2016-2017年四川省成都市高新区七年级（下）期末数学试卷和答案

2016-2017学年四川省成都市高新区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1．（3分）以下四个标志分别表示“绿色食品、回收、节能、节水”，其中属于轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．（3分）下列运算中，不正确的是（ ） A．a+a＝2a

3

3

3

B．a?a＝a

235

C．（﹣a）＝a

329

D．2a÷a＝2a

32

3．（3分）水分子的直径为0.0000000004米，这个数用科学记数法表示为（ ）米 A．0.4×10

﹣4

B．﹣0.4×10

9

C．4×10

﹣10

D．﹣4×10

10

4．（3分）小明站在离家不远的公共汽车站等车．能最好地刻画等车这段时间离家距离与时间的关系图象是（ ）

A． B．

C． D．

5．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O＝∠O'的依据是（ ）

A．SAS

B．ASA

C．SSS

D．AAS

6．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOC＝70°，则∠CON的度数为（ ）

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A．65°

2

B．55° C．45° D．35°

7．（3分）已知x﹣2x+m是完全平方式，则m的值（ ） A．1

B．±1

C．4

D．±4

8．（3分）下列说法错误的是（ ） A．同旁内角互补

B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 C．能完全重合的两个四边形全等 D．等腰三角形的两个底角相等

9．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（ ）

A．AD＝DB

B．DE＝DC

C．BC＝AE

D．AD＝BC

10．（3分）任意给一个非零数，按下列程序进行计算，则输出结果为（ ）

A．0

B．1

C．m

D．m

2

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）若a＝5，a＝2，则a

m

n

m﹣n

的值为 ．

12．（4分）如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，若CD＝4，则D到AB的距离为 ．

13．（4分）定义运算“⊕”，其法则为a⊕b＝a﹣b，则方程5⊕x＝24的解是x＝ ． 14．（4分）下列事件中：①车辆随机经过一个路口，遇到红灯；②两条线段可以组成一个

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2

2

三角形；③400人中有两人的生日在同一天：④抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数，其中是确定事件的有 ，是不确定事件的有 （填所有符合条件的序号）．

三、解答题（本大题共6个小愿，共54分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）（1）计算：﹣1+（）×（﹣2017）﹣（﹣2） （2）化简：（2xy）﹣（5xy）÷（﹣10xy）

16．（6分）化简求值：x（x+2y）﹣（x+1）+2x，其中x＝

2

2

3

2

24

3

﹣2

02

，y＝25．

17．（8分）如图，△ABC和△EFD的边BC、DF在同一直线上（D点在C点的左边），已知∠A＝∠E，AB∥EF，BD＝CF． （1）求证：△ABC≌△EFD； （2）求证：AC∥DE．

18．（8分）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 弹簧长度y/cm 0 18 1 20 2 22 3 24 4 26 5 28 （1）本题反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是 ，因变量是 ．

（2）当所悬挂重物为3kg时，弹簧的长度为 cm；不挂重物时，弹簧的长度为 cm．

（3）请直接写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式，并计算若弹簧的长度为36cm时，所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内）

19．（10分）长方体纸盒中装有4张形状和大小完全相同的卡片，分别写有lcm、2cm、3cm、4cm，纸盒外还有1张同样形状和大小的卡片，写有3cm．现随机从纸盒中同时取出2张卡片，与纸盒外1张卡片放在一起，以这三张卡片上的数量分别作为三条线段的长度， （1）请列出所有可能的组合情况（如（1，2，3）等）；

第3页（共23页）

（2）求出这三条线段等构成三角形的概率； （3）求出这三条线段能够构成等腰三角形的概率．

20．（10分）已知：在△BCD中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC交CD于F，过点C作CE⊥BF交延长线于E，延长CE、BD交于点A． （1）如图1，若BD＝CD．①求证：BF＝AC；②直接写出

