分析力学讲义_黄维诚_清华大学

分析力学讲义

2009－2010学年秋季学期

基科81－88使用

2009－09

目 录

目录 1 绪论 1 §0．1．经典力学发展简史

§0．2． 理论力学和本课程的内容简介 §0．3．分析力学的特点

§0．4．经典力学的基本概念

§0．5．关于教材和教学方法的说明和学习方法方面的建议

第一部分 矢量力学

第一章 质点力学 §1．1．质点运动学 位矢，速度和加速度 §1．2．直角坐标系 §1．3．约束和广义坐标 §1．4．曲线坐标系 §1．5．“自然坐标系”

§1．6．质点动力学 质量和力

§1．7．质点的三个动力学定理 动量 角动量 机械能（动能和势能） §1．8．中心力场

§1．9．与距离平方成反比的有势中心力场 §1．10．散射截面

第二章 质点系力学 §2．1．质点系运动学

§2．2．约束和广义坐标（§1．3．之续） §2．3．质点系的牛顿动力学方程组 §2．4．两体问题 §2．5．碰撞与散射

第三章 刚体力学 §3．1．刚体运动学

§3．2．转动公式 角速度

§3．3．描述刚体运动的坐标系 欧拉角 刚体的欧拉运动学方程 §3．4．刚体任一点的线速度和线加速度 §3．5．不同参照系的速度加速度间的关系 §3．6．刚体动力学的基本概念 §3．7．欧拉动力学方程

§3．8．刚体定点转动的几种特殊情况

5

25

37

§3．9．非惯性参照系中的动力学方程 惯性力

第二部分 拉格朗日力学

第四章 分析力学的基本概念和基本原理 61

§4．1． 分析力学的基本概念 §4．2．变分法

§4．3．哈密顿原理

第五章 拉格朗日方程 §5．1．拉格朗日方程

§5．2．拉格朗日方程的解 §5．3．例题

§5．4．虚功原理(虚位移原理) §5．5．拉格朗日方程的研究

第六章 简单的可积系统 §6．1．可积系统和不可积系统 §6．2．一个自由度的力学系统

§6．3．多自由度力学体系的微振动

§6．4．简正坐标、简正频率和简正振动 §6．5．微振动理论的应用实例 §6．6．开普勒问题

第三部分 哈密顿力学 第七章 哈密顿正则方程 §7．1．哈密顿正则方程

§7．2．哈密顿正则方程的解和积分 §7．3．哈密顿正则方程的应用举例 §7．4．哈密顿正则方程的研究

第八章 正则变换 §8．1．正则变换

§8．2．正则变换的条件 §8．3．无穷小正则变换

§8．4．哈密顿—雅可比方程 §8．5．作用变量和角变量 §8．6．泊松（Poisson）括号

附录 A1．一般曲线坐标系下的运动学

74

97

124

149

110

A2．矢量分析和场论简介 A3．角速度是轴矢量 A4．Cayley-Klein参量

A5．作平面平行运动的刚体对瞬时转动中心的角动量定理 A6．Noether (Nöther)定理 A7．关于变分原理 A8．Legendre变换

A9．Routh函数

绪 论

§0．1．经典力学发展简史

经典力学研究低速宏观物体的机械运动的规律。宏观物体系指和人体大小可比拟或比人体大得多的物体；低速系指远小于光速的运动速度。至于微观物体和高速物体的运动规律则为二十世纪建立起来的量子力学和相对论力学所表述。

伽利略（1564-1642）继承了古代原子论和数理哲学的优秀遗产，并在实验实践的基础上发扬光大，使之成为一门精密的实验科学。伽利略也因而成为实验物理学之父。

牛顿（1643－1727）集前人之大成，在总结前人成果的基础上创立了公理化的经典力学理论体系。牛顿的《自然哲学的数学原理》奠定了经典力学的理论基础，（参阅[1]§1.1）（这个理论体系特点为：以直观的几何的图像为基础，以三维空间的矢量代数和矢量分析为基本数学工具；因而被称为矢量力学）为整个物理学的发展提供了一个坚实的起点平台。牛顿建立了万有引力定律，是使得人类彻底摆脱了神界的一次思想大解放。

牛顿的贡献当然也有其局限性，这也体现了科学发展过程中人类认识的历史局限性。特别是，牛顿的初衷，希望把他的理论框架发展成为“自然哲学”——广义的物理学的基础，随着时间的推移，日益显出其局限性来。经过人类长期的生产实践活动，经过众多科学家实验和理论的研究，拉格朗日，哈密顿等人发展了牛顿力学，广泛地运用数学分析微分几何等

GG

为核心的牛顿力学的理论框数学工具，深刻揭示经典力学的规律，完善并突破了以F=mr

架（矢量力学）；构建起了现代形式的理论体系，称为分析力学。分析力学的建立和发展，

对牛顿的理论体系进行了脱胎换骨的改造，使牛顿的理论框架变得“面目全非”，却使得牛顿的理论体系日益成为自然哲学（物理学）的理论基础。

我们通常所说的牛顿力学，就其形式而言，是指矢量力学；但就其实质而言，就是经典力学；因为经典力学后来的发展，都能在牛顿力学中找到明确的源头。甚至几乎所有近代物理学的发展都可直接或间接地在牛顿力学中找到渊源，牛顿力学的发展，以至于物理学许多领域的发展，与其说是对牛顿理论缺陷的揭示，倒不如说是对牛顿理论内在价值的追认。 从牛顿、伽利略到拉格朗日，哈密顿，从矢量力学到分析力学，经典力学虽然已经有了长足的发展，有了相当完整的理论体系，但是这决不意味着经典力学已经发展到顶了。作为一门基础学科，人类实践和相关各学科实验与理论的研究不断给经典力学提出各种新问题，不断拓展着经典力学新的研究领域。

