西安电子科技大学讲义

2?|?|1 输入随即信号X(t)的自相关函数RX(?)?a?be式中a,b为正常数，试

求单位冲击响应h(t)?e??tU(t)的系统输出均值（??0）。

2 设线性系统的单位冲击响应h(t)?te?3tU(t)，其输入是具有功率谱密度为4V2/Hz的白噪声与2V直流分量之和，试求系统输出的均值、方差和均方值。 3 设有限时间积分器的单位冲击响应h(t)?U(t)?U(t?0.5)，它的输入是功率谱密度为10V2/Hz的白噪声，试求系统输出的均值、均方值、方差、和输入输出互相关函数。

4 设系统的单位冲击响应为h(t)??(t)?2e?2tU(t)，其输入随机信号的自相关

?2|?|函数RX(?)?16?16e，试求系统输出的（总）平均功率和交流平均功率。

5 电路如图题5所示。设输入白噪声的自相关函数RX(?)?S0?(?)，试求电路输出的平均功率。

4Ω31Ω+X(t)+Y(t)1F81F6-图题5

6 某系统的传递函数

H(?)?j??aj??b-

??|?|若输入平稳随机信号的自相关函数为RX(?)?e，输出记为Y(t)，试求互

相关函数RXY(?)。（??b）。

7 某控制系统如图题7所示。若输入宽平稳随机信号的功率谱密度

SX(s)?102?s2

试求输出的功率谱密度、自相关函数、平均功率和?(t)的均方值。

X(t)+?(t)1s?4Y(t)s

图题7

8 如图题8所示。输入白噪声的功率谱密度为N0/2，试求输出的功率谱密度和自相关函数。

R+X(t)+LY(t)--

9 设线性系统的传递函数为H(?)，其输入随机信号X(t)是宽平稳的，输出为Y(t)，试证：SX(?)SY(?)?SXY(?)SYX(?)

10 电路如图图题10所示。在t<0时，开关K接在“1”处，电路处于稳态；在t=0时刻开关K接在“2”处。X(t)是功率谱密度为1V2/Hz的白噪声。试求E[Y(t)]、RY(t1t2)和均方值E[Y2(t)]；若t???，问他们的结果如何？

R+K11V2CX(t)Y(t)?-

图题10

211 设X(n)是一个均值为零，方差为?X的白噪声，Y(n)是单位冲击响应为h(n)的

2线性时不变离散系统的输出，试证：（1）E[X(n)Y(n)]?h(0)?X；（2）

??2Y??2X?hn?02(n)。

12 求三个最小相位系统，使其在单位谱密度白噪声激励下的输出谱密度分别是：

（1）S(?)?1?4?13

（2）S(?)??4??42?1

（3）S(?)???4?642?10??9

13 求功率谱密度为SX(?)???22?3?8的白化滤波器。

1.09?0.6cos?1.16?0.8cos?'14 求功率谱密度为SX(?)?SX(?)?的白化滤波器。

15 求单位冲击响应为h(t)?(1?t)[U(t)?U(t?1)]系统的等效噪声带宽。 16 证明：

（1）H[

（2）H[e（3）H（4）H(5) H(6) H?1sintt]?1?costt

j?0t]??jej?0t

[[1?t]??(t) t]?11?t2?11?tsinttsintt2

?1[[sin200?t]?sinttcos200?t sin200?t

?1cos200?t]??sintt

17 证明：（1）偶函数的希尔伯特变换为奇函数。（2）奇函数的希尔伯特变换

为偶函数。 18 若确定信号a(t)的频谱满足

?A(?)A(?)???0|?|??0其他 则有

（1）H[a(t)cos?0t]?a(t)sgn(?0)sin?0t （2）H[a(t)sin?0t]??a(t)sgn(?0)cos?0t （3）H[a(t)e

19 设X(t)?[X1(t)X2(t)X1(t??)X2(t??)]Tj?0t]??ja(t)sgn(?0)ej?0t

，X2(t)是X1(t)的希尔伯特

变换，X1(t)是均值为零、方差为1的高斯过程。证明：如果X1(t)是平稳的，那么

?1??0TE[X(t)X(t)]???R(?)1????R1(?)01?R1(?)?R1(?)?R1(?)10?R1(?)R1(?)??R1(?)?? 0??1???其中R1(?)?E[X1(t)X1(t??)]。

20 已知平稳过程X(t)的功率谱密度SX(?)如图题20所示。记X(t)为X(t)的希尔伯特变换，求随即过程W(t)?X(t)cos?0t?X(t)sin?0t的功率谱密度，并图示它。

SX(?)??0图题20 SX(?)的图形

?

