材料力学综合复习 - 图文

第二章 轴向拉伸和压缩 1、轴向拉压的受力特点和变形特点； 2、轴向拉压的内力和内力图； 2、“等直杆的两端作用一对等值、反向、共线的集中力时，杆将产生轴向拉伸或压缩变形。” 答案 此说法错误

答疑 只有当外力的作用线与杆件的轴线重合时才能使杆件

3、轴向拉压杆件横截面上的的应力分布规律和计算产生轴向拉压变形。

公式； 重 点 4、强度计算的三类问题； 5、轴向拉压杆件的变形计算－拉压虎克定律； 6、材料在拉压时的力学性质； 7、拉压静不定问题－三关系法的应用。 1、ζ＝N/A的适用条件； 2、强度计算中系统许可载荷的确定； 难点 3、三关系法的应用； 1、理解轴向拉压杆的受力及变形特征； 2、 学会用截面法来计算轴力及画轴力图； 3、 理解轴向拉压杆横截面及斜截面上上的应力分布规律及计算公式； 答疑 判断危险面的位置应综合考虑轴力的大小，横截面面积的大小；轴力大，横截面面积也大，不一定是危险面。

选择题 轴向拉压横截面上的内力

1、计算M－M面上的轴力 。

4、 利用强度条件计算三个方面的问题:强度校核、 A：－5P B：－2P C：－7P 设计截面、确定许用载荷； D：－P 5、 明确许用应力[ζ]的概念，理解引入安全系数的原因； 6、 理解低碳钢在拉伸时的四个变形阶段及材料的强度指标和塑性指标； 7、 理解材料在压缩时的力学性能以及塑性材料与脆性材料力学性质的异同处； 答案 正确选择：D

5、“只根据轴力图就可以判断出轴向拉压变形时杆件的危险面” 答案 此说法错误

答疑 外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的合力与外载平

衡，固内力的合力作用线必然与杆件的轴线重合

3、“求轴向拉压杆件的横截面上的内力时必须采用截面法” 答案 此说法正确

4、“轴向拉压杆件横截面上内力的合力作用线一定与杆件的轴线重合。”

答案 此说法正确

基本知识 8、 轴向拉压杆纵向变形和横向变形的概念，轴向拉 答疑 用截面法在M－M处截开，取右段为研究对象， 列平衡压杆变形的胡克定律； 方程。 9、 掌握“以切代弧”求解简单平面桁架节点位移的2、图示结构中，AB为钢材，BC为铝材，在P力作用下 。 计算方法； 10、学会使用三关系法解决拉压静不定、温度应力、装配应力等问题； 11、了解应力集中现象和应力集中系数的意义； 判断题 轴向拉压时横截面上的内力 1、 “使杆件产生轴向拉压的外力必须是一对沿杆轴线的集中力。“ 答疑 内力只与外力的大小和作用点有关，与材料无关。

答案 此说法错误 3、关于轴向拉压杆件轴力的说法中，错误的是： 。

答疑 合力作用线与杆件的轴线重合的外力系使杆件产生轴向拉压 A：拉压杆的内力只有轴力； 杆轴重合；

B：轴力的作用线与

答案 正确选择：C

A：AB段轴力大 B：BC段轴力大 C：轴力一样大

C：轴力是沿杆轴作用的外力； 横截面无关。

答案 正确选择：C

D：轴力与杆的材料、 答疑 移到C点时，m-m截面上的内力为P，移到A点时，m-m截面

上的内力为零。只有在求支座反力时才可以应用力的可传性，求杆件的变形时，一定不能应用力的可传性。

选择题 轴向拉压时横截面上的应力

答疑 轴力是内力，不是外力； 4、下列杆件中，发生轴向拉压的是 。 A：a；

B：b；

C：c；

D：d；

1、图示中变截面杆，受力及横截面面积如图，下列结论中正确的是 。

A：轴力相等，应力不等； B：轴力、应力均不等 C：轴力不等，应力相等 D：轴力、应力均相等

答案 正确选择：C

答案 正确选择：d

答疑 用截面法求各段的轴力分别为P、2P、3P；

答疑 只有d的外力合力作用线与杆件轴线重合。

填空题 轴向拉压时横截面上的内力

1、 情况下，构件会发生轴向拉压变形。 答案 外力的合力作用线与杆件的轴线重合。 2、轴向拉压时横截面上的内力称为 。 答案 轴力

答疑 内力的合力作用线与杆件的轴线重合

简述 轴向拉压时横截面上的内力

答疑 截面法求M－K截面上的轴力为＋9KN。

1、等直杆受力如图，根据理论力学力的可传性原理，将力P移到C、

3、拉杆的应力计算公式ζ=N/A的应用条件是： 。 A点，m-m面上的轴力相同吗？应用力的可传性原理时应注意些什

么？

A：应力在比例极限内； B：外力的合力作用线必须沿杆件的轴线；

C：应力在屈服极限内； D：杆件必须为矩形截面杆； 答案 正确选择：B

答疑 此公式适用于轴向拉压杆件横截面的应力计算，与截面形状无关，且直到杆件在拉伸破坏之前均成立。

4、轴向拉压细长杆件如图所示，下列说法中正确的是 。 A：1－1面上应力非均匀分布，2－2面上应力均匀分布； B：1－1面上应力均匀分布，2－2面上应力非均匀分布；

C：1－1面、2－2面上应力皆均匀分布； D：1－1面、2－2面上应力皆非均匀分布； 答案 正确选择：D

2、等直杆受力如图，横截面的面积为100平方毫米，则横截面MK上的正应力为： 。

A:-50Mpa B:-40MP C:-90Mpa D:+90MPa

答案 不相同；

答案 正确选择：A

答案 a图中的m m面上的应力是均匀分布；其余各图中的m m面上的应力不是均匀分布。

答疑 b图中的m m面离开截面端面的距离没有超过杆件的横向尺寸，应力非均匀分布；c图中外力的合力作用线不与杆件的轴线重合，不是轴向拉压变形；d图中是两种材料，应力在整个截面上也不是均匀分布。

答疑 2－2截面离开力的作用点的距离较远，应力在截面上均匀分布；而1－1截面离开端面的距离不大于构件的横向尺寸，应力在1－1截面上非均匀分布。

简述 轴向拉压时横截面上的应力

1、 ζ=N/A的应用条件是什么？适用范围是什么？

答案 应用条件：外力的合力作用线与杆件的轴线重合；适用范围：在整个拉伸破坏之前均适用

答疑 在杆件的整个拉伸过程中，外力的合力作用线始终与杆件的轴线重合

2、下列各图所给截面中哪一个可以应用ζ=N/A？

判断题 轴向拉压时斜截面上的内力与应力

1、“轴向拉压杆件任意斜截面上的内力作用线一定与杆件的轴线重合”

答案 此说法正确

答疑 任意斜截面的内力与外载平衡，外载的作用线位于杆件的轴线上，固任意斜截面的内力的作用线也一定在杆件的轴线上 2、“拉杆内只存在均匀分布的正应力，不存在剪应力。” 答案 此说法错误

答疑 拉杆在横截面上只存在均匀分布的正应力，但在任意斜截面上不仅有正应力，还有剪应力。

3、“杆件在轴向拉压时最大正应力发生在横截面上” 答案 此说法正确

答疑 任意斜截面的正应力计算公式为ζα＝ζcos2α,当α＝0时，ζα取得最大值。

4、“杆件在轴向拉压时最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜截面上”

答案 此说法正确

答案 正确选择：a、c

答疑 只有a、c的外力的合力作用线与杆件轴线重合。 3、杆件受力如图，由于1、2截面上的轴力为N1＝N2＝P，截面面积A1＝2A2，所以正应力分别为ζ1=N1/A1=P/2A2,ζ2=N2/A2=P/A2。即：ζ2=2ζ1，对吗？如果不对，在什么情况下可以得到上述结果？

答案 不对

答疑 任意斜截面的剪应力计算公式为η

o

α＝45时，ηα取得最大值。

α

＝ζsin2α/2,当

选择 轴向拉压时斜截面上的内力与应力

答疑 1截面处外力的作用线与杆件的轴线重合，可以采用公式ζ1=N1/A1；2截面处外力的作用线不在杆件的轴线上，不能采用公式ζ2=N2/A2计算2截面的应力。只有当外力的合力的作用线与2截面处的轴线也重合时，可以得到ζ2=2ζ1的计算结果。即：杆件的形状和受力如下：

1、杆件的受力和截面如图，下列说法中，正确的是 。 A：ζ1>ζ2>ζ3； B：ζ2>ζ3>ζ1 C：ζ3>ζ1>ζ

2

Ｄ：ζ2>ζ1>ζ3

4、设各直杆在m-m的截面面积均为A，问图示中的各m-m面上的应力是否均为P/A?为什么？

答案 正确选择：A

3、横截面面积为A的等直杆，受轴向拉力P的作用，则最大剪应力ηmax= , ηmax作用面上ζ＝ 。

答疑 1、2横截面的轴力相等，2截面的面积大，固1截面的应力

大于2截面的应力；斜截面3处的横截面与横截面2处的内力相等， 答案 0.5P/A 0.5P/A 横截面面积相等，固横截面2处的正应力与斜截面3处的横截面的正应力相等；但是在任意斜截面中，最大正应力发生在横截面上，固横判断题 材料在拉压时的力学性质 截面2处的正应力大于斜截面3处的正应力。

1、“材料的延伸率与试件的尺寸有关。“

2、设ｍ－ｍ的面积为Ａ，那么P/Ａ代表

答案 此说法正确

A：横截面上正应力；B：斜截面上剪应力； C：斜截面上正应力；D：斜截面上应力。

答疑 标准试件在拉伸试验时取标距l＝5d或l＝10d，测得延伸率不同。

2、“没有明显的屈服极限的塑性材料，可以将产生0.2％应变时的应力作为屈服极限。“ 答案 此说法错误

答案 正确选择：D

答疑 此时外力P的作用线与ｍ－ｍ截面成一夹角，固P/Ａ只能是斜截面上的应力，既不是正应力，也不是剪应力，是斜截面上的正应力与剪应力的矢量和。

3、设轴向拉伸杆横截面的正应力为ζ，则45度斜截面上的正应力和剪应力分别为 。 A：ζ/2、ζ； 均为ζ/2

B：均为ζ； C：ζ、ζ/2； D：

选择题 材料在拉压时的力学性质

1、 现有两种说法：

α

答疑 对于没有明显屈服极限的塑性材料，将产生0.2％塑性变形

时的应力作为材料的名义屈服极限，而不是产生0.2％的应变时的应力。

3、“构件失效时的极限应力是材料的强度极限。” 答案 此说法错误

答疑 塑性材料的极限应力是材料的屈服极限；脆性材料的极限应力才是材料的强度极限。

答案 正确选择：D 答疑 ζα＝ζcos2α、η

=ζsin2α/2

4、轴向拉压杆，与其轴线平行的纵向截面上 。 A：正应力为零、剪应力不为零； B：正应力不为零、剪应力为零；

C：正应力、剪应力均不为零； D：正应力和剪应力均为零。

答案 正确选择：D

答疑 ζ90＝ζcos290＝0、η

90

①弹性变形中，ζ-ε一定是线性关系 ②弹塑性变形中，ζ-ε一定是非线性关系 ；哪种说法正确？

A：①对②错； B：①对②对； C：①错②对； D：①错②错； 答案 正确选择：C

答疑 弹性变形中的应力－应变关系只有在线弹性范围内是线性的，当应力超过比例极限而低于弹性极限的一段范围内应力－应变的关系就是非线性的；而弹塑性变形中应力－应变的关系一定是非线性的。

2、进入屈服阶段以后，材料发生 变形。

A：弹性；B：非线性；C：塑性；D：弹塑性； 答案 正确选择：D

答疑 当应力到达屈服极限时，开始出现塑性变形，进入屈服阶段以后的变形，较小的一部分是弹性变形，大部分是塑性变形。 3、钢材经过冷作硬化以后， 基本不变。

=ζ/2sin2×90＝0。

简述 轴向拉压时斜截面上的内力与应力

1、轴向拉伸杆件的最大正应力与最大剪应力分别发生在哪个面上？ 答案 根据任意斜截面上的应力计算公式ζα＝ζcos2α、

ηα=ζsin2α/2，得到当α＝0时，ζα取得最大值，固最大正应力发生在横截面上；当α＝45o时，ηα取得最大值，固最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜截面上。

2、 最大正应力所在的面与最大剪应力所在的面的几何方位如何？

A：弹性模量； B：比例极限； C：延伸率； D：断面收缩率；

答案 轴向拉压时的最大正应力发生在横截面上，最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜截面上，固最大正应力所在的面与最大剪应力所在的面互成45度角。

答案 正确选择：A

答疑 钢材经过加载，当工作应力超过屈服极限到达强化阶段以后卸载，应力－应变曲线会沿与上升阶段平行的一条直线回到ζ＝0。此时再重新加载，会沿与上升阶段平行的一条线段达到卸载点。重新加载时上升线段的斜率与初次加载时上升线段的斜率几乎相等。

A：强度极限 B：比例极限 C：截面收缩率 D：延伸率

答案 正确选择：B

4、钢材进入屈服阶段后，表面会沿 出现滑移线。 答疑 冷作硬化后，直线段增大，固比例极限得到提高。 A：横截面； B：纵截面；

C：最大剪应力所在面； D：最大正应力所在的面； 答案 正确选择：C

答疑 最大剪应力使材料内部相对滑移。

5、下图为某材料由受力到拉断的完整的应力应变曲线，该材料的变形过程无 。

A：弹性阶段、屈服阶段； B：强化阶段、颈缩阶段； C：屈服阶段、强化阶段； D：屈服阶段、颈缩阶段。

答案 正确选择：A

答疑 延伸率代表试件的塑性变形。而断裂点的横坐标ε既包含塑性变形也包含小部分的弹性变形。

10、对于没有明显屈服极限的塑性材料，通常以产生0.2％的 所对应的应力作为屈服极限。

答案 正确选择：D

答疑 曲线没有锯齿波固曲线没有塑性流动阶段；曲线在邻近破坏时没有下降一段，固曲线没有颈缩阶段。

选择题 材料在拉压时的力学性质

6、关于铸铁： A 抗剪能力比抗拉能力差；

B 压缩强度比拉伸强度高。

C 抗剪能力比抗压能力高。正确的是 。

答案 正确选择：B

答疑 铸铁在拉伸破坏时断面位于横截面，说明抗剪强度高于抗拉强度；铸铁在压缩破坏时，断面位于与轴线成45度角的斜截面，是由于剪应力引起破坏，说明铸铁的抗压强度高于抗剪强度；铸铁抗压不抗拉。

7、当低碳钢试件的试验应力ζ=ζs时，试件将 。

A：完全失去承载能力； B：破断； C：发生局部颈缩现象； D：产生很大的塑性变形； 答案 正确选择：D

答疑 此时试件并没有破断，可以继续加载，只是产生很大的塑性变形。

8、低碳钢材料试件在拉伸试验中，经过冷作硬化后，以下四个指标中 得到了提高。

答案 正确选择：A

A：应变；

B：残余应变；

C：延伸率

A：大于延伸率； B：等于延伸率 C：小于延伸率； D：不能确定。

9、低碳钢的拉伸时的应力-应变曲线如图。如断裂点的横坐标为ε，则ε 。

答案 正确选择：B

答疑 产生0.2％的塑性变形时的应力定义为材料的名义屈服极限。

11、现有钢、铸铁两种棒材，其直径相同。从承载能力和经济效益两个方面考虑，合理选择方案是 。 A：1杆为钢，2杆为铸铁； 2杆为钢； C：两杆均为钢； 铁；

B：1杆为铸铁，

D：两杆均为铸

答疑 通过受力分析得到1杆受拉，2杆受压；钢材的抗拉压强度

相等，可作受拉构件也可作受压构件，但铸铁材料抗压不抗拉，宜作受压构件，固受压构件选择铸铁材料，受拉构件选择钢材。 填空题 材料在拉压时的力学性质

1、低碳钢由于冷作硬化，会使 提高， 降低。 答案 比例极限、延伸率

A：扭矩最大的截面； B：直径最小的截面； C：单位长度扭转角最大的截面； D：不能确定 答案 正确选择：D

答疑 因为最大剪应力一定发生在危险面的危险点处，不仅与横截面的大小、形状有关，还与外载有关，此题没有办法确定危险面，固不能确定最大剪应力发生的具体位置。

2、扭转剪应力计算公式η=Mρ/IP适用于 ：

A：任意截面； B：任意实心截面； C：任意材料的圆截面； D：线弹性材料的圆截面。

答疑 低碳钢扭转破坏的断面位于横截面，在横截面上有较大的剪应力，固低碳钢破坏是剪坏，而不是拉坏。 7、铸铁扭转破坏的断面是： 。

A：横截面拉伸； B：45度螺旋面拉断； C：横截面剪断； D：45度斜面剪断； 答案 正确选择：B

答疑 铸铁扭转时，横截面上有最大的剪应力，但在与轴线成45度角的螺旋面上有最大的拉应力，铸铁材料的抗剪能力高于抗拉伸能力，固沿45度角的螺旋面拉断。

8、对于受扭圆轴，有如下结论，正确的是 。

答案 正确选择：D

A：最大剪应力只出现在横截面上；

答疑 此公式推导中应用了虎克定律，固适用于线弹性范围内。且公式中的极惯性矩也是圆截面所特有。 3、剪应力互等定理是由 导出的。

B：在横截面上和包含杆件轴线的纵向截面上均无正应力； C：圆轴内最大拉应力的值和最大剪应力的值相等。

A：单元体的静力平衡； B：几何关系； C：物理关系； D： 答案 正确选择：B、C 强度条件；

答案 正确选择：A

答疑 剪应力互等定理的推导，只是对所取的单元体应用了静力平衡，左右两侧截面的剪应力形成的内力矩与上下两截面上的剪应力形成的内力矩平衡，没有用到任何的物理、几何、强度关系。 4、当η≥η

p

答疑 圆轴扭转时，横截面的最大剪应力发生在截面的边缘处，根据剪应力互等定理，在与横截面垂直的纵向截面上有剪应力，且在距离轴线最远的纵向线上也有最大剪应力。如图所示。

