精华经典版122页高考数学知识点总结及高中数学解题思想方法全部

第 1 页 共 163 页 高中数学第一章-集合

榆林教学资源网 1e4669e8f8c75fbfc77db265

考试内容：

集合、子集、补集、交集、并集．

逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．

考试要求： 榆林教学资源网 1e4669e8f8c75fbfc77db265

（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．

§01. 集合与简易逻辑 知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

（一） 集合

1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.

2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.

集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；

②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果B A ?，同时A B ?，那么A = B.

如果C A C B B A ???，那么，.

[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （3）

②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（3）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}）

③ 空集的补集是全集.

第 2 页 共 163 页

④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）.

3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集.

②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集.

③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.

[注]：①对方程组解的集合应是点集.

例： ?

??=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?）

4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.

5. ?①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题.

例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.

②

，且21≠≠y x 3≠+y x .

解：逆否：x + y =3

x = 1或y = 2. 21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ?小范围推出大范围；大范围推不出小范围.

3. 例：若255 x x x 或，?.

4. 集合运算：交、并、补.

{|,}

{|}{,}

A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈? U 交：且并：或补：且C

5. 主要性质和运算律

（1） 包含关系：

,,,,

,;,;,.

U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ??????????? C

（2） 等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C

（3） 集合的运算律：

交换律：.;A B B A A B B A == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==

分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==

0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===

第 3 页 共 163 页 等幂律：.,A A A A A A ==

求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U

反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )

6. 有限集的元素个数

定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.

基本公式：

(1)()()()()

(2)()()()()

()()()

()

card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+

(3) card ( U A )= card(U)- card(A)

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为

了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等

式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间. +-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2x m-1x m x

（自右向左正负相间）

则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 的解可以根据各区间的符号确定.

特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论； ②一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解的讨论.

0>? 0=?

0

二次函数 c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

一元二次方程 ()的根002

>=++a c bx ax 有两相异实根

)(,2121x x x x < 有两相等实根 a

b x x 221-== 无实根

第 4 页 共 163 页 原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互的解集

)0(0

2>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R 的解集)0(0

2><++a c bx ax {}21x x x x <<

?

?

2.分式不等式的解法

（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)

()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）

???≠≥?≥>?>0)(0)()(0)

()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f 3.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.

（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)

（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.

（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.

（三）简易逻辑

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。

3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真．

4、四种命题的形式：

原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；

否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

第 5 页 共 163 页 5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题)

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q.

7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数

考试内容：

映射、函数、函数的单调性、奇偶性．

反函数．互为反函数的函数图像间的关系．

指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．

对数．对数的运算性质．对数函数．

函数的应用．

考试要求：

（1）了解映射的概念，理解函数的概念．

（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．

（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．

（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质．

（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．

（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

§02.

函数 知识要点 一、本章知识网络结构：

性质图像反函数

F:A →B

对数指数对数函数指数函数

二次函数具体函数一般研究函数

定义映射

二、知识回顾：

第 6 页 共 163 页 （一） 映射与函数

1. 映射与一一映射

2.函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.

3.反函数

反函数的定义

设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=?(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=?(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=?(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=

（二）函数的性质

⒈函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2,

?若当x 1

?若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

2.函数的奇偶性

第 7 页 共 163 页 正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：

（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数)(x f 为奇

函数或偶函数的必要不充分条件；（2）)()(x f x f =-或

)()(x f x f -=-是定义域上的恒等式。

2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数

的图象关于y 轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也

可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。

3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增

减性相反.

4．如果)(x f 是偶函数，则|)(|)(x f x f =，反之亦成立。

若奇函数在0=x 时有意义，则0)0(=f 。

7. 奇函数，偶函数：

?偶函数：)()(x f x f =-

设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点.

偶函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数.

②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，

1)()(=-x f x f . ?奇函数：)()(x f x f -=-

设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点.

奇函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数.

②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，

1)

()(-=-x f x f . 8. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称x f y y -=???→? ②y =f （x ））（轴对称x f y x -=???→?

③y =f （x ））（原点对称x f y --=???→?

9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：

在进行讨论.

10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.

例如：已知函数f （x ）= 1+x

x -1的定义域为A ，函数f [f （x ）]的定义域是B ，则集合A 与集合B 之间的关系是 .

解：)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ，)(x f 的值域R ∈，故R B ∈，而A {}1|≠=x x ，故A B ?.

11. 常用变换： ①)

()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-?=+. 2

2122212122222121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-）

（A B ?

