15.2.2完全平方公式

回顾 & 思考 (a+b)(a b)= a2 b2;公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差.

应用平方差公式的注意事项:

弄清在什么情况下才能使用平方差公式:

对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符 号相反的“项”; 仅当把两个二项式的积变成公式标准形式 后，才能使用平方差公式。

在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做 到不弄错符号、当a或b是整式，被平方时 要注意添括号, 是运 用平方差公式进行多项式乘法的关键。

3、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以 另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加.

(a+b) (m+n)= am+an + bm+bn

4、探究 计算下列各式,你能发现什么规律?2+2p+1 (1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) = P ______ 2+4m+4 2 m (m+2) = _________; 2-2p+1 P = (p-1 ) (p-1) = ________; 2-4m+4 m = __________.

(2)

(3)(p-1)2

(4)

(m-2)2

我们来计算(a+b)2, (a-b)2.

(a+b)2=(a+b) (a+b)

= a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b)

= a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2

完全平方公式

完全平方公式的数学表达式：

(a+b)2= a2 +2ab+b2(a-b)2= a2 - 2ab+b2完全平方公式的文字叙述：

两数和(或差)的平方，等于 它们的平方和，加(或减)它们的 积的2倍。

2= a2 +2ab+b2 (a+b) 首平方，尾平方，

公式特点：

2= a2 - 2ab+b2 (a b) 乘积的2倍放中央。

1、左边是一个二项式的完全平方； 2、积为二次三项式； 3、积中两项为两数的平方和；

4、另一项是两数积的2倍，且与乘式 中间的符号相同； 5 、公式中的字母a,b可以表示数，单 项式和多项式。

讨论你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的面积 说明完全平方公式吗?b a a b a b a b

图 15.2-2

图15.2-3

议一议

几何解释:b

aa b b

=a b

+ a2 ab

+ ab

+ b2

a b (a b)2

b(a b)

a(a b)2

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a b)2 = a2 2ab+b2= a2 ab b(a b) = a2 2ab+b2 .

b

aba

完全平方公式 的几何意义

和的完全平方公式：

b ab a

b² ab b2 2

(a+b)²

a²a2

( a b) a + 2ab+b

完全平方公式 的几何意义

差的完全平方公式：

b a

ab

b²

(a-b)²

a² aba b

( a b) a ab ab b2

2

2

a 2ab b2

2

纠 错 练 习指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a 1)2=2a2 2a+1; (2) (2a+1)2=4a2 +1; (3) ( a 1)2= a2 2a 1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a 1)2= (2a)2 2×2a 1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2= (2a)2+2×2a 1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: ( a 1)2=( a)2 2 ( a )

1+12;

请 你 找 错 误指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2x 3y)2=2x2 - 2(2x)(3y) +3y2; (2) (2x+3y)2=4x2+ 9y2 ; (3) (2x 3y)2=(2x)2- (2x)(3y)+(3y)2.解 (1)首项、尾项被平方时, 没有添括号，这 样就只把字母平方而遗漏了系数的平方。 (2)少了首项与尾项乘积的2倍这一项 ；即丢 了中间项： 2 (2x) (3y) ; (3)中间项漏乘了2.

比一比 赛一赛回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( a ) 2+2( a )( 2y )+( 2y ) 2 (2) (2x 5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( 2x ) 2 -2(2x)( 5y )+( 5y ) 2 (2x 5y)2可以看成哪两个数的和的平方? (2x 5y)2可以看成2x与 5y的和的平方.

例1、运用完全平方公式计算：2 (1)(4m+n)

解: (4m+n)2=(4m)2 +2 (4m) n +n2 (a2 +b) = 2 a

+

2ab

+

2 b

2 =16m

+8mn +n2

2 (2)(x-2y)

解：

2 2 (x-2y) =x

-2 x 2y +(2y)2

2 =x -4xy

+4y2

学一学(1) 1022;

例题解析 例2 运用完全平方公式计算：(2) 992变形

解: (1)

1022

2 (100+2) =1002+2×100×2+22 = =10000+400+4 =10404

(2) 992= (100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801 利用完全平方公式计算: 1、先选择公式; 2、准确代入公式; 3、化简.

想一想:

(a+b)2与(-a-b)2相等吗？ (a-b)2与(b-a)2相等吗？ 为什么？∵ (a+b)2=a2+2ab+b2 (-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b) 2=a2+2ab+b2 ∴ (a+b)2= (-a-b)2 ∵ (a-b)2=a2-2ab+b2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 ∴ (a-b)2=(b-a)2

做一做:根据两数和的完全平方公式填空.

(1)(x+6)2=( x )2+2( x )( 6 )+( 6 )2 =( x2+12x+36 ) (2)(2a-3b)2=( 2a )2-2( 2a )( 3b )+( 3b)2 =( 4a2-12ab+9b2 ) 2 -2(-x)(6) +(-6)2 2 (-x) (3)(-x-6) = =x2+12x+36 (4)(3b-2a)2= (3b)2-2(3b)(2a) +(2a)2 =9b2-12ab+4a2通过观察发现:(x+6)2=(-x-6)2 (2a-3b)2 =(3b-2a)2 思考:(a+b)2与(-a-b)2相等吗? 相等 相等 (a-b)2与(b-a)2相等吗?

练习1.运用完全平方公式计算:(1)(x+6)2; (2) (y-5)2;

(3) (-2x+5)2;

(4) (

x-

y)2.

2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改 正? (1) (a+ b)2 = a2 +b2;

(2) (a – b) 2 =a2 – b2.

(2a 1) 2a 2a 1 ( 3)2 2

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