还应指出，经典力学的理论体系与经过高度抽象的数学的公理体系还是有所不同，物理学本质上是一门实验科学，物理理论的直接的深厚基础是丰富的实验事实。 §0．2． 理论力学和本课程的内容简介

目前理工科大学里设置的介绍经典力学的课程通常称为理论力学，按其内容分为运动学、静力学和动力学。运动学研究对机械运动的描述方法，不涉及机械运动变化的原因；动力学则是研究机械运动变化的原因。静力学研究机械运动的一种特殊状态——平衡的条件。（参见表0－1）

表0－1理论力学课程的内容概要

理论力学 运动学 静力学 动力学

矢量力学 几种常用的坐标系 力系的平衡 牛顿定律

（动力学定理）

分析力学

广义坐标（任意曲线坐标系） （静力学）虚功原理

达朗贝尔方程（动力学虚功原理） （拉格朗日方程，哈密顿理论等）

由于各专业的不同要求，同样名为理论力学的课程有不同的类型；同样名为理论力学的教材或专著也有不同的侧重面。除了力学专业的理论力学课程有其自身的专业要求以外，工科专业的理论力学课程是工程力学的组成部分；对于物理专业而言，阐述经典力学普遍规律的理论力学课程，是物理专业的专业基础课四大力学之一，是普通物理课程力学部分的继续和加深，也是许多后续课程的必备基础。目前许多理论力学教材分为矢量力学和分析力学两部分来阐述。前者以几何方法（矢量的运算）为基础，当然也要用微积分、微分方程等数学工具，后者采用更多数学分析的方法。

由于矢量力学大部分内容已在普通物理课程中讲授，本课程内容以分析力学为主，主要讲授分析力学的基本概念和基本原理、拉格朗日力学和哈密顿力学等内容。课程名称也改称分析力学。也要讲一些矢量力学的内容，既为梳理矢量力学的基础知识，又作内容上的补充，但更着重于方法上的更新，为学习分析力学作好准备。

根据数学、物理等理科专业的需要，静力学作为动力学的一个特例，不作重点研究。因此本课程也以分析动力学为重点，而把分析静力学作为分析动力学的一个特例。 §0．3．分析力学的特点

数学工具用得较多，特别是数学分析；当然，我们也不必刻意回避几何方法。

分析力学的理论概括性比较强，力图对多样化的力学问题作统一的处理，同时也比较抽象。学习时应加强对其物理意义的理解，同时应注重其在实际问题中的应用。如果自己能构造一些实例以加深理解当然更好。

分析力学和矢量力学是同一研究对象的两种研究方法，所得结果当然应该一致。在矢量力学中很难求解的问题可能在分析力学中变得比较容易求解，但是两者不可能得到相互矛盾的结论。例如，在矢量力学中，单摆（振幅不很小的情况下）的解不能用初等函数来精确表示，那么用分析力学的方法同样不可能用初等函数来精确表示。

为什么要学习分析力学？

分析力学便于处理更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形。 分析力学能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，因而便于阐述力学的普遍原理。

分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力），因此分析力学的方法便于推广，对于物理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用。 §0．4．经典力学的基本概念

1．经典力学的时空观 参考系

经典力学的任务是研究机械运动的规律。机械运动是物体在空间的位置和取向随时间发生变化，是物理学所研究的各种运动形式中最简单，也是最基本的一种。为此我们先对经典力学的时空观作一简单的说明。(参阅[3]32页)

空间和时间不仅是一个物理概念，而且具有深刻的哲学意义。空间和时间是物质存在的客观形式，不存在脱离物质的绝对空间和绝对时间。经典力学中的现实空间是三维欧几里得空间，时间是一维的。空间和时间的变化都是连续的。

既然不存在脱离物质的绝对空间，为了描述物体在空间的机械运动，必须选定一个物体或一些物体的集合作参考标准，称为参考系，由参考物体的刚性延伸得到的三维空间称为参考空间；为了描述时间的变化，必须选定一些事件或变化着的物体的状态作为时间零点和时间进程的参考标准。

参考系有无限多种可能的选取方式，在相互作任意相对运动的不同参考系中,在给定的时刻给定空间间隔的大小是相同的（空间两点间的距离不因参考系的不同而变化）；某一给定的时间间隔的持续时间是相同的。（时间的绝对性）因此在不同的参考系中可以选取同样的时间零点和时间进程。时间的这种“绝对性”是经典力学的一个基本假定。随着物理学的

发展，空间和时间的观念是在不断变化和发展的。经典力学的时空观反映了人类在一定历史阶段对空间和时间的认识。按照爱因斯坦的相对论，这样的时空观只是在运动速度不大，引力场不强的情况下近似成立。

从运动学的观点来看，各个参考系是相互平等的。但是，适当选择参考系能使问题变得简单。从动力学的观点来看，有一类参考系具有特殊的地位，那就是惯性参考系。参考系没有静止与运动之分，只存在参考系之间的相对运动，当然也就不存在绝对静止的参考系。有时为了叙述的方便, 说惯性系是静止的，其实相对于一个惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系。最常用的参考系是以地球为参考物的参考系，这是一个近似的惯性系。

当两个参考系以恒定速度作相对运动时，有伽利略变换。从一个惯性系到另一个惯性系的变换是伽利略变换。质点的加速度是伽利略变换下的不变量。

2．力学体系

我们把经典力学的研究对象称为力学体系。一般的力学体系都可以视作质点系，质量连续分布的力学体系也可离散化而处理成质点系，因此质点系是经典力学最一般的研究对象。质点是组成力学体系的最小单元，也是最简单的力学体系。刚体是特殊的一类质点系。质点、刚体、若干个质点组成的质点系以及若干质点和刚体组成的力学体系是我们这门课程的研究对象。大量质点组成的质点系是统计力学的研究对象。一般的质量连续分布的可以产生形变的质点系是流体力学或弹性力学的研究对象。