时，剪切虎克定律及剪应力互等定理 。

A：虎克定律成立，互等定理不成立； B：虎克定律不成立，互等定理成立；

C：二者均成立； D：均不成立； 答案 正确选择：B

9、空心圆轴，其内外径之比为ａ，扭转时轴内的最大剪应力为η,这时横截面内边缘处的剪应力为 。

A：η B：ａη C：零 D：（1－ａ）η

4

答疑 虎克定律的适用范围是线弹性，当η≥ηp时已经超过材料的线弹性范围，所以虎克定律不能成立。但剪应力互等定理是由平衡条件导出的，适用于变形过程中的任何阶段，所以剪应力互等定理依然适用。

答案 正确选择：B

答疑 剪应力的大小与该点到圆心的距离成正比。

5、有一圆轴受扭后，出现沿轴线方向的裂纹，该轴为 材料。 10、对于下列的两个剪应力计算公式：①η=T/2πR2t 和 ②η=Tρ

/IP，下列结论中是正确的是 。

A：钢； B：铸铁； C：木材；

A：①只适用于各种空心圆轴，②既适用于各种空心圆轴，也适用于实心圆轴； 答案 正确选择：C

答疑 圆轴受扭后，出现沿轴线方向的裂纹说明该材料沿轴线方向

的抗剪能力差。钢材为塑性材料，断面位于横截面上，铸铁材料扭转破坏的断面位于与轴线大约成45度角的螺旋线。 6、低碳钢的扭转破坏的断面是： 。

D：①、②两式均根据平面假设导出。

A：横截面拉伸； B：45度螺旋面拉断； C：横截面剪断； D：45度斜面剪断； 答案 正确选择：C 答案 正确选择：C

答疑 ①式描述的是闭口薄壁杆件在扭转变形时的剪应力的均匀

分布规律，推导公式时仅利用了平衡条件；②式描述的是圆截面杆件B：对于空心薄壁圆管①、②虽然形式不同，但描述的剪应力的分布规律是完全相同的；

C：①式仅利用平衡条件导出，②式曾利用平面假设和平衡条件；

在扭转变形时的横截面上的剪应力沿半径线性分布规律，在公式的推导中，利用了平面假设、变形几何、物理关系和平衡关系。 11、低碳钢圆轴扭转试验时表面上出现的滑移线与轴线的夹角为 。

A：45度； B：0度和90度； C：小于45度； D：大于45度；

答案 正确选择：B

答疑 低碳钢试件扭转变形时的最大剪应力发生在横截面上，且位于横截面的最外缘处；由剪应力互等定理得到在与轴线平行的方位上也有最大的剪应力，固滑移线分别出现在与轴线成0度和90度角的方位上。

12、图示中的圆轴，在极限扭矩的作用下破坏开裂，试判断当轴的材料分别为低碳钢、铸铁、顺纹木时，圆轴的破坏面（裂纹）的方向及原因。

裂纹方向： A：纵向 B：横向 C：+45度角 D：－45度角。

破坏原因： A：纵截面上的最大剪应力； B：横截面上最大剪应力 C：ζ+45 D:ζ-45

A：强度足够、刚度不够； C：强度、刚度均足够； 答案 正确选择：A

B：强度不够、刚度足够；

D：强度、刚度均不够

答疑 屈服极限提高了，在安全系数不变的条件下，材料的许用应力提高，而构件的最大工作应力没有改变，固强度得到了提高；由于杆件的受力不变，横截面的尺寸不变，而材料的剪变模量也几乎没有变化，固刚度没有提高。

15、圆轴扭转的变形为 。

A：横截面沿半径方向伸长； B：横截面绕轴线偏转； C：横截面绕中性轴旋转； D：横截面沿半径方向缩短。 答案 正确选择：B

答疑 圆轴在外力偶的作用下，任意两横截面象刚性圆盘一样绕轴线发生相对转动，横截面的大小、形状、间距均不发生变化。 16、在______受力情况下，圆轴发生扭转变形。

A：外力合力沿圆轴轴线方向； B：外力偶作用在垂直轴线的平面内；

C：外力偶作用在纵向对称面内；D：外力合力作用在纵向对称面内。

答案 正确选择：B

答疑 圆轴扭转变形的受力特点是：外力偶的作用面与杆件的轴线垂直。

17、在同一减速箱中，设高速轴的直径为d1、低速轴的直径为d2，材料相同，两轴的直径之间的关系应当是： 。

D：无所谓

答案 正确选择： 低碳钢：裂纹的方向B、破坏的原因B

铸铁：裂纹方向D、破坏原因D 顺纹木：裂纹方向A、破坏原因A。

答疑 低碳钢横截面上有最大的剪应力，其抗剪强度低于抗拉强度，在横截面上由最大剪应力引起破坏；铸铁在－45度角的方向上有最大拉应力，抗拉强度低于抗剪强度，在－45度角由最大拉应力A：d1>d2 B：d1＝d2 C：d1

但其材料为各向异性，顺纹方向抗剪能力差，在顺纹方向由最大剪应 答案正确选择：C 力引起破坏。

13、下列各图中的剪应力的分布正确的是 。（扭矩的方向如图）

答疑 由轴传递的功率与外力偶之间的关系M=9.549P/n可知，轴的转速越高传递的外力偶矩越小，此时圆轴横截面的内力小，圆轴所需的直径小。

18、等截面的实心圆轴，当两端作用有Mｅ的扭转力偶矩时开始屈服。若将横截面的面积增大一倍（仍为圆形），该圆轴屈服时的扭转力偶矩是： 。

答案 正确选择：图1、图5

答疑 对于实心圆截面，某点扭转剪应力的大小与其所在的半径成正比，方向与扭矩的方向同向。图2、图3中圆心左侧部分的扭转剪应力的方向没有与扭矩同向。图4、5为空心圆截面，最小剪应力发生在内径上，剪应力的大小也与该点到圆心的距离成正比，但图4中内径的剪应力为零是错误的。

14、对钢制圆轴作扭转校核时发现强度和刚度均比规定的降低了20％，若安全系数不变，改用屈服极限提高了30％的钢材，则圆轴的 。

A：1.414Mｅ D：4Mｅ 答案正确选择：B

B：2×1.414 Mｅ C：2Mｅ

答疑 等截面的实心圆轴当两端作用有Mｅ的扭转力偶矩时开始屈服有：η＝Mｅ/Wt=ηs , Mｅ＝ηs Wt＝ηsπd3/16。若将横截面的面积

22

增大一倍,设增大后横截面的直径为D，有πD/4=2×πd/4 那么直径之间的关系D=1.414d。此时Mｅ’＝ηs Wt’＝ ηsπD3/16=ηsπ(1.414d)3/16=2×1.414 Mｅ

19、圆轴扭转时横截面上的任意一点的剪应力的大小与该点到圆心的距离成正比，方向与该点的半径垂直，此结论是根据 推知的。

A：变形几何关系、物理关系、平衡关系； 物理关系； C：物理关系；

B：变形几何关系、

答案 受力如图

D：变形几何关系

答案 正确选择：B 答疑

通过变形几何关系得到：γ＝ρdθ/dx，通过物理关系得到η＝Gγ＝Gρdθ/dx。其中材料的剪变模量G、单位长度的转角dθ/dx为常量

20、下列论述中正确的是 。 A：剪应力互等定理仅适应于纯剪切情况；

B：已知A3钢的ηs=120MPa，G＝80 Gpa，则由剪切虎克定律γs=η

-3

s/G=1.5×10rad；

C：传动轴的转速越高，对其横截面的扭矩越大；

D：受扭杆件的扭矩，仅与杆件所受的外力偶有关，而与杆件的材料及横截面的形状、大小无关； 答案 正确选择：D

答疑剪应力互等定理是由平衡条件导出的，适用于任何情况；当应力达到ηs时剪切虎克定律γ=η/G不再成立；传动轴的转速越高，横截面的扭矩越小；受扭杆件的扭矩仅与外载有关。

填空 扭转剪应力

1、空心圆轴的外径为D，内径为d，其抗扭截面系数为： 答案 πD(1-(d/D))/16

答疑 抗扭截面系数Wt=IP/R=πD4(1-(d/D)4)/32/D/2=πD3(1-(d/D)4)/16

2、一根等直的传动轴，主动轮在B、D，从动轮在A、C、E。设主动轮B、D的输入功率相等，从动轮A、C、E的输出功率也相等，只考虑扭转而不考虑弯曲变形的条件下，危险面位于： 。

答疑在外力偶的作用下构件内与轴线大约成＋45度角的方位上有最大拉应力，铸铁材料的抗拉能力差，最后在此方位上由最大拉应力拉断。

6、阶梯轴承受的外力偶矩如图，圆轴的最大剪应力为 。

3

4

答疑 裂纹位于＋45度角的方位上，构件的受力使得裂纹张开。 4、铸铁试件扭转时，沿与轴线成45度角的螺旋面破坏，这是由该面上的 引起的。而木材试件扭转时，沿轴截面（顺纹）破坏，这时由该截面的 引起的 。

答案 最大拉应力、最大剪应力

答疑 铸铁试件扭转时，在45度角的方位上有最大拉应力，且铸铁抗拉强度低于抗剪强度，所以在45度角的螺旋面上由最大拉应力拉断；木材属于各向异性材料，顺纹方向抗剪能力差，最后沿纹理的方向由最大剪应力引起破坏。

5、铸铁圆轴受扭时，在 面发生断裂，其破坏原因是由 应力引起的。在图上画出破坏的截面。

答案 与轴线大约成45度角的螺旋面、最大拉应力，破坏方位如图中红线所示。

答案 危险面位于AB段和 DE段

答疑 设输入的外力偶矩为M，输出的外力偶矩为M，考虑平衡有2M＝3M’，所以：M’＝2M/3，轴的扭矩图如下，在其中的AB段、DE段有较大的扭矩。

’

答案 η＝T/Wt=16T/πd3

答疑 圆轴各段上的扭矩分别为T（直径为d）、－T（直径为2d），圆轴各段上的内力大小相等，但直径不同，所以最大剪应力发生在直径为d的一段轴内。η＝T/Wt=16T/πd3

7、两实心圆轴分别受到1KNm和3KNm的外力偶矩的作用时，它们横截面上的最大剪应力相同，则两轴径之比为________________。 答案 d23/d13=3

3、铸铁圆截面构件在外力偶的作用下发生破坏，破坏之前的受力为 。

答疑 η1＝T1/Wt=16T/πd13=1000×16/πd13, η2＝T2/Wt=16T/πd23=3000×16/πd33, η1=η2, 所以：有d23=3d13 整理得：d23/d13=3

8、圆轴扭转时，任意两横截面间发生________________。 答案 绕轴线发生相对转动。

答疑 圆轴扭转时，任意横截面像刚性平面一样，绕轴线旋转一个角度，不同的两个截面绕轴线旋转的角度不同。

9、已知圆轴所受外力偶矩M，分别画出图示实心圆轴、空心圆轴二种截面上剪应力沿半径各点处的分布规律：

答疑 最大剪应力ηmax=M/Wt与扭矩成正比，与抗扭截面系数成反比，在扭矩相同、直径相等的条件下，不同材料的两根实心圆轴的最大剪应力相等；扭转变形的扭转角θ＝ML/GIP不仅与扭矩、杆长、截面尺寸有关，还与材料有关，在扭矩相同、直径相同、杆长相等、材料不同的条件下，两轴的扭转角不同；截面的极惯性矩IP＝πd4/32只与横截面的尺寸有关，与材料无关，固在直径相等的条件下，不同材料的圆轴的极惯性矩相同。

3、在减速箱中,常见到高速轴的直径较小,而低速轴的直径较大。为什么?

答案 根据轴传递的外力偶矩与转速之间的关系M=9.549P/n可知，转速越高，传递的外力偶矩越小，在横截面上产生的扭矩就小。由于内力减小，横截面的直径也就可以相应减小。所以高速轴的直径小、低速轴的直径要大。

4、画出下列低碳钢、铸铁、圆木在扭转变形下的破坏面方位，并阐述破坏由何种应力引起的,为什么会沿此方位破坏。

答案 应力分布规律如图

答疑 无论是实心圆轴还是空心圆轴，横截面上的剪应力的分布规律：大小均与半径成正比，方向与该点处的半径垂直，且与横截面上的扭矩的方向同向。实心圆轴的最小剪应力发生在圆心处，为零；空心圆轴的最小剪应力发生在内径处。。

10、圆轴受到____________作用时，发生扭转变形。 答案 作用面与杆件的轴线垂直的外力偶

答案 各破坏面方位见图中红线所示

答疑 普通碳钢扭转破坏的断面位于横截面，在横截面上有最大剪

11、低碳钢扭转破坏的断口表明，塑性材料的 能力低于 应力，碳钢的抗剪能力低于抗拉能力，是被剪断的； 能力。

铸铁扭转破坏的断面位于＋45度角的螺旋面，在此方位上有最大拉应力，铸铁的抗拉能力低于抗剪能力，是被拉断的； 答案 抗剪、抗拉

答疑 低碳钢扭转破坏时横截面有最大的剪应力，在与轴线成45

度角的螺旋面上有最大拉应力，但低碳钢扭转破坏的断面位于横截面，低碳钢试件是被剪断的，而不是被拉断的，说明低碳钢的抗剪能力低于抗拉伸能力。

12、长为L，直径为D的圆轴受扭，在两端截面的扭转角为Φ，材料的剪变模量为G，则圆轴的最大剪应力为 。

答案ΦGD/2L

答案 a图为低碳钢的拉伸破坏、b图为低碳钢的扭转破坏

答疑 由圆轴扭转变形的虎克定律Φ=ML/GIP,整理得到圆轴的横截面上的扭矩为M=ΦGIP/L ，代入圆轴扭转的最大剪应力计算公式ηmax=M/Wt得到ηmax=ΦGIP/(LWt) 考虑到IP/Wt=D/2 固圆轴的最大剪应力ηmax=ΦGD/2L。

简述 扭转剪应力

6、分别画出圆截面铸铁杆件在拉伸、压缩、扭转破坏时的断面方位。

1、解释下列名词：剪应力互等定理；

答案 拉伸 压缩 扭转

答案 在单元体相互垂直的两平面上，剪应力必然成对存在，

且数值相等，方向同时指向公共棱边或同时远离公共棱边。 2、直径相同、材料不同的两根等长的实心圆轴，在相同的扭矩作用下，其最大剪应力、扭转角、极惯性矩是否相同？

答疑 图示中的两种破坏形式的断面均位于横截面，但a图中断面处的横截面尺寸变小了，明显的出现了颈缩现象；图b中断面处的尺寸没有变化，只是沿横截面发生破坏，是由剪应力引起的破坏，即扭转破坏。

圆木破坏的断面位于纵向面内、顺纹理的方位，圆木的材料属于各向异性，在纹理的方位抗剪能力差，被剪断的。

5、判断下列低碳钢的二种破坏形式，分别为什么变形下的破坏？

答疑 铸铁试件在拉伸破坏时是由于横截面上的最大拉应力引起破坏；压缩破坏是由与在轴线大约成45度角的斜面上存在最大剪应

答案 最大剪应力相等、扭转角不同、极惯性矩相同。

力，由最大剪应力引起破坏；扭转变形时，在与轴线大约成45度角的螺旋面上存在最大拉拉应力，由最大拉应力引起的破坏。

7、若轴传递的功率和轴的材料不变，而转速增加，则轴的直径应如何改变？

答案 应减小轴的直径。

答疑 根据传递的外力偶矩与转速之间的关系M=9.549P/n可知，转速越高，传递的外力偶矩越小，在横截面上产生的扭矩就小。由于内力减小，横截面的直径也就可以相应减小。