的值；

（2）如图2，过点D作DH⊥BC交BF于点G，垂足为H，过点G作GN∥BC交DC于点N，请判断DF与CN的数量关系，并说明理由．

一、填空题（本大共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

21．（4分）当x＝1时，代数式px+qx+1的值为2017，则当x＝﹣1时，代数式px+qx+1的值是 ．

22．（4分）如图，已知AB∥CD，EF∥CD，∠ABC＝45°，∠CEF＝150°，则∠BCE等于 度．

3

3

23．（4分）已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a+b+29＝10a+4b，则这个等腰三角形的周长为 ．

24．（4分）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝5，CD＝3，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是 ．

2

2

第4页（共23页）

25．（4分）探索规律：1×2×3×4+1＝5，2×3×4×5+1＝11，3×4×5×6+1＝19……．请运用你发现的规律解决问题：若200×202×204×206+16＝a，则a＝ ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分）

26．（8分）（1）运用整式乘法公式计算：123﹣124×122

（2）已知有理数m，n满足（x﹣x﹣n）（x+m）的化简结果含x项的系数为，且4×2＝2

mn+2

2

m

2n

2

2

2

2

2

，分别求出mn、m﹣n的值．

27．（10分）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒lcm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm）和运动时间x（秒）的图象． （1）求出a值；

（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；

（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？

2

28．（12分）正方形ABCD与Rt△AEF的顶点A重合，AF＝AE（AE＞AB），连接EB、DF． （1）如图1，当D、A、E在同一直线上且点B在边AF上时，我们可以通过研究 这两个三角形的关系，得出DF与BE的数量关系式是 ；

（2）在（1）中，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转任意角度ɑ（0°＜α＜180°，α≠90°），

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如图2，请探索DF、BE的位置关系，并说明理由；

（3）在（2）正方形ABCD绕点A顺时针旋转任意角度α（0°＜α＜180°，α≠90°）过程中，若BE、DF所在直线交于点H，连接AH，则∠AHE的大小是否会发生变化？请求出∠AHE的度数或指出∠AHE的变化规律．

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2016-2017学年四川省成都市高新区七年级（下）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1．（3分）以下四个标志分别表示“绿色食品、回收、节能、节水”，其中属于轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【考点】P3：轴对称图形．

【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A．

2．（3分）下列运算中，不正确的是（ ） A．a+a＝2a

3

3

3

B．a?a＝a

235

C．（﹣a）＝a

329

D．2a÷a＝2a

32

【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．

【解答】解：A、a+a＝2a，正确； B、a?a＝a，正确；

C、应为（﹣a）＝a，故本选项错误； D、2a÷a＝2a，正确． 故选：C．

3．（3分）水分子的直径为0.0000000004米，这个数用科学记数法表示为（ ）米 A．0.4×10

﹣4

333

235

326

32

B．﹣0.4×10

9

C．4×10

﹣10

D．﹣4×10

10

【考点】1J：科学记数法—表示较小的数． 【解答】解：0.0000000004＝4×10

﹣10

，

第7页（共23页）

故选：C．

4．（3分）小明站在离家不远的公共汽车站等车．能最好地刻画等车这段时间离家距离与时间的关系图象是（ ）

A． B．

C．

D．

【考点】E6：函数的图象．

【解答】解：∵小明站在离家不远的公共汽车站等车， ∴这段时间离家距离不随时间的变化而变化， 故选：B．

5．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O＝∠O'的依据是（ ）

A．SAS

B．ASA

C．SSS D．AAS

【考点】N2：作图—基本作图．

【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，∠O＝∠O' 故选：C．

6．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOC＝70°，则∠CON的度数为（ ）

A．65°

B．55°

C．45°

D．35°

【考点】IJ：角平分线的定义；J2：对顶角、邻补角；J3：垂线．

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【解答】解：∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°，