质点和刚体都是实际的宏观物体的抽象；不存在绝对的质点或刚体。一个宏观物体能否视作质点或刚体，不仅取决于物体本身的特点，而且取决于所研究问题的特点。

为什么要把若干个质点作为质点系来研究？组成质点系的各个质点之间往往存在着约束，存在着相互作用力（包括约束力）；从而使单个质点运动情况的描述变得复杂起来，而对质点系整体地进行研究却提供了简化问题的可能性。

3．坐标系

我们已经在阐述经典力学的时空观时介绍了参考系和参考空间的概念。 为了对机械运动进行定量的精确的描述，不仅要选用确定的参考系，而且需要在参考系上选择一个适当的计算系统（在参考空间建立合适的坐标系，再配以记载时间的方法。）

参考系和坐标系是不同的。参考系是物理概念，是讨论机械运动的一个参考标准；而坐标系则是数学工具，以某个数组和质点位置间的一一对应关系来描述质点位置及其变化。在确定的参考系中，坐标系仍有无限多种可能的方式，可以任意选取（适当选取坐标系也能使问题变得简单）；特别是，坐标系可以不固定于参考系。坐标系不存在惯性和非惯性的问题；但是固定于参考系的坐标系就可以代表这个参考系，因而有时也有惯性坐标系和非惯性坐标系这样的说法。

4．质量和力

GG 矢量力学中的质点动力学就是利用牛顿动力学方程mr=F研究质点机械运动发生变

化的原因。在动力学方程中，我们遇到了两个新的概念：一个是质量，质量是质点的惯性的

度量；另一个是力，力是物体之间的相互作用，是运动改变的原因。关于后者，在这里作些补充说明：

质点所受的力可以分为主动力和约束力。约束力是由于约束的存在而出现，不仅与约束本身的特点有关，而且与相关质点的运动和所受的主动力有关，因而往往是未知的，约束力也称约束反作用力或约束反力。主动力和约束无关，因而往往是已知的。力也可以分为真实力和惯性力。惯性力是由于力学体系处于非惯性系而出现的一种虚假的力，我们称之为“虚假”，是因为惯性力不是物体之间的相互作用，它没有施力主，也不存在反作用力。力还可以分为内力和外力：内力是我们所研究的力学体系内的各质点之间的相互作用力，外力是我

们所研究的力学体系以外的物体对力学体系的作用力，惯性力也按外力来处理。

力和质量的概念，在分析力学中，将得到进一步的推广和深化。 §0．5．关于教材和教学方法的说明和学习方法方面的建议

我们采用自编的讲义为教材，同时开列一些主要参考书供同学们选用。鼓励并尽力帮助同学们在读好教材的基础上阅读一些参考书，以逐步培养阅读参考书的习惯和能力。既不能只读教材，也不要同时读过多参考书，分散了精力。也不必一本书从头读到尾，要善于从参考书中查阅自己所需要的内容。

我们的讲义以系统地讲述分析力学为重点。至于矢量力学部份，不求系统完整，以免不必要的重复。我们在讲述矢量力学时，除了补充一些普通物理中未讲的内容以外，特别注意尽量用系统的理论方法来处理问题，以为学习分析力学作好准备。

也正是由于这些特点，与传统的理论力学课程或教材相比，有时我们会感到有较大的 “跳跃性”。这虽然给我们带来某些不便，也给我们一种有益的训练。因为，严谨性固然是必须具备的良好的学习品质，但带有“跳跃性”地来学习某些内容也是一种必需具备的能力。至于“跳跃性”带来的困难和不足之处，可以通过课堂教学和阅读其它参考资料加以弥补。

根据以往经验，理论力学或分析力学的初学者往往感到，“听课容易，作业困难”，力学习题有些固然比较困难，其实还是有规律可循；听课，特别是要听好课，也未必容易。感到“作业困难”往往正是由于没有听好课，或者没有很好消化讲课和教材上的内容。什么叫“听好课”，什么叫“认真阅读教材”，什么叫“很好消化”，首先当然是要弄懂面上的意思，即已经讲出来写出来的意思；进一步要设法挖掘深一层的意思；（为什么要这样讲，这样写，这样论证，这样推导，能不能换一种方法？）更进一步则是问自己，我还能给自己提出些什么问题？当然不是说对每个问题都要这样深究，的确也不是每一个问题都值得这样深究；但要努力学会发现值得深究的问题，学会深究问题的方法。

不少同学希望通过做更多的习题来解决‘作业困难’的问题。这种学习积极性无疑是应该肯定的，做一定数量的习题也是完全必要的。但是过分看重做题未必是一种好的学习方法，大量做题在时间安排上也是不现实的。与其匆匆忙忙甚至似懂非懂地做十个题，不如仔仔细细做两三个题。这里仔仔细细是指多思考，做深做透，举一反三，做一个题要想到一系列题，几个题就变成几个系列的题，几个系列的题交织成网，派生出更多的题，以掌握更多的题；后面也将通过若干例题来说明“仔仔细细”的含义。

出题，解题，批改的过程，小学生只管中间（解题），两头（出题和批改）都是老师的事；中学生不仅等老师出题，自己也会设法找题，不仅等老师批改，自己也会核对答案；大学生应该还要进一步：自己会出题，逐步会研究，什么样的题目有解，什么样的题目有唯一的解；会研究用各种方法去解，解题方法举一反三；从解题的过程和结果中，研究已知条件举一反三的可能性，会给自己找出更多的题目来。