8、圆截面试件受扭如图，说明a、b、c、d四种破坏形式各发生在什么材料制成的试件上，并说明破坏的原因。

θ=T/GIP×180/π=32T/GπD(1-α)×180/π,固扭转刚度与1-α

’

成反比。θ/θ=1.47。

444

12、用某种塑性很好的材料制成的扭转圆试件，在扭转后，试件表面的母线变成了螺旋线。问母线有没有伸长？试件的长度和直径有无变化？

答案 母线伸长、试件的长度和直径没有变化。

答疑 取长为dx微段为研究对象，受力之前，微段的母线长为dx，受力后，母线发生倾斜（图示中的红线所示），长度有所增大，固圆轴的母线伸长。

答案 a木材、b低碳钢、c铸铁、d铸铁

答疑 裂纹a的方向与轴线平行，说明此方位的抗剪能力差，固顺a方向破坏的材料是木材、且是木材的顺纹方向；

裂纹b位于横截面上，在横截面上有最大的剪应力，是典型的低碳钢扭转破坏的断面； 裂纹c、d与轴线大约成45度角，是典型的铸铁扭转破坏的方位，但在图示中力偶的作用下，铸铁破坏的方位应该是裂纹c方位，如果外力偶与图示中的外力偶反向时，铸铁破坏的方位是裂纹d的方位。

9、低碳钢圆试件在受扭时，在纵、横截面上的剪应力大小相等，为什么试件总是在横截面被剪断？

答案 低碳钢试件在受扭时横截面上有最大的剪应力，低碳钢材料的抗剪能力低于抗拉能力，固断口位于横截面上，被剪断。

在扭转试验中观察到的现象是：任意两横向线的大小不变、间距不变；由任意两横向线的大小不变，说明试件的横截面的尺寸没有发生变化，直径无变化；由间距不变，说明在两横截面之间没有发生拉伸或压缩现象，固试件的总长度没有变化。

13、两种材料在交界面牢固结合而形成的组合圆轴的横截面。已知：两部分的截面惯性矩分别为IP1和IP2，剪切弹性模量G1＝2G2，承受的扭矩为M。问应如何推导此组合横截面上的剪应力计算公式？横截面上的剪应力如何分布？

在试件的纵、横截面上有大小相等的剪应力，但试件却在横截面 答疑 此问题为静不定，采用三关系法。设两部分各自承担的扭矩上被剪断，因为圆轴的纵向长度总比横向尺寸大的多。圆轴扭转时，分别为M1和M2，两部分共同承担扭矩M，则得到静力学方程为M＝M1在圆轴的表面存在最大剪应力，由于材料的抗剪能力差，即在表面有＋M2；二部分各自的扭转角为Φ1＝M1L/G1IP1,Φ2=M2L/G2IP2；变形协调弱点（缺陷或横截面较小）处开始有裂痕。由于材料的各向同性以及关系为：扭转角相等Φ1＝Φ2。由物理关系和变形协调关系联合得到在纵、横面上有最大的剪应力，裂纹可以向纵、横方向发展。如在纵M1L/G1IP1＝M2L/G2IP2 ，将G1＝2G2代入后得到补充方程为： M1/2IP1＝向发展，使较长的纵剖面削弱较小，应力的改变甚微。如果裂纹向横M2/IP2；将补充方程与静力学关系联立求解得到：M1=2IP1M/(2Ip1+IP2)、向发展，却意味着削弱了轴的抗扭刚度，同时增加横截面上剪应力的M2= IP2M/(2Ip1+IP2)，在各自的内力的作用下，横截面上的剪应力各自数值，增大的剪应力又进一步扩展裂纹，直至破坏。固圆轴的裂纹容按线性分布，与半径成正比、与半径垂直，方向顺扭矩的方向。 易使横截面削弱，促使横截面上的应力急剧增加，最终在横截面裂开。 10、如果钢轴材料经过锻制或抽拉，有沿轴向的纤维夹杂物，扭转时裂纹会在什么方向上？

答案 如果钢轴材料经过锻制或抽拉，有沿轴向的纤维夹杂物，此时钢轴具有方向性，破坏时可能与竹、木材一样，在纵截面上出现剪切裂纹。

11、内外径之比为4：5的空心圆轴，若外径D不变，壁厚增加1倍，则该轴的抗扭强度和抗扭刚度分别提高多少？ 答案 抗扭强度和抗扭刚度分别提高不到1倍。

答疑 α=d/D=0.8 、D－d=2t ，D-0.8D=2t 壁厚为 t=0.1D 。当外径D不变，当壁厚增加1倍时有 t’=2t=0.2D。α’=d’

/D=(D-2t’)/D=(D-0.4D)/D=0.6 。根据最大剪应力的计算公式：η

3434’

max=M/Wt=16M/πD(1-α)＝16M/πD(1-0.8) ηmax=M/Wt＝16M/πD3(1-α’4)= 16M/πD3(1-0.64) ηmax/ηmax’

=(1-0.64)/(1-0.84)=0.8704/0.5904=1.47。

14、为什么实心扭转的剪应力计算公式η=Tρ/IP只能在线弹性范围内适应，而薄壁圆筒扭转的剪应力计算公式却在线弹性、非线性弹性、弹塑性情况下都能适应？

答疑 因为在推导实心圆轴的扭转剪应力计算公式η=Tρ/IP时，应用了剪切虎克定律，而虎克定律的适用范围是线弹性范围；薄壁圆1部分的最大剪应力为η1max=M1d/2/Ip1=Md/(2Ip1+IP2)；2部分的最小剪应力为η2min=M2d/2/IP2 =Md/2(2Ip1+IP2)，比1部分的最大剪应力要小；2部分的最大剪应力为η2max=M2D/2/IP2=MD/2(2Ip1+IP2)。固横截面上剪应力的分布规律如下：

筒扭转的剪应力计算公式的推导过程中只利用了静力平衡，适用于变形过程中的任何阶段。

15、从弹性范围应力分布的角度，说明扭转时为什么空心圆轴比实心圆轴能充分发挥材料的作用。如果圆轴由理想弹塑性材料制成，当扭转到整个截面均屈服时，空心圆轴是否仍然比实心圆轴能较充分发挥材料的作用？

答疑 圆轴在扭转变形时，在横截面上有最大剪应力，在与轴线成45度角的方位上存在最大拉应力，由于铸铁材料的抗拉能力低于抗剪能力，所以在A点沿与轴线成45度角的方位上出现裂纹。

答疑 从圆轴扭转的剪应力的分布规律看：实心圆轴在距离圆心较近处，剪应力数值很小，这一区域内的材料没有充分发挥作用；空心

圆轴的最小剪应力在内径上，整个横截面上没有很小的剪应力存在，18、铸铁试件在纯扭转时，沿与轴线大约成45度角的螺旋线方向断所以在线弹性范围内，空心圆轴比实心圆轴能够充分发挥材料的作

裂；轴向压缩时，沿与轴线大约成45度角方向断裂。请说明两者破

用。 坏的原因，并比较此材料抗拉、抗剪、抗压能力之间的关系。

答疑

19、请改正图中的错误。

如果圆轴由理想弹塑性材料制成，圆轴最先由外径开始屈服，屈服的区域逐渐向圆心靠近，当扭转到整个截面均屈服时，剪应力在横截面上均匀分布，各处剪应力的大小均等于材料的屈服极限ηS。此时实心圆轴比空心圆轴承担的扭矩要大，实心圆轴的材料能够充分发挥作用。

16、说明：承受扭矩的两根圆轴，一根为封闭的薄壁圆环型截面、另一根为开口薄壁圆环截面上的应力种类，并画出应力的分布规律。

答疑 封闭的薄壁圆环型的横截面上剪应力均匀分布；开口薄壁圆环在每一个与中线垂直的横截面上剪应力按到中线的距离线性分布。

答案

答疑 低碳钢试件破坏的断面位于横截面，邻近破坏时，横截面上的剪应力几乎均匀分布，大小为材料的强度极限；铸铁试件破坏的断面位于与轴线大约成＋45度角的方位，邻近破坏时的剪应力仍然线性分布，但最外圈的剪应力首先达到材料的强度极限。

20、实心轴和空心轴的横截面面积相等，受相同的扭矩作用，比较两个轴上的最大剪应力。

答案 实心轴的最大剪应力大于空心轴的最大剪应力。

17、铸铁材料的圆轴受扭，画出A点破坏时断口的方位。

答疑 由实心轴与空心轴的横截面面积相等有，πd12/4=π2222222

(D-d2)/4, 整理得到：d1=D-d2=D(1-α)，实心轴的抗扭截面系数为：Wt1 =πd13/16 空心轴的抗扭截面系数为： Wt2=πD3(1-α4)/16=

22222

πD(1-α)D(1+α)/16=πd1 D(1+α)/16> Wt1 固空心轴的抗扭截面系数大，所以实心轴的最大剪应力大于空心轴的最大剪应力。 21、轴线与木纹平行的木制圆杆受扭，当扭矩达到某一极限时，杆表

面将沿什么方向出现裂纹，为什么？ 答案 沿轴线方向出现裂纹

答疑 因为木材沿纤维方向抗剪能力差。

答案 断口方位如图中红线所示

22、分别画出图示中三种截面剪应力沿半径各点处的分布规律。

4、材料不同的两根受扭圆轴，其直径和长度均相同，在相同扭矩的作用下，它们的最大剪应力之间和扭转角之间的关系是 。 A：最大剪应力相等，扭转角相等； B：最大剪应力相等，扭转角不等；

答案

C：最大剪应力不等，扭转角相等； D：最大剪应力不等，扭转角不等。

答案 正确选择：B

答疑 实心圆截面的剪应力与半径成正比，最大剪应力发生在最外圈；空心圆截面各点的剪应力也与该点的半径成正比，最小剪应力发生在内径上，最大剪应力发生在外径上。薄壁截面的剪应力沿壁厚均匀分布。

选择 扭转变形

答疑 剪应力只与内力和横截面的尺寸有关，与材料无关，固二者的最大剪应力相等；扭转角与材料有关，固在相同扭矩的作用下、尺寸相同但材料不同的构件的扭转角不同。 填空 扭转变形

1、若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的 倍。 答案 刚度是原来的16倍

1、碳钢制成圆截面轴，如果θ≥[θ]，为保证此轴的扭转刚度，采

用措施 最有效。

答疑 实心圆轴的单位长度扭转角θ＝M/GIP×180/π＝32M/Gπd4

’’4

×180/π，若将直径增大一倍，θ＝ M/GIP×180/π=32M/Gπ(2d)

A：改用合金钢； B：增加表面光洁度； C：增加直径； D：×180/π＝θ/16 减少轴长；

2、图示圆截面轴的直径为d，C截面相对于A截面的扭转角为： ，整个圆轴的最大扭转剪应力为： 。 答案正确选择：C

答疑 单位长度扭转角θ＝M/GIP×180/π可知：采用优质钢、增

大直径均可以改变θ的大小，但是：由于碳钢与合金钢的剪变模量的变化不大，固材料的改变对θ的影响不大；单位长度扭转角θ与轴长、表面光洁度无关；固提高扭转刚度的有效措施是：增大圆轴的直径。 2、轴的半径为R，长为L，剪变模量G，受扭后圆轴表面的纵向线倾

角为α,则在线弹性小变形范围内ηmax和单位长度扭转角θ分别为：

答案 C截面相对于A截面的扭转角为0；整个轴内的最大剪应

3

A：ηmax=Gα θ=α/L B: ηmax=Gα θ=α/R 力为ηmax= 16M/πd. C：η

max

=GαL/R θ=α/L D：η

max

=GαL/R θ=α/R 答疑由于AB、BC段的内力大小相等、符号相反，杆长相同，固C

截面相对于A截面的扭转角为θ=∑ML/GIP=Ma/GIP-Ma/GIP=0；轴内的最大剪应力ηmax=M/Wt=16M/πd3。

3、直径为25毫米的圆钢杆，受轴向拉力60KN的作用，在标距为20厘米的长度内伸长了0.122毫米；受扭矩200Nm的作用，相距15厘米的两横截面相对扭转了0.55度，则此钢材的弹性模量E＝ ，剪变模量G＝ ,泊松比为ｕ＝ 。 答案 E=200.48GPa；G=81.57GPa；ｕ=0.2288

答案正确选择：B

答疑 受扭后圆轴表面的纵向线倾角α即为圆轴在边缘上点的角

应变，所以圆轴的最大剪应力为ηmax=Gα；而圆轴的右侧截面相对于 答疑 在标距为20厘米的长度内伸长了0.122毫米,根据拉伸变形

2

左侧截面的相对转角为θ=αL/R, 单位长度扭转角θ=θ/L=α/R。 的虎克定律ΔL=NL/EA有0.122=60×1000×20×10/(E×πd/4),得

到：E=200.48GPa；相距15厘米的两横截面相对扭转了0.55度, 根

0.55=200×0.15/GIP 据扭转变形的两截面间的相对转角θ=ML/GIP有：

×180/π，得到：G=81.57GPa；各向同向材料之间满足G=E/2(1+ｕ)，

3、单位长度扭转角与 无关。

固泊松比ｕ=0.2288 A：杆的长度； B：扭矩 C：材料性质； D：截面几何性质

答案 正确选择：A

答疑 单位长度扭转角θ＝M/GIP×180/π，与杆的长度无关。 4、图示中的轴1与套筒2牢固第结合在一起，两者的剪变模量为G1、G2，两端承受扭转力偶矩M，为使轴与套筒承受的扭矩相同，则必须满足的条件是 。

A：自由扭转时翘曲，约束扭转时不翘曲； B：自由扭转时不翘曲，约束扭转时不翘曲；

C：自由扭转时翘曲，约束扭转时翘曲； D：自由扭转时不翘曲，约束扭转时不翘曲； 答案 正确选择：C

答疑 杆件在自由扭转与约束扭转时，横截面均有翘曲，只是在自由扭转时各个横截面翘曲的程度相同，而在非自由扭转时，各横截面翘曲的程度不同。

2、非圆截面杆自由扭转时，横截面上 。

A：只有剪应力，没有正应力 B：只有正应力，没有剪应力； C：既有正应力又有剪应力； D：正应力、剪应力均为零； 答案 正确选择：A

答疑 非圆截面杆在自由扭转时，横截面有翘曲，但各个横截面翘曲的程度相同，纵向纤维的长度没有变化，所以横截面上只有剪应力没有正应力。

3、非圆截面杆约束扭转时，横截面上 。

A：只有剪应力，没有正应力 B：只有正应力，没有剪应力；

答案 抗扭刚度相等即G1IP1= G2IP2

答疑 轴与套筒的扭转角相同θ1=θ2 而θ1=M1L/G1IP1、θ

2=M2L/G2IP2,所以有：M1L/G1IP1 ＝M2L/G2IP2。固保证承担的扭矩相同必须有相同的抗扭刚度即 G1IP1= G2IP2 简述 扭转变形 1、当η≥η

p

时η=Tρ/IP, θ=TL/GIP哪一个仍适用？

答案 哪一个也不能用。

答疑 在推导公式时应用了剪切虎克定律，二者的适用范围均是线弹性范围。

2、一等直杆，当受到轴向拉伸时，杆内会产生剪应变吗？，当受到扭转时，杆内会产生拉应变吗？

答案 轴向拉伸的杆件内会产生剪应变、受扭的杆件内会产生拉应变

答疑一等直杆，当受到轴向拉伸时，杆内存在剪应力且在与轴线成45度角的方位上有最大剪应力，根据剪切虎克定律会产生剪应变；C：既有正应力又有剪应力； D：正应力、剪应力均为零； 受到扭转变形时，最大剪应力发生在横截面上，在任意的斜截面上存

答案 正确选择：C 在正应力，所以杆内会产生线应变。

答疑 非圆截面杆在约束扭转时，各个横截面翘曲的程度不同，引起相邻两截面间的纵向纤维的长度改变，横截面上不仅有剪应力还有

1、“矩形截面杆自由扭转时，横截面的剪应力呈线性分布。” 较大的正应力。像工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转时横截面上的

正应力往往是相当大的；但对于像矩形、椭圆形等实心杆件，因约束扭转引起的正应力相当小，与自由扭转无太大的差别。

答案 此说法错误

判断 非圆截面杆的扭转

答疑 在矩形截面杆自由扭转的 横截面上剪应力均不呈线性分布。边缘各点的剪应力形成与边界相切的顺流，四各角点处的剪应力为零，最大剪应力发生在长边中点。

填空 非圆截面杆扭转

1、扭转变形下的非圆截面杆， 点的剪应力为零。

答案 2点的剪应力为零

2、“非圆截面杆扭转时不能应用圆杆扭

转的剪应力公式，因为非圆截面杆扭转’平面假设’不能成立” 答案 此说法正确

答疑 非圆截面杆在扭转时，横截面不再是平面，而是变成了空间曲面，固平面假设不能成立。

选择 非圆截面杆的扭转

1、非圆截面杆的横截面上 ： 。

答疑 非圆截面杆在扭转时，外棱角可尖，内棱角须圆。因为在外棱角处剪应力必定为零，而内棱角处的剪应力不为零。 2、矩形截面杆受扭时，截面凸角处剪应力为 ，最大剪应力发生在 处

