方程。弯曲问题的挠曲微分方程。首页下一页目录结束放映

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§3.3 圆板与环板的计算基本公式

d 1 d dw Qr r dr r dr = D dr

(2-61)

d2w µ dw Mr = D 2 + dr r dr 1 dw d2w Mθ = D r dr + µ dr2

(2-59)

(σr )z=± t (σθ )z=± t

6Mr =± 2 t 6Mθ =± 2 t16 首页

(2-60#)

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1.受均布载荷和弯矩作用的圆板(见图) 1.受均布载荷和弯矩作用的圆板(见图) 受均布载荷和弯矩作用的圆板任意半径r处的剪力由区域平衡任意半径处的剪力由区域平衡可得：可得： Qr = qr 2M R 图#1 受均布载荷和弯矩的简支圆板 q Mr Mr Qr r Qr q Mt

d 1 d dw Qr 代入(2 (2代入(2-61) r dr r dr = D dr 得

d 1 d dw qr r dr r dr = 2D dr

积分得

应是有限量，由于 (w)r=0应是有限量，故C2=0,于是，

qr4 w = C1r 2 + C2 ln r + C3 + 64D

qr4 w = C1r 2 + C3 + 64D17

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, 边界条件：边界条件：(w)r=R = 0 (Mr )r=R = M M

qr4 R 将 w = C1r 2 + C3 + 和 64D d2 w µ dw (3 + µ)qr2 = Mr = D 2 + 2(1+ µ)DC1 dr r dr 16 qR4 代入得 + C1R2 + C3 = 0 64D (3 + µ)qR2 2(1+ µ)DC = M 1 16 2 4

( 3+ µ) qR M ,C = ( 5+ µ) qR + MR2 联解得 C1 = 3 32(1+ µ) D 2(1+ µ) D 64(1+ µ) D 2(1+ µ) D于是

q R2 r 2 w= 64D

(

) 5+ µ R 1+ µ

M R2 r 2 (#1a) r + 2(1+ µ)D 218 首页下一页目录结束放映

(

)

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q R2 r 2 w= 64D

(

) 5 + µ R 1+ µ

M r + R2 r 2 2(1+ µ)D

(

))

(#1a)

(3+ µ)q R2 r2 + M d2w µ dw Mr = Mr = D 2 + dr 16 r dr (#1b) 得 (2(2-59) (3+ µ)q R2 1+ 3µ r2 + M 2 Mθ = 1 dw d w 16 3+ µ Mθ = D +µ 2 r dr dr 代入 6Mθ 6Mr (σr )z=± t = ± 2 ,(σθ )z=± t = ± 2 (2-60#) (22 2 t t代入

(

(σr )z=± t得

(σθ )z=± t

6 (3 + µ)q 2 R r 2 + M =± 2 t 16 (#1c) 6 (3 + µ)q 2 1+ 3µ 2 R =± 2 r + M 3+ µ t 16

(

)

首页

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