山东建筑大学、材料力学复习要点 - 图文

第一章 绪 论

§1.1 材料力学的任务 二、基本概念

1、构件：工程结构或机械的每一组成部分。（例如：行车结构中的横梁、吊索等） 理论力学—研究刚体，研究力与运动的关系。 材料力学—研究变形体，研究力与变形的关系。

2、变形：在外力作用下，固体内各点相对位置的改变。(宏观上看就是物体尺寸和形状的改变）

弹性变形 — 随外力解除而消失

塑性变形(残余变形)— 外力解除后不能消失 刚度：在载荷作用下，构件抵抗变形的能力

3、内力：构件内由于发生变形而产生的相互作用力。（内力随外力的增大而增大） 强度：在载荷作用下，构件抵抗破坏的能力。

4、稳定性： 在载荷作用下，构件保持原有平衡状态的能力。

强度、刚度、稳定性是衡量构件承载能力的三个方面，材料力学就是研究构件承载能力的一门科学。

三、材料力学的任务

材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法

若：构件横截面尺寸不足或形状不合理,或材料选用不当—不满足上述要求,不能保证安全工作.

若：不恰当地加大横截面尺寸或选用优质材料—增加成本,造成浪费

研究构件的强度、刚度和稳定性,还需要了解材料的力学性能。因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。 四、材料力学的研究对象

构件的分类：杆件、板壳*、块体* 材料力学主要研究杆件﹜ 直杆——轴线为直线的杆 曲杆——轴线为曲线的杆

等截面杆——横截面的大小形状不变的杆 变截面杆——横截面的大小或形状变化的杆 等截面直杆——等直杆 §1.2 变形固体的基本假设

在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体。在材料力学中，对变形固体作如下假设：

1、连续性假设：认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质

灰口铸铁的显微组织 球墨铸铁的显微组织

1

2、均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同

普通钢材的显微组织 优质钢材的显微组织

3、各向同性假设：认为在物体内各个不同方向的力学性能相同 （沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性材料。如木材、胶合板、纤维增强材料等） 4、小变形与线弹性范围：认为构件的变形极其微小，比构件本身尺寸要小得多。 如右图，δ远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。计算得到很大的简化。

A §1.3 外力及其分类

外力：来自构件外部的力（载荷、约束反力） 按外力作用的方式分类 δ1 体积力：连续分布于物体内部各点的力。如重力和惯性力

B 表面力：

δ2

分布力：连续分布于物体表面上的力。如油缸内壁的压C 力，水坝受到的水压力等均为分布力

F 集中力：若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。如火车轮对钢轨的压力等 按外力与时间的关系分类

静载：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，就保持不变或变动很不显著，称为静载 动载：载荷随时间而变化。如交变载荷和冲击载荷

§1.4 内力、截面法和应力的概念 内力：外力作用引起构件内部的附加相互作用力。 求内力的方法 — 截面法

(1)假想沿m-m横截面将杆切开 (2)留下左半段或右半段

(3)将弃去部分对留下部分的作用用内力代替 (4)对留下部分写平衡方程，求出内力的值。 F FS＝Fa a M?Fa

§1.4 内力、截面法和应力的概念

2

例 1.1 钻床，求：截面m-m上的内力

解：用截面m-m将钻床截为两部分，取上半部分为研究对象，受力如图：

为了表示内力在一点处的强度，引入内力集度,即应力的概念。

§1.5 变形与应变

1.位移：MM' 刚性位移；变形位移。

2.变形：物体内任意两点的相对位置发生变化。 取一微正六面体 两种基本变形：

线变形 —— 线段长度的变化 角变形 ——线段间夹角的变化 3.应变

正应变（线应变）

?s??x方向的平均应变： xm?x

?sM点处沿x方向的应变： ?x?lim?x?0y L ? L' o M ?x ?x+?s M' N N' x 类似地，可以定义εy，εz 切应变（角应变）

?N) ε，γ均为无量纲的量。 M点在xy平面内的切应变为： ? ? lim ( ? ? L ? M ? ?

