2022年湖南省衡阳市中考数学试卷(解析版)

2019年湖南省衡阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1．（3分）﹣的绝对值是（）

A ．﹣

B ．

C ．﹣

D ．

2．（3分）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．全体实数D．x＝﹣1

3．（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（）公里．A．0.65×105B．65×103C．6.5×104D．6.5×105

4．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．（3分）下列各式中，计算正确的是（）

A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a8÷a4＝a2D．a2?a＝a3

6．（3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（）

A．40°B．50°C．80°D．90°

7．（3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）

A．97B．90C．95D．88

8．（3分）下列命题是假命题的是（）

A．n边形（n≥3）的外角和是360°

B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

C．相等的角是对顶角

D．矩形的对角线互相平分且相等

9．（3分）不等式组的整数解是（）

A．0B．﹣1C．﹣2D．1

10．（3分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A．9（1﹣2x）＝1B．9（1﹣x）2＝1C．9（1+2x）＝1D．9（1+x）2＝1 11．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b ＞的解集是（）

A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0

C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2

12．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E 作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）

A ．B．

C．D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)

13．（3分）因式分解：2a2﹣8＝．

14．（3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于．

15．（3分）﹣＝．

16．（3分）计算：+＝．

17．（3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．

18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．

三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

19．（6分）（）﹣3+|﹣2|+tan60°﹣（﹣2019）0

20．（6分）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：

（1）这次学校抽查的学生人数是；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？

21．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．

22．（8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）

（参考数据：≈1.73，≈1.41）

23．（8分）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求图中阴影部分的面积．

24．（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．

（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；

（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？

25．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（12分）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB 匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P 到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．

（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）求DE的长；

（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．

2019年湖南省衡阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1．（3分）﹣的绝对值是（）

A ．﹣

B ．

C ．﹣

D ．

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．

【解答】解：|﹣|＝，故选：B．

【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记负数的绝对值是它的相反数．2．（3分）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．全体实数D．x＝﹣1

【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：x+1≠0，

x≠﹣1，

故选：A．

【点评】本题考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．

3．（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（）公里．A．0.65×105B．65×103C．6.5×104D．6.5×105

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：科学记数法表示65000公里为6.5×104公里．

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其

中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．

5．（3分）下列各式中，计算正确的是（）

A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a8÷a4＝a2D．a2?a＝a3

【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．

【解答】解：A、8a与3b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；

B、（a2）3＝a6，故选项B不合题意；

C、a8÷a4＝a4，故选项C不符合题意；

D、a2?a＝a3，故选项D符合题意．

故选：D．

【点评】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

6．（3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（）

A．40°B．50°C．80°D．90°

【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．

【解答】解：∵BE⊥AF，∠BED＝40°，

∴∠FED＝50°，

∵AB∥CD，

∴∠A＝∠FED＝50°．

故选：B．

【点评】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出∠FED的度数是解题关键．

7．（3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）

A．97B．90C．95D．88

【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．【解答】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97，所以这组数据的中位数为90分，

故选：B．

【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；

如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

8．（3分）下列命题是假命题的是（）

A．n边形（n≥3）的外角和是360°

B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

C．相等的角是对顶角

D．矩形的对角线互相平分且相等

【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可．【解答】解：A、n边形（n≥3）的外角和是360°，是真命题；

B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；

C、相等的角不一定是对顶角，是假命题；

D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；

故选：C．

【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．

9．（3分）不等式组的整数解是（）

A．0B．﹣1C．﹣2D．1

【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．

【解答】解：

解不等式①得：x＜0，

解不等式②得：x＞﹣2，

∴不等式组的解集为﹣2＜x＜0，

∴不等式组的整数解是﹣1，

故选：B．

【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键．

10．（3分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A．9（1﹣2x）＝1B．9（1﹣x）2＝1C．9（1+2x）＝1D．9（1+x）2＝1【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．

【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：

9（1﹣x）2＝1，

故选：B．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是

解决本题的关键．

11．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b ＞的解集是（）

A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0

C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2

【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b ＞的解集．

【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，

∴不等式kx+b ＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2

故选：C．

【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．

12．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E 作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H ＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得到结论；

【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵EF⊥BC，ED⊥AC，

∴四边形EFCD是矩形，

∵E是AB的中点，

∴EF ＝AC，DE ＝BC，

∴EF＝ED，

∴四边形EFCD是正方形，

设正方形的边长为a，

如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；

当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H ＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，

∴S关于t的函数图象大致为C选项，

故选：C．

【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)

13．（3分）因式分解：2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）．

【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．

【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．

故答案为：2（a+2）（a﹣2）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．

14．（3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于5．【分析】根据概率公式列出关于a的方程，解之可得．