这门课对准备主攻数学、物理、信息等各门学科的同学都会有一定用处。对于有志于攻读理论物理或应用数学的同学可能更为重要。

小论文：这是为确有兴趣并确有余力的同学安排的一项自选作业。自选讲座：不直接属于考试范围。但对于加深理解基本内容是有积极作用的。

第一部分 矢量力学

质点是最简单的力学体系。质点力学的任务就是研究质点机械运动的规律。在矢量力学中，质点运动学借助矢量等数学工具引入位矢，速度和加速度等物理概念研究描述质点机械运动及其变化的方法；质点动力学则运用牛顿动力学方程研究质点机械运动的规律和机械运动发生变化的原因。

§1．1．质点运动学 位矢，速度和加速度

在参考系中选一个固定点O作为描写质点运动的参考点，则质点M的位置可以用矢量

第一章 质点力学

r=OM来表示，称为位置矢量（位矢）。随着质点在空间运动，位矢随时间变化，因此位

矢是时间的函数r=r(t)；这个方程，一方面描述了质点的运动规律，称为质点的运动学

方程，另一方面，也是质点轨道的一种参数方程。这样质点的位移、速度和加速度可以分别

2 drdr =用矢量Δr=r(t+Δt) r(t)，v=r和a= r=2表示。

dtdt

§1．2．直角坐标系

在三维空间建立一个坐标系，就是建立空间的点和三元有序数组（称为坐标）之间的一种一一对应关系。一个坐标取定值的点的集合是一个曲面，称为坐标曲面；两个坐标取定值的点的集合是一条曲线，称为坐标曲线。任一坐标曲线实际上是某两个坐标曲面的交线。对于空间的每一点（可能有若干特殊点除外），有且仅有三条坐标曲线相交于此，有且仅有三个坐标曲面相交于此。我们可以对于空间的每一点建立由三个沿坐标曲线的正向（坐标增加的方向）的切矢量（称为基矢）组成的坐标架；我们可以利用这个坐标架为基矢来表达三维空间中的矢量。

我们最熟悉的直角坐标系（O-XYZ）是三维欧氏空间中最简单也是最重要的坐标系。由通过原点O三个相互垂直的坐标轴（OX,OY,OZ）组成，通常采用右手系（满足右手螺旋法则）。空间的点和坐标即有序数组（x ,y, z）之间建立起一一对应的关系。

直角坐标系的坐标曲面实际上是三个互相垂直的平行平面族；坐标曲面两两相交的交线为坐标曲线，是三个互相垂直的平行直线族。

对于每一点我们选取分别平行于坐标曲线正向（坐标增加的方向）的一组单位矢量

{

i,j,k为基矢。容易看出，直角坐标系的基矢平行于对应的坐标轴正向，是不随点的位置

}

变化的，是一组正交（满足i j=j k=k i=0）归一（满足i i=j j=k k=1）的

常矢量。在右手系中：i×j=k，等等；且取逆时针转向为计算角度的正向。

在直角坐标系中，空间中的点P可以用与之对应的直角坐标（x, y, z）表示，也可用位

矢r=OP=xi+yj+zk≡r(x,y,z)来表示。质点P的运动学方程可以表为

r=x(t)i+y(t)j+z(t)k=r(x(t),y(t),z(t))≡r(t)

利用直角坐标，由位矢的表达式求速度和加速度的表达式是很方便的，事实上：

r r r

由质点的运动学方程求得位矢的元位移dr=dxi+dyj+dzk=dx+dy+dz

x y z r dr rr (x,y,z)=xi +yj +zk + + = xyz=r即可得v=

dt x y z

进一步a=r=r(x,y,z)=xi+yj+zk

r r r

=i,=j,=k，其实这一组从而可得基矢i,j,k与位矢的偏导数之间的关系： x y z

{}

式子的几何意义就是：基矢分别沿着坐标曲线的切线方向。还可以得到关系式：

r r r r r r

，以上这两组关系式都可以推广到一般的曲线坐标系。 ==,=

y z x y z x

在直线上、平面上，在高维欧氏空间上，都可以仿上建立直角坐标系。

在直角坐标系中，如果两个参考系作相对运动时的恒定速度V沿x轴方向，则伽利略

r=Vt+r′ x=Vt+x′y=y′z=z′

可表为： 变换

′tt=′t=t

§1．3．约束和广义坐标

点和数组之间的任何一种一一对应关系，都可以成为坐标系（以后称为广义坐标系）。直角坐标系是这种对应关系的最简单的一种实现，但应用起来并不总是最方便的，特别是当约束存在而直角坐标不再独立时。此时我们宁肯采用看来复杂一些的广义坐标，却可以用较少的独立的广义坐标来代替不独立的直角坐标，使问题得到简化。

如何选用各种不同的坐标系？根据问题的特点（包括：力、势能、约束等的对称性以及其它特点），选用适当的坐标系比较方便。（当然，采用别的坐标只是“不够方便”而不是原则上“不可能”。）例如讨论有心力作用下的质点的运动，质点作平面运动，采用平面极坐标最为方便；如果有心力是有势的（只与r有关），则很容易化为一维问题，优越性更为明显（例如，见§1．8．中心力场）。约束在球面上的质点的运动，若采用球坐标，约束方程

