2.2.3向量数乘运算及其几何意义_学案(人教A版必修4)

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．

1．向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝__________.

当 时，与a方向相同

(2)λa (a≠0)的方向 ；

当 时，与a方向相反

特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________. 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝________.

(2)(λ＋μ)a＝____________. (3)λ(a＋b)＝____________.

特别地，有(－λ)a＝____________＝________； λ(a－b)＝____________. 3．共线向量定理

向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________． 4．向量的线性运算

向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝__________________.

一、选择题

1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )

A．k＝0 B．k＝1

1

C．k＝2 D．k＝2→→→

2．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D

→→→→

3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA＋PB＋PC＝AB，则( ) A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部

C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上

→→→→→→

4．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

→→→→

5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且CD＝4BD＝rAB＋sAC，则r－s等于( )

48

A．0 B. C. D．3

53

→→→→→→

6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|等于( )

A．8 B．4 C．2 D．1

11

y－ －(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_______. 7．若2 3 2

→→→

8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且OC＝xOA＋yOB，则x＋y＝________.

→

9. 如图所示，D是△

ABC的边AB上的中点，则向量CD＝______.(填写正确的序号)

→1→①－BC＋BA

2→1→②－BC－BA

2

→1→③BC－BA

2→1→④BC＋BA

2

→→→→→

10. 如图所示，在 ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝______.(用a，b表示)

三、解答题

11．两个非零向量a、b不共线．

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．

→→→→→

12. 如图所示，在 ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝______.(用a，b表示)

→→

→

能力提升

→→

13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋→→ ABAC ＋λ (λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) →→ |AB||AC|

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与

→→→

CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF等于( ) 1121A.a ＋ 42331112C.ab ＋

2433

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义

知识梳理

1．向量 数乘 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 0 0

2．(1)(λμ)a (2)λa＋μa (3)λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb 3．b＝λa

4．加 减 数乘 λμ1a±λμ2b 作业设计

11

1．D [当k＝时，m＝－e1＋2，n＝－2e1＋e2.

22

∴n＝2m，此时，m，n共线．]

→→→→

2．C [∵BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB， ∴A、B、D三点共线．]

→→→→→

3．D [PA＋PB＋PC＝PB－PA，

→→

∴PC＝－2PA，∴P在AC边上．]

→→→

4．B [∵MA＋MB＋MC＝0， ∴点M是△ABC的重心． →→→

∴AB＋AC＝3AM，∴m＝3.]

→→→→

5．C [∵CD＝CB＋BD＝4BD， →→∴CB＝3BD.

→→→→→→∴CD＝AD－AC＝AB＋BD－AC →1→→＝AB＋－AC

3

→1→→→＝AB＋AB－AC)－AC

34→4→＝－ 33448∴r＝，sr－s＝.]

333

→

6．C [∵BC2＝16， →→→→

∴|BC|＝4.又|AB－AC|＝|CB|＝4， →→

∴|AB＋AC|＝4.

→1→→

∵M为BC中点，∴AM(AB＋AC)，

2

→1→→

∴|AM|＝|AB＋AC|＝2.]

24117.－b 21778．1

→→

解析 ∵A，B，C三点共线，∴ λ∈R使AC＝λAB. →→→→∴OC－OA＝λ(OB－OA)． →→→∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.

∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1. 9．①

→1→→1→→→→

解析 －BC＝CB＋＝CB＋BD＝CD.

22

1

10.(b－a) 4

→→→→

解析 MN＝MB＋BA＋AN

13→＝－b－a＋

2413

＝－b－a＋a＋b)

241

＝b－a)． 4

11．(1)证明 ∵AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6AB，∴A、B、D三点共线．

(2)解 ∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)． ∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，

→→→→→

k－2λ＝0，∴ k＝2. 1－λk＝0

→→

12．证明 设BA＝a，BC＝b，则由向量加法的三角形法则可知： →→→1→→1

CM＝BM－BC＝－BC＝a－b.

22

又∵N在BD上且BD＝3BN，

1→1→1→→

∴BN＝BD＝BC＋CD)＝(a＋b)，

333

1221→→→1

－b ， ∴CN＝BN－BC＝(a＋b)－b＝a－b＝ 33332

→2→→→

∴CN＝，又∵CN与CM共点为C，

3

∴C、M、N三点共线．

→→→→AB→AC→ABAC

13．B [AB上的单位向量，AC上的单位向量，则的方向为∠BAC的

→→→→|AB||AC||AB||AC|→

角平分线AD的方向．

→→→→→→ AB ABAC AC ABAC→→＋又λ∈[0，＋∞)，∴λ 的方向与＋的方向相同．而OP＝OA＋λ ，→→→→→→ |AB||AC| |AB||AC| |AB||AC|

→

∴点P在AD上移动．

∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．] 14．B

[

如图所示，

∵E是OD的中点， →1→1∴OE＝＝.

44

又∵△ABE∽△FDE， AEBE3∴＝. EFDE1→→→3→∴AE＝3EF，∴AE＝AF.

4

→→→11

在△AOE中，AE＝AO＋OE＝a＋.

24

→4→21∴AF＝＝＋b.]

333

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