【解答】解：根据题意知＝，

解得a＝5，

经检验：a＝5是原分式方程的解，

∴a＝5，

故答案为：5．

【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．15．（3分）﹣＝．

【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．

【解答】解：原式＝3﹣＝2．

故答案为：2．

【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般．

16．（3分）计算：+＝1．

【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．

【解答】

解：原式＝﹣

＝

＝1．

故答案为：1．

【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．（3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是6．

【分析】易得正三角形的中心角为120°，那么中心角的一半为60°，利用60°的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．

【解答】解：如图，圆半径为6，求AB长．

∠AOB＝360°÷3＝120°

连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，

∵OA＝OB，

∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，

∴AC＝OA×sin60°＝6×＝3，

∴AB＝2AC＝6，

故答案为：6．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC的值是解决本题的关键．

18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为（﹣1010，10102）．

【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标．

【解答】解：∵A点坐标为（1，1），

∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），

∵A1A2∥OA，

∴直线A1A2为y＝x+2，

解得或，

∴A2（2，4），

∴A3（﹣2，4），

∵A3A4∥OA，

∴直线A3A4为y＝x+6，

解得或，

∴A4（3，9），

∴A5（﹣3，9）

…，

∴A2019（﹣1010，10102），

故答案为（﹣1010，10102）．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．

三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26

题12分，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

19．（6分）（）﹣3+|﹣2|+tan60°﹣（﹣2019）0

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝8+2﹣+﹣1

＝9．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20．（6分）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：

（1）这次学校抽查的学生人数是40；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？

【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；

（2）计算出C项目的人数后补全条形统计图即可；

（3）用总人数乘以样本中该校报D的学生数占被调查学生数的比例即可得．

【解答】解：（1）这次学校抽查的学生人数是12÷30%＝40（人），

故答案为：40人；

（2）C项目的人数为40﹣12﹣14﹣4＝10（人）

条形统计图补充为：

（3）估计全校报名军事竞技的学生有1000×＝100（人）．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

21．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．

【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；‘

（2）利用（1）中的结论得到k的最大整数为2，解方程x2﹣3x+2＝0解得x1＝1，x2＝2，把x＝1和x＝2分别代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出对应的m，同时满足m﹣1≠0．

【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，

解得k ≤；

（2）k的最大整数为2，

方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，

∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，

∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m ＝；

当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，

而m﹣1≠0，

∴m 的值为．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的

实数根；当△＜0时，方程无实数根．

22．（8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）

【分析】过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，则DG＝FP＝BH，DF＝GP，求出∠DCG＝30°，得出FP＝DG ＝CD＝5，CG ＝DG＝5，求出DF＝GP ＝+10，证出∠DAF＝30°＝∠ADF，得出AF＝DF ＝+10，得出FH ＝AF ＝+5，因此AH ＝FH＝10+5，即可得出答案．

【解答】解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：

则DG＝FP＝BH，DF＝GP，

∵坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，

∴∠DCG＝30°，

∴FP＝DG ＝CD＝5，

∴CG ＝DG＝5，

∵∠FEP＝60°，

∴FP ＝EP＝5，

∴EP ＝，

∴DF＝GP＝5+10+＝+10，

∵∠AEB＝60°，

∴∠EAB＝30°，

∵∠ADH＝30°，

∴∠DAH＝60°，

∴∠DAF＝30°＝∠ADF，

∴AF＝DF ＝+10，

∴FH ＝AF ＝+5，

∴AH ＝FH＝10+5，

∴AB＝AH+BH＝10+5+5＝15+5≈15+5×1.73≈23.7（米），

答：楼房AB高度约为23.7米．

【点评】此题是解直角三角形的应用﹣﹣仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．

23．（8分）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；

（2）根据平行线的性质得到∠＝30°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．

【解答】（1）证明：连接OB，交CA于E，

∵∠C＝30°，∠C ＝∠BOA，

∴∠BOA＝60°，

∵∠BCA＝∠OAC＝30°，

∴∠AEO＝90°，

即OB⊥AC，

∵BD∥AC，

∴∠DBE＝∠AEO＝90°，

∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°，

∵∠OBD＝90°，OB＝8，

∴BD ＝OB＝8，

∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB ＝×8×8﹣＝32﹣．

【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．

24．（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．

（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；

（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？

【分析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．

【解答】解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，依题意，得：＝，

解得：x＝5，

经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，

∴x+10＝15．

答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．

（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，

依题意，得：，

解得：15≤m≤16．

∵m为整数，

∴m＝15或16．

∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

25．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e3lq.html