x2+y2+z2=R2使质点的径向坐标r=R成为常数，用另两个球坐标θ, 作为独立坐标描

述即可。若采用直角坐标或柱坐标，就没有这样方便了。

我们来看一个简单的实例：

【例1】单摆：建立以悬挂点为原点，x轴向下的直角坐标系。在振幅不很大时，摆绳长为l，保持张紧。在摆锤（视作质点）的位矢：r=xi+yj，它的直角坐标满足约束方程

x y

x+y=l；主动力（重力）为mg=mgi，约束力为T= Ti Tj,T=T；动

ll

力学方程的矢量式为：mr=mg+T；动力学方程也可以写成分量式

2

2

2

= Tmx my = T

x

+mgl

通过变形、重新组合和积分,并利用约束方程，可以得到

yl

即即即

22

mxxyymxy+= +()()= Tl+mgx

d

yx ) yx xy)= m(xy= mgy m( dt

xx+ yy)=mgx m(

v2x m= T+mg

lld [r×mv]=r×mg dt

12

mv mgx=E2

2

2

2

=xi +y j,v=x +y ，我们看到，其中v=r

后两式为消去约束力以后得到的结果，分别为角动

量定理和能量守恒定律。由于约束的存在,出现未知的约束力，x和y相互不独立，使问题变得复杂。如果我们采用平面极坐标(r,θ)，在本题的约束条件下

r≡l，只有一个独立的坐标θ，我们称之为广义坐

x=rcosθ x=lcosθ

标。坐标变换式 简化为 ，

yrsinylsinθθ==

2= T+mgcosθ mlθ = mgsinθ于是得到 mlθ 1

2 mglcosθ=E ml2θ 2

作为角动量定理的第二式就是我们熟知的平面极坐标系中的横向动力学方程；第三式就是第二式的初积分，也就是能量守恒定律；这两式均可用来求得运动规律。第一式则是平面极坐标系中的径向动力学方程，在求得运动规律以后，可用来求得约束力。

由上例我们看到，我们处理约束问题的方法是分析约束力的物理图象，建立动力学方程，对方程求解时，一方面消去约束力，另一方面选用适当的广义坐标。这是矢量力学中经常采用的方法。在分析力学中，我们将建立一种系统的方法：一方面充分利用数学方法处理约束方程，以代替对约束力的物理图象分析，另一方面尽可能早地利用独立的广义坐标，以免除因约束力和坐标的不独立性引起的问题的复杂性。

一般地，作平面运动的质点受到平面上的曲线约束：F(x,y)=0时，独立坐标数目从2减少为1，可以选用x或y为独立坐标，也可以引入参数u，选用函数x=f(u),y=g(u)，使之满足Ff(u),g(u)≡0于是约束方程自动消去；我们可选用u作为独立的广义坐标，以代替不独立的两个直角坐标x，y，记为q = u

可选用x，

在空间运动的质点受曲面约束：F(x,y,z)=0独立坐标数目从3减少为2 ，

()

y，z中的任意两个为广义坐标，也可以引入参数u，v，选用函数，x=f(u,v),y=g(u,v),

z=h(u,v)，使之满足F(f(u,v),g(u,v),h(u,v))≡0于是约束方程自动消去；我们可选

用u,v作为独立的广义坐标，以代替三个不完全独立的直角坐标，记为q1=u,q2=v.

在空间运动的质点受曲线约束

F1(x,y,z)=0

独立坐标数从3减少为1，可选用x或y

F2(x,y,z)=0

或z为独立的广义坐标；也可以引入参数u，选用函数x=f(u),y=g(u),z=h(u)，使

F1(f(u),g(u),h(u))≡0

于是约束方程自动消去；我们可选用u作为独立的广义之满足

F2(f(u),g(u),h(u))≡0

坐标，以代替三个不独立的直角坐标x，y，z，记为q = u.. §1．4．曲线坐标系（参阅[1]5页－9页） 在§1．3．【例1】中，我们看到，利用平面极坐标系可以使问题变得简单易解。这说明，我们有必要选用适当的广义坐标系。直角坐标系以外的广义坐标系的坐标曲面一般为曲面族（当然也不完全排除平面族或半平面族）；坐标曲线一般为曲线族（当然也不完全排除直线族或射线族）；因而称为曲线坐标系。最常用的曲线坐标系有：

平面极坐标系(r,θ)（当质点在平面运动时，可以选用）； 柱坐标系 (ρ,φ,z)；

球坐标系（球极坐标系）(r,θ,φ)；

我们将看到：在这几种曲线坐标系中，在过同一点的各基矢依然是相互垂直的，因而总可选取它们依然是正交归一的，（满足 ei ek=δik）。但是一般说，它们随点的位置而变动，不再为常矢量。

对于正交归一基矢，如果矢量A=∑Aiei则有Ai=A ei；反之亦然。此论断对于一

i

般的基矢不成立。

关于方向变化的单位矢量，有以下两条定理成立：（请同学们自行证明）

del

【定理1】若单位矢量el=el(θ)依赖于任意参数θ，则⊥el。

dθ

del

【定理2】在平面情形，若θ为el与某一固定方向的夹角，则有=1。

dθ

关于利用平面极坐标系来研究平面运动质点的运动学，我们已经很熟悉了（例如参阅[1]5页），下面我们介绍的方法，尽可能多利用分析工具而少依赖几何图形，因而易于推广：

平面极坐标系： (r，θ

) r≥0,

0≤θ<2π

1由平面直角坐标系和平面极坐标系之间的坐标变换出发 ○

x=rcosθ

y=rsinθ

r= 可求得有关的偏导数和雅可比行列式：

tanθ=y/x

(x,y) r,θ (r,θ) x,y=r,=1

r

，

xx yy x y=cosθ=,=sinθ=,= rsinθ= y,=rcosθ=x, rr rr θ θ rx ry θysinθ θxcosθ==cosθ,==sinθ,= 2= ,=2=, xr yr x ryrrr

