第八章 一元一次不等式

第八章 一元一次不等式

含有“>”，“<”，“≥”，“≤”或“≠”符号的式子叫做不等式，其中“>”是“大于”，“<”是“小于，” “≥”是“不小于”，“≤”是“不大于”，“≠”是“不等”，这些符号统称不等号.

从形式上看，将数或式用不等号连结就组成不等式，如a??5，?3?3，5?10x等都是不等式，但仔细分析，这些不等式中文字允许值范围是有区别的；a??5，对任意实数均不成立，这样的不等式称为矛盾不等式，像?3?7则是绝对不等式，5?10x只在

22?绝对不等式1?x?的条件下成立，不等式?矛盾不等式 称为条件不等式，即对不等式可进行如下分类：

2?条件不等式?对绝对不等式，涉及的多是证明题，对条件不等式，涉及的多是解不等式，为了学习这些内容，必须掌握不等式的三条基本性质.

性质1 不等式两边都加（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 性质2 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质3 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

第一节 比大小

给两个数或式比大小，能够很好地训练观察力和计算能力，要依据下面的基本途径. Ⅰ．要证A≥B，必须且只须证A－B≥0. Ⅱ．若A>0，B>0，要证A≥B只须证

A≥1. BⅢ.若A≥B，且B≥C，则有A≥C，因此，要证A≥C，只须找到一个B，使得A≥B且B≥C成立.

Ⅳ．对于正负数的比较，正数大于0和负数，两个负数绝对值小的其值较大，绝对值大的其值较小.

1994197919941980与的大小.

1994199519941996解：设a?19941995，b?19941979，显然a?b?0， 19941979b19941980b?1?,?则

19941995a19941996a?1例1 比较由于

bb?1b(a?1)?a(b?1)ab?b?ab?ab?a??0. ===aa?1a(a?1)a(a?1)a(a?1)bb?11994197919941980??. 即 . aa?11994199519941996b 说明：一般情况下，a，b都是正数，a>b，此时是一个真分数，例1已经证明：

a所以

94

bb?1? aa?1 表明一个正的真分数的分子分母同时加1所得的新的真分数其值大于原来的那个真分数. 证明途径采用1，“作差比较法”.

例2 比较3303与2454的大小.

解：这是两个正整数方幂比大小的问题，我们利用途径Ⅱ去作较为有利.

33033302?3(32)1513?9????=??24542453?2(23)1512?8?1114151?3?1, ∴ 3303?2454. 2例3 试比较31与17哪个较大？

分析：17与2?16接近，31与2?32接近，因此，设法找一个2的方幂为中介去进行比较为宜.

解：171445?1614?256 3111?3211?255?256. ∴ 1714?3111.

56说明：本题中2就是基本途径Ⅲ中的“B”，本题实际上是按基本途径Ⅲ去解决的. 例4 四个互不相等的正数，a，b，c，d 中，a最大，d最小，且试确定a?d与b?c的大小关系.

解：因为a?0,b?0,c?0,d?0且

a

最大，d

最小，因此

ac?. bba?b,a?c,a?d,b?d,c?d.

acac? 有 ?1??1 （性质1） bdbda?bc?ba?bb?. （性质2） 即 ≥, ∴

bc?dddba?bb??1，即a?b?c?d， 因为 b?d?0??1， 所以

dc?dd因此有a?d?b?c.

由

答：a?d与b?c的大小关系是a?d?b?c.

13597991??????? . 246981001013597992469698?? 证明：设A??????, B??????246981003579799214365989710099??因为 ?,?,?,?,，1?，

3254769998100100相乘可知 B?A，于是

例5 证明：

95

979899??2469698??135A?B??????????×????????

98100100??3579799??2461235497991?????????. 2346598100100112由A?B可得 A?, 所以 A?.

1001013597991??. 即 ?????2469810010=

例6 给定正数a0，a1，a2，…，a99，a100且已知a1?a0，a2?3a1?2a0，

a3?3a2?2a1，……，a100?3a99?2a98，求证：a100?299.