第 8 页 共 163 页

▲

x

y

证：)()(])[()()

()

()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?=

- ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y

x f +=??-= 证：)()()()(y f y

x f y y x f x f +=?= 12. ?熟悉常用函数图象：

例：|

|2x y =→||x 关于y 轴对称. |

2|21+?

?

?

??=x y →||21x y ??? ??=→|

2|21+?

?

? ??=x y

▲

x

y

▲

x

y

(0,1)

▲

x

y

(-2,1)

|122|2

-+=x x y →||y 关于x 轴对称.

?熟悉分式图象： 例：3

7

2312-+

=-+=

x x x y ?定义域},3|{R x x x ∈≠， 值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比. （三）指数函数与对数函数

指数函数

)10(≠>=a a a y x

且的图象和性质 a>1

0

图 象

4.54

3.5

32.521.51

0.5

-0.5

-1

-4-3-2-11234

y=1

4.54

3.5

3

2.5

2

1.5

10.5

-0.5

-1

-4-3-2-11234

y=1

性 质

(1)定义域：R （2）值域：（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1

(4)x>0时，y>1;x<0时，00时，01. （5）在 R 上是增函数

（5）在R 上是减函数

▲

x y

2

3

第 9 页 共 163 页

对数函数y =log a x 的图象和性质:

对数运算： ()n a n a a a c b a b b a N a n a

a n a a a a a a a a a a a a c

b a

N N N

a M n M M n M N M N

M N M N M n a 1121log log ...log log 1log log log log log log log 1log log log log log log log log )(log 32log )

12)

1(=????=??===±=-=+=?-推论：换底公式： （以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a

0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠ ）

a>1

0

第 10 页 共 163 页

注?：当0, b a 时，)log()log()log(b a b a -+-=?. ?：当0 M 时，取“+”，当n 是偶数时且0 M 时，0 n M ，而0 M ，故取“—”.

例如：x x x a a a log 2(log 2log 2 ≠中x ＞0而2log x a 中x ∈R ）.

?x a y =（1,0≠a a ）与x y a log =互为反函数. 当1 a 时，x y a log =的a 值越大，越靠近x 轴；当10 a 时，则相反.

（四）方法总结

?.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. ?对数运算： 图

象 y=log a x O y x

a>1

a<1

x=1

性

质 （1）定义域：（0，+∞）

（2）值域：R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

（4）)1,0(∈x 时 00

)1,0(∈x 时 0>y

),1(+∞∈x 时0

在（0，+∞）上是减函数

第 11 页 共 163 页 ()n

a n a a a c

b a b b a N a n a a n a a a a a a a a a a a a

c b a

N N N

a M n

M M n M N M N

M N M N M n a 1121log log ...log log 1

log log log log log log log 1log log log log log log log log )(log 32log )12)

1(=????=??===±=-=+=?-推论：换底公式： （以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠ ）

注?：当0, b a 时，)log()log()log(b a b a -+-=?.

?：当0 M 时，取“+”，当n 是偶数时且0 M 时，0 n M ，而0 M ，故取“—”. 例如：x x x a a a log 2(log 2log 2 ≠中x ＞0而2log x a 中x ∈R ）.

?x a y =（1,0≠a a ）与x y a log =互为反函数.

当1 a 时，x y a log =的a 值越大，越靠近x 轴；当10 a 时，则相反.

?.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.

?.反函数的求法：先解x,互换x 、y ，注明反函数的定义域(即原函数的值域).

?.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.

?.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.

?.单调性的判定法：①设x 1,x 2是所研究区间内任两个自变量，且x 1＜x 2；②判定f(x 1)与f(x 2)的大小；③作差比较或作商比较.

?.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.

第 12 页 共 163 页 ?.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

高中数学 第三章 数列

考试内容：

数列．

等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式．

等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式．

考试要求：

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题．

§03. 数 列 知识要点

等差数列 等比数列 定义

d a a n n =-+1 )0(1≠=+q q a a n n 递推公

式 d a a n n +=-1；md a a n m n +=- q a a n n 1-=；m n m n q a a -=

数列 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 等差数列

等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n 项和 等比数列 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n 项和

第 13 页 共 163 页

1. ?等差、等比数列： 等差数列

等比数列

定义

常数）为(}{1d a a P A a n n n =-??+

常数）为(}{1q a a P G a n

n n =?

?+

通项公

式 n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d=dn +1a -d k n k n n q a q a a --==11

求和公式

n d a n d d n n na a a n s n n )2(22)

1(2)(1211-+=-+=+=

??