答案 截面凸角处剪应力为 0；最大剪应力发生在长边中点处。 3、矩形截面杆自由扭转时，横截面周边处的剪应力方向必与周边 ，且四个角点处的剪应力为 。

答案 相切、零 答疑 因为矩形截面杆受扭时，截面周边各点处的剪应力一定与边界相切，横截面的四个角点处的剪应力均为零。 简述 非圆截面杆的扭转 1、矩形截面杆受扭，问横截面角点A处有无剪应力？为什么？ 1、 平面弯曲的概念、理解将受弯杆件简化为力学模型的过程；2、 掌握剪力和弯矩的概念；3、 掌握梁的内力方程的写法；4、 掌握直梁的内力计算和内力图的绘制；5、 掌握刚架的内力方程的写法和刚架的基本知识点 内力图的绘制；6、 剪力、弯矩和分布载荷集度的微分关系及其应用；7、 作内力图的两种方法：剪力方程和弯矩方程作图法、微分关系作图法。8、了解静定多跨梁的内力图的绘制； 判断 弯曲内力图 1、 “两梁的跨度、承受的载荷及支撑相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。” 答案 角点处没有剪应力； 答疑 因为矩形截面杆受扭时，截面周边各点处的剪应力一定与边界相切，横截面的四个角点处的剪应力均为零。 2、在纯扭转时，开口和闭口薄壁管中剪应力的分布情况有何不同？图示中的二种截面的薄壁管的材料、长度、壁厚、管壁中线的长度均相同。问哪一个管子的抗扭能力强？ 答案 此说法错误 答疑 梁的内力与材料、横截面形状无关。当两梁的跨度、载荷、约束完全相同时，梁的内力图相同。 2、 “最大弯矩必发生在剪力为0的横截面上。” 答案 此说法错误 答疑 在剪力为零的横截面上，弯矩取得极值，但极值弯矩不一定是最大弯矩。 3、“梁内弯矩最大的横截面上，剪力一定为零。” 答案 此说法错误 答疑 在剪力为零的截面上，弯矩取得极值，但极值弯矩不一定是最大弯矩。所以最大弯矩的截面上，剪力不一定为零。 选择 弯曲内力图 1、梁在集中力作用的截面处，它的内力图 。 A：Q图突变、M图光滑连续； 折； B：Q图突变、M图转 答疑 封闭的薄壁圆环型的横截面上剪应力均匀分布；开口薄壁圆环在每一个与中线垂直的横截面上剪应力按到中线的距离线性分布。 C：M图突变、Q图光滑连续； D：M图突变、Q图转折； 闭口的薄壁圆环型的横截面上剪应力η1＝T/2πr2t ； 开口薄壁圆环型的横截面上剪应力η2＝T/ht2/3=3T/2πrt2，η1/η2=t/3r，而平均半径r>>t 所以η1<<η2，固闭口的抗扭强度高。 答案 正确选择：B 答疑 根据内力之间的微分关系：在集中力作用的截面处，ΔQ＝P所以剪力图突变，弯矩图发生转折。 2、梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图 。 第四章 弯曲内力 A：Q图突变、M图无变化； 折； B：Q图突变、M图转 重点 1、梁的受力特点和变形特点；2、平面弯曲的概念；3、 C：M图突变、Q图无变化； D：M图突变、Q图转折 梁的三种形式；4、剪力和弯矩的符号规定；5、内力方程、剪力图和弯矩图。6、均布载荷、剪力、弯矩之 答案 正确选择：C 间的微分关系；7、利用微分关系快速作内力图 1、弯曲内力的符号规定；2、力偶对弯矩的影响；3、 答疑 在集中力偶作用处dQ/dx=0,所以剪力图没有变化；但ΔM＝M，所以弯矩图发生突变。 利用微分关系快速作梁的内力图； 3、梁在某一段内作用有向下的分布载荷时，在该段内它的弯矩图为 。 难点 A：上凸曲线； B：下凸曲线；

C：带有拐点的曲线； D：斜直线 答案 正确选择：A

答疑 载荷的集度是弯矩图的二阶导数，当分布载荷向下时，集度的符号<0，弯矩图为凸弧。

4、多跨梁的两种受力如图，力F靠近铰链。正确的结论是 。

A：Q、M图完全相同 B：Q图相同、M图不同 C：Q图不同、 答案正确选择：C M图相同； D：Q、M图均不同

答疑 AB段的剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线，说明该段的剪力为常量，且没有均布载荷的作用。在B截面处剪力图突变，弯矩图发生转折，说明在B截面处作用有集中力，从AB到BC，剪力图下突，说明集中力的方向向下；BC段的剪力图为一斜直线，弯矩图为一上凸的曲线，说明该段内作用有均布载荷，且方向向下。

7、悬臂梁上作用有集中力F和集中力偶M，若M在梁上移动时 。

A：对剪力图的形状、大小均无影响； B：对弯矩图形状无影响，只对其大小有影响；

答案 正确选择：A

答疑 A图中活动铰链支座的约束反力为零；B图中，取L2梁为研究对象，对中间铰取矩，得到活动铰的约束反力也为零。固对于固定端一侧的梁相当于自由端受集中力F作用的悬臂梁，二者的内力图相同。

5、图示中静定多跨梁，在截面 处，剪力Q图、弯矩M图均连续。

答案 正确选择：A

C：对剪力图、弯矩图的形状、大小均有影响； D：对剪力图、弯矩图的形状、大小均无影响。

答疑 根据微分关系，力偶对剪力无影响。固力偶在梁上移动

A：A、B； B：B、C； C：C、D； D：A、D； 时，对剪力图无影响，但直接影响弯矩图的大小和形状。

8、带有中间铰的连续梁，AB和BC部分的内力情况有四种答案，正

确的是： 。

A：N、Q、M均为零； B：N、Q、M均不为零；

答案 正确选择：A

答疑 在C截面处作用有力偶，剪力图连续，弯矩图突变；在D截面处作用有集中力，剪力图突变，弯矩图转折；只有在A、B二截面处既没有力偶的作用也没有集中力的作用，内力图是连续的。 6、梁的内力图如图，该图表明 A：AB段有均布载荷、BC段无载荷；

答案 正确选择：D

C：Q为零，N、M不为零； D：Q、M为零，N不为零；

答疑 取CD段为研究对象，由于F、D处均为活动铰，可以确定C处的水平方向的约束反力不为零；再取BC段为研究对象，对B点取

B：AB段无载荷、B截面处有向上的集中力、BC段有向下的均布载荷； 矩，得到C点的铅垂方向的约束反力为零，从而得到B点的铅垂方向

的约束反力也为零，B点的水平方向的约束反力等于C点的水平方向的约束反力。由此可得：AB、BC段的轴力不为零，剪力、弯矩均为

C：AB段无载荷、B截面处有向下的集中力、BC段有向下的均布载荷 零。 D：AB段无载荷、B截面处有瞬时针的集中力偶、BC段有向下的均布载荷

9、重为W的直梁放在水平的刚性平面上，若受力提起部分与平面密合的点为A，则A点处的弯矩为： 。

A：Pa B：0; C：非A非B

答案 正确选择：B

答疑 未被提起的部分的曲率半径为无穷大，根据曲率半径与弯矩的之间的关系1/ρ=M(x)/EI，得到未被提起部分的弯矩为零。 10、m-m面上的内力为： 。

A：Q=0， M、N≠0； B：M、N＝0，Q≠0；

填空 弯曲内力图

C：M、N、Q均不等于0； D：M、N、Q均等于0；

答案 正确选择：D

答疑 外力的作用线过e-e截面形心，外力对该截面的矩为零，固该截面上弯矩为零；将外力P向e-e截面的轴线方向和与轴线垂直的方向进行分解，得到e-e截面的轴力、剪力均不为零。

1、在静定多跨梁中，如果中间铰点处没有外力偶，那么 不变， 恒等于零；

答案 剪力、弯矩

答疑 中间铰只传递剪力，不传递弯矩。当中间铰处没有外力偶作用时，中间铰处的弯矩恒等于零，剪力图没有变化。

答案 正确选择：C

答疑 取整体为研究对象，对A点取矩，得到NB＝P/2；再在水平方向、铅垂方向投影，得到A点的水平、铅垂方向的约束反力均不为零；在m-m面处将曲杆截开，取左段为研究对象，可得：m-m面的轴力大小等于A处的水平反力大小、m-m面的剪力等于A处的铅垂反力的大小、m-m面的弯矩等于A处的水平反力与铅垂反力对m-m面的矩的代数和。固m-m面的轴力、剪力、弯矩均不等于零。

11、如图所示的AC梁在C端装有一个无摩擦的半径为R的滑轮，且通过钢索吊挂一重量为P的物体，B截面的弯矩值是 。 A：M=-P(a+R) B：M=-Pa

C：M=-PR D：M=0

答案 m＝qL2/4

答疑 对A点取矩，得到B处的约束反力为NB=M/L+ql/2中间截面处的弯矩为： M（L/2）＝NB×L/2-M-qL/2×L/4整理得到：M（L/2）＝(M/L+qL/2)×L/2-M-ql2/8=-M/2 + qL2/8考虑到已知条件有M（L/2）

2

=0 得到外力偶的大小为： M=qL/4

3、图示中的四个梁的跨度、材料、截面、载荷均相同，比较各梁的最大弯矩值（绝对值），其中最大的在 梁上。 2、简支梁的受力如图，为使梁的中点的截面处的弯矩为零，那么外力偶m＝ 。

答案 正确选择：B

答疑 拆开C处铰链约束，得到C处的水平方向的反力为P，铅垂方向的反力为P，方向向下。水平反力引起拉压变形，只有铅垂反力引起弯矩，固B截面弯矩的大小为－Pa。

答案 最大弯矩发生在C 梁上

12、平面刚架ABC，在其平面内施加如图所示的集中力P（其作用线

qL2/8；b图中的最大弯矩为qL2/40；c过e-e截面形心），则e-e截面不为零的内力分量是 。 答疑 a图中的最大弯矩为

图中的最大弯矩为qL2/2；d图中的梁为一次静不定，与图c相比，

A：M、Q、N B：M、N C：M、Q D：Q、N 梁的弯曲变形较小，中性层处的曲率较小，根据1/ρ=M(x)/EI可知，

d图中的最大弯矩偏小

选择 梁的合理受力

1、工人工作在木板的中点，为改善木板的受力，下列做法哪一个好？

A：在A、B处同时堆放适量砖； B：在A、B端同时堆放砖块，越多越好；

C：只在A或只在B处堆放适量砖； D：什么也不放。

答案 a=L/6

答疑 双杠在受力时，可能会出现三种受力状况：最左端受力、最右端受力、中间截面受力。设双杠受力时载荷的大小为P，当载荷P作用在最左端、最右端时，双杠产生最大的负弯矩，数值的大小为-Pa；当载荷作用在梁的中间截面时，在中间截面产生最大的正弯矩，数值的大小为P/2×(L-2a)/2。根据梁的受力合理的状态是最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等，得到∣－Pa∣＝∣P/2×(L-2a)/2∣ 求解得到：a=L/6。

4、力P固定，M可在梁上自由移动，M应在x= 处使梁的受力最合理并画出剪力图和弯矩图

答案 正确选择 A

答疑 木板的受力合理的状态是最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等。只有在A、B两处同时堆放适量砖的情况下，C、D两截面处产生最大负弯矩，且要求最大负弯矩的数值相等。但是堆放的砖不是

越多越好，应该保证在C、D截面处的最大负弯矩与木板的中间截面处产生的最大正弯矩的绝对值相等，此时木板的受力最合理。 答案 x=a时梁的受力最合理 内力图如下

填空 梁的合理受力

1、图示木板，受力为P、梁的总长为L、外伸部分长为ａ，使梁的最大弯矩为最小时，梁端的重物Q＝ 。

答案 Q= P(L-2a)/8a

答疑 当梁的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等时，梁的最大

弯矩为最小。此时有∣-Qa∣=∣(P/2+Q)（ L/2-a）-QL/2∣ 整理得到： ∣-Qa∣=∣PL/4-Pa/2-Qa∣求解得到： 答疑 力偶在任意位置x处时梁的弯矩图如下

Q=PL/8a-P/4=P(L-2a)/8a。

2、外伸梁的总跨度为L，承受一个可移动的载荷F，若F与L均为已知的，为减小梁的最大弯矩值，外伸长度a= 。

要使梁的受力合理必须满足，∣-Mmax∣=∣+Mmax∣,因而有：∣=∣-Pa∣=∣2Pa-Px∣，得到x=a。

5、铰链C安放在 x= 处使梁的受力最合理。

答案 a=L/5

答疑 梁的受力合理的状态是最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等。当载荷移动到最左端时，在左支座处产生最大负弯矩，数值为－Fa；当载荷移动到两支座的中点时，在梁的中间截面处产生最大正弯矩，数值为F/2×(L-a)/2。梁的受力合理要求∣－Fa∣＝∣F/2×

(L-a)/2∣ 求解得到：a=L/5。

答案

3、双杠的总长为L，外伸段的合理长度a= 。

答疑 梁在外载作用下的弯矩图如下

-Px ∣

要使梁的受力合理必须满足，∣-Mmax∣=∣+Mmax∣,因而有：∣

22

-qx(L-x)/2-q(L-x)/2∣=∣qx/8∣求解得到：

由图示可知，梁内最大弯矩发生在x=L/2处，即桥的中间截面。固当人行走到桥中点时，有坠河的危险。 6、一外伸梁AC受载如图，梁的总长度为L。力P可在梁上自由移动，欲使力P在移动全过程中梁内的最大弯矩为最小，问支座B到梁端C 第五章 弯曲应力 的距离BC=

1、 纯弯和横力弯曲的概念； 2、 中性层和中性轴的概念； 3、 弯曲正应力的分布规律和计算公式，以及公式的适用条件； 4、 弯曲剪应力的分布规律和计算公式； 5、 梁的弯曲强度校核 6、 提高梁的弯曲强度的措施 1、危险截面的确定：对于等直梁，危险面就在∣M∣max处，而对于变截面梁，要分别计算∣M∣max处和截面最弱处的应力，这些截面都可能是危险面；对于抗拉压强度不等的脆性材料其危险面可能发生在∣M＋－∣max或∣M∣max处或截面最弱处； 2、弯曲剪应力的计算：b要求剪应力处截面的宽度，SZ*要求剪应力处横线距中性轴以外部分对中性轴的静矩； 重点

答案 BC＝L/5

答疑 当载荷移到AB的中间截面时，梁上产生最大正弯矩，大小为P×AB/4=P(L-BC)/4；当载荷移到端截面C时，梁内产生最大负弯矩，大小为-P×BC。欲使力P在移动全过程中梁内的最大弯矩为最小，必须满足∣-Mmax∣=∣+Mmax∣,因而有：∣P(L-BC)/4∣=∣－P×BC∣求解得到：BC＝L/5 。

7、欲用钢索起吊一根自重为q（均布于全梁）、长度为L的等截面梁，如图所示。吊点位置x应是 才合理。

难点

答案 x=

答疑 梁的弯矩图如下：

=0.2L

1、 横力弯曲与纯弯曲的概念； 2、 梁在弯曲时横截面上的正应力分布规律和计算公式； 3、 梁在横力弯曲时横截面上的正应力的计算； 4、 梁的弯曲正应力强度计算； 5、 满足强度条件的前提下的各类计算方法； 6、 梁在横力基本知识点 弯曲时的剪应力的分布规律及计算公式； 7、 掌握工程上几种常见截面(矩形、工字形、圆形)梁的弯曲剪应力分布规律及其计算公式； 8、 掌握常见截面的最大剪应力的计算公式； 9、 掌握梁的弯曲剪应力强度计算； 10、 提高梁弯曲强度的措施； 判断 弯曲正应力 1、“弯曲时梁横截面的中性轴通过截面形心。” 答案 此说法错误 答疑 当轴力为零，且材料的抗拉压弹性模量相等的条件下，中性轴通过截面的形心；否则中性轴有所偏移。

欲使梁的受力合理必须满足∣-Mmax∣=∣+Mmax∣,因而有：∣qL2/8-qLx/2∣=∣－qx2/2∣求解得到：x=

。

2、“梁的截面如图，其抗弯截面系数为WZ＝BH2/6-bh2/6” 8、一个体重为P的人，试图走过两端简单搁置在河两岸的木板便桥。只要板内最大弯矩超过板材所能承受的弯矩，板桥就会断开。问人走在何处时会有坠入河中的危险？为什么 ？ 答案 人走在桥的中间截面处有坠河的危险。