MN?02ML?0

例 1.2 已知：薄板的两条边固定，变形后a'b, a'd仍为直线。求：ab 边的?m 和 ab、ad 两边夹角的变化。

?x

3

§1.6 杆件变形的基本形式 杆件的基本变形：拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲 第二章 拉伸、压缩与剪切(1)

§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例

受力特点与变形特点：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 1、截面法求内力

(1)假想沿m-m横截面将杆切开 (2)留下左半段或右半段

(3)将弃去部分对留下部分的作用用内力代替 (4)对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值 2、轴力：截面上的内力

由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。

3、轴力正负号：拉为正、压为负 4、轴力图：轴力沿杆件轴线的变化 例题2.1

已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图

杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。 在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力 。根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。于是得静力关系： F??dAN观察变形： A横向线ab、cd仍为直线，且仍垂直于杆轴线，只是分别平行移至a’b’、c’d’。

?Faa?b?bdc d?c?F 平面假设—变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。 从平面假设可以判断：

FN??dA（1）所有纵向纤维伸长相等

A（2）因材料均匀，故各纤维受力相等

????dA??AA 4

（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量 FN?? 该式为横截面上的正应力ζ计算公式。正应力ζ和轴力FN同号。

A即拉应力为正，压应力为负。

圣维南原理

圣维南原理是弹性力学的基础性原理，是法国力学家A.J.C.B.de圣维南于1855年提出的。其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的载荷所引起的物体中的应力，在离载荷作用区稍远的地方，基本上只同载荷的合力和合力矩有关；载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的载荷的合力和合力矩都等于零，则在远离载荷作用区的地方，应力就

小得几乎等于零。不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。

在弹性力学的边值问题中，严格地说在面力给定的边界条件及位移给定的边界条件应该是逐点满足的，但在数学上要给出完全满足边界条件的解答是非常困难的。另一方面，工程中人们往往只知道作用于物体表面某一部分区域上的合力和合力矩，并不知道面力的具体分别形式。因此，在弹性力学问题的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式提出。这种等效将出带来数学上的某种近似，但人们在长期的实践中发现这种近似带来的误差是局部的，这是法国科学家圣维南首先发现的。 其要点有两处：

一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系；

二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。

一般对连续体而言，替换所造成显著影响的区域深度与小表面的直径有关。

在解决具体问题时，如果只关心远离载荷处的应力，就可视计算或实验的方便，改变载荷的分布情况，不过须保持它们的合力和合力矩等于原先给定的值。圣维南原理是定性地说明弹性力学中一大批局部效应的第一个原理。

例题2.2图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。

解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象

2、计算各杆件的应力。

5

?Fx?0FN1cos??FN2?0

例题2.6 AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。

解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象 ?Fx?0FN1cos??FN2?0

?Fy?0FN1sin??F?0 FN1?F/sin??2F?20kN

FN2??FN1cos???3F??17.32kN

2、根据胡克定律计算杆的变形。

3Fl20?10?2?3N11斜杆伸长 ? l1???1?10m?1mm9?6E1A1200?10?200?10 3水平杆缩短

3、节点A的位移（以切代弧）

AA??l1?1mmAA2??l2?0.6mm 1 ?x??l2?0.6mm?l1?l2

?y?AA3?A3A4?? sin30?tan30? ?2?1.039?3.039mm AA????2??2?0.62?3.0392xy

?3.1mm

?l2?FN2l217.32?10?1.732??0.6?10?3m?0.6mm9?6E2A2200?10?250?10§2.9 轴向拉伸或压缩的应变能

应变能（

Vε）：固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能。

11

静定结构：约束反力（轴力）可由静力平衡方程求得

超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高 约束反力不能由平衡方程求得 超静定度（次）数：

约束反力多于独立平衡方程的数 独立平衡方程数：

平面任意力系：3个平衡方程 平面共点力系：2个平衡方程 ★超静定结构的求解方法： 1、列出独立的平衡方程 ?Fx?0FN1?FN2?Fy?02FN1cos??FN3?F