∵OM平分∠AOC，∠AOC＝70°， ∴∠MOC＝∠AOC＝35°， ∴∠CON＝90°﹣35°＝55°， 故选：B．

7．（3分）已知x﹣2x+m是完全平方式，则m的值（ ） A．1

B．±1

2

C．4 D．±4

【考点】4E：完全平方式．

【解答】解：∵x﹣2x+m是完全平方式， ∴m＝1， 故选：A．

8．（3分）下列说法错误的是（ ） A．同旁内角互补

B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 C．能完全重合的两个四边形全等 D．等腰三角形的两个底角相等

【考点】J6：同位角、内错角、同旁内角；J8：平行公理及推论；JA：平行线的性质；KH：等腰三角形的性质．

2

【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，错误； B、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，正确； C、能完全重合的两个四边形全等，正确； D、等腰三角形的两个底角相等．正确； 故选：A．

9．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（ ）

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A．AD＝DB B．DE＝DC

C．BC＝AE D．AD＝BC

【考点】KG：线段垂直平分线的性质． 【解答】解：A、正确．

∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB． B、正确．

∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠ABC＝60°． ∵DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝30°， ∴∠DBA＝∠DBC＝30°． ∵DC⊥BC于C，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC． C、正确．

∵∠BDE＝∠BDC＝60°，BC⊥DC于C，BE⊥DE于E， ∴BC＝BE＝EA． C、错误．

因为AD＝BD＞BC，故D错误． 故选：D．

10．（3分）任意给一个非零数，按下列程序进行计算，则输出结果为（ ）

A．0

B．1

C．m D．m

2

【考点】4I：整式的混合运算．

【解答】解：根据题意得：（m+m）÷m﹣1＝m+1﹣1＝m， 故选：C．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）若a＝5，a＝2，则a【考点】48：同底数幂的除法．

2

mnm﹣n

的值为 2.5 ．

【解答】解：a故答案为：2.5

m﹣n

＝a÷a＝5÷2＝2.5，

mn

12．（4分）如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，若CD＝4，则D到AB的距离为 4 ．

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【考点】KF：角平分线的性质．

【解答】解：作DE⊥BA于E， ∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥BA， ∴DE＝DC＝4， 故答案为：4．

13．（4分）定义运算“⊕”，其法则为a⊕b＝a﹣b，则方程5⊕x＝24的解是x＝ 1或﹣1 ．

【考点】A3：一元二次方程的解．

22

【解答】解：根据题意，得：5﹣x＝24， 解得：x＝1或x＝﹣1， 故答案为：1或﹣1．

14．（4分）下列事件中：①车辆随机经过一个路口，遇到红灯；②两条线段可以组成一个三角形；③400人中有两人的生日在同一天：④抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数，其中是确定事件的有 ②③ ，是不确定事件的有 ①④ （填所有符合条件的序号）．

【考点】X1：随机事件．

22

【解答】解：①车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件； ②两条线段可以组成一个三角形，是不可能事件； ③400人中有两人的生日在同一天，是必然事件：

④抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数，是随机事件， 其中是确定事件的有：②③，是不确定事件的有：①④． 故答案为：②③，①④．

三、解答题（本大题共6个小愿，共54分，解答过程写在答题卡上）

第11页（共23页）

15．（12分）（1）计算：﹣1+（）×（﹣2017）﹣（﹣2） （2）化简：（2xy）﹣（5xy）÷（﹣10xy）

【考点】2C：实数的运算；47：幂的乘方与积的乘方；4H：整式的除法；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．

3﹣202

23224

【解答】解：（1）原式＝﹣1+9×1﹣4 ＝﹣1+9﹣4 ＝4；

（2）原式＝8xy+

63

．

2

16．（6分）化简求值：x（x+2y）﹣（x+1）+2x，其中x＝【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．