答疑 木板桥简化为简支梁，当人在桥上行走到任意位置时梁的弯矩图如下：

答案 此说法错误 答疑 抗弯截面系数WZ=IZ/(H/2)=(BH3/12-bh3/12)×2/H=BH2/6-bh3/6H 3、“控制弯曲强度的主要因素是最大弯矩值” 答案 此说法错误

答疑 控制塑性材料的弯曲强度的因素是最大弯矩，控制脆性材料的弯曲强度的因素是最大正弯矩和最大负弯矩；控制弯曲剪应力强度的因素是最大剪力。

4、“设梁某段承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纤维分别是伸长的和缩短的” 答案 答疑

5、“中性轴是梁的中性层与横截面的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转”

答疑

梁在发生平面弯曲时，中性轴的一侧受拉、纤维伸长，另一侧受压、纤维缩短，只有中性轴处既不受拉也不受压，所以横截面绕中性轴发生旋转

2、矩形截面纯弯梁，M、ｂ、ｈ均已知，则图示斜截面上正应力的分布规律为： 。

A:12My/bh3 B:6 My /bh3 C:3 My /bh3 D: 9 My /bh3

答案 正确选择：C

答案 此说法正确 答疑

答疑 横截面的分布规律为：ζ=My/IZ=12My/bh3，ζα=ζcos2

23

α=ζcos60=ζ/4=3My/bh

3、如图所示的二铸铁梁，材料相同，长度相等。承受相同的载荷F。当F增大时，破坏的情况是：

B：1梁先坏； C：2梁先坏

中性轴是横截面的中性层与横截面的交线，中性轴上的正应力为零。

梁在发生平面弯曲时，以中性轴分界：上压下拉或上拉下压，横截面A：同时破坏； 是绕中性轴发生旋转。

6、“平面弯曲时，中性轴垂直于载荷作用面” 答案

此说法正确 答疑

梁在发生平面弯曲时，中性轴与外载的作用面垂直。 7、“等截面梁产生纯弯时，变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变” 答案 此说法错误 答疑

等截面梁发生纯弯曲时，横截面在变形后仍保持为平面，但以中性轴为界，上压下拉或上拉下压，固横截面的形状和大小均发生变化。 选择 弯曲正应力

1、梁发生平面弯曲时，横截面绕 旋转。 A：轴线； B：中性轴； C：横截面对称轴； 答案

正确选择：B

A：上移； B：下移；

C：不动

答案 正确选择：3

答疑 混凝土属于塑性材料，抗拉强度较弱，所以应在梁内配置钢

筋以提高梁的抗拉强度。考虑到梁在左右两段承受负弯矩，使得梁在中性轴的上侧受拉，固在左右两段梁内钢筋应该布置在中性轴的上侧；中间一段梁承受正弯矩，使得中性轴的下侧纤维受拉，固钢筋应该布置在中性轴的下方。

选择 弯曲正应力

5、如图所示，抗拉压弹性模量不等的材料制成矩形截面弯曲梁，如果E拉>E压,则中性轴应该从对称轴Z 。 答案 正确选择 ：B

答疑 两梁的危险面均发生在固定端处，且危险面处有最大负弯矩，最大负弯矩值相同均为－FL。由于梁承受最大负弯矩，所以在横截面上产生上拉下压的弯曲正应力；1梁的中性轴偏下，产生拉应力的一侧距离中性轴较远，横截面上有较大的拉应力；又由于材料为铸铁，抗压不抗拉，所以1梁首先发生破坏。

4、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（虚线所示）配置最合理的是： 。

答案 正确选择：A

答疑两种材料在弯曲变形后中性层处有相同的曲率，而线应变ε＝y/ρ，固线应变与点到中性轴的距离成正比，固应变连续分布。而应力ζ＝Eε，由于材料不同，固应力不连续。

9、一铸铁工字型截面梁，欲在跨中截面腹板上钻一个圆孔，其位置有四种选择，从强度的角度考虑最合理的方案是 。

答案 正确选择：B

答疑 抗拉压弹性模量相等的材料制成的矩形截面梁在纯弯时中性轴位于横截面的对称轴处。若E拉>E压，此时中性轴不在横截面的对称轴处。由于横截面上不承受轴力的作用，固由弯矩产生的正应力满足以下关系：∫ζ拉dA拉-∫ζ压dA压=0 而 ζ拉=E拉y拉/ρ 、 ζ压= E压y压/ρ。代入得到：∫E拉y拉/ρbdy -∫E压y压/ρbdy =0。整理得到：∫E拉y拉dy＝∫E压y压dy。由于E拉>E压，所以有∫y拉dy<∫y压dy ，固有y拉

A：上升； B：下降； C：不变

答案 正确选择：A

答疑 腹板的中点处于弯曲变形的中性层处，弯曲正应力为零，

所以在腹板的中间处打孔危险最小。 填空 弯曲正应力

1、高宽比为h/b=2的矩形截面梁,若将梁的横截面由竖放(A)改为横放(B),梁的最大应力是原来的 倍。

答案 正确选择：C

答疑 悬臂梁受力后与大半径刚性圆柱面贴合时满足1/ρ

=M(x)/EI。由于梁的抗弯刚度EI为常量，刚性圆柱面的曲率半径为常量，固此后梁承受的弯矩M(x)为常量。所以力P增加，梁内的弯矩不变。

7、矩形截面梁横截面上只有正弯矩。假设材料的拉伸弹性模量和压缩弹性模量的比为3：2，那么确定中性轴Z位置的原则是受拉区I与受压区II 。

A：对Z轴的惯性矩之比IZ1:IZ2＝2:3 B：面积之比A1:A2＝2:3 C：对Z轴的静矩之比 Sz1:SZ2=2:3 D：高度之比y1:y2＝2:3

答案 梁的最大应力是原来的2倍

答疑 竖放时梁的最大应力为：ζ=M/Wz=M/bh2/6=6M/4b3 ，横放时

梁的最大应力为ζ=M/Wz=M/b2h/6=6M/2b3。所以横放是竖放的2倍。

2、在推导平面弯曲正应力的公式时，提出的两个假设为 ， 。

答案 正确选择：C

答案 平面假设、纵向纤维间无正应力。 3、梁的某段承受正弯矩时，靠近顶面或底面的纵向纤维分别： 。

答疑 横截面上由弯曲正应力合成的轴力N＝0，有∫ζtbdy-∫ζ

答案 受压、受拉 cbdy=0 而ζt＝Ety/ρ ζc＝Ecy/ρ 代入得到：∫ρEtyt/bdy -∫

ρEcyc/bdy =0 其中ρ为中性层处的曲率半径，b为横截面的宽度，对于受拉一侧和受压一侧，二者相等，固整理得到：Et∫ytdy -Ec∫ 答疑 正弯矩的定义是使得微段梁下凸，横截面上上压下ycdy =0。其中∫ytdy为受拉一侧的面积对中性轴的面矩，∫ycdy为拉。 受压一侧对中性轴的面矩。二者之比为St/Sc=Ec/Et=2/3。

8、由两种不同材料粘合而成的梁弯曲变形，若平面假设成立，那么在不同材料的交接面处 。 A：应力分布不连续，应变连续； 变连续；

B：应力分布不连续，应

4、变截面梁的主要优点是： 。等强度梁的条件是： 。 答案

变截面梁的优点：在一定的强度、刚度条件下，节约材料、减轻自重； 等强度梁的条件：各截面上的最大正应力都相等，且都等于材料的许用压力。

C：应力、应变分布均连续； D：应力、应变分布均不连续；

5、应用公式ζ=My/Iz时，必须满足的两个条件是 和 。

答案 各向同性的线弹性材料、小变形

答疑 公式ζ=My/Iz的推导过程中应用了虎克定律且在纯弯的条件下推导出来的。

答案 抗弯截面系数分别为 a3/6；a3/24；a3/6；a3/6

6、图示中两梁的几何尺寸和材料相同。由正应力的强度条件可得（B）

答疑 a图的抗弯截面系数为Wz=bh2/6=a3/6； b图中维粘合，是两梁的承载力是（A）梁的 倍。

个截面的迭放形式，抗弯截面系数取其中的一个Wz=bh2/6=a×

(a/2)2/6=a3/24； c图中的也为粘合，相当于梁截面的并列排放，其抗弯截面系数为：Wz=2×bh2/6=2×a/2×a2/6=a3/6； d图截面斜放，但截面是正方形截面，截面对于任意轴的惯性矩相等均为

答案 （B）梁的承载力是（A）梁的5 倍

答疑 A梁的最大弯矩为qL2/8，B梁的最大弯矩为qL2/40，在几何尺寸相等的条件下，B梁的承载力是A梁的5倍。

填空 弯曲正应力

7、图示中梁受移动载荷P的作用，当P移到 截面时，梁内的压应力最大。

答案 弯矩M＝ Eπd/[32(D+d)]

答案 当P移到D截面时，梁内的压应力最大。 答疑 当载荷移到D截面时，梁承受最大正弯矩，大小为M＝P/2×4=2P，此时D截面的顶面受压，最大压应力为ζ=My/Iz=2P×

2y1/Iz=4Py1/Iz；当载荷移到C截面处，梁承受最大负弯矩，大小为M＝－3P，此时C截面的底面受压，最大压应力为ζ=My/Iz=3P×y1/Iz=3Py1/Iz。所以当载荷移到D截面时，梁内的压应力最大。 8、直径为ｄ的圆截面杆受力如图，弹性摸量E、载荷P 、梁的尺寸L 、a均已知。则梁在C点处的曲率半径为ρ＝ 。

答疑 钢丝绕在直径为D的圆筒上，得到钢丝的中性层处的曲率半径，大小ρ＝(D+d)/2。根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI=M/EI,得到横截面上弯矩的大小为：M= EI/ρ=Eπd4/64ρ= E

44

πd/64×(D+d)/2= Eπd/[32(D+d)] 简述 弯曲正应力

1、解释下列名词：①平面弯曲；②中性层与中性轴

答疑 平面弯曲：作用在杆件上的所有外力都作用在纵向对称面内，梁的轴线在变形后是一条位于纵向对称面内的一条平面曲线。 中性层：梁在发生平面弯曲时，横截面仍然保持为平面，沿截面高度，由底面纤维的伸长连续地逐渐变为顶面纤维的缩短，中间必有一层纤维的长度不变，此层纤维称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。

答案 梁在C点处的曲率半径为ρ＝Eπd/(6 4Pa) 答疑

C截面处的弯矩为M=Pa，根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI=Pa/EI,所以C截面处的曲率半径的大小为ρ＝EI/Pa= Eπd4/(64Pa)

4

4

Iz=bh3/12=a4/12，抗弯截面系数为Wz=Iz/ymax= a4/12/

a/2=a3/6

10、直径为d的钢丝绕在直径为D的圆筒上。已知钢丝在弹性范围内工作，弹性摸量为E，钢丝所受的弯矩为 。

2、在房屋的建造中，常常可以看到用空心楼板和波瓦作的屋面，请用弯曲理论解释其好处何在。

答疑 由于楼板承受与楼板平面相垂直的外力，使楼板产生弯曲变形，中性层位于楼板厚度的一半处，在此处既不受拉也不受压，所以在中性层处采用空心既可以满足强度的要求，又减轻了楼板的自重。 波瓦的受力也是与其所在的平面相垂直的外力，采用波浪型是为了在横截面面积几乎不变的条件下，尽可能地提高截面的惯性矩，以减小波瓦的最大弯曲正应力。

9、下列四种截面梁均是边长为ａ的正方形截面，若载荷均作用在纵向对称面内，计算四种截面梁的抗弯截面系数WZ＝ 。（b、c两种截面未经粘合） 3、材料、横截面均相同的两梁，变形后轴线为两个同心圆，那么，

最大弯曲正应力哪一个大？

可见钢丝内的最大正应力与钢丝的直径有关，钢丝的直径增大，钢丝的横截面上的正应力也增大，固不能通过加大钢丝直径的办法来减少钢丝内的弯曲正应力。

答案 b的弯曲正应力大

答疑 根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI，考虑到ρa>ρb ,得到Ma(x)/EI

答疑 拉压的平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线；

扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变；

弯曲变形的平面假设：变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。

在拉压时的平面假设允许截面的大小发生变化，但横截面只是沿轴线方向有位移；

扭转时的平面假设，截面的大小、形状无变化，只是像刚性圆盘一样绕轴线产生相对转角；

弯曲变形的平面假设，横截面绕中性轴产生旋转，变形后的平面与变形前的平面有一夹角。

5、矩形截面梁的尺寸中，高h为宽度b的2倍，承受铅垂载荷的作用，如果将梁由竖放改为平放，其他条件不变，梁的强度将发生怎样的变化？

答案 施加一个瞬时针的力偶，力偶矩的大小为EI/R。 答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI，此时梁的曲率半径ρ＝R，所以有M(x)=EI/R。梁的抗弯刚度EI为常量，刚性圆柱面的半径R为常量，所以悬臂梁的横截面的弯矩M为常量，大小为EI/R。

8、用铅笔写字，笔尖折断，是什么应力导致的结果？为什么？ 答案 是拉应力导致笔尖折断

答疑 写字时，笔尖受弯，且是脆性材料，在受拉的一侧应力达到极限应力时，笔尖发生脆性断裂。

9、矩形截面梁承受纯弯曲，分别在1－1、2－2截面处有铅垂和水平方向的直径为ｄ的穿透圆孔如图。分别画出1－1、2－2截面的正应力分布图，并写出此二截面的最大正应力的计算公式。

7、悬臂梁的刚度为EI，一端固定，另一端自由。刚性圆柱面的半径为R，若使梁变形后与圆柱面完全吻合而无接触压力，应如何加载？。

答案 1－1截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力ζ=M/Wz=Mh/2/(bh3/12-dh3/12)=6M/h2(b-d)。

答案 梁的强度减低

答疑 竖放时ζ=M/Wz=M/bh2/6=6M/4b3，横放时ζ

23

=M/Wz=M/hb/6=6M/2b；所以由竖放改为横放梁的强度降低，最大正应力是竖放时的2倍。

简述 弯曲正应力

6、有一直径为d的钢丝绕在直径为D的圆筒上，钢丝仍然处于弹性范围。为减少弯曲应力，有人认为要加大钢丝的直径，你说行吗？说明理由。

答案 此方案不行

答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI，此时钢丝的曲率半径ρ＝(D+d)/2，整理得到钢丝承受的弯矩为

M(x)=2EI/(D+d)；根据弯曲正应力的计算公式ζ=M/Wz，得到ζ

=2EIz/(D+d)Wz=2E/(D+d)×(IZ/Wz)=2E/(D+d)×d/2=Ed/(D+d)，由此

2-2截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力ζ

3333

=M/Wz=Mh/2/(bh/12-bd/12)=6Mh/b(h-d)。

答疑

1-1截面上的弯曲正应力线性分布，中性层处的正应力为零，正应力按上压下拉连续变化；绝对值最小的正应力的值为零，发生在中性层处；绝对值最大的正应力发生在h/2处。

2－2截面在中性层附近为空心，在d/2到h/2的范围内正应力线性分布。绝对值最小的正应力发生在d/2处，绝对值最大的正应力发生在h/2处。

10、 在推导梁的纯弯曲正应力的计算公式时，作过平面假设，问此

假设在推导过程中起到了什么作用？ 答疑 因为假设横截面保持为平面，才可以得出纵向纤维的线应变在横截面上成直线变化，从而可以建立应变与位移（转角）之间的几何关系。

判断 弯曲剪应力

答疑 矩形截面梁的最大剪应力为3Q/2A；正方形截面梁的最大剪应力为3Q/2A；圆形截面梁的最大剪应力为4Q/3A；设薄壁圆环的平均半径为R，则薄壁圆环截面的惯性矩为IZ=πR3t，半截面对中性轴的面矩为S*=

，固截面的最大剪应力

为η＝Q S*/bIz=2QR2t/(2t×πR3t)= Q/πRt=2Q/A。 2、横力弯曲时，横截面上 。

A：正应力不等于零，剪应力等于零； B：正应力等于零，剪应

力不等于零； C：正应力、剪应力均不等于零； D：正应力、剪应力均等

于零； 答案 正确选择：C

1、“横力弯曲梁某截面上的最大弯曲剪应力一定位于该截面的中性轴上。”

答案 此说法错误

答疑 横力弯曲时，横截面上既有剪力又有弯矩，弯矩产生正应力，剪力产生剪应力。 填空 弯曲剪应力

答疑 宽度b没有突变的横截面上，最大剪应力总是出现在中性轴上各点处，如矩形截面、圆形截面、工字钢截面。但对于横截面宽度有变化、或横截面的宽度b在中性轴处显著增大的截面如十字型截面，或某些变宽度的截面如等腰三角形截面，最大剪应力不出现在中性轴上。

