论狭义相对论的佯谬-李玲

论狭义相对论的佯谬

摘要：

本文分析和解释佯谬的本质和意义，且用狭义相对论及其时空观，在分析“双生子佯谬”、 “洛仑兹长度收缩佯谬”、 “横竿佯谬”的基础上，具体分析和解释“火车过隧道佯谬” ，说明佯谬的出现和解决推动着科学向更高层次发展。

关键词：佯谬；狭义相对论；时空观

英文摘要

This article analyzes with the explanation paradox essence and the significance, and with restricted theory of relativity and space and time view, in analysis “twins paradox”, “Lorentz length contraction paradox”, “high-jump bar paradox” in the foundation, the concrete study and explained that “the train tunnel paradox”, had explained the paradox the appearance and the solution are impelling the science to the top level development.

英文关键词：Paradox; Restricted theory of relativity; Space and time view

目录 第一章：绪论 1.1引言

1.2 佯谬的本质和意义 第二章：前人的探索 2.1双生子佯谬

2.2洛仑兹长度收缩佯谬 2.3横竿佯谬

第三章：当今的探索 3.1火车过隧道佯谬 3.2 结果及讨论 致谢：

参考文献：【1】刘辽、张允中著，《狭义相对论》，河北教育出版社

【2】赵展岳著，《相对论引导》，清华大学出版社

【3】梁灿彬著，《微分几何与广义相对论》，北京师范大学出版社 【4】阿尔伯特.爱因斯坦著，易洪波、李智谋编译，《相对论》，重庆出版社 【5】郑庆璋、崔世治著，《相对论与时空》，山西科学技术出版社

【6】项仕标、刘文吉、张天浩，关于“横竿佯谬”的讨论，广西物理，2002年04期 【7】刘维生，也谈“孪生子佯谬”，唐山师范学院学报，2002年02期 【8】白玉林，狭义相对论中的佯谬及其解释，大学物理，1993年07期 【9】刘佑昌，狭义相对论百年风雨，物理与工程，2005年05期 【10】鹿士君，洛仑兹长度收缩佯谬，工科物理，

【11】韩锋、刘腾章著，相对论中的佯谬，新疆大学学报（自然科学版），1997年01期

【12】项仕标、张天浩、薛运才、吴朝晖，孪生子佯谬的讨论与计算，陕西师范大学学

报（自然科学版），2003年02期

【13】韩锋、刘腾章，相对论中的佯谬，新疆师范大学学报（自然科学版），1997年3月 ，第1期，第16卷

【14】厚宇德,“孪生子佯谬”之再探讨, 佳 木 斯 大 学 学 报 (自 然 科 学 版), 2002 年 12 月, 第20 卷 第 4 期

第一章 绪论

1.1 引言

1905年9月，德国《物理年鉴》杂志刊登了一篇《关于运动物体的电动力学》的论

文，它宣告了狭义相对论假说的问世。这篇论文，建立了全新的时空观念，并向明显简单的同时性观念提出了挑战。 随着科学的普及，爱因斯坦的相对论及其时空观得到了广泛的传播。但同时人们从爱因斯坦的相对时空理论中却导出形形色色、层出不穷的时空佯谬。在狭义相对论中， 物理规律的参照系变换不服从伽利略相对性原理而满足洛伦兹协变性，如果以伽利略变换来看持物理规律的变换，就会出现 佯谬”。

1.2 佯谬的本质和意义

一个理论体系内部的不一致产生的问题通常称为“佯谬”。不仅数学和日常语言中存在佯谬，各门建立在实验基础上的自然科学（尤其是物理学）中也存在着佯谬，相对论和量子力学就是两个充满着佯谬之迷得理论。它们往往出现在科学革命前夜的“危机”时期，既是革命即将发生的信号，又是新思想，新理论诞生的催化剂，物理学就是在佯谬的不断解决中超越自己的。它表明，在旧的理论体系已经解决不了新发现的原来隐藏着的问题了。当我们固守旧的理论框架企图解决他们时，就将得出一些表面上荒谬的结论，它们是一些表面上看起来正确而其实是错误的或者表面上看起来错误而其实是正确的立论，而这些看似谬论的结论却又并不违背已有的理论，这就构成了佯谬{13}