，y＝25．

【解答】解：原式＝x+2xy﹣x﹣2x﹣1+2x ＝2xy﹣1， 当x＝

，y＝25时，

×25﹣1

22

原式＝2×＝2﹣1 ＝1．

17．（8分）如图，△ABC和△EFD的边BC、DF在同一直线上（D点在C点的左边），已知∠A＝∠E，AB∥EF，BD＝CF． （1）求证：△ABC≌△EFD； （2）求证：AC∥DE．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．

【解答】证明：（1）∵AB∥EF， ∴∠B＝∠F， ∵BD＝CF，

第12页（共23页）

∴BC＝DF， 在△ABC与△EFD中

，

∴△ABC≌△EFD（AAS）， （2）∵△ABC≌△EFD， ∴∠ACB＝∠EDF， ∴AC∥DE．

18．（8分）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 弹簧长度y/cm 0 18 1 20 2 22 3 24 4 26 5 28 （1）本题反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是 所挂物体的质量xkg ，因变量是 弹簧的长度ycm ．

（2）当所悬挂重物为3kg时，弹簧的长度为 24 cm；不挂重物时，弹簧的长度为 18 cm． （3）请直接写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式，并计算若弹簧的长度为36cm时，所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内） 【考点】E1：常量与变量；E3：函数关系式．

【解答】解：（1）上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg是自变量，弹簧的长度ycm是因变量． （2）设弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式为y＝kx+b， 将x＝0，y＝18；x＝1，y＝20代入得： k＝2，b＝18， ∴y＝2x+18．

当x＝3时，y＝24；当x＝0时，y＝18．

所以，当所挂重物为3kg时，弹簧有24cm长；不挂重物时，弹簧有18cm长． （3）把y＝36代入y＝2x+18， 得出：x＝9，

所以，弹簧的长度为36cm时，此时所挂重物的质量是9kg． 故答案为：所挂物体的质量xkg；弹簧的长度ycm；24；18

第13页（共23页）

19．（10分）长方体纸盒中装有4张形状和大小完全相同的卡片，分别写有lcm、2cm、3cm、4cm，纸盒外还有1张同样形状和大小的卡片，写有3cm．现随机从纸盒中同时取出2张卡片，与纸盒外1张卡片放在一起，以这三张卡片上的数量分别作为三条线段的长度， （1）请列出所有可能的组合情况（如（1，2，3）等）； （2）求出这三条线段等构成三角形的概率； （3）求出这三条线段能够构成等腰三角形的概率．

【考点】KI：等腰三角形的判定；X6：列表法与树状图法．

【解答】解：（1）所有可能组合情况如下：

（1，2，3）、（1，3，3）、（1，4，3）、（2，3，3）、（2，4，3）、（3，4，3）；

（2）在所列情况中能构成三角形的有（1，3，3）、（2，3，3）、（2，4，3）、（3，4，3）， 则这三条线段等构成三角形的概率为＝；

（3）这三条线段能够构成等腰三角形的有（1，3，3）、（2，3，3）、（3，4，3）， 所以这三条线段能够构成等腰三角形的概率为＝．

20．（10分）已知：在△BCD中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC交CD于F，过点C作CE⊥BF交延长线于E，延长CE、BD交于点A． （1）如图1，若BD＝CD．①求证：BF＝AC；②直接写出

的值；

（2）如图2，过点D作DH⊥BC交BF于点G，垂足为H，过点G作GN∥BC交DC于点N，请判断DF与CN的数量关系，并说明理由．

【考点】KY：三角形综合题．

【解答】（1）①证明：如图1中，

第14页（共23页）

∵CE⊥BE，

∴∠BDF＝∠CEF＝90°， ∵∠BFD＝∠CFE， ∴∠FBD＝∠FCE，

∵BD＝DC，∠BDF＝∠CDA＝90°， ∴△BDF≌△CDA， ∴BF＝AC． ②结论：

＝．

理由：如图1中，∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∠EBA＝∠EBC， ∴△EBA≌△EBC， ∴AE＝EC， ∵BF＝AC， ∴