?

??≠--=--==)1(11)1()1(111

q q q a a q q a q na s n n n

中项公

式

A=

2

b a + 推广：2n a =m n m n a a +-+ ab G =2。推广：m n m n n a a a +-?=2

性

质

1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+

若m+n=p+q ，则q p n m a a a a =。 2 若}{n

k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。 若}{n k 成等比数列 （其中N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。

3 ．n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。 n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。

4

)(11n m n

m a a n a a d n

m n ≠--=--=

1

1a a q n

n =

- ，

m

n

m n a a q =

- )(n m ≠

5

通项公式 d n a a n )1(1-+=

11-=n n q a a （0,1≠q a ） 中项

2

k

n k n a a A +-+=

（0,,* k n N k n ∈）

)

0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,* k n N k n ∈）

前n 项和

)(2

1n n a a n

S +=

d n n na S n 2

)

1(1-+

= ()

?

??

??≥--=--==)2(111)1(111q q q

a a q

q a q na S n n n 重要性

质

)

,,,,(*

q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+)

,,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈?=?

第 14 页 共 163 页 ?看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--

②211-++=n n n a a a (2≥n )

③b kn a n +=(k n ,为常数).

?看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n

②112-+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )① 注①：i. ac b =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即ac

b =a 、b 、

c 等比数列. ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要. 注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③n n cq a =(q c ,为非零常数).

④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列.

?数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：?

??≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n [注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）.

②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ??? ?

?-+??? ??=+=22122 →2d 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零．．

常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --；

②若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1+=n n a a S S 偶奇

；

③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇

得到所求项数到代入12-?n n .

3. 常用公式：①1+2+3 …+n =

()21+n n ②()()6

1213212222++=+++n n n n

第 15 页 共 163 页 ③()2

213213333??????+=++n n n [注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=?n n a ； 5，55，555，…()

11095-=?n n a . 4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：

?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：

.)

1(1])1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++- ?银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：

)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)

1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+. ?分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率. ()()()()()()()()1

111111......11121-++=?-+=+?++++++=+--m m

m m m m m r r ar x r r x r a x r x r x r x r a 5. 数列常见的几种形式：

?n n n qa pa a +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.

具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②若2

1x x ≠可设n n n x c x c a 2211.+=，若21x x =可设n n x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c .

?r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定. ①转化等差，等比：1)(11-=

?-+=?+=+++P r x x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+

=?--1111)(1

)1( r r P a P n n +++?+=--Pr 211 . ③用特征方程求解：??

??+=+=-+相减，r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=?-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a ）（. ④由选代法推导结果：P

r P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=--111111112121）（，，. 6. 几种常见的数列的思想方法：

第 16 页 共 163 页 ?等差数列的前n 项和为n S ，在0 d 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法：

一是求使0,01 +≥n n a a ，成立的n 值；二是由n d a n d S n )2

(212-+=利用二次函数的性质求n 的值.

?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：,...21)12,...(413,21

1n n -?

?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(1

1---n n n n a a a a 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(221都成立。

3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足???≤≥+001

m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0

01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

（三）、数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于?

?????+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.

5.常用结论

1）: 1+2+3+...+n = 2

)1(+n n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2n

3）2

333)1(2121??????+=+++n n n 4） )12)(1(6

13212222++=++++n n n n

第 17 页 共 163 页 5）

111)1(1+-=+n n n n )21

1(21)2(1+-=+n n n n

6）

)()1

1(11q p q

p p q pq <--= 高中数学第四章-三角函数

考试内容：

角的概念的推广．弧度制．

任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．

两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．

正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 考试要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．

（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α?cos α=1”．

§04. 三角函数 知识要点

1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：

{}Z k k ∈+?=,360|αββ

②终边在x 轴上的角的集合： {}

Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{

}

Z k k ∈+?=,90180|

ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}

Z k k ∈?=,90| ββ

y

x

▲

SIN \COS 三角函数值大小关系图

sinx

cosx 1、2、3、4表示第一、二、三、

四象限一半所在区域

1

234

1

2

3

4

sinx

sinx sinx cosx

cosx cosx

第 18 页 共 163 页

⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}

Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}

Z k k ∈-?=,45180| ββ

⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π

180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180

π≈0.01745（rad ）

3、弧长公式：r l ?=||α

. 扇形面积公式：211

||22

s lr r α=

=?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r

y =αsin ； r

x

=αcos ； x y =

αtan ； y

x =αcot ； x r =αsec ；. y

r =αcsc .