证明：由a1?a0，且a0，a1，均为正整数. 所以有a1－a0≥1

由 a2?3a1?2a0得 a2?a1?2(a1?a0) ① 由 a3?3a2?2a1得 a3?a2?2(a2?a1) ② 同理可得

a4?a3?2(a3?a2) ③ a5?a4?2(a4?a3) ④ ……

a99?a98?2(a98?a97) a100?a99?2(a99?a98) ①×②×…× × 得

a100?a99?299(a1?a0)?299

∴ a100?a99?299?299.

例7 由200个学生排成一个矩形方阵，每一横行10个人，每一纵列20个人，在每一纵列里选一个身材最高的学生（如果同时最高有几个人，任选其一即可），然后从选取出的10个人取其中身高最矮的一个人为A；另一方面，在每一横行里选取身材最矮的学生，然后从选出的20个矮子中取其中最高的一个人为B. 求证：A的身高≥B的身高.

证明：设学生A是从每一纵列中选出身材最高的10名学生中的最矮者，学生B是从每

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一横行中选出的身材最矮的学生中的最高者，这时找A所在列与B所在行交点处的学生C，由A的选择知，A的身高≥C的身高.

由B的选择知C的身高≥B的身高, 因此，A的身高≥B的身高. 说明：例7的证明实质上是A≥C ，C≥B?A≥B的一个应用.

习题8.1

1．下列各命题中正确的一个是 （ ）

(A)如果a?b，那么a?b?0. (B)如果a??b，那么b?a?0.

2(C) 如果a?b?0，那么a?ab?0. (D)如果a?b，那么5a?b?0.

2．已知a?355,b?444,c?533，则有 （ ）

（A）a?b?c （B）c?b?a （C）c?a?b （D）a?c?b 3．试比较13?11与13?11的大小. 4．比较199119911991与11的大小. 5．比较19与999991的大小. 6．求证：0.099?9119131111131111111???????0.111. 222221011129991000

第二节 解一次不等式（组）

最简单的不等式，是只含一个未知数且次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式，它的标准式是

ax?b?0 或 ax?b?0 (a?0)

显然，由ax?b?0,有 ax??b. 若a?0，则x??bb.若a?0，则x??， aa对ax?b?0也可作类似的讨论.因此，对一元一次不等式，首先要化简成为标准式，

然后进行求解.

xxxx????x 24816xxxx?x 解：由 1????24816xxxxx?1, 得 ?1，即x?16. 得 x????24816162?x2x?1?例2满足的x值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于多少？ 232?x2x?1?解：由 23例1 解不等式 1?去分母，得 3(2?x)?2(2x?1), 去括号，得 6?3x?4x?2

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移项，得 3x?4x??2?6, 合并同类项?x??8，于是x?8 其中绝对值不超过11的整数之和为 (?9)?(?10)?(?11)??30. 例3 已知不等式3x?a?0的正整数解恰是1，2，3，求a的取值范围. 解：由3x?a?0，得x?a. 3由于x取整数解1，2，3，表明x不小于3且x小于4，可见3?答：a的取值范围是9?a?12.

a?4，于是9?a?12. 32?x2x?1?的所有非负整数的乘积等于多少？ 23解1：本题的直接不等式解见例2，可求得x?8.

2?x2x?1?所以满足不等式的非负数解为0，1，2，3，4，5，6，7，8.这九个数的23例5 满足不等式乘积为0.

11，显然1??，所332?x2x?12?x2x?1??以0是满足不等式的一个非负整数解，所以满足不等式的所2323解2：根据问题特点，以0代入不等式两边，左边为1，右边为?有非负整数解的积等于0.

说明：例2及例4都源于代数第一册（下）第66页例2，在课本例题的基础上又有一定变化，这样可以训练思维的灵活性与知识的综合性，许多“希望杯”数学邀请赛的试题都是这样编拟的.

例5 如果关于x的不等式 (2a?b)x?a?5b?0的解为x?问关于x的不等式ax?b的解是什么？

解：由已知得 (2a?b)x?5b?a ①

它与?7x??10 ②

为同解不等式，比较，得 ?10. 7?2a?b??7 解得

?5b?a??103. 5?a??5 ??b??3所以关于x的不等式?5x??3的解为x?对于一元一次不等式组，都可分别化为以下三种基本形式 （Ⅰ）??x?a?x?a(a?b)其解为x?a.（Ⅱ）?(a?b)其解为x?b.