21 设平稳噪声X(t)?a(t)cos2?f0t?b(t)sin2?f0t，若其功率谱密度如图题21所示。图中f1?100Hz，f2?104Hz。对下列情况求Sa(f)、Sb(f)、Sab(f)，

并作图：

12（1）f0?f1； （2）f0?f2 （3）f0?(f1?f2)

（4）对上面Sab(f)?0情况，求Rab(?)，并作图。

SX(f)N020图题21 X(t)的功率谱密度

f

22 设噪声n(t)是宽平稳，其功率谱密度Sn(?)如图题22所示，求

X(t)?n(t)cos(?0t??)?n(t)sin(?0t??)的功率谱密度SX(?)，并作图。

式中，?是在（0，2?）内均匀分布的随机变量；?0???1；?与n(t)统计独

立。

Sn(?)P??10?1?

图题22 n(t)的功率谱密度

23 设随机过程X(t)?a(t)cos(?0t??)?b(t)sin(?0t??)，其中，随机变量?在（0，2?）内均匀分布。若E[X(t)]=0。试证明：当X(t)为高斯过程时，a(t)和b(t)也是高斯过程。

24 对于零均值、?2方差的窄带平稳高斯随机过程

X(t)?a(t)cos?0t?b(t)sin?0t?A(t)cos[?0t??(t)]

求证：包络A(t)在任意时刻所给出的随机变量At的均值和方差分别为：

E[At]??22?，?A?(2?t?2)?2

25 已知X(t)为信号与窄带平稳高斯噪声之和为X(t)?acos(?0t??)?N(t)，式中，?在（0，2?）内均匀分布的独立随机变量，N(t)为窄带平稳高斯噪声，且均值为零、方差为?2，并可表示为N(t)?a(t)cos?0t?b(t)sin?0t，求证：

X(t)42的

2包

?4?4络

2平方

2的

2自

相关函数为

a?4a??4[aRa(?)?Ra(?)?Rab(?)]26 远方发射台发射一个幅度不变、角频率为?0的正弦波，通过衰落信道传输后到达接收端时，信号变为具有参数?S2的瑞利型包络分布的随机信号。在接收

2端又有高斯噪声混入，噪声的方差为?N，这样，信号加噪声同时通过中心频

率为?0的高频窄带系统。求证：窄带系统输出的信号与噪声之和的包络也是

2服从瑞利分布的，其参数为?S2??N。

27 同步检波器如图题27所示。令X(t)为窄带平稳噪声，其自相关函数为

RX(?)??Xe2??|?|cos?0?， ????0。 而Y(t)?Asin(?0t?Θ)，A为常数，

Θ是与X(t)独立的、且在（0，2?）内均匀分布的独立随机变量。试求该检

波器输出的平均功率。

X（t）理想低通滤波器Y（t）Z（t）

图题27 同步检测器

E[At]??22?，?A?(2?t?2)?2

25 已知X(t)为信号与窄带平稳高斯噪声之和为X(t)?acos(?0t??)?N(t)，式中，?在（0，2?）内均匀分布的独立随机变量，N(t)为窄带平稳高斯噪声，且均值为零、方差为?2，并可表示为N(t)?a(t)cos?0t?b(t)sin?0t，求证：

X(t)42的

2包

?4?4络

2平方

2的

2自

相关函数为

a?4a??4[aRa(?)?Ra(?)?Rab(?)]26 远方发射台发射一个幅度不变、角频率为?0的正弦波，通过衰落信道传输后到达接收端时，信号变为具有参数?S2的瑞利型包络分布的随机信号。在接收

2端又有高斯噪声混入，噪声的方差为?N，这样，信号加噪声同时通过中心频

率为?0的高频窄带系统。求证：窄带系统输出的信号与噪声之和的包络也是

2服从瑞利分布的，其参数为?S2??N。

27 同步检波器如图题27所示。令X(t)为窄带平稳噪声，其自相关函数为

RX(?)??Xe2??|?|cos?0?， ????0。 而Y(t)?Asin(?0t?Θ)，A为常数，

Θ是与X(t)独立的、且在（0，2?）内均匀分布的独立随机变量。试求该检

波器输出的平均功率。

X（t）理想低通滤波器Y（t）Z（t）

图题27 同步检测器

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