佯谬自狭义相对论提出之日起，就引起人们激烈的争论，至今尤甚。本文分析狭义相对论中比较著名的“双生子佯谬”、“ 洛仑兹长度收缩佯谬”、 “横竿佯谬”， 且具体分析和解释“火车过隧道佯谬”，指出在狭义相对论中不能用由绝对时空观得出的结论来解决问题，说明佯谬的出现和解决推动着科学向更高层次发展。它们不但有趣，而且有用，可以激励人们深入思考，使人们的认识得到提高。

第二章：前人的探索

2.1双生子佯谬

2.1.1 引言

我们知道爱因斯坦狭义相对论可以得出运动的物体存在时间膨胀效应。在1911年4月波隆哲学大会上，法国物理学家P．朗之万用双生子实验对狭义相对论的时间膨胀效应提出了质疑.{14}设想有两个双胞胎兄弟 ,哥哥乘着飞船飞走 ,而弟弟留在地球上.我们假设哥哥和弟弟都各有一个结构完全相同并已对准的钟 ,来记录他们各自的时间流逝情况. 由爱因斯坦的运动的钟时间延缓 ,弟弟看哥哥的时钟走得比自己的慢 ,所以弟弟说哥哥比他年轻. 反过来 ,哥哥看见弟弟也是以相同的速率向相反方向飞走 ,哥哥看弟弟的时钟走得比自己的慢 ,所以哥哥说弟弟比他年轻 ! 这是从两个不同的惯性系上得出的结论 ,并不矛盾 ,而且这也正是爱因斯坦的相对论观.但问题是 ,如果哥哥乘飞船再返回地球上 ,哥哥说弟弟比他年轻 ,弟弟说哥哥更年轻一些 ,这就是一个不可调和的矛盾 ,所以称孪生子佯谬.从爱因斯坦狭义相对论出发得到了这样一个尖锐的矛盾 ,错在哪里呢 ?

2.1.2双生子佯谬的讨论

相对论中关于时间延缓的一个似是而非的疑难。按照狭义相对论，运动的时钟走得较慢是时间的性质，一切与时间有关的过程都因运动而变慢，变慢的效应是相对的。

双生子佯谬说明狭义相对论在逻辑自恰性上还存在不完善的地方。所以以时间膨胀效应为线索对狭义相对论做进一步的探讨，分析双生子佯谬产生的原因。设想一次假想的宇宙航行。按照相对论的推论，假定有一对孪生兄弟甲和乙，甲乘宇宙飞船以 0.8C（c为光速）的速度飞向离地球8光年（单位：y）天体，到达后马上掉头以同样的速率返回地球。我们假设分手时 ,弟弟和哥哥刚刚过完零岁生日.哥哥登上宇宙飞船 ,弟弟留在了家里.从地球这个参考系上看 ,哥哥飞到星球上需要的时间是10y,弟弟的钟表记时 10年 (y) ,而此时他看哥哥的表指示是10 × 1 - (0 . 8c / c)2= 6 y(假设看是不需要花时间的) . 之后哥哥马上返回 ,返回的速率依然是0．8c,则对称地 ,哥哥的表指示回程时间又用了6,同时弟弟的表又走了 10 .当哥哥回到地球上的时候 ,哥哥 12岁了 ,而弟弟已经 20岁了 ,所以弟弟的结论是哥哥比他年轻 8岁. 反过来 ,我们换一个角度 ,从哥哥的角度看 ,弟弟坐在地球上以相同的速率 0 . 8c向相反方向飞走 ,设经过 t′ 时间星球到达哥哥所在的位置.由运动的长度缩短 ,哥哥看地球 — 星球间的距离是 8 × 1 - (0 . 8c / c)2= 4 . 8 l·y,所以 t′= 4 . 8 l·y/0 . 8c = 6y,哥哥的表指向 6y,而此时哥哥看弟弟的时钟 ,同样由运动的钟时间延缓 ,弟弟的表指示 6 × 1 - (0 . 8c / c)2= 3 . 6y .而后弟弟坐在地球上开始返回,返程时间哥哥的表同样又走了 6y,弟弟的表走了 3 . 6y . 当弟弟回到哥哥身边的时候 ,哥哥的时钟累计 12y,而弟弟的时钟累计 7 . 2y,所以哥哥的结论是弟弟比他年轻4 . 8岁.两个人看同样一段旅行过程 ,相遇的时刻却得出两套截然不同的结果 ,哪个是正确的呢 ?

