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第三章 简单的优化模型3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型 生猪的出售时机 森林救火 最优价格

3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输

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静 态 优 化 模 型 现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数 不是函数 静态优化问题指最优解是数(不是函数 不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根 据建模目的确定恰当的目标函数 求解静态优化模型一般用微分法

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问题

3.1

存贮模型

配件厂为装配线生产若干种产品， 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 件 生产准备费 已知某产品日需求量 元 每日每件1元 试安排该产品的生产计划， 每日每件 元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。 ),每次产量多少 一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。 不只是回答问题，而且要建立生产周期、 要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系。 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。

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问题分析与思考日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件 元。 件 准备费 日需求 元 贮存费每日每件1元 每天生产一次，每次 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费 件 无贮存费，准备费5000元。 元

每天费用5000元 元 每天费用 10天生产一次，每次 天生产一次， 天生产一次 每次1000件，贮存费 件 贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计 元，准备费 元 总计9500元。 元

平均每天费用950元 元 平均每天费用 50天生产一次，每次 天生产一次， 天生产一次 每次5000件，贮存费 件 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费 元 准备费5000元，总计 元 总计127500元。 元

平均每天费用2550元 元 平均每天费用 10天生产一次平均每天费用最小吗? 10天生产一次平均每天费用最小吗? 天生产一次平均每天费用最小吗

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问题分析与思考 周期短，产量小 周期短， 周期长，产量大 周期长， 贮存费少， 贮存费少，准备费多 准备费少， 准备费少，贮存费多

存在最佳的周期和产量，使总费用(二者之和) 存在最佳的周期和产量，使总费用(二者之和)最小 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数

目标

函数——每天总费用的平均值 每天总费用的平均值 目标函数

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模型假设1. 产品每天的需求量为常数 r; ; 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2; 3. T天生产一次(周期), 每次生产 件，当贮存量 天生产一次( 天生产一次 周期) 每次生产Q件 为零时，Q件产品立即到来(生产时间不计); 件产品立即到来( 为零时， 件产品立即到来 生产时间不计); 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。

建模目的已知， 使每天总费用的平均值最小。 设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。

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模型建立

离散问题连续化q

贮存量表示为时间的函数 q(t) t=0生产 件，q(0)=Q, q(t)以 生产Q件 生产 以 需求速率r递减 递减， 需求速率 递减，q(T)=0.Q rA=QT/2

Q = rT一周期贮存费为

0

T

t2

c2 ∫0 q (t ) dt = c2 AT

Q rT 一周期 ~ C = c1 + c2 T = c1 + c2 总费用 2 2~ C c1 c 2 rT C (T ) = = + T T 2

每天总费用平均 目标函数) 值(目标函数)

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模型求解dC =0 dT

c1 c2 rT → Min 求 T 使C (T ) = + T 2T = 2 c1 rc 2

2c1r Q = rT = c2

模型分析

c1 ↑ T,Q↑模型应用 回答问题

c2 ↑ T, Q ↓

r ↑ T ↓, Q ↑

c1=5000, c2=1,r=100 , T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 天 件 元

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经济批量订货公式(EOQ公式) 经济批量订货公式( 公式) 公式用于订货、供应、 用于订货、供应、存贮情形 每天需求量 r,每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 , , 每天每件贮存费 T天订货一次 周期 每次订货 件，当贮存量降到 天订货一次(周期 每次订货Q件 天订货一次 周期), 零时， 件立即到货 件立即到货。 零时，Q件立即到货。

T =

2 c1 rc 2

2c1r Q = rT = c2

不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ 为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？

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允许缺货的存贮模型当贮存量降到零时仍有需求r, 当贮存量降到零时仍有需求 出现缺货， 出现缺货，造成损失 原模型假设：贮存量降到零时 件 原模型假设：贮存量降到零时Q件 立即生产出来(或立即到货 或立即到货) 立即生产出来 或立即到货

q Q rA

Q = rT1T1 B T t

0

现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足 现假设：允许缺货周期T, 周期 t=T1贮存量降到零 一周期 贮存费 一周期 缺货费

c2 ∫0 q (t )dt = c2 AT1

一周期总费用

c3 ∫T q(t ) dt = c3 BT1

QT r(T T1)2 C = c1 + c2 1 +c3 2 2

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一周期总费用

1 1 C = c1 + c2QT + c3r(T T1 )2 1 2 2

每天总费用 C c1 c2 Q 2 c3 (rT Q ) 2 C (T , Q ) = = + + 平均值 T T 2rT 2rT 目标函数) (目标函数) 求 T ,Q 使 C (T , Q ) → Min

C C = 0, =0 T Q

为与不允许缺货的存贮模型

为与不允许缺货的存贮模型 相比， 记作 记作T 记作Q 相比，T记作 ’, Q记作 ’ 记作

2c1 c2 + c3 T′ = rc2 c3

2c1r c3 Q′ = c2 c2 + c3

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允许 2c1 c2 + c3 T '= rc2 c3 缺货 模型 2c1r c3 Q' = c 2 c 2 + c3 记不 允 许 缺 货

不允 许缺 货模 型

T =

2 c1 rc 2

2c1r Q = rT = c2

=

c 2 + c3 c3

T ′ = T ,

Q′ =

Q

>1

T '> T , Q '< Q

c3 ↑ ↓

c3 → ∞ →1

T ′ → T , Q′ → Q

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允许 缺货 模型

2c1 c2 + c3 T′ = rc2 c3

q Q′ ′ r R 0 T1 T t

2c1r c3 Q′ = c 2 c 2 + c3

注意： 注意：缺货需补足 Q′~每周期初的存贮量 ′ 每周期初的存贮量 每周期的生产量 R = rT ′ = R (或订货量) 或订货量)