2平面极坐标系的坐标曲线分别为以极点为圆心的同心圆族和以极点为始点的射线族。仿照○

r r r =i,=j,=k，我们可以求得基矢（径向和横向）： x y z r

==i+j=erεcosθsinθr r r ε== ri+rj=resinθcosθθ

θ θ

er=cosθi+sinθj

π = + eeθθ θ 1 rr 2 = sinθi+cosθj eθ=

r θ

而基矢{εα}还没有归一化。位矢可以分别利用两种坐标系和基矢{eα}是已经归一化了的，两种基矢i,j {er,eθ}表为：

{}

r=r(x,y)=x(r,θ)i+y(r,θ)j=rcosθi+rsinθj=rer

3基矢{er,eθ}仍然是正交归一的，但它们不再是常矢量：er=er(r,θ),eθ=eθ(r,θ) ○

er er

可求得基矢随坐标的变化=0=eθ

r θ dee =r=r =θ e基矢随时间的变化eθ,r

dt θ eθ eθ

=0= er ； r θ de e =θ=θθ = θ eeθr ；

θdt

4进而可通过对矢径求导数得到速度和加速度的表达式。利用平面极坐标系中位矢表达式： ○

drd =re e r+re =(rer)=re+v=rθrrθ或

dtdt

d2rd2 2e a=2=2(rer)= r rθr+rθ+2rθ

dtdt

()()

r dr e + r+rθ=v=rθ=reθ θdt r

eθ

也可以利用直角坐标系中位矢的表达式求速度加速度表达式再经过坐标变换得：

dr sinθi+r cosθj =re e i+y j=r cosθ rθ sinθ+rθ r+rθ=xv=θdt d2r sinθ rθ sinθ rθ 2cosθi θa=2= xi+ yj= rcosθ 2rdt

2 2e +2r e +rsinθ+2rθcosθ+rθcosθ rθsinθj= +θθr rθrrθ

()()

()

()()()

后面这种方法避免了对基矢求导数，但要利用坐标导数间的变换；而前面这种方法避免了坐标导数间的变换，但要对基矢求导数。两种方法的繁简程度相差不多。

r r

==er,与直角坐标系中的公式相仿，我们得到 rr r,θ,θ r r

==re这样 θ，

θθ r,θ,r

的关系式还可以推广到任意的曲线坐标和广义坐标中去，称为第一个经典Lagrange关系。

上述方法推广到柱坐标系是直截了当的（参阅[1]7页）。（请同学们自行练习。）

推广到球坐标系（参阅[1] 6页），过程稍复杂些。（参阅补充习题：补1－1）

*推广到任意曲线坐标系：可参阅附录A．1；参考资料[12]上册第一章§9 §1．5．“自然坐标系”

“自然坐标系”不同于前述的几种坐标系，实际上并未给出与点对应的三元数组，只给出了一个坐标架，且其基矢与速度的方向有关。我们限于讨论轨道为平面曲线的情形： （*轨道为空间曲线的情形：参阅[1]8－9页）

通常以弧长s为参数，可任意选定s的零点和正向，这样矢径r=r(s)，取坐标基矢如

dr dr

下：由于ds=±dr，=1，可以定义切向单位矢量et=，指向s增加的方向（不一

dsds

det det

定是质点运动的方向）；从而⊥et,=1，因此可以定义法向单位矢量

d d

det

⊥et，正负号选得使en指向曲线凹侧。 en=±d

ds dr drds

矢径的微分dr==et=vet 注意：v=为速度在ds=dset，速度：v=

dtdtdsdt

切向单位矢量上的投影，可正可负，不一定是速度的大小。加速度：

detdv v2 dvdv

a==et+v=et+en=atet+anen

ρdtdtdtdt

detdetd ds 1dvv2

,an=分别为切向加速度和法向加速度。其中 ==en v at=

dtd dsdtρρdt

detds

（=±ρ,ρ>0为曲率半径，=±en两个±号恰消去。曲率半径的公式的证明：参

d d

阅[1]9页和有关微分几何的书籍。）

动力学方程（本性方程，内秉方程）：

m

m

dv

=Ft Ft是F在切线方向上的投影，正负均可能。 dt

v2

ρ

=Fn Fn是F在法线方向上的投影，F指向曲率中心（凹侧），Fn肯定为正。

§1．6．质点动力学 质量和力

我们从牛顿动力学方程mr=F出发研究质点动力学。

不依赖高阶导数，则经典力学的动力学方程（牛顿方程）： 一般说，如果力F=Fr,r,t

()

,tmr=Fr,r

()

（其中m,r,F,t分别为质量，位矢，力和时间）

是一个二价常微分方程组。由某一时刻质点的坐标和速度可以确定该时刻质点的加速度，对动力学方程逐次求导数可以由所得的新的方程逐次求得坐标的任意阶导数；对动力学方程积分或利用泰勒公式可以得到其它时刻的坐标、速度、加速度和更高阶的导数，从而可以求得任何时刻的任何力学量的值；因此，知道了某一时刻的坐标和速度的值，利用动力学方程就

足以决定这个力学体系的运动状态和运动状态的变化，即任何时刻的任何力学量的值。因此我们说，坐标和速度构成一个完备力学量组。由此我们也就理解了，为什么解动力学方程时给出的定解条件（初条件）是初位置和初速度。而不需要也不可能独立地另行给出初加速度。 §1．7．质点的三个动力学定理 动量 角动量 机械能（动能和势能）

1 2 引入动量p=mr，角动量L=r×mr，动能T=mr和力矩M=r×F的概念，我

2

们可以从牛顿动力学方程导出质点的动力学定理：

导数形式d ,t 动量定理p=Fr,rdt

d

角动量定理L=M

dt

d 动能定理T=F rdt

()

微分形式 ,tdtdp=Fr,r

()

积分形式

t ,tdtp(t)－p(t0)=∫Fr,r

t0

()

dL=Mdt dT=F dr

t L(t) L(t0)=∫Mdt

t0

T T0=∫

r

r0

F dr

进而得到三个守恒定律：（参阅[1]§1．4．－§1．6．特别可阅读11，13，16页）

t dt=0，则有p 如果Fr,r,t=0，从而∫Fr,r,tt=pt=p()(0)0，动量守恒定律。

()

t0

()

如果M=0从而

∫

t

t0

Mdt=0，则有L(t)=L(t0)=L0，动量矩守恒定律。

r0

r

如果力有势F= V(r)从而∫ F dr= V(r)则T+V=E，能量(机械能)守恒定律。

守恒定律是指物理量在某一有限时间间隔内保持不变，而不是指物理量在某一特定时刻的值

≠0，而对某时刻t,有与初值相等。例如：如果Fr,r,t

()