?x?b?x?b?x?a?x?a（Ⅲ）?(a?b)无解. （Ⅳ）?(a?b)其解为b?x?a.

x?bx?b?? 98

?x?1x?2?3?1?0?例6 求满足不等式组 ?4x?3?5?2x的所有整数的和是多少？

?5?x1?x?2??1?714???x??3?3x?3?2x?6?0??解：原不等式组可化为 ?4x?3?5?2x 解之得 ?x?4

?28?10?2x?14?1?x?2??x?13?

故原不等式组的解是?3?x?12. 3其间的整数只有－2，－1，0，1,其和为（－2）+（－1）+0+1=－2. 答：满足题设不等式组的所有整数之和为－2.

说明：解一次不等式组，在综合解的区间时，如我们所示的方法，利用数轴表示，即直观又准确，应该很好掌握.

例7 已知x满足

3x?175?2x??x? 233并且|x?3|?|x?2|的最大值为p，最小值为q，求pq之值. 解：由不等式

3x?175?2x??x? 233解得 x≥1(解的过程自己补足)

下面对y?|x?3|?|x?2|依1?x?3和x?3进行讨论.

（1） 当1?x?3时，x?3?0,x?2?0，此时y?3?x?x?2??2x?1. （2） 当x≥3时，x－3≥0，x+2>0，此时y?x?3?x?2??5，

所以当x=1时，|x?3|?|x?2|取最大值p??1，当x?3时|x?3|?|x?2|取最小值q??5.

所以pq?(?1)?(?5)?5.

说明：一元一次不等式及不等式组，掌握解法之后，其综合运用一般表现在求整数解，

或求参数的取值范围，也可以与解方程组或绝对值知识进行综合运用，这时分情况说明及分类讨论则是非常重要的手段.

99

习题8.2

1． 解关于x的一次不等式：a(x?1)?x?1.

2． 解不等式组 ??2x?5?3?2x

?3x?6?4x?9.?3x?10?0?3． 求不等式组?16的所有正整数解.

x?7?4x?3??34． 解关于x的不等式：ax?(a?b)(a?b)?bx.

?3x?2y?z?4?5． 求适合下列混合组的所有正整数解 ?2x?y?2x?8

?x?y?z?7.?

第三节 一次不等式的应用举例

在某些应用问题中，需要应用一次不等式估值，或者列出方程与一次不等式混合求解，作为课外活动内容应当有所引深.

例1有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇，平均每人采得蘑菇的个数约是一个十位数字为3的两位数，又知甲采的数量是乙的个蘑菇，求每人各采了多少蘑菇？

解：设丙采蘑菇数为x，依题意

43，乙采的数量是丙的倍，丁比甲多采了35234366x，甲采蘑菇数为?x?x.丁采蘑菇数为x?3. 2525536649x?3 四人合采蘑菇为 x?x?x?x?3?25510乙采蘑菇数为四人采蘑菇平均数为

1?49??x?3?，依题意这是一个近似为首位是3的两位整数，因4?10?1?49??x?3??39.4 4?10?此，由近似数的表示有：29.5?118?4949x?3?157.6,115?x?154.6 1010115?10154.6?10?x?,23.5??x?31.5… 4949因x是整数，x只能从24，25，26，27，28，29，30，31中选取.

100

又

49x必须是整数，x是10的倍数，因此只能有x?30，即丙采30个蘑菇，此时乙10150?37.5，依四舍五入，约为38是个十位数是3的两4采45个蘑菇，甲采36个蘑菇，丁采39个蘑菇.

检验得，4人采蘑菇平均为

位数.

例2把若干个苹果分给几个孩子，如果每人分3个，则余8个；每人分给5个，则最后一人分得的数不足5个，问共有多少个孩子？多少个苹果？

解：设有小孩子x人，y个苹果，由“每人分3个余8个”，可得y?3x?8，由“每人分5个，则最后一人分得的数不足5个”可列出不等式：5(x?1)?y?5x

?3x?8?5x于是 ?