在整个过程中 , 弟弟一直在地球上 , 哥哥经历了三个阶段: 与飞船一起离开地球 , 匀速飞往天体; 接近天体时 , 与飞船一起减速至静止、由静止反向加速至飞来时的速率; 匀速飞回地球。因此弟弟的结论是正确的 ,因为弟弟始终站在了一个惯性参考系上 (我们把它叫惯性系 K). 弟弟的表给出的 20y记录的是弟弟的年龄 ,哥哥在这一段旅程中换了两个惯性系 (我们把飞离地球的参考系叫惯性系 K′ ,把飞回地球的参考系叫惯性系 K″ ) ,哥哥转换参考系的时间忽略掉,那么从弟弟的参考系上看到哥哥在 K′ 、 K″ 惯性系上的时钟记录的时间累计当然是哥哥的年龄,这是合理的.

哥哥的结论错在不知不觉中转换了惯性系并没有错在惯性系的选择上.在狭义相对论中一个基本的理论假设是:所有的惯性参考系都是权的.所以我们不妨从哥哥最初所在的 K′ 系出发再来看看兄弟俩相见的时刻,他们彼此的年龄!

在惯性系 K′ 上观察 ,弟弟从哥哥身边飞走到星球到达哥哥的位置 ,惯性系 K′ 上的时钟走了 6y,哥哥此阶段在 K′ 参考系上 ,所以哥哥 6岁了 ,而弟弟上的时钟走了 3 . 6y,弟弟 3 . 6岁.而后哥哥换到了惯性系 K″ 上,惯性系 K″ 相对于惯性系 K′ 的速度是 (由 Lorentz速度变换公式)得 ( 0 . 8c +0 . 8c) / [1 + (0 . 8c)2/ c2] = 0 . 97561 c .从惯性系 K′来看返回过程并不是哥哥不动 ,弟弟以 0 . 8c的速率返回 ,而是弟弟仍以 0 . 8c的速度在飞离 ,且在惯性系 K″ 上的哥哥以 0 . 97561c的速度在追弟弟.那么哥哥需要多长时间追上弟弟呢 ? 在惯性系 K′上的表指示 6y时 ,哥哥立即换到了惯性系 K″ 上 ,此时距离弟弟 4 . 8 l·y . ,设经过 t′ 时间哥哥追上弟弟 ,有 (0 . 97561c - 0 . 8c) t′ = 4 . 8 l·y . ,解得t′ = 27 . 33y,记住这是惯性系 K′ 给出的时间 ,我们想知道的是对应这段时间 ,惯性系 K和 K″ 上的时钟各走了多久 ? 把 t′ 时间换到惯性系 K″ 上, K″ 上对应的时间是固有时 t″ = t′ × 1 - 0 . 975612= 6y,所以哥哥从跳到惯性系 K″ 上到与弟弟相遇 ,他的表又走了 6年;把 t′ 时间换到惯性系 K上 , K上对应的时间也是固有时 t = t′ × 1 - 0 . 82= 16 . 4y,所以弟弟的钟又走了 16 . 4y . 故兄弟俩相遇的

时候 ,从惯性系 K′ 来考察这一段旅程 ,哥哥上的钟记录他的年龄 6 + 6 = 12岁 ,而弟弟上的钟累计弟弟的年龄3 . 6 + 16 . 4 = 20岁 ,哥哥仍然比弟弟年轻 8岁.从上面的推理中可以看到双胞胎兄弟在相遇时在 K系和 K′ 系中得到的结论是完全相同的 ,并不矛盾 。