5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

正切、余切

余弦、正割

-----+++++-+

正弦、余割

o o o x y

x y

x

y

6、三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：

三角函数 定义域

=)(x f sin x

{}R x x ∈| =)(x f cos x

{}R x x ∈|

r

o

x

y

a 的终边

P （x,y )T

M

A O

P

x

y

(3) 若 o

2

,则sinx

(2)

(1)

|sinx|>|cosx|

|cosx|>|sinx|

|cosx|>|sinx|

|sinx|>|cosx|

sinx>cosx

cosx>sinx

16. 几个重要结论:O

O

x

y

x

y

第 19 页 共 163 页 =)(x f tan x

??????∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且 =)(x f cot x

{}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且 =)(x f sec x

??????∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且 =)(x f csc x {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且

8、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin =

αααc o t s i n c o s =

1cot tan =?αα 1sin csc =α?α 1c o s s e c =α?α 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα

9、诱导公式：

2

k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：（一）基本关系

公式组二 公式组三

x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x x x x x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=-=--=- 公式组四 公式组五 公式组六

x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ x x x

x x x x

x c o t

)c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ （二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n 22s i n =

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2

c o s -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2t a n 1t a n 22t a n

-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2c o s 12

s i n αα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2

cos 12cos αα+±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

- 公式组三 公式组四 公式组五 公式组一sin x 2csc x =1tan x =x x cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x 2sec x x =x x sin cos 1+tan 2x =sec 2x tan x 2cot x =1 1+cot 2x =csc 2x

=1()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβα-++=--+=-++=cos cos 21cos cos sin sin 2

1sin cos sin sin 2

1cos sin αα

αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=

第 20 页 共 163 页

2

tan

12

tan

2sin 2

α

α

α+=

2

tan 12tan 1cos 2

2

α

αα+-=

2

tan 12tan

2tan 2α

α

α-=

42675cos 15sin -=

= ,4

2615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： ()?ω+=x A y sin

（A 、ω＞0）

定义域 R

R

R

值域 ]1,1[+-

]1,1[+-

R R []A A ,-

周期性 π2 π2

π

π

ω

π

2

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数

当,0≠?非奇非偶

当,0=?奇函数

单调性

]

22

,

22

[ππ

ππ

k k ++-上为增函

数；

]22

3,

22[

ππ

ππ

k k ++上为减函数（Z k ∈）

()]

2,12[ππk k -；上为增函

数()]12,

2[ππ+k k

上为减函数

（Z k ∈）

?

?

?

??++-

ππππk k 2,2上为增函数（Z k ∈）

()()ππ1,+k k 上为减函

数（Z k ∈）

????

?

??????????

?--+--

)(21

2),(22A k A k ω?ππω?

π

π上为增函数；

??

???

??

?

?

???????

--+-+)(23

2),(22A k A k ω?ππω?

ππ上为减函数（Z k ∈）

注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）.

2

cos

2

sin

2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos

2sin sin β

αβ

αβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2

sin 2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=-?

??

???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且{}

Z k k x R x x ∈≠∈,|π且x y cot =x

y tan =x

y cos =x y sin =α

απsin )21

cos(-=+α

απcos )2

1

sin(=+α

απcot )21

tan(-=+α

απsin )21

cos(=-α

απcos )21

sin(=-α

απcot )21

tan(=-▲

O

y

x

第 21 页 共 163 页

②x y sin =与x y cos =的周期是π.

③)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y （0≠ω）的周期ω

π

2=

T .

2tan

x y =的周期为2π（πω

π

2=?=T T ，如图，翻折无效）.

④)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2

ππ+

=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)

cos(?ω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,2

1ππ+k ）；)tan(?ω+=x y 的对称中心

（

0,2

π

k ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=???→?=原点对称

⑤当αtan ·,1tan =β)(2

Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·

,1tan -=β)(2

Z k k ∈+=-ππβα.

⑥x y cos =与??

? ??++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(?ω+=x y 是偶函数，则

)cos()2

1

sin()(x k x x y ωππω?ω±=++=+=.

⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，

x y tan =为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3

1

tan(π+=x y 是非奇非偶.（定

义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ?0的定义域，则无此性质）

⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）；

x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（π=T ）；

2

1

2cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

R k k x f x f y ∈+===),(5)(.

⑩a

b

b a b a y =

+++=+=??αβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法：

１）、几何法：

▲

y

x

y=cos |x|图象

▲

1/2

y

x

y=|cos2x +1/2|图象

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8h4q.html