∫(

t0

t

dt=0，则有Fr,r,t

)

这是由动量定理推得的一个结果。不是动量守恒定律。 p(t)=p(t0)=p0对该特定时刻成立，

动力学三个定理的导出，使动量、能量等概念逐步代替力和质量成为经典力学的基本

概念和物理量。这件事对物理学各领域的发展产生了深刻的影响。

从求解经典力学动力学问题的角度来看，动力学三个定理和牛顿动力学方程原则上是等价的。可以互相导出，互相代替。只是在不同的情况下，用某种方法，可能比较方便。我们可以根据问题的特点和要求，选用适当的方法。一般说，如果在积分形式中的积分易于计算，则对应的动力学定理用起来是比较方便的。（此时动力学定理的积分形式就是动力学方程的初积分）例如：力只是时间的函数，用动量定理往往比较方便；力只是空间坐标的函数，用动能定理可能比较方便。又如：如果要求某个时刻的量，或者所讨论的问题涉及与时间的关系，可能用动量定理比较方便；如果要求某个空间位置的量，或者所讨论的问题涉及与坐标的关系，可能用动能定理比较方便。

在一定条件下得到的三个运动积分（守恒定律），也是与牛顿动力学方程等价的。如果能判定某个守恒定律成立，则可直接利用，以代替某个动力学方程。

在学习过程中，应注意积累经验，提高灵活运用各种方法的能力。

我们已经学过一些基本的实例：抛射体 单摆 简谐振动等。我们再举几个实例。 【例1】质量为m的质点以初速v0竖直上抛，空气阻力与速率的一次方成正比：

f= mkv，（k>0,负号表示空气阻力与速度方向相反）试证明：质点回到投掷点的速度等

于同样时间内在真空中以同样的初速作上抛运动所达到的速度。

(0)=v0 证明：建立坐标系y轴竖直向上，以投掷点为原点。初条件：t=0,y(0)=0,y

= mg y =v0 gt y=v0t 真空中：my

12

gt （0） 2

v0v022v

=0,t=,yM= = v0 回到投掷点：y=0,t=0,y达到最高点：y

gg2g

= mg mky 即 = g 积分并用初条件定解， y+ky 有阻力：my

得y=

g+kv0g+kv0 ktgg kt

ye （1） ， 并得= 1et2 kkkk

2

v0gg+kv0v01g+kv0

=0 t=ln达到最高点：y yM= ln<

kgkk2g2g

回到投掷点：(g+kv0)e

kt

=g+k(v0 gt) （2）

（2）式中的t不必解出，也不易解出。（1）式对整个过程成立，（2）式仅对回到投掷点时刻成立，从（1）（2）消去e

kt

=v0 gt与（0）一致，即原命题得证。但应注意,得y

在有阻力时，此式仅对回到投掷点时刻成立。

【例2】质量为m的质点以初速v0竖直上抛，空气阻力与速率的二次方成正比：

，试证明：质点回到投掷点的速度等于v1=v0(1+kv0R=±mgky

2

2

2

1

2 2

)

= mg mgky 利用动能定理证明：上升阶段：my 积分，ln1+ky

22

g1+ky

2

2)d(y

2

= 2dy

(

22

)= 2k(

2

=v0 gy+C利用初条件y=0,y

2

定积分常数，C=ln1+kv0

2

=0得最大高度y)然后令y

M

=

12

ln(1+k2v0) 2

2kg= 2dy

= mg+mgky 利用动能定理下降阶段：my 积分，ln1-ky

22

g1-ky

2

2)d(y

2

(

2

22

)=+2k

2

2

=0 gy+C1利用初条件y=yM,y

2

=v1,v1是回到投掷点的速度。 定积分常数，C1= 2kgyM然后令y=0,y

得ln1-kv1

(

2

)= 2k2

gyM= ln(1+k2v0)

因此回到投掷点的速度v1=v01+kv0

(

2

12 2

)

=py=my

mg+kmv0 ktmg

e kk

以上两题可利用牛顿动力学方程，也可利用动力学定理。重力是常量（可视作时间的函

数，也可视作坐标的函数）【例1】讨论速度与时间的关系，利用动量定理较方便。以上解法实际上利用了动量定理，（1）式即速度与时间的关系。【例2】讨论速度与位置的关系，（从已知条件到求证结论未显现时间）宜于利用动能定理。（这两题都讨论直线运动，利用角动量定理意义不大）还应注意，【例1】可用同一个动力学微分方程概括上升和下降阶段；而【例2】则必须分阶段（上升和下降）建立动力学微分方程。

§1．8．中心力场

①中心力场：力场中力的作用线保持通过一固定点O(力心)，质点P的位矢r=OP

r

中心力场可以表为：F=F=λr=Fer F=λr是r的数量函数。

r

r

【注意】这里F=F 是中心力在径向单位矢量上的投影，与力F的大小F（非负）含

r

义不同。F＞ 0（λ>0）对应于斥力； F ＜ 0 （λ<0）对应于引力。

②中心力场的特点：由于中心力场对力心的力矩M=r×F=0，利用角动量定理 d L=M即得对于力心的角动量守恒L=r×mr=C；这是中心力场的基本特点。进一步

dt

我们得到 L r=r×mr r=C r=Cx+Cy+Cz=0，这是平面方程，所以在中心

()

123

力场中运动的质点必作平面运动，因而可采用平面极坐标系，基矢为er,eθ；平面的单位法

2 r+rθeθ=mrθk，F=Fer，角动向矢量记为k=er×eθ，从而得到： L=rer×mre

()