例如：图示中的横截面关于中性轴上下不对称，最大剪应力不发生在中性轴处，而是发生在图示中红线所示的位置处。

1、矩形截面简支梁，不计梁的自重，A点处的最大剪应力＝ ，B点处的最大正应力＝ 。

答案 η=3F/8bh；ζ= 3Fa/bh2

2、“梁在横力的作用下发生平面弯曲时，横截面上最大剪应力点的正应力不一定为零“ 答案 此说法正确

答疑 梁在发生平面弯曲时，最大剪应力不一定总是位于中性轴处，固最大剪应力的所在的点处正应力不一定为零。

例如：图示中的横截面关于中性轴上下不对称，但最大剪应力不发生在中性轴处，而是发生在图示中红线所示的位置处，此处的正应力不为零。

答案 ζ= 3PL/2bh2；η=3P/2bh；

答疑 当载荷移到梁的中点时，梁承受最大正弯矩，大小为PL/4, 此时在中间截面的最上面与最下面分别产生最大正应力，大小为ζ=M/Wz=PL/4Wz=3PL/2bh2；当载荷移到离支座很近时，梁承受最大剪力的作用，剪力的大小为P，此时在危险截面的中性层处产生最大剪应力，大小为η=3Q/2A=3P/2bh。

3、简支梁承受集中载荷的作用，梁内A点处的剪应力等于 ，B点处的正应力等于 ，C点处的正应力等于 。 答疑 截面为矩形截面，A点处的最大剪应力为η=3Q/2A=3×F/4/2bh=3F/8bh；B点处的最大正应力ζ=M/Wz=Fa/2×

22

(6/bh)=3Fa/bh。

2、一矩形截面简支梁的跨度为L，当一载荷P从A运动到B时，梁上的最大弯曲正应力为 ，最大弯曲剪应力为 。

选择 弯曲剪应力

1、下列各梁的面积相等，其上的剪力也相等，则 截面上的最大剪应力最大。

A：矩形； B：正方形 C：圆型； D：薄壁圆环； 答案 正确选择：D

答案 0、 0、 2Pa/bh2

答疑 A、B、C三点所在的截面上的剪力为Q＝P/3,弯矩为M＝＋Pa/3。A点位于截面的最下层纤维处，所以A点处的剪应力为零；B点位于横力弯曲的中性层处，B点的弯曲正应力为零；C点的正应力为该截面上的最大正应力发生处，大小为ζ=M/Wz=Pa/3/bh2/6=2Pa/bh2。

4、跨度较短的工字型截面梁，在横力弯曲的条件下，危险点可能发生在 处、 处和 处。

答案 上下翼缘的最外侧、腹板的中点、腹板和翼缘的交接处

答疑 跨度较小的工字型截面梁，在上下翼缘的外侧存在最大正应力，在腹板的中点存在最大剪应力，在腹板与翼缘的交接处同时存在较大的正应力和较大的剪应力。

5、工字型截面梁在横力弯曲的作用下，翼缘的主要功能是 ；腹板的主要功能是 。 答案 抗弯、 抗剪

答疑 翼缘承担大部分的弯矩，腹板承担大部分的剪力；

简述 弯曲剪应力

1、横力弯曲时平面假设为何不成立？既然平面假设不成立，为何仍用纯弯的应力计算公式计算横力弯曲时的正应力？

剪应力的分布规律如图：

答疑 梁承受正弯矩，在横截面上产生上压下拉的弯曲正应力，中性轴偏上，固最大拉应力大于最大压应力；横截面上的剪力不为零，在横截面上产生弯曲剪应力，在距离中性轴最远处剪应力为零，剪应力的最大值发生在中性轴处，但在截面尺寸突变处剪应力突变。 3、欲用厚度为ａ的板材粘合成一个箱型截面梁，从剪切强度考虑采用那种截面形式较为合理？为什么？

答案 采用b的形式较为合理。

答疑 图a中，粘合面处的剪应力完全由粘合物质承担，容易发生剪切破坏；图b中粘合处有完整的立板，剪应力大部分由立板承担，不易发生剪切破坏。固b的承载能力比a图的大

答疑 横力弯曲时横截面上不但有正应力还有剪应力，由于剪应力的存在，必然要引起剪应变，剪应力沿高度并非均匀分布，所以剪应

4、说明A－A截面上的应力种类，并画出应力的分布规律。

变沿高度也不是均匀分布，靠近顶面和底面处的单元体无剪应变，随着离中性层距离的减小，剪应变逐渐增加，在中性层上达到最大值，剪应变沿高度的这种变化，引起在横力弯曲时横截面不再保持为平面，固平面假设不能成立。

但是当梁的横截面高度h远小于梁的跨度L时，用纯弯得到的正应力的计算公式来计算横力弯曲的正应力，不会引起太大的误差，能够满足工程问题所需要的精度。而h<

答疑 A－A截面上存在剪力和正弯矩，固在截面上存在弯曲剪应力和弯曲正应力。

正应力的分布规律是上压下拉且连续变化，如图所示。

答案 正应力的分布规律如图：

剪应力的分布规律为：距离中性轴最远的最上端剪应力为零，在靠近上端的尺寸突变处剪应力突然增大，在下端的尺寸突变处，剪应力突

然减小，在距离中性轴最远的最下端剪应力也为零。最大剪应力不发生在中性轴上而是发生在靠近中性轴的尺寸突变处。分布规律如图所示。

答案 正方形C

答疑为了提高弯曲强度，在横截面面积不变的条件下，应选择惯性矩较大的截面形式。正方形截面比圆形截面有较大的惯性矩，但斜放的正方形截面虽然惯性矩的大小不变，但危险点离开中性轴的距离偏大，抗弯截面系数较小，所以应选择正方形C的截面形式。

5、应用材料力学方法计算梁弯曲问题时，试说明引进了哪些假设（包

括基本假设和针对梁弯曲的假设）。并说明引入这些假设的目的。 填空 提高弯曲强度 1、重物P可在梁上自由移动：①

若横梁为T字形铸铁截面梁，截面应按 方式放置？

答疑基本假设：均匀、连续、各向同性，其主要目的是便于将高度数学的微积分工具用于研究构件的受力和变形，这也是对所有变形固体的基本假设。 在分析梁的弯曲正应力时，作了两个重要假设：一是针对纯弯曲梁的变形特征所作的平面假设，目的是便于得到简单的变形几何关系；二是纵向纤维间无正应力的假设，目的是便于利用单向应力状态的简单虎克定律。 在分析梁的弯曲剪应力时，主要是

针对横截面的具体形状，对横截面上各点剪应力的大小和方向作合理

的假设。如对矩形截面作了两个假设①横截面上各点剪应力的方向都

答案 正T型截面 平行于剪力；②剪应力沿截面宽度均匀分布。 选择 提高弯曲强度

1、等强度梁各个横截面上的 。 A：最大正应力相等 B：最大正应力相等且等于许用正应力； C：最大剪应力相等 D：最大剪应力相等且等于许用剪应力 答案 正确选择：B

答疑 等强度梁的设计原则是：变截面梁的各横截面上的最大

正应力都相等，且等于许用压力，此梁才能充分发挥作用。 2、厂房中的“鱼腹梁”是根据简支梁上 而设计的等强度梁。

A：受集中力、截面宽度不变 B：受均布力、截面宽度不变； C：受集中力、截面高度不变 D：受均布力、截面高度不变； 答案 正确选择：A

答疑 梁承受有最大正弯矩Pa和最大负弯矩－2Pa；在最大负弯矩

处产生上拉下压的正应力，材料抗压不抗拉，固横截面的中性轴应偏上，选择正T型截面。

2、铸铁梁受弯时，梁的横截面中性轴一般应设计成不对称的，其形心位置应偏向 一侧更为合理。 答案 受拉

答疑 铸铁材料抗压不抗拉，应该使梁的受拉一侧离中性轴近一些，这样梁的最大拉应力会降低，从而提高梁的强度。

简述 提高弯曲强度

1、T型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放置中，强度最高？

答疑 “鱼腹梁”在工程中简化为受集中载荷作用的简支梁， 答案 a放置方式时弯曲强度最高 在设计时保持梁的横截面宽度不变，高度随截面的位置变化。

答疑 铸铁梁应该采用非对称截面，T型或倒T型，考虑到承受正弯矩，产生上压下拉的正应力，铸铁材料抗压不抗拉，应使中性轴偏3、铸铁悬臂梁在自由端受集中力F的作用，其合理的截面形状为： 下，固选择倒T截面合理。

2、简支梁材料为普通碳钢，承受均布载荷，采用哪种截面形式最合理？如果材料为铸铁，哪种截面合理？为什么？

答案 T型截面合理

答疑 悬臂梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的弯曲正应力。悬臂梁的材料为铸铁，抗压不抗拉，所以应选择中性轴偏上的不对称截面形式――T型截面较合理。

4、在横截面的面积不变的条件下，采用 截面才合理。

答案 如果材料为普通碳钢应采用工字型截面、如果材料为铸铁应采用倒T型截面

碳钢属于塑性材料，抗拉压强度相等，宜采用对称截面，选择

矩形或工字型截面，但工字型截面相对于矩形截面有较大的惯性矩，所以碳钢材料时，选择工字型截面较好。

铸铁材料是脆性材料，抗拉压强度不等，宜采用不对称截面，选择T型或倒T型截面；此梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，考虑到铸铁抗压不抗拉，中性轴应靠近受拉一侧，固选择倒T型截面较合理。

3、材料E以及横截面面积A均相同，哪一个截面承担的最大弯矩M最大？

答疑 采用倒T截面

铸铁梁应该选择不对称截面。此梁承受有最大正弯矩和最大负弯矩，最大正弯矩的值为3M/5，最大负弯矩的值为－2M/5。最大正弯矩产生上压下拉的正应力，铸铁材料抗压不抗拉，固中性轴应该偏下，选择倒T截面。 倒T型放置时最大正弯矩截面的最大拉应力为ζ=3My2/5Iz；在最大负弯矩处产生的最大拉应力为ζ=2M

y1/5Iz=4My2/5Iz。如果选择T型截面，在最大正弯矩处的最大拉应力为ζ=3M y1/5Iz=6My2/5Iz；在最大负弯矩处的最大拉应力为ζ=2My2/5Iz。

7、板与4块不等边角钢组成复合型截面梁，请画出合理截面的组合形式。

答案 截面的组合形式如下

4、T型截面铸铁梁，受主动力偶M作用，从强度的角度考虑，应如何放置？阐述原因并画出横截面上的应力分布规律。

答案 工字型截面承担的弯矩最大

答疑 在横截面面积相同的情况下，应使截面的大部分分布在远离中性轴的区域，此时截面有较大的惯性矩，承载能力也最大。工字型截面有较大的惯性矩。

答疑 倒T型放置

答疑 应使梁的横截面的大部分分布在远离中性轴的区域，以提高截面的惯性矩，从而提高梁的承载力。

在梁承受正弯矩的情况下，产生上压下拉的正应力。铸铁材料抗压不8、铸铁梁从强度的角度考虑放置是否合理？ 抗拉，所以应使梁的中性轴偏下比较合理，固应采用倒T截面形式。应力分布规律为：

答案 1图合理；2图不合理。

答疑 图1中的梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的正应力；梁的材料为铸铁，抗压不抗拉，应使横截面的中性轴靠近受拉的一侧，固

5、简述：应从哪些方面考虑提高梁的承载力？ 中性轴应偏上，而图1中的截面形式中性轴是偏上的，固图1中的放

置形式合理。 图2中的铸铁梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正

答疑 降低梁的最大弯矩，采用合理截面，采用等强度梁。 应力，中性轴应偏下，但图示中的放置形式的中性轴偏上，固此放置

形式不合理。

简述 提高梁的弯曲强度

9、一T型截面铸铁梁，在下列条件下T字型是正放还是倒放？并

6、简支梁的材料为铸铁，梁的总长度为L。承受的外力偶为M，方向指出危险点的可能位置。①:全梁的弯矩M>0；②全梁的弯矩M<0； 如图。外力偶矩的作用面到左端固定铰的距离为2L/5。欲采用下面

的四种截面形式，y1/y2=2，为此梁选择最佳的截面形式为 。 答案 ①:全梁的弯矩M>0时，应该选择倒放；危险点的可能位置阐述原因。 发生在最大正弯矩处离中性轴最远的最上端和最下端。；

②全梁的弯矩M<0时，应该选择正放；危险点的可能位置发生在最大

负弯矩处离中性轴最远的最上端和最下端。

答疑 全梁的弯矩M>0时，说明梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，材料本身抗压不抗拉，中性轴应偏下，选择倒T型截面； 全梁的弯矩M<0时，梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的正应力，中性轴应偏上，选择正T型截面形式。

10、在建筑工地上有时会看到将要安装的屋架梁制造成如图所示的形状，即靠近中间的在腹板上有许多圆孔，且工字截面的中间高、两边低。从材料力学的角度看是否合理？为什么？ 施； 判断 弯曲变形 1、“平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线” 答案 此说法正确 答案 合理 答疑 屋架梁产生弯曲变形，中性层发生在截面的中间处，此处的弯曲正应力的值偏小，固在靠近中间的部分挖去许多孔，既满足了屋架的弯曲强度又节约材料、降低了屋架的自重。 答疑 平面弯曲时梁的挠曲线是纵向对称面内的一条平面曲线。 2、“由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比” 屋架的受力，一部分是本身的自重，另一部分是与轴线垂直的外载，使得屋架承受的弯矩中间截面大，两端的弯矩值偏小，为了提高屋架 答案 此说法错误 的抗弯曲强度，节约材料，减轻自重，应该采用横截面随弯矩的变化而变化的变截面梁，在弯矩较大的中间截面处采用的工字型的高度较 答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可知，转角与弯矩之间大；在弯矩较小的两边，采用的工字型截面的高度较小。 的关系为θ＝∫M(x)/EIdx，挠度与弯矩之间的关系为 v＝∫[∫M(x)/EIdx]dx，不是正比的关系。 11、古罗马建寺院，运输石柱时用两个滚子支撑，用牛拉它前进，经验表面石柱会在图示位置破坏，解释原因。并请提出你的建议。 3、“只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程” 答案 此说法错误 答疑 挠曲线近似微分方程的应用条件是：线弹性、小变形。 4、“两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相 答疑 石柱仅受自重的作用，石柱的受力可看成均布在和的作用，同” 根据石柱的受力和支撑情况画出石柱的弯矩图如图所示： 答案 此说法正确 答疑如果两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可知挠曲线的二阶导数相同，积分的结果相同。 5、“梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间从弯矩图可以看出，在支撑点承受的弯矩最大，且该截面上方受拉，铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。” 石柱为脆性材料，抗拉能力较差，因此在支撑的上方将被拉断，使其开裂。 要使石柱的受力合理，将减少危险面上的弯矩，较好的办法 答案 此说法正确 是使石柱承受的最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等。固将滚子移到距离端部为a的位置，由受力分析得到最大负弯矩发生在支撑处， 答疑 在分段处梁满足连续性条件。 最大正弯矩发生在中间截面处，其值分别为： M-max=-qa2/2； M+max=qL(L/2-a)/2-q(L/2)2/2。令|M-max|=|- M+max|有qa2/2＝qL(L/2-a)/2-q(L/2)2/2，求解得到a=0.207L，即将滚子支撑在距离端面a=0.207L处时，石柱受到的弯矩最小。 第六章 弯曲变形 1、 挠曲线上任意一点的曲率与弯矩之间的关系：1/ρ=M(x)/EI以及适用条件； 2、 弯曲变形的位移； 3、 挠曲线近似微分方程； 4、 积分法求梁的变形； 5、 各种梁的边界条件和连续性条件； 6、 叠加法求梁的变形； 7、 梁的刚度条件； 1、积分法求梁的变形中积分常数的确定； 2、叠加法求梁的变形时要注意考虑其他段上的载荷、变形对本段的影响； 6、“最大挠度处的截面转角一定为0” 答案 此说法错误 答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI，积分分别得到转角方程θ(x)＝∫M(x)/EIdx、挠曲线方程 v(x)＝∫[∫M(x)/EIdx]dx，挠曲线的一阶导数为y’(x)＝∫M(x)/EIdx＝θ(x)，由此可知：在转角为零处，挠度取得极值，但不是最值。 7、“最大弯矩处的挠度也一定是最大” 答案此说法错误 答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI说明挠曲线在最大弯矩处有最大的二阶导数值，但挠度不一定是最大的；例如悬臂梁的最大弯矩发生在固定端处，在此处梁的挠度不是最大 8、“梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。” 答案 重点 难点 1、 梁的变形的度量——挠度和转角的概念； 2、 梁的挠曲线近似微分方程； 3、 挠曲线近似微分方程的适基本知识点 用范围； 4、 积分法求梁的变形； 5、 叠加法求梁的挠度和转角； 6、 确定挠曲线的大致形状； 7、 运用刚度条件进行梁的刚度计算； 8、提高梁弯曲刚度的措9、“只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求” 答案 此说法错误