3x?8?5(x?1)?解之得 4?x?6.5. 所以小孩数是5或6

当x?5时，y?3?5?8?23，当x?6时，y?3?6?8?26.

答：有5个孩子，23个苹果，或6个孩子，26个苹果.

例3 有一个四位数，它满足下述条件：

① 个位上的数字的2倍与2的和小于十位上的数字的一半；

② 个位上的数字与千位上的数字，十位上的数字与百位上的数字同时对调，所得的新

四位数与原四位数相同；

③ 个位数字与十位数字之和等于10，求这个四位数.

解：由条件②可设这个四位数为xyyx（其中x，y为整数数码），且1≤x≤9，1≤y≤9.

?x?y?10?依题意，有?y

2x?2??2?由①得，y?10?x, ③

10?x?2x?2 26即 10?x?4x?4，解得 x?.

5以③代入②，得

但1≤x≤9，x是整数，可知x=1，此时y=9，所求四位数是1991.

例4 如图，甲、乙两人在周长为800米的正方形水池相邻的两角上同时同向出发绕池边行走，乙在甲后，甲每分钟走50米，乙每分钟走40米，问甲乙两人自出发后经几分钟，才能初次在正方形水池的同一边上行走？

解：设甲、乙两人初次在同一边上时，乙已走了x条边，那么甲便走了（x+3）条边.

也就是甲走了200(x?3)米，乙走了

200(x?3)?40米.

50要注意，当甲、乙同在一边时，乙所走的距离已超过了200x米；又因为甲前乙后，甲

101

若到了另一边的端点，乙肯定没到相邻的端点，所以乙走的距离又应小于200（x+1）米.

200(x?3)?40?200(x?1).解之得 7?x?12.

50因为要求初次在同一边上走的时间，所以应该选取满足7?x?12的最小整数x=8，这

200(8?3)?44分钟. 时需经过的时间为

50所以列出不等式如下：200x?答：甲、乙两人自出发后经过44分钟，才能初次在正方形水池的同一边上行走.

习题8.3

1． 小王有一个哥哥和一个弟弟，哥哥的年龄是20岁，小王的年龄的2倍加上他弟弟年龄

的5倍等于97，问小王和他弟弟的年龄各是多少？

2． 某次数学测验，共有16道选择题，评分办法是：答对一题得6分，答错一题扣2分，

不答不给分，某学生有一题未答，那么这个学生至少答对多少道题，成绩才能在60分以上？

3． 货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1吨，为了保证能

把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3吨的汽车？ 4． 要使方程组（x，y）是未知数?

?x?y?p有正整数解，试确定p的值.

5x?3y?11?第四节 简单的不等式证明

给出两个由文字与数字组成的式子，证明它们之间存在确定的不等关系，叫做证明不等式，比如a、b是任意实数，a?b与2ab是两个代数式，证明成立a?b≥2ab就是证明不等式.

其实，如果想到，对任意实数a，b，总成立(a?b)≥0.

则a?2ab?b?0，进而得出a?b≥2ab，写出上述的过程就是这个不等式的证明，这个证明过程是依据不等量公理，不等式的性质，代数式的恒等变形等知识依逻辑规则

来实现的，当然，已被证明的不等式也可作为定理来引用.

例1 若a，b均为正数，求证：分析：要证

222222222ba?≥2 abba?≥2， abb2?a2只须 ≥2， （由于a?0,b?0,ab?0)

ab只须 a?b≥2ab

只须 (a?b)≥0，这是基本事实，到此思路已经沟通，即可写出证明.

222 102

22证明：a、b均为实数，则有a?b≥2ab, 由于a?0,b?0，所以ab?0.

aba2?b2两边同除ab 得≥2. 也就是 ?≥2.

baab说明 ①a、b均为实数，a?b≥2ab是最基本的不等式，可以作为定理应用. ②例1的结论对a<0且b<0时，也是正确的，它表明一个正数与其倒数之和不小于2. 例2若a?0,b?0，求证分析：要证只须

22a?b?ab. 2a?b?ab, 只须 a?b?2ab 2(a?b)2?4ab, 只须 a2?2ab?b2?4ab

22只须 a?b?2ab.