（2）结论：DN＝CN． 理由：如图2中，作GK∥CN．

＝．

第15页（共23页）

∵GN∥CK，GK∥CN， ∴四边形GNCK是平行四边形， ∴NC＝GK，

∵∠BDG+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°， ∴∠BDG＝∠DCH＝∠BKG，

∵∠DGF＝∠BDG+∠GBD，∠DFG＝∠DCH+∠GBC， ∵∠GBD＝∠GBC， ∴∠DGF＝∠DFG， ∴DG＝DF，

∵∠GBD＝∠GBK，BG＝BG，∠BKG， ∴△GBD≌△GBK， ∴DG＝GK， ∴DF＝NC．

一、填空题（本大共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

21．（4分）当x＝1时，代数式px+qx+1的值为2017，则当x＝﹣1时，代数式px+qx+1的值是 ﹣2015 ． 【考点】33：代数式求值．

33

【解答】解：∵当x＝1时，代数式px+qx+1的值为2017， ∴代入得：p+q+1＝2017， ∴p+q＝2016，

∴当x＝﹣1时，代数式px+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1＝﹣2016+1＝﹣2015， 故答案为：﹣2015．

22．（4分）如图，已知AB∥CD，EF∥CD，∠ABC＝45°，∠CEF＝150°，则∠BCE等

第16页（共23页）

3

3

于 15 度．

【考点】JA：平行线的性质．

【解答】解：∵AB∥CD，∠ABC＝45°， ∴∠BCD＝∠ABC＝45°， ∵EF∥CD，

∴∠ECD+∠CEF＝180°， ∵∠CEF＝150°，

∴∠ECD＝180°﹣∠CEF＝180°﹣150°＝30°， ∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD ＝45°﹣30°＝15°， ∴∠BCE的度数为15°． 故答案为：15

23．（4分）已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a+b+29＝10a+4b，则这个等腰三角形的周长为 12 ．

【考点】1F：非负数的性质：偶次方；AE：配方法的应用；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．

22

【解答】解：a+b+29＝10a+4b， a﹣10a+25+b﹣4b+4＝0， （a﹣5）+（b﹣2）＝0， a﹣5＝0，b﹣2＝0， 解得，a＝5，b＝2， ∵2、2、5不能组成三角形，

∴这个等腰三角形的周长为：5+5+2＝12， 故答案为：12．

24．（4分）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝5，CD＝3，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连

第17页（共23页）

2

2

2

2

22

接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是 或6.5 ．

【考点】K3：三角形的面积．

【解答】解：①点Q在AB边上时，

∵AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝5，CD＝3， ∴S△ABD＝BD?AD＝×5×5＝∵PQ⊥BC， ∴BP＝PQ，

设BP＝x，则PQ＝x， ∵CD＝3，

∴S△DCQ＝×3x＝x， S△AQD＝S△ABD﹣S△BQD＝

﹣×5×x＝

﹣x，

，∠B＝45°

∵△ADQ与△CDQ的面积相等， ∴x＝

﹣x，

，

解得：x＝

②如图，

当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC， ∵AD⊥BC，垂足为D， ∴Q'P'∥AD

∵△ADQ与△CDQ的面积相等， ∴AQ'＝CQ'

第18页（共23页）

∴DP'＝CP'＝CD＝1.5 ∵AD＝BD＝5， ∴BP'＝BD+DP'＝6.5， 综上所述，线段BP的长度是故答案为

或6.5．

2

2

2

或6.5．

25．（4分）探索规律：1×2×3×4+1＝5，2×3×4×5+1＝11，3×4×5×6+1＝19……．请运用你发现的规律解决问题：若200×202×204×206+16＝a，则a＝ 41201 ． 【考点】46：同底数幂的乘法．

2

【解答】解：1×2×3×4+1＝（1×4+1）＝5， 2×3×4×5+1＝（2×5+1）＝11， 3×4×5×6+1＝（3×6+1）＝19 ……，

∴200×202×204×206+16＝（200×206+1）＝41201 则a＝41201， 故答案为：41201．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）