答疑 挠曲线的适用范围是线弹性、小变形。如果采用y’’=M(x)/EI的形式就必须设轴线方向为x轴，横截面的位移方向为y轴，固挠曲线在xoy平面内。

3、等直梁在弯曲变形时，挠曲线最大曲率发生在 处。

答疑 叠加法应用的前提是：小变形、材料服从虎克定律。 10、“两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关”

答案 此说法错误

答疑 梁的变形与材料有关。

4、在简支梁中 ，对于减少弯曲变形效果最明显。

11、“一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同”

A：减小集中力P； B：减小梁的跨度； C：采用优质钢；

D：提高截面的惯性矩

A：挠度最大； B：转角最大 C：剪力最大； D：弯矩最大；

答案 正确选择：D

答疑 根据挠曲线曲率与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI可得，挠曲线的曲率与弯矩成正比，在弯矩最大处曲率最大。

答案 此说法错误

答疑 截面正放与倒放，截面对中性轴的惯性矩没有改变，固变形相同；但应力与截面的放置方式有关，正放或倒置时截面上距离中性轴最远的点到中性轴的距离不同，固同一截面上的应力不等。 选择 弯曲变形

1、圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大正应力是原来的 倍；最大挠度是原来的 倍。若梁的长度增大一倍，其他条件不变，最大弯曲正应力是原来的 倍，最大挠度是原来的 倍。 A：2； B：16 C：8 D：4；

答案 正确选择：B

5、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①ζ=My/IZ ,②y’’=M(x)/EIZ哪一个会得到正确的计算结果？

A：①正确、②正确； B：①正确、②错误； C：①错误、②正确； D：①错误、②错误；

答案正确选择：C、B、A、C

答疑 当悬臂梁的横截面直径为d时的最大正应力为ζ=M/Wz=32M/

3334

πd，最大挠度为v=PL/3EI=64PL/3Eπd；当梁的直径减少一半其他条件不变时梁的最大正应力为ζ=M/Wz=32M/π(d/2)3=8×32M/πd3,固最大正应力是原来的8倍；此时梁的最大挠度为v= PL3/3EI’=64PL3/3Eπ(d/2)4=16×64PL3/3Eπd4,最大挠度是原来的16倍。若梁的长度增大一倍，其他条件不变，此时最大弯矩为2M，抗弯截面系数不变，此时最大正应力是原来的2倍，此时梁的最大挠度为v=P(2L)3/3EI=8PL3/3EI,固梁的最大挠度是原来的8倍。 2、y’’=M(x)/EI在 条件下成立。

C：变形必须是小变形；

A：小变形； B：材料服从虎克定律；

答案 正确选择：C

C：挠曲线在xoy面内； D：同时满足A、B、C； 答案 正确选择：D

答案 正确选择：B

答疑 ζ=My/IZ的适用范围是线弹性，只要梁的变形在线弹性范围内，不论变形的大小该公式均适用；y’’=M(x)/EIZ的适用范围是线弹性、小变形。此时板条已经弯成1/4圆，是大变形，不在小变形的范围内，固此公式不适用。

6、应用叠加原理求横截面的挠度、转角时，需要满足的条件是 。

A：梁必须是等截面的；

B：梁必须是静定的；

D：梁的弯曲必须是平面弯曲。

答疑 在小变形、材料服从虎克定律的前提下，挠曲线的微分方程是线性的，计算弯矩时用梁在变形前的位置，结果弯矩与载荷的关系是线性的，这样对于几种不同的载荷，弯矩可以叠加，挠曲线微分方程的解也可以叠加。

7、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗弯刚度的有效措施是： 。

A：热处理； B：选用优质合金钢； C；增大直径； D：提高表面光洁度； 答案 正确选择：C

答疑 增大直径相当于提高截面的惯性矩。

答案 正确选择：B

’’

答疑 根据挠曲线微分方程y=M(x)/EI,整理得到M(x)=EIy’’。

2

将所给定的挠曲线方程求二阶导数得到EIy’’=q(lx-x)/2，固此梁

2

的弯矩方程为M(x)= q(lx-x)/2。欲使弯矩取得极值需要满足8、等直梁的最大弯矩处，局部增大直径， 。

dM/dx=0。求解dM/dx=0得到 x=L/2，即在梁的中间截面处弯矩取得极值，大小为M=q(L×L/2-(L/2)2)/2=qL2/8。取得极值，大小为M=q(L

A：仅提高强度； B：仅提高刚度； C：强度、刚度均有提高； 22

×L/2-(L/2))/2=qL/8。 答案 正确选择：A

答疑 局部增大直径，可以使该处的最大应力降低，提高梁的弯曲强度；由于梁的挠度是在整个梁上的积分，是累积效应，固不能明显地提高梁的弯曲刚度。

9、两简支梁的材料、截面形状、梁中点承受的集中力P均相同，而两梁的跨度之比为L1/L2=1/2，则其最大挠度之比为y1max/y2max= 。 A:1/2

B:1/4

C:1/6

D:1/8

答案 正确选择：A

答疑 梁的弯矩方程是分段函数，但梁的挠曲线是一条光滑连 续曲线，在分段处满足连续性条件。

答案 正确选择： D

13、已知两梁的跨度、载荷均相同。比较图示中两梁的强度和刚度。其中：2图为两根高度为h/2，宽度为b的矩形截面梁叠加而成的，且相互间的摩擦不计，有 。

B：强度不同、刚度相同； D：强度、刚度均不同；

12、C截面为梁的中间截面，在图示中的力的作用下，C截面左右两

侧的转角 。

A：|θ左|＝|θ右| B：|θ左|>|θ右| C：|θ左|<|θ|

右

答疑 跨度为L的简支梁在梁的中点受集中力P作用时，梁中点的

3

挠度为PL/48EI，跨度为2L的简支梁在梁的中点受集中力P作用时，梁中点的挠度为P(2L)3/48EI=8PL3/48EI。固二者的最大挠度之比为

A：强度相同、刚度不同； 1：8

10、图示中的二简支梁在跨度中点截面处的 。 A：转角和挠度均相等； B：转角和挠度均不等； C：转角相等、挠度不等； D：转角不等、挠度相等；

答案 正确选择：D C：强度、刚度均相同；

答疑 图1中梁的最大应力为ζ＝M/W=6PL/bh2,最大挠度为

v=PL3/3E×(bh3/12)；图2中的两梁迭放，相当于两个独立的梁共同

承担弯矩PL，有M1＋M2＝PL；两梁的挠曲线有相同的曲率1/ρ1＝1/

答案 正确选择：D ρ2，考虑到曲率与弯矩之间的微分关系 1/ρ1=M1/EI,1/ρ2=M2/EI，

有M1/EI＝M2/EI。迭放在一起的上下两梁的抗弯刚度EI相等，得到

4

答疑 作用有均布载荷的梁在中点处的挠度为5ql/384EI；作用有两梁承担的弯矩相等，即有M1＝M2＝PL/2。那么其中一根梁内的最大

22

线性分布的载荷梁的中点处的挠度等于同一梁上作用有2q的均布载正应力为ζ＝M/W=PL/2/b(h/2)/6=12PL/bh,v=

3333

固二者的强度、荷的梁的中点挠度的一半，固线性分布载荷的梁在中点挠度的大小为PL/3EI’=PL/2/3E(b(h/2)/12)=4PL/3E×(bh/12)。

5(2q)l4/384EI×1/2=5ql4/384EI, 固二者在中间截面处的挠度相等。 刚度均不同。 均匀分布载荷的梁在中间截面处的转角为0，而线性分布载荷的梁在中间截面处的转角不为零。

11、已知一梁的挠曲线方程为：EIy=-qx(l3-2lx2+x3)/24，所取的坐标系如图，则该梁的最大弯矩是： 。 A：ql2/4; B：ql2/8 C：ql2/16

14、图示中的悬臂梁采用两种截面形式，一种为相同的矩形截面叠放

而成，无胶接；另一种为完整的正方形截面。在小变形的情况下迭放的梁内最大弯曲正应力是完整截面形式的梁的最大正应力的 倍。

A：2； B：4； C：8； D：16；

C：强度、刚度均提高； D：强度、刚度都降低；

答案 正确选择：A

答疑 完整的正方形截面梁的最大应力为ζ＝M/W=6PL/a3，迭放的梁内的最大正应力为ζ＝M/W=PL/2/a(a/2)2/6=12PL/a3。固迭放的梁内的最大正应力是完整截面的2倍。

答案 正确选择：B

答疑将截面倒置后，截面对中性轴的惯性矩没有改变，固刚度不变；但强度与截面的放置方式有关；此梁承受负弯矩，产生上拉下压的正应力，正放时，中性轴距离受拉一侧较近，最大拉应力较小，倒置时，中性轴距离受拉一侧较远，最大拉应力的数值较大，强度降低。

18、正方形截面分别按图示中的两种情形放置，则两者间的抗弯刚度

15、图示中的两个简支梁跨度相同，一根为钢，一根为铜，已知它们之间的关系为 。 的抗弯刚度EI相同，在相同的力P的作用下，二者的 不同。 A：支反力； 转角；

B：最大正应力； C：最大挠度；

D：最大

A：(a)>(b) 定

B：(a)<(b)

C：(a)=(b)

D：不一

答案 正确选择：B

答疑 二者的支座反力相同；简支梁的中点作用有集中力时梁的最

32

大挠度v=PL/48EI,最大转角为θ＝PL/16EI，固二梁的最大挠度、最大转角均相同；二梁的最大弯矩相同，根据弯曲正应力与弯矩之间的关系ζ＝M/W，由于抗弯刚度相同，材料不同，固截面的惯性矩不同，抗弯截面系数也不同，所以最大正应力不同。

16、图示中的悬臂梁，为减少最大挠度，则下列方案中最佳方案是 。

A：梁长改为L/2，惯性矩改为I/8； B：梁长改为3L/4，惯性矩改为I/2；

C：梁长改为5L/4，惯性矩改为3I/2； 矩改为I/4；

D：梁长改为3L/2，惯性

答案 正确选择：C

答疑 正方形截面对于过形心的任何轴的惯性矩相等，固两种放置方式中的抗弯刚度相同。 填空 弯曲变形

1、应用叠加原理求梁的位移，必须满足的条件有 ， 。 答案 线弹性（材料服从虎克定律）、小变形。

答疑 在线弹性、小变形的条件下，挠曲线微分方程是线性的；在小变形的前提下，计算弯矩时用梁在变形前的位置，这样弯矩与载荷之间的关系是线性的，对于几种不同的载荷弯矩可以叠加，微分方程的解也可以叠加。

2、应用梁的挠曲线近似微分方程y’’=M(x)/EI时， 其使用条件应为： 。

答案 正确选择：B

答疑 正常情况下的最大挠度为v=FL3/3EI，A方案的最大挠度为

33

vA=F×(L/2)/3E×I/8= FL/3EI=v；B方案的最大挠度为vB=F×(3L/4)3/3E×I/2= 27/32×FL3/3EI=27/32v；C方案的最大挠度为vC=F

33

×(5L/4)/3E×3I/2= 125/96×FL/3EI=125/96v；D方案的最大挠度为vD=F×(3L/2)3/3E×I/4=27/2× FL3/3EI=27/2v；

另外：一般情况下通过减小梁的跨度、增大截面惯性矩等办法来提高梁的弯曲刚度，固可直接判断得C、D方案不合理。

17、T型截面铸铁梁在铅垂面内弯曲，若将截面倒置，则梁的强度和刚度与原来的相比 。 A：强度提高、刚度不变；

B：强度降低、刚度不变；

答案 θD=－Fa2/2EI、fC=-5Pa3/6EI

答疑 在推导此近似微分方程的过程中，忽略了转角dv/dx，近似

认为挠曲线是一条很平坦的曲线，转角dv/dx非常小，忽略不计；在推导公式的过程中没有考虑剪力对变形的影响；

3、图示中静定梁的抗弯刚度为EI。D点的挠度为fD=-Pa3/(3EI)，B截面的转角为θB=5Pa2/(6EI)，则D截面的转角为θD= ；C点的挠度为fC= 。

答案 应力小于比例极限、小变形、剪力对变形的影响可以略去不计

答疑 整个梁在变形后的挠曲线形状为：

根据几何关系得到：tgθB=yc/BC yc=BC tgθB=a tgθB≈aθB= FL2a/16EI。

7、如图所示中两梁的横截面大小形状均相同，跨度为L，则两梁的

梁在BC段不受外力的作用，通过静力平衡分析得到B、C两处内力图 ，两梁的最大正应力 ，两梁的变形 。的约束反力均为零， BC段的内力为零，固在BC段上梁不发生弯曲，（填写“相同”或“不同”） 只是绕B点转动一个角度θB，通过几何关系得到tgθB=fc/BC=fc/a,整理得到fc=a×tgθB ，在小变形的情况下有tgθB≈θB ，得到 fc=aθB=-5Pa3/6EI。

由于C处的约束反力为零，所以CD段的弯矩为零，CD段也不产生弯曲，只是由于AD段的弯曲变形带动CD段产生沿AD段的D截面切线方向的位移。通过图示中红线所围成的三角形的几何关系有：tg

2

θD=(∣fc∣-∣fD∣)/a 在小变形的情况下有θD≈tgθD= Fa/2EI,方向为瞬时针方向。

4、悬臂梁的抗弯刚度为EI，梁长为2L。坐标轴的原点在A处。①写出挠曲线近似微分方程 EIy’’= 。 ②当M＝3PL/2时，该悬臂梁转角θ＝0的截面位于x＝ 处。

答案两梁的内力图相同，最大正应力相同，两梁的变形不同。 答疑 简支梁两端的支反力的大小分别为P，且左端的支反力向下，固两梁的内力图相同；两梁的最大弯矩相等均为－PL，在横截面大小形状相同的条件下，最大正应力相等。虽然两梁的弯矩方程相同，挠曲线微分方程相同，但积分后的边界条件不同，，固得到两条形状不同的曲线，所以弯曲变形不同。

8、图示中梁的抗弯刚度为EI，C处为弹性支座，弹簧刚度为K。为求弹簧所受的力，则所取变形协调条件为： 。

答案 挠曲线方程为EIy’’=M-P(2L-x)；转角等于零的截面位于x=0、x=L/2；

答疑 横截面的弯矩方程为M(x)=M-P(2L-x)；当M＝3PL/2时,弯矩方程为M(x)=px-PL/2,代入挠曲线微分方程得到：EIy’’=Px-PL/2, 答案 fc（Nc,P）=Nc/K

2

积分一次得到转角方程为 EIy’=Px/2-PLx/2，令转角y’＝0，得到x=0、x=L/2。 答疑 协调方程为：梁在C处的挠度等于弹簧的变形。 5、已知图ａ中梁在中点的挠度为5qL4/384EI,那么图ｂ中点的挠度为 。

9、用积分法求梁的变形时，边界条件为： ，连续条件为 。

答案 5qL4/384EI

答疑线性分布载荷的梁在中点处的挠度的等于同一梁上作用有大小为2q的均布载荷梁的中点处挠度的一半。固ｂ中点的挠度为f=5×2q×L4/384EI×1/2= 5qL4/384EI。

6、如图所示的外伸梁，已知B截面的转角为θ＝FL2/16EI，则C截面的挠度yC= 。

答案 以A为原点，向右为x轴正方向 边界条件 连续性条件

x=0 y1=0, y1’=0； x=3a y2=0

x=2a y1=y2

答疑 A处为固定端约束处，挠度为零，转角为零； D处为活

动铰支，挠度为零；C处为中间铰，左右两侧的挠度相等，但转角不等。

答案 yc =aθB =FL2a/16EI 答疑 挠曲线的大致形状为：

10、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。使A点成为挠曲线的拐点，那么M1/M2= 。

答疑 跨度为L的悬臂梁在自由端承受集中力P时的最大挠度为33

PL/3EI，固上图的最大挠度为2PL/3EI，下图中的悬臂梁的最大挠度为P(2L)3/3EI=8PL3/3EI，固二者的最大挠度之比为1：4。

答案 M1/M2=－1/2

答疑 设左端有向上的约束反力R，根据静力平衡得到R＝（M2-M1）/L。取梁的左端为原点，向右为x轴正方向，那么任意截面处的弯矩方程为：M(x)=Rx+M1=（M2-M1）x/L+M1。由数学知识得到要使得A点成为挠曲线的拐点，在点A处有y’’=0；根挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可得在点A处有M(x)＝0，整理得到M1/M2＝－1/2

11、两简支梁的材料、截面形状、梁承受的载荷集度相同，而两梁的则其最大挠度之比为y1max/y2max= 。

15、已知简支梁在力P作用下中点C处的挠度为δ，那么当梁上的载荷如右图时，梁的中点C处的挠度为： 。

答案 δ、向上

答疑 在简支梁上作用有集中力P时梁的中间截面处的挠度为δ。将右图中的载荷分解，相当于在梁上作用有向下的集中力P和向上的集中力2P。又由于简支梁的左右对称性可以得到：在力P的单独作用下C截面的挠度为δ、方向向下；在2P的单独作用下C截面的挠度为2δ、方向向上；叠加后得到C截面的挠度为δ、方向向上。 16、梁的跨度为L、抗弯刚度EI为常量，B支座位于梁的中点。写出在图示的坐标系下的边界条件及连续性条件 。