2、变形几何关系 ?l1??l2??l3cos?FN1lFl?l3?N33、物理关系 ?l1?E1A1cos?E3A3

FN1lFl?N3cos?4、补充方程

E1A1cos?E3A3

Fcos2?5、求解方程组，得 FN1?FN2?,EA 2cos3??33E1A1

§2.10 拉伸、压缩超静定问题

例题2.8在图示结构中，设横梁AB的变形可以省略，1，2两杆的横截面面积相等，材料相同。试求1，2两杆的内力。

解：1、列出独立的平衡方程

FN3?FEA1?211cos3?E3A3 12

3F?2FN2cos??FN1?0

?l2、变形几何关系 2?2?l1

3F 5、求解方程组得

FN1?,3 4cos?1 6Fcos2?FN2? 4cos3??1§2.11 温度应力和装配应力 一、温度应力

cos?FlFN2l3、物理关系 ?l1?N1,?l2?EAEAcos?FN2lFN1l?24、补充方程

EAcos2?EA

1、杆件的温度变形（伸长） ?lT??l?T?l

Fl2、杆端作用产生的缩短 ?l??RBEA

3、变形条件 ?l??lT??l?0

即

4、求解未知力 FRB?EA?l?T

FRB????lE?T 温度应力为 TA

二、装配应力 已知： E1A1?E2A2,E3A3,加工误差为δ，求：各杆内力。 1、列平衡方程 FN3?2FN1cos?

?l1?l???2、变形协调条件 3cos?

3、将物理关系代入

FN3l3FN1l1

??? E3A3E1A1cos?

FN3?E3A3?E3A3(1?)l2E1A1cos?FN1?FN2?FN32cos?13

§2.12 应力集中的概念

常见的油孔、沟槽等均有构件尺寸突变，突变处将产生应力集中现

?象。即

K?max ?

1、形状尺寸的影响：尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。

2、材料的影响：应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。

§2-13 剪切和挤压的实用计算

剪床剪钢板 铆钉连接

销轴连接

14

剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。

变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。

假设切应力在剪切面（m-m 截面）上是均匀分布的, 得实用切应力计算公式： FsFs?????? 切应力强度条件： ?AA ?[η]许用切应力，常由实验方法确定

二.挤压的实用计算

Fbs??假设应力在挤压面上是均匀分布的，得实用挤压应力公式 bsAbs

注意挤压面面积的计算

（1）接触面为平面 Abs—实际接触面面积

（2）接触面为圆柱面Abs—直径投影面面积

15

?挤压强度条件： bs?Fbs???bs?Abs

s

bs

bsbs

F4FFF??s?2?bs?bs? A?dAbsdh

为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足 ?bs?2?FF???AlbFF???Acb

例题3-1

图示接头，受轴向力F 作用。已知F=50kN，b=150mm，δ=10mm，d=17mm，a=80mm，[σ]=160MPa，

[τ]=120MPa，[σbs]=320MPa，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。 解：1.板的拉伸强度 FF??N?? A(b?2d)? 50?103?(0.15?2?0.017)?0.01

16

43.1?106?43.1MPa?[?]FsF50?1032.板的剪切强度 ?????A4a?4?0.08?0.01

15.7?106?15.7MPa?[?]

F4F2F? ?s???3.铆钉的剪切强度

A2πd2πd2 32?50?10 ?2π?0.017

6110?10?110MPa?[?]

4.板和铆钉的挤压强度 FbsF50?103?bs???? Abs2d?2?0.017?0.01

147?106?147MPa?[?bs]结论：强度足够 例题3-2

平键连接

图示齿轮用平键与轴连接，已知轴的直径

d=70mm，键的尺寸为b?h?l?20?12?100mm ，传递的扭转力偶矩Me=2kN·m，键的许用应力

[η]=60MPa，[?bs ]= 100MPa。试校核键的强度。

解：（1）校核键的剪切强度 Fs?A??bl?

2?2000 2Me????28.6?106Pa?28.6MPa?[?]?9 bld20?100?70?10

17

第三章 扭 转

§3.1 扭转的概念和实例

扭转受力特点及变形特点:杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截面绕轴线产生相对转动。

受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。

§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 1.外力偶矩 直接计算

按输入功率和转速计算 已知轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me

2.扭矩和扭矩图：用截面法研究横截面上的内力

T = Me

扭矩正负规定

18

右手螺旋法则：右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)

扭矩图

19

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/coy7.html