2 =h（面积速度守恒，h为2倍面积速度） 量守恒可表为mrθ=L或r2θ

③采用了平面极坐标系，在中心力场中质点运动的动力学微分方程F=ma可按径向和

横向表为分量式：

2=F m rrθ

mrθ+2rθ=0

((

)

(1)(2)

)

横向分量式（2）的初积分就是角动量守恒定律。

④有势中心力场：在平面极坐标系中，有势力场应表为：（参阅附录A2【例1】）

V 1 V

F= V(r,θ)= er+eθ

rr θ

V

和中心力场表达式F=Fer相比较，得：=0即有势中心力场的势能V=V(r)，从而

θ

dV dV

有势中心力场应表为：F= V= er，F在er上的投影F=F er=

drdr

⑤在中心势场中单粒子运动的解：（参阅[1]70—71页）

对动力学微分方程

m m

)=F= dVr rθ(

dr

(rθ +2r θ )=0

2

(1)(2)

进行两次积分，可解得运动方程（运动规律）r=r(t),θ=θ(t)，进一步消去t，就得轨道方程。在有势的情形，也可利用守恒定律直接写出两个初积分，以简化过程：

2 角动量守恒 mrθ=L=mh. （3）

和能量守恒 T+V=

m22 2

+rθ+V(r)=E r2

()

m2L2

+r或利用（3）式化为一维问题的微分方程 +V(r)=E （4） 22mr2

12 2L2

（4）式第一项为径向动能，利用角动量守恒，第二项横向动能可表为mrθ=，2

22mrL2

所以可理解为离心势能，归入有效势能。有效势能定义为：Veff(r)=+V(r)，再积

2mr2

分一次，得运动方程

r

r

t=±r0t

+t0=±r0

t0

(5)

θ=∫

L

dt+θ02mr(t)t0

r

(6)

从（5）（6）消去t，得轨道方程：

r

θ=±r0

+θ0=±r0

+θ0

(7)

（5）、（7）式中的±取决于坐标的建立和初始条件。

L2

+V(r)=Veff(r)的区域才有解。由（7）、（5）或（4）式可见，当且仅当满足E>

2mr2

不失一般性，我们可以取V(r)满足V(∞)=0。这样，如果E<0，则质点的运动只可能局限在力心附近的有限范围内，不可能到达无穷远，这是束缚态；如果E>0，则质点可能到达无穷远，这是散射态。

⑥比耐公式：在F不显含t的条件下，我们很容易从动力学微分方程消去t，得到轨道

2 满足的微分方程，直接求轨道方程。（见[1]80页）具体方法如下： 利用mrθ=L（这是

关键所在）可将运动微分方程（2）中的

d1

消去.(并记=u)事实上, dtr

ddLu2d =θ=

dtdθmdθ

=∴r

LdrLdu

=

mdθmr2dθ

L2dLduL22d2u

r=u( )= 2u

mdθmdθmdθ2

d2u m

于是由（2）得到：u uF （8） += 22

dLθ

2

（8）式称为比耐(Binet)公式，也就是轨道微分方程。积分（8）式即得到轨道方程u=u(θ)或r=r(θ)，进一步可求得运动方程（5）（6）。在中心力有势的条件下，F= 耐公式（8）可导出能量积分：（或由（4）式经变换得到）

2

L2 du 2u+ +V=E

2m dθ

dV

，由比dr

(9)

u

由（9）可导出轨道方程（7）或

θ=

u0

∫

+θ0

(7)′

（7）’中右边积分式前面的正负号记法只是为了和（7）式一致。 其中V1(u)≡V(r)；

推导比耐公式的关键是消去t，得到轨道微分方程。引入变量u并非必要，事实上轨道

d2rmr5F dr 2

2 满足的微分方程也可以表为 r r= 2 dθ2dLθ

2

L2 1 dr 1

能量积分可以表为 4 +2 +V=E

rdθ2m r

2

只是形式不如（8）、（9）两式简洁。依然可以直接得到轨道方程（7）。

§1．9．与距离平方成反比的有势中心力场

这是一类重要的有势中心力场，牛顿引力势和库仑静电势均属此类型。表达式为：

F=±

α

r

2

=±αu2 或V=±

α

r

（设定 ∞ 处的势能值为零） =±αuα>0，

下面的符号对应吸引力，上面的符号对应排斥力。利用比耐公式：

d2u mm α

u 2+u = 2F= 2 ±2

LL r dθ

2

mα2

u = 2L

解得轨道方程：u=Ccos(θ θ0)

mα

L2

L2/αmL2/αm

或 r== （10）

1 CL2/mα cos(θ θ0) 1+CL2/mα cos(θ θ0)

m2α22mE

+2 （11） 其中C,θ0为积分常数。利用能量积分（9）得到 C=4

LL

2

mα2

（11）式表明：能量的取值范围为：E≥ ；不失一般性，我们总可取C

非负：

2L2C=≥0，或者以V1(u)≡V(r)=±αu代入（7）或（7）’积分可得同样结果（参阅[1]76页）。轨道方程（10）式可表为 r=

p

（10’）

1+ecosθ θ0L2偏心率e=Cp=其中半通径p=

mα号对应于吸引势，轨道可能为椭圆、抛物线或双曲线的与力心所在焦点同侧的一支；—号对

应于排斥势，轨道必定为双曲线的另一支。

GMmk2m

先讨论吸引势，万有引力就是一个实例 F= = 2= mk2u2 2

rr

引力势 V(r)= kmu= αu

2

α=mk2；以太阳系为例：M:太阳质量; m:行星质量;

G:万有引力常数; k2=GM太阳的高斯常数。对于吸引势，轨道方程（10）表为：

mαL2/αm

u=Ccos(θ θ0)+2或 r=适当选择极轴,使 2

L1+CL/mα cos(θ θ0)

θ0=0, C>0即θ=0对应于近日点。即圆锥曲线的标准方程 r=

p

1+ecosθ

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