2.1.2结论

通过以上的讨论我们得出，无论从地球系还是飞船系，结论都是唯一的，即乘飞船旅行回来的甲比留在地球上的孪生兄弟乙年轻，也就是说乘飞船去旅行确实延长生

命，这就是我们的最后结论。尽管目前还未能实现，但如果我们有足够精确的钟的话，类似的实验可以进行，并且目前已确有相当好的实验数据支持这个理论的预言。

2.2洛仑兹长度收缩佯谬

2.2.1 引言

坐标系中有标准尺和标准钟，标准尺是用来量长度的，当实际上只能度量禁止的长度。如果一根长杆在运动，只用标准尺杆是无法度量其长度的，要度量运动杆的长度，必须在某一时刻同时确定杆的两端在本参考系中的位置，然后再用标准尺来量这两个确定点之间的距离，这样测得的距离，是该运动杆在本参考系中的长度，如果是运动的曲线状物，则需要“同时”确定曲线上每一点在本参考系中的位置。这这些位置构成一静止曲线，静止曲线是该运动曲线在本参考系中“同时地”拍摄下来而得到的一条“像曲线”。我们把这条“像曲线”的长度定义为运动曲线在该参考系中的长度。由此，运动长度的度量是和“同时性”分不开的。洛仑兹长度收缩是一种相对论效应, 它是由于同时的相对性产生的.

以直尺为例, 在相对于直尺静止的参照系中测得直尺的长度称为“静止长度”或“固有长度”用l0 表示. 则在相对于被测直尺运动的参照系中, 测量的长度l比它的固有长度要短, 而且长度收缩仅发生在有相对运动的方向上, 即

l?l0u21?2,式中u 为相对运动速度, c 为光速. v 在狭义相对论中, 我们常会遇到爱因斯坦列车的问题或类似问题.

若一列以速度 u 运动的列车, 其固有长度为l0, 能否进入一个一端封闭、固有长度为L0的车库(L0

洛仑兹长度收缩是一种相对论效应, 它是由于同时的相对性产生的.下面以一个具体例子进行讨论.现有一列车, 其静止长度L0= 100m , 又有一车库, 其静止长度l0= 50m , 如果列车以速度u= 0.866c 向开着大门的车库驶去, 列车是 否可以顺其长度方向全部进入车库并让库门关上?

我们设车库为S系，列车为S′系， S′(列车)系以速度u相对于S系运动。根据洛伦玆收缩，在S （车库）系中，车库长L=

L0=50m，列车长

l?l0u2u2则列车能进入车库；在S′系中，车库长L'?L01?2=25m, 1?2=50m, L= l，

cc车长l'?L0=100m, L'?l0，则列车不能进入车库。这就出现了以上矛盾。在相对论中不许有刚体概念，而上面的计算将列车和车库当作刚体处理了。在S′系中，当列车的前端

与车库封闭端相遇时, 列车后端有75m在库外，这就造成了列车不能进车库的假

象。但是。当列车的前端与车库后壁相碰时，列车后端的观察者观察不到列车前端撞墙这一事件，当列车前端与墙相撞时的相互作用传递到列车后端时，后端仍在惯性作用下以原有速度运动，后端的观测者将观测到库门以速度向车后运动, 列车后端75m在库外进入库内的时间间隔为?t'1=2.9?10?7s,列车后端的人接收到列

车相撞的时间间隔的为?t'2 =3.3?10s, ?t'1

?7

2.2.3结论

通过以上对洛伦兹收缩佯谬的分析讨论，在应用洛仑兹变换和信号的传播速度小于光速的情况下, 解释了洛仑兹长度收缩佯谬, 具体证明了在不同参照系上的观测者, 观测所得结论相同.

2.3横杆佯谬

2.3.1 引言

有一个人手持横杆欲过城门，设在静止的s参照系下杆长5米，城门宽4米，人

持着横杆以以速度v = 3 c/ 5 匀速运动到达城门,则根据相对论的长度收缩公式, S 系中

静止的观察者将测得竿长为L?L0v??1????c?2= 4m。,静止在城门的观测者看到,当竿的前

端A′与城门的一边框A 重合时,竿的后端B′与城门的另一边框B 重合,如图(1)所示。即A′与A 重合及B′与B 重合这两个事件是同时发生的，毫不怀疑竿可以横过城门。但是假设一