这是基本的不等式，至此思路已经沟通，可以写出证明. 证明：因为a?b?2ab

所以a?2ab?b?4ab，即 (a?b)2?4ab. 由于a?0,b?0,ab?0所以两边开平方可得

2222a?b?2ab，也就是

说明：本例的

a?b?ab. 2a?ba?b称为a、b的算术平均数，ab称为a、b的几何平均数，≥ab22222表明两个正数的算术平均不小于它们的几何平均，这个结论也是非常重要的.

例3对正数a，b，c，求证a?b?c?ab?bc?ca. 证明：对a，b而言，a?b?2ab

对b，c而言 b?c?2bc, 对c，a而言 c?a?2ca

222相加得 2(a?b?c)?2(ab?bc?ca),所以 a?b?c?ab?bc?ca

2222222225a?11?13?5b?b2. 例4 求证：对任意实数a，b 都有 2a25?25分析：左边的式子只与a有关，右边的式子只与b有关，可以单独考虑，若

125a?1c?13?5b?b，即可得证. ?c，而2a25?25 103

5a?15?5a证明：由于2a ?a225?25(5)?55?5a1?由于(5)?5?2?5?5，所以2a. ① 225?5a22a又 13?5b?12121111b=b?5b?12??(b2?2?5b?25)? 2222221112 =(b?5)?? ② 2225a?11?13?5b?b2. 综合①，②可得 2a25?25例4 若a、b、c、d都是实数，求证 (ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2). 分析：要证 (ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2)

只须 ac?2abcd?bd?ac?bc?ad?bd 只须 2abcd?bc?ad,只须 0?bc?2abcd?ad 只须 0?(bc?ad)2即可.

这是显然成立的事实，倒过来写就是本题的证明. 证明：由a，b，c，d均为实数，显然 (bc?ad)?0.

222222222222222222222dad?0.也就是 2abcd?bc?ad. 即 bc?2abc?两边都加ac?bd得 ac?2abcd?bd?ac?bc?ad?bd 两端因式分解，即得证 (ac?bd)?(a?b)(c?d).

说明：在不等式的证明中，分析是非常重要的，因此，学习不等式的证明，要点在学会分析.

22222222222222222222222222222习题8.4

a2?b?2a. 1． 若a?b?0，求证 a?b?ab?ab. 2. a，b均为正数，求证b3322a2b2a2?b2?a?b???a?b. 4. a，3. a，b均为正数，求证b均为正数，求证???. ba2?2?2x2y22225.若2?2?1，求证 a?b?(x?y).

ab 104

5a?15?5a证明：由于2a ?a225?25(5)?55?5a1?由于(5)?5?2?5?5，所以2a. ① 225?5a22a又 13?5b?12121111b=b?5b?12??(b2?2?5b?25)? 2222221112 =(b?5)?? ② 2225a?11?13?5b?b2. 综合①，②可得 2a25?25例4 若a、b、c、d都是实数，求证 (ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2). 分析：要证 (ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2)

只须 ac?2abcd?bd?ac?bc?ad?bd 只须 2abcd?bc?ad,只须 0?bc?2abcd?ad 只须 0?(bc?ad)2即可.

这是显然成立的事实，倒过来写就是本题的证明. 证明：由a，b，c，d均为实数，显然 (bc?ad)?0.

222222222222222222222dad?0.也就是 2abcd?bc?ad. 即 bc?2abc?两边都加ac?bd得 ac?2abcd?bd?ac?bc?ad?bd 两端因式分解，即得证 (ac?bd)?(a?b)(c?d).

说明：在不等式的证明中，分析是非常重要的，因此，学习不等式的证明，要点在学会分析.

22222222222222222222222222222习题8.4

a2?b?2a. 1． 若a?b?0，求证 a?b?ab?ab. 2. a，b均为正数，求证b3322a2b2a2?b2?a?b???a?b. 4. a，3. a，b均为正数，求证b均为正数，求证???. ba2?2?2x2y22225.若2?2?1，求证 a?b?(x?y).

ab 104

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