数学建模结课作业

数学建模结课作业

姓 名：丁振

班 级：工程管理10-1 学 号：201020601040 联系方式：18748163340

椅子能在不平的地面上放稳吗？

问题：四条腿长度相同的方椅放在不平的地面上，是否能使它的四脚同时

着地呢？在简单条件下答案是肯定的，其证明体现了想象力发挥的卓越作用。

关键字： 椅子 放稳

模型假设：（1）椅子：四腿长度相同并且连线呈长方形

（2）地面：略微起伏不平的连续变化曲面

（3）着地：在地面任意位置处椅子应至少有三只脚同时着地

模型建立：该问题的关键是要用数学语言把条件及结论表示出来。需要运

用直观和空间的方式来思考，将椅脚连线构成的长方形的中心称为椅子中心，椅子处于地面任一点，总可以想象为椅子中心处于该处—某直角坐标系的原点O处，而用A,B,C,D表示椅子四脚的初始位置，椅子总能着地，意味着通过调整，四脚定能达到某一平衡位置，即使四脚与地面距离均为零。

设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB与CD的对称轴为x轴，用中心点的转角?表示

椅子的位置.将相邻两脚A、B与地面距离之和记为f(?);C、D与地面距离之和记为g(?).并旋转180.于是，设f(0)?0,g(0)?0,就得到g????0,f????0.设f???、g???是

0?0,2??上?的非负连续函数.若????0,2??,有f???g????0,且

g?0??0,f?0??0,g????0,f????0,则??0??0,2??,使f??0??g??0??0.

模型求解：

令

h(?)?f(?)?g(?) .就有

h(0)?0,

h(?)?f(?)?g(?)?0?g(?)?0.再由f???,g???的连续性,得到h???是一个连续

函数. 从而h???是?0,??上的连续函数.由连续函数的介值定理：??0??0,??,使

h??0??0.即??0??0,??,使f??0??g??0??0.

又因为????0,2??,有f???g????0.故f??0??g??0??0.

参考文献：《数学建模基础》薛毅

销售利润最大化问题

问题：考虑最优定价时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，

设q?q0??t ，?为增长率。有设单位时间的销售量为x?a?bp （p为价格）。今将销售期分为0?t?T/2 和T/2?t?T两段，每段的价格固定，记为p1,p2。求p1,p2的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期T内的总销售量为Q0，再求p1,p2的最优值。

关键字：最优定价 利润 销售量

问题求解：解：按分段价格，单位时间内的销售量为

T??a?bp1,0?t?2 x??

Ta?bp2,?t?T?2?又? q(t)?q0??t.于是总利润为

?(p1,p2)??T20?p1?q(t)?(a?bp1)dt??T?p2?q(t)?(a?bp2)dt

2TTT?2??2???=(a?bp1)?p1t?q0t?t?2?(a?bp2)?p2t?q0t?t?T

2?2???02p1Tq0T?T2p2Tq0t3?T2??)?(a?bp2)(??) =(a?bp1)(228228??p1Tq0T?T2T??b(??)?(a?bp1) ?p12282p2Tq0t3?T2??T??b(??)?(a?bp2) ?p22282令?????0,?0, 得到最优价格为: ?p1?p2?1??T?p?a?b(q?)?0??12b?4?? ??p2?1?a?b(q0?3?T)??2b?4????在销售期T内的总销量为

Q0??(a?bp1)dt??T(a?bp2)dt?aT?2T20TbT(p1?p2) 2于是得到如下极值问题：

p1Tq0T?T2p2Tq0t3?T2max?(p1,p2)?(a?bp1)(??)?(a?bp2)(??)

228228s.t aT?bT(p1?p2)?Q0 2利用拉格朗日乘数法，解得：

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