个随竿一起高速运动的观测者测得竿长为5 米,城门宽为L'?L'01??v????c?2= 3. 2m。怎么

理解横竿过门呢? 究竟哪个观测者错了? 竿能横进城门吗? 这就是“横竿佯谬”问题。

图（1）

2.3.2横杆佯谬的讨论

首先应当明确以下几点: (1) 相对论中测量的长度是两个事件的空间间隔，对运 动物体的长度测量,必须同时记下它的两个端点的位置; (2)“空间收缩”仅发生在沿运动方向上; (3) 静止观察者测得同时异地发生的事件,运动观察者却认定不是同时发生。随竿一起高速运动的观测者先测到A′与A 重合,后测到B′与B 重合。现在分一下三种情况讨论. 1 竿沿平行城门AB 的方向运动

此时竿A′B′与城门AB 平行且竿运动的方向与A′B′和AB 平行,如图（2.3.2.2）所示。显然,竿不能横进城门。

见图（2.3.2.2） 2、 竿沿垂直城门AB 的方向运动

此时竿A′B′与城门AB 平行且竿运动的方向与A′B′和AB 垂直,如图（2.3.2.3） 所示。由于空间收缩只发生在运动方向上,因此不论从哪个惯性系看,与运动方向垂直的A′B′和AB 各自的长度均无变化,由A′B′>AB 可知,竿不能横进城门。

图（2.3.2.3）

3、 竿沿既不平行也不垂直城门AB 的方向运动

此时竿A′B′与城门AB 平行且竿运动的方向与A′B′和AB 既不平行也不垂直,如图

（2.3.2.4） 所示。在静止于城门的观测者看来,竿A′B′将收缩为图5 中的A″B′。容易证明, A″B′与A′B′在Y 轴上的投影相等, 设为y′; AB 在Y 轴上的投影设为y ,因为y′> y ,所以竿不能横进城门。

图（2.3.2.4） 2.3.3结论

以上对横杆佯谬的分析，通过相对论的分析证明两个观测者都没有错，一切惯性系都是等价的。

第三章：当今的探索

3.1火车过隧道佯谬

3.3.1 引言

现在有一列静止时固有长度为200米长的火车即将以0.5c光速通过一条200米长的隧道。于是火车司机与隧道管理员发生了如下争执：（1） 隧道管理员：火车由于高速行驶而发生洛仑兹收缩，所以火车的长度小于200米，必然存在某一时刻，火车整个车身都在隧道里。（2） 火车司机：火车并没动，隧道由于在高速向火车冲过来而发生了洛仑兹收缩，所以隧道的长度小于200米，所以任何时刻火车都不可能完全在隧道里。 于是火车司机为了证明自己的观点，制作了一个自动装置：在火车的头部和尾部各安装了一个垂注向上的火箭，当火车中点与隧道中点重合的瞬间，同时点燃两枚火箭，由于火车长度大于隧道长度，这两枚火箭会同时射向隧道外的天空。 隧道管理员也不示弱，他也制作了一个自动装置：在隧道的两端各安装了一个铁门，当火车中点与隧道中点重合的时候，启动这两道铁门同时关闭。由于火车长度小于隧道长度，此时火车就被这两道铁门完整的关闭在隧道中。 试验的结果两个人的试验都成功了。这里看起来好像存在佯谬，真的存在佯谬吗？到底如何解释这个佯谬呢？

3.3.2火车过隧道佯谬的讨论

假设列车固有长度L，正要以u=0.7c速度通过固有长度也为L长的隧道，设隧道管理员

参考系为K，火车司机的参考系K’，并分别设隧道中点和火车中点为K系与K’系的坐标原点，火车运动方向为x轴正向K’相对于K速度为v=0.7c（在x轴正向）则洛仑兹变换公式

x'?x?vtv1?2c2t?t'?vx2cv21?2cx?x'?vtv21?2ct?t'?vx'2cv21?2c 则当火车以速度v运动时，从K系看火车长为L’，从K’系看隧道长也为L’，那么由洛

伦兹变换得出车长 v2L'?L1?2

c

当火车中点与隧道中点重合时，火车司机使车头和车尾的两个火箭同时沿竖直方向飞出，此时，K系和K‘系的原点重合，设火车中点与隧道中点重合为事件A，车头、车尾火箭飞出分别为事件C、B，则对于K’系有

t'A?t'B?t'C?0x'A?0x'B??LLx'C?22，再由洛tA?0仑兹变换，对于K系有

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