2c1r c2 + c3 c2 c3

R = Q > Q Q~不允许缺货时的产量 或订货量 不允许缺货时的产量(或订货量 不允许缺货时的产量 或订货量)

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3.2 生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金 用于饲料、人力、 元资金， 问 饲养场每天投入 元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使 千克重的生猪体重增加 公斤。 估计可使 千克重的生猪体重增加2公斤 可使80千克重的生猪体重增加 公斤。 市场价格目前为每千克8元 但是预测每天会降 市场价格目前为每千克 元，但是预测每天会降 预测 低 0.1元，问生猪应何时出售。 元 问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。 估计 有误差 投入资金使生猪体重随时间增加， 分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大 时间减少，故存在最佳出售时机，

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建模及求解估计r=2, 估计 ， g=0.1 若当前出售，利润为 × 若当前出售，利润为80×8=640(元) ( t天 出售 生猪体重 w=80+rt 出售价格 p=8-gt 销售收入 R=pw 资金投入 C=4t

利润 Q=R-C=pw -C 求 t 使Q(t)最大 最大 Q(10)=660 > 640

Q (t ) = (8 gt )(80 + rt ) 4t

4r 40 g 2 t= =10 rg10天后出售，可多得利润20元 天后出售，可多得利润 元 天后出售

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敏感性分析

4r 40 g 2 t= rg估计r=2, 估计 ， g=0.1

研究 r, g变化时对模型结果的影响 变化时对模型结果的影响 设g=0.1不变 不变

40r 60 t= , r ≥ 1.5 r20

t 对r 的(相对)敏感度 相对)

t15 10 5 0 1.5

t / t dt r S (t , r ) = ≈ r / r dr t 60 S (t , r ) ≈ =3 40 r 60

2

2.5

r

3

生猪每天体重增加量r 增加1%,出售时间推迟 生猪每天体重增加量 增加 ，出售时间推迟3%。 。

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敏感性分析

4r 40 g 2 t= rg

研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计 ， g=0.1 变化时对模型结果的影响 估计r=2, 3 20 g 设r=2不变 不变 t= , 0 ≤ g ≤ 0.15 g t 对g的(相对)敏感度 的 相对)30

t20

t /t dt g S (t , g ) = ≈ g / g dg t3 S (t , g ) = = 3 3 20 g

10

0 0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

g 0.16

生猪价格每天的降低量g增加 ，出售时间提前3%。 生猪价格每天的降低量 增加1%,出售时间提前 增加 。

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强健性分析研究 r, g不是常数时对模型结果的影响 不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt →w = w(t) p=8-gt → p =p(t)

Q (t ) = p (t ) w(t ) 4t

Q ′( t ) = 0

p ′( t ) w ( t ) + p ( t ) w ′( t ) = 4每天利润的增值 每天投入的资金

保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售 由 S(t,r)=3 若 1.8 ≤ w′ ≤ 2.2(10%), 则 7 ≤ t ≤ 13 30%) ( ) 建议过一周后(t=7)重新估计 p , p ′, w , w ′ , 再作计算。 重新估计 再作计算。 建议过一周后

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3.3问题

森林救火

森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。

问题 分析

记队员人数x, 失火时刻 开始救火时刻t 记队员人数 失火时刻t=0, 开始救火时刻 1, 灭火时刻t 时刻t森林烧毁面积 森林烧毁面积B(t). 灭火时刻 2, 时刻 森林烧毁面积

损失费 1(x)是x的减函数 由烧毁面积 2)决定 损失费f 的减函数, 决定. 是 的减函数 由烧毁面积B(t 决定 救援费 2(x)是x的增函数 由队员人数和救火时间决定 救援费f 的增函数, 是 的增函数 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x, 存在恰当的 ，使f1(x), f2(x)之和最小 之和最小

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问题 分析

关键是对 关键是对B(t)作出合理的简化假设 作出合理的简化假设. 作出合理的简化假设 失火时刻t=0, 开始救火时刻 1, 灭火时刻 2, 开始救火时刻t 灭火时刻t 失火时刻 森林烧毁面积B(t)的大致图形 画出时刻 t 森林烧毁面积 的大致图形

分析B(t)比较困难 比较困难, 分析 比较困难 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt. 速度

B B(t2)

0

t1

t2

t

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模型假设1)0≤t≤t1, dB/dt 与 t成正比，系数β (火势蔓延速度) ) ≤≤ 成正比， 火势蔓延速度) 成正比 火势蔓延速度 2)t1≤t≤t2, β 降为β-λx (λ为队员的平均灭火速度) ) ≤ 为队员的平均灭火速度 速度) 3)f1(x)与B(t2)成正比，系数 1 (烧毁单位面积损失费) ) 成正比， 烧毁单位面积损失费) 与 成正比 系数c 烧毁单位面积损失费 4)每个队员的单位时间灭火费用 2, 一次性费用 3 队员的单位时间灭火费用c )每个队员的单位时间灭火费用 一次性费用c 火势以失火点为中心， 火势以失火点为中心， 均匀向四周呈圆形蔓延， 均匀向四周呈圆形蔓延， r 假设1) 假设 ) 半径 r与 t 成正比 与 的解释 B

面积 B与 t2成正比， 与 成正比， dB/dt与 t成正比 成正比. 与 成正比

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