答案 y1max/y2max=1:16

答疑 跨度为L承受均布载荷q的简支梁在中间截面处的挠度为

44

5ql/384EI。固左图中的简支梁在中间截面处的挠度为5ql/384EI,右图中的梁的最大挠度为5q(2l)4/384EI。固左右两梁的最大挠度之比为1:16

12、两根梁的尺寸、受力和支撑完全相同，但材料不同，弹性摸量分别为E1和E2，且E1＝7E2，则两梁的挠度之比为： 。 答案 最大挠度之比为 1：7

答案 边界条件： x1=0 y1=0； x1=L/2 y1=0； x2=L/2 y2=0；

连续性条件：x1=x2=L/2 y1’=y2’；

答疑 由两梁的受力和支撑相同可以确定两梁的弯矩方程M(x)相

同，又由两梁的尺寸相同可以确定截面的惯性矩相等。根据挠曲线微 答疑 在固定铰支处挠度为零；

左右两段梁在活动铰支处的挠

分方程EIy’’=M(x)可知：E1y1’’= E2y2’’, 将E1＝7E2代入得到

度均为零；在活动铰支处的转角相同。

7y1’’= y2’’。由于两梁的支撑情况相同，积分后得到y1/y2=1:7

17、图示中的边界条件为x=0，yA=0；x=L，yB= 。右端的弹

13、矩形截面梁由木、钢两种材料组成。木、钢的弹性摸量分别为

簧刚度为K。

E1＝10GPa，E2＝210GPa。求木材、钢材所受的弯矩之比为 。

答案 M1/M2=5/21

答案 yB=P/2K

答疑 通过受力分析得到B处弹簧受力为P/2，弹簧的变形为P/2K。

梁与弹簧接触，固梁在B处的挠度等于弹簧的变形，所以有yB= P/2K。

答疑 变形后两种材料有相同的曲率半径ρ，根据曲率与弯矩之间

的关系1/ρ=M(x)/EI,有1/ρ=M1(x)/E1I1=M2(x)/E2I2，各截面的惯性18、简支梁的抗弯刚度EI已知，A位于梁的中间截面处，则中性层矩为I1=10th3/12、I2=2th3/12,从而得到M1/10E1=M2/2E2,代入弹性模量在A处的曲率半径为ρ＝ 。 后得到：M1/10×10=M2/2×210,整理得到21M1=5M2，所以 M1/M2=5/21 14、图示中的梁材料、截面相同，则两梁的最大挠度之比为： 。

答案 ρ＝8EI/ qL2

答疑 简支梁在中间截面处的弯矩为qL2/8，根据曲率与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI有1/ρ= qL2/8/EI＝qL2/8EI，从而得到中性层

2

处的曲率半径为ρ＝8EI/ qL。

答案 1：4

19、用积分法求图示梁的变形时，边界条件为 ；连续条件为 。

简述 弯曲变形

1、在XY坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为

v=qx(L3-3Lx2+2x3)/48EI。求①最大弯矩及最大剪力。②梁的两端（x=0、x=L）的约束情况。③画出此梁的受力图

答疑根据挠曲线微分方程EIy’’=M(x),将已知的挠曲线方程求二阶导数得到：v’’=q(-18Lx+24x2)/48EI,从而得到弯矩方程为

2

M(x)=q(-3Lx/8+x/2),将弯矩方程对x求一阶导数得到剪力方程为Q(x)=q(-3L/8+x)。剪力为零的点弯矩取得极值，所以弯矩的极值点发生在x=3L/8处，固梁的最大弯矩为：M=q(-3L/8×

3L/8+(3L/8)2/2)=-qL3/128。剪力的一阶导数为q，且一阶导数值大于零，说明剪力是递增函数，在整个梁上作用有均布载荷且均方向向上。固剪力的最大值发生在x=L处，大小为Q=5qL/8。

将x=0分别代入剪力方程、弯矩方程得到Q=-3ql/8、M=0； 将x=L分别代入剪力方程、弯矩方程得到Q=5ql/8、M=qL/8； 根据x=0时剪力不为零，弯矩为零可以断定左端为自由端，且受向下的集中力的作用，集中力的大小为3ql/8；在x=L剪力不为零、弯矩不为零可以断定，梁的右端为固定端。 梁的受力及约束如下：

2

答案边界条件：x=0 y1=0 y’1=0

x=3a y3=0

连续条件 x=a y1=y2 y1’=y2 ‘

x=2a y2=y3

答疑在左端固定端处，挠度为零，转角为零；在右端活动铰支处挠度为零； 在力的作用点处挠度相等、转角相等；在中间铰处挠度相等，转角不等。

20、图示中两根材料相同的梁A和B，当自由端具有相同的位移时，最大应力较大的梁是 ，其最大正应力＝ 。

答案 B梁；ζ

max

=P2L/Wz=6P2L/bh

2、钢制悬臂梁在自由端受到力偶M后发生弯曲，在小变形情况下作工程计算时，其挠曲线是圆弧状还是二次抛物线？还是二者均可？为什么？

2

答疑B梁的抗弯刚度大，在二者自由端的挠度相同时，B梁的内力大，固B梁的应力较大； 最大应力为ζ

max

=M/Wz=P2L/Wz=6P2L/bh2

21、用积分法求梁的变形时，边界条件为 ，连续条件为 。并大致画出挠曲线的形状。

答案 圆弧状

答案 边界条件：x=0 y=0 y’ =0

x=2a y =0 x=3a y ‘’=0

答疑 由于梁上作用有力偶，固梁的弯矩方程为常量M(x)=M。根据曲率与弯矩之间的微分关系1/ρ= M(x)/EI＝ M/EI，所以梁中性层的曲率半径为常量，挠曲线为圆弧状；

3、等截面悬臂梁EI已知，梁的下面有一刚性曲面，曲面方程为y=-ax3,欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力，梁上应作用什么样的载荷？并绘制梁的载荷图及梁的内力图。

连续条件 x=a y左=y右

答疑 对曲面方程y=-ax3求二阶导数得到y’’=-6ax。欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力，梁的挠曲线与曲面重合。将曲面的二阶导数代入挠曲线微分方程得到：-6aEIx=M(x)，从而得到梁的弯矩方程为M(x)＝-6aEIx。将弯矩方程求一阶导数、二阶导数分别得到剪力方程为Q(x)=-6EIa、均布载荷集度为q(x)=0。由均布载荷的集度为零可以断定梁上不作用有均布载荷；由于剪力方程为常量说明在梁的自由端上作用有集中力，集中力的大小为6EIa、方向向

答疑

固定端处挠度、转角均为零；中间铰处左右两侧的挠度相等；活动铰支处挠度为零；在自由端处弯矩为零即y ‘’=0。

上；根据梁的弯矩方程M(x)＝-6aEIx可知，在梁的自由端处弯矩的大小为6aEIL、方向瞬时针；梁的载荷图以及内力图如下：

答案 自由端施加瞬时针的大小为EI/R的力偶

答疑 梁在变形后与刚性曲面重合也就是梁在变形后的挠曲线与刚性曲面重合，刚性曲面的半径就是挠曲线的曲率半径，根据挠曲线的曲率半径与弯矩之间的关系有1/R=M(x)/EI，考虑到梁的抗弯刚度EI为常量，挠曲线的曲率为常量，固梁上的弯矩M(x)也是常量，大小为M(x)＝EI/R。固应在自由端施加瞬时针的大小为EI/R的力偶。 8、写出边界条件与连续性条件、弹簧常数为K。

4、高度h、宽度b的梁受力偶M的作用，如图（ａ）所示，问中性层上的正应力、剪应力各等于多少？在该力偶的作用下是否可以认为图（ｂ）中的高度为h/2，宽度为b的两根梁的迭放在强度与刚度方面与之完全相同？为什么？

答案 中性层处的正应力为零；中性层处的剪应力为零；不同 答案 边界条件 x=0 y1=0； x=a+b y2=N/K=Pa/(a+b)K 答疑 弯曲变形时在中性层处的正应力为零；由于梁受纯弯，横截面上没有剪力的作用，固中性层处的剪应力为零。

a图中的最大弯曲正应力为ζ=M/W=12M/bh3、最大挠度为f=12×ML2/2Ebh3；图ｂ中的两梁迭放，每一梁承担弯矩的一半M/2，最大弯曲正应力为ζ=M/W=12M/2/b(h/2)3=48M/bh3、最大挠度为f=M/2L2/2Eb(h/2)3/12=48ML2/2Ebh3。

5、若只在悬臂梁的自由端作用有弯曲力偶M，使其成为纯弯曲，则由 1/ρ=M/EI知ρ为常量，挠曲线应为圆弧。若由y’’=M(x)/EI

2

积分，将得到y=Mx/2EI，它表面挠曲线是一条抛物线。为何产生这样的差别？

答疑 y’’=M(x)/EI称为挠曲线的近似微分方程，近似微分方程是由挠曲线微分方程

的量y’而得到，因此会产生此差别。 6、细长工件，加工完成后会变成什么形状？

边界条件x=0 y=0； x=L y=Na/EA=qla/6EA 答疑 对左端的固定铰支取矩求拉杆的受力为：N=qL/6。在图示坐

’’

标系下梁的弯矩方程为：M(x)=N(L-x)-q(L-x)/2×(L-x)/3。其中q为x处的线性分布载荷的最大挠度，通过几何关系得到q’=q(L-x)/L，代入弯矩方程得到：M(x)= qL(L-x)/6-q(L-x)3/6L。所以挠曲线的近似微分方程为EIy’’= qL(L-x)/6-q(L-x)3/6L。

梁的左端为固定铰支、挠度为零；在右端由拉杆连接，梁的右端的挠度等于拉杆的伸长量。

答疑 在车刀的作用下相当于悬臂梁受集中力的作用，当车刀位于自由端时，悬臂梁有最大的向上的挠度，被车削掉的较少，加工后的横截面直径偏大；随车刀向固定端移动，悬臂梁的变形较小，被车削掉的部分较多，加工后的横截面直径偏小。最后成为固定端处截面细、自由端处截面粗的锥状。

7、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？

10、图示中梁的跨度为L，B处为一刚度为K的弹簧，写出挠曲线近

似微分方程，写出梁的边界条件。

中忽略了非常小

答案 近似微分方程 EIy’’= qL(L-x)/6-q(L-x)3/6L

连续性条件x=a y1=y2 y1’=y2’

答疑 x=0处为固定铰链支座，此处的挠度为零；在x=a+b处为弹性支撑，梁的挠度等于弹簧的变形，弹簧的受力根据静力平衡求解大小为Pa/(a+b)；在外力的作用点x=a处满足连续性条件，挠度相同，转角相同。

9、写出梁的挠曲线近似微分方程及边界条件。

答案 左细右粗的锥状

答案 近似微分方程 EIy’’=3qL(L-x)/2-q(L-x)2/2； 边界条件 x=0 y=0； y=N/K=3qL/2K

x=L

14、在中国古代的木结构建筑中，在上梁与柱的连接处，往往采用一种独具风格的斗拱结构。从材料力学的观点分析一下这种在世界上特有的结构方式有什么优点。 答疑 对梁的左端取矩得到弹簧的受力为N＝3qL/2，在图示坐标系下梁的弯矩方程为

M(x)=N(L-x)-q(L-x)2/2=3qL(L-x)/2-q(L-x)2/2，从而得到梁的挠曲

2

线近似微分方程为EIy’’=3qL(L-x)/2-q(L-x)/2。

梁的左端为固定铰支，此处挠度为零；在梁的右端为弹性支撑，梁的变形等于弹簧的变形。

11、从弯曲的理论解释为什么传动轴上的齿轮或带轮总是避免放置在跨中，而尽量靠近轴承处。

答疑 传动轴在工作时可以简化为简支梁，传动轴上的齿轮或带轮传递给传动轴一个集中力的作用。如果将齿轮或带轮安装在跨中，此时传动轴承受最大弯矩，大小为集中力与传动轴跨度乘积的四分之一；如果齿轮或带轮尽量靠近轴承处，此时传动轴承受的最大弯矩总小于集中力与传动轴跨度乘积的四分之一，从而提高了传动轴的弯曲强度。

12、在设计中，一受弯的碳素钢轴的刚度不够，有人建议改用优质合金钢，此项建议是否合理？ 答案 此建议不合理

答疑 钢轴的弯曲刚度不够，说明钢轴的变形过大。根据弯曲变形的挠曲线近似微分方程EIy’’=M(x)/EI可以看出，梁的变形与梁的内力大小、截面惯性矩、梁的材料有关。考虑到各种钢材的弹性模量E的变化不大，尽管选择了优质钢，但对提高弯曲刚度的效果不大，且增加成本。一般情况下应考虑通过降低梁承受的弯矩、提高截面的惯性矩、等强度梁等办法来提高梁的弯曲刚度。

13、已知梁的挠曲线方程为EIy=-qx5/120L。问(1)在x=0和x=L两端点处的约束如何？(2)最大弯矩和最大剪力各是多少？(3)梁上的载荷如何分布？

答疑 改善梁的受力，将梁承受的集中约束反力分散，从而降低梁承受的最大弯矩，提高梁的抗弯强度。 15、对于受弯曲的梁能否通过采用高强度材料提高其刚度？ （ 能、不能） 答案 不能 答疑 梁的弯曲变形y’’=M(x)/EI，不仅与材料有关，还与内力、横截面的形状有关，提高梁的弯曲刚度应该从减低梁的内力、提高截面的惯性矩着手，而不应该采用高强度钢材。各种钢材的弹性模量变化不大，不仅不能提高强度，反而增加成本。 16、建筑工地中常用的钢筋混凝土结构，在设计上布置钢筋承受拉力，混凝土承受压力，这有什么好处？今有一座钢筋混凝土结构的桥梁，在使用中出现了险情：列车通过时跨中挠度超出了设计要求。有人建议在桥梁的中间部位再加一个桥墩。此方案可行吗？为什么？并请你提出一个可行的方案。 答疑 钢筋是塑性材料，抗拉压强度相同，一般作受拉构件；而混凝土为脆性材料，抗压不抗拉，在钢筋混凝土结构中，在布置上使钢筋承受拉力，补充了混凝土材料的不抗拉的弱点，从而提高了混凝土结构的抗拉强度。 列车通过时跨中挠度超出了设计要求，说明桥梁的变形过大，应减少桥梁的变形。在桥梁的中间部位再加一个桥墩，可以减少桥梁的变形，从理论上讲此方案可行。但从实际的工程施工情况来看，一3

答疑 将梁的挠曲线方程求二阶导数得到：EIy’’=-qx/6L,从而座桥梁建好后再安置一桥墩，工程施工中很难实现。比较好的办法是32

为此可以在桥梁上安得到梁的弯矩方程为M(x)= -qx/6L。其中： M(0)＝0；M(L)＝－qL/6；通过提高截面的惯性矩来提高桥梁的抗弯刚度，装斜拉索、或安装桁架结构，如图所示。 说明梁的左端为自由端，右端为固定端。

对弯矩方程求一阶导数得到剪力方程为Q(x)=-qx2/2L。由于梁

的剪力始终小于零，说明梁的弯矩呈下降趋势，固梁的最大弯矩值为0，弯矩的最大绝对值为qL2/6。

对剪力方程求一阶导数得到载荷集度为q(x)=-qx/L。由于梁的载荷集度始终小于零，说明剪力呈下降趋势，考虑到Q(0)=0、Q(L)=-qL/2，固最大剪力值为零；剪力的最大绝对值为qL/2。梁的左端无集中力的作用。

由于梁的载荷集度为q(x)=-qx/L，说明梁上作用有线性分布的载荷，由q(0)=0、q(L)=-q说明分布载荷从梁的左端开始呈递增趋势，且方向向下。梁的载荷图如下：

第七章 应力状态与强度理论1 1、 一点的应力状态的概念； 2、 主应力、主平面的概念； 3、 应力状态的分类； 4、 平面应力状态分 重点 析的解析法； 5、 平面应力状态分析的应力圆法； 6、 广义虎克定律以及其应用； 难点 1、提取一点的应力状态； 2、主平面的方位； 3、最大剪应力的数值及其所在的方位； 4、广义虎克定律的应用；

1、 一点的应力状态的表示方法和应力状态的分类； 2、 主应力、主平面、主单元体的概念； 3、 压力容器；4、 解析法和图解法分析平面应力状态； 5、 三向基本知识应力状态的概念； 6、 已知一个主应力求另外二个点 主应力； 7、 三向应力圆草图； 8、 复杂应力状态下的广义胡克定律及其工程应用； 9、 复杂应力状态下应变比能的概念；

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