26．（8分）（1）运用整式乘法公式计算：123﹣124×122

（2）已知有理数m，n满足（x﹣x﹣n）（x+m）的化简结果含x项的系数为，且4×2＝2

mn+2

2

m

2n

22

2

2

2

2

2

22

，分别求出mn、m﹣n的值．

【考点】4I：整式的混合运算．

【解答】解：（1）原式＝123﹣（123+1）×（123﹣1） ＝123﹣123+1＝1；

（2）原式＝x﹣x﹣nx+mx﹣mx﹣mn ＝x+（m﹣1）x﹣（m+n）x﹣mn， 由含x项的系数为， ∴m+n＝﹣， 由4×2＝2

m

2n

2m+2n

3

23

2

2

2

2

2

＝2

mn+2

，

∴2m+2n＝2（m+n）＝2×＝mn+2，即mn＝﹣3，

第19页（共23页）

∵（m﹣n）＝（m+n）﹣4×mn ＝+12＝∴m﹣n＝±＝±

27．（10分）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒lcm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm）和运动时间x（秒）的图象． （1）求出a值；

（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；

（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？

2

22

【考点】E7：动点问题的函数图象．

【解答】解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，则a秒时，点P在AB上．

∴AP＝6 则a＝6

（2）由（1）6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6 ∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm，点Q还剩的路程为y2＝34﹣12﹣

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＝

（3）当P、Q两点相遇前相距3cm时，

﹣（2x﹣6）＝3

解得x＝10

当P、Q两点相遇后相距3cm时 （2x﹣6）﹣（解得x＝

时，P、Q两点相距3cm

）＝3

∴当t＝10或

28．（12分）正方形ABCD与Rt△AEF的顶点A重合，AF＝AE（AE＞AB），连接EB、DF． （1）如图1，当D、A、E在同一直线上且点B在边AF上时，我们可以通过研究 △DFA与△BEA 这两个三角形的关系，得出DF与BE的数量关系式是 DF＝BE ； （2）在（1）中，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转任意角度ɑ（0°＜α＜180°，α≠90°），如图2，请探索DF、BE的位置关系，并说明理由；

（3）在（2）正方形ABCD绕点A顺时针旋转任意角度α（0°＜α＜180°，α≠90°）过程中，若BE、DF所在直线交于点H，连接AH，则∠AHE的大小是否会发生变化？请求出∠AHE的度数或指出∠AHE的变化规律．

【考点】LO：四边形综合题．

【解答】解：（1）在△DAF和△BAE中，

，

∴△DAF≌△BAE， ∴DF＝BE，

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故答案为：△DFA与△BEA，DF＝BE；

（2）结论：DF⊥BE．

理由如下：如图2中，延长FD交BE于H，设FH交AE于点O．

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝∠EAF＝90°， ∴∠DAF＝∠EAB， ∵DA＝AB，FA＝EA， ∴△DAF≌△BAE， ∴∠AFD＝∠AEB， ∵∠AOF＝∠EOH， ∴∠FAO＝∠OHE＝90°， ∴FH⊥BE，即DF⊥BE．

（3）如图3中，当0°＜α＜90°时，∠AHE＝45°

理由：设EH交AF于O． 同法可证：DF⊥BE，

∵∠OHF＝∠OAE＝90°，∠HOF＝∠AOE， ∴△FOH∽△EOA，

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∴∴

＝＝

，

，∵∠EOF＝∠AOH，

∴△EOF∽△AOH， ∴∠AHO＝∠EFO＝45°， 即∠AHE＝45°．

如图4中，当90°＜α＜180°时，∠AHE＝135°．

同法可证：∠AHO＝∠AEF＝45°， ∵∠EHF＝90°， ∴∠AHE＝135°，

综上所述，∠AHE＝45°或135°．

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