解三角形全章教案（整理）

数学5 第一章 解三角形

第1课时 课题: §1．1．1

正弦定理

●教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

如图1．1-1，固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动。 A 思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C Ⅱ.讲授新课

[探索研究] (图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数A

则的

定

义

，

有

a?sinAc，

b?sinBc，又sCi?n?cc, 1

asinA?bsinB?csinC?c b c ?从而在直角三角形ABC中，

asinAbsinB?csinC C a B

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB?bsinA,则同理可得从而

asinA?bsinB， C

csinC??bsinB?， b a

asinAbsinBcsinC A c B

(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作j?AC， C 由向量的加法可得 AB?AC?CB

??????????????????????????????则 j?AB?j?(AC?CB) A B

??????????????????∴j?AB?j?AC?j?CB j

??????????0jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

ac ?sinAsinC?????同理，过点C作j?BC，可得

从而

bc ?sinBsCin

sinC类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

asinA?bsinB?casinA?bsinB?csinC

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC； （2）

asinAsinC从而知正弦定理的基本作用为：

?bsinB?c等价于

asinA?bsinB，

csinC?bsinB，

asinA?csinC

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?bsinA； sinB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理，

abC?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根据正弦定理，

asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；

sinAsin32.00根据正弦定理，

asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).

sinAsin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，

bsinA28sin400 sinB???0.8999.

a20因为00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160. ⑴ 当B?640时，

0 C?180?A(?B)?1080?0(4?0006?4，) 76asinC20sin760c???30(cm). 0sinAsin40⑵ 当B?1160时，

0 C?180?A(?B)?1080?0(4?00011?6，) 24asinC20sin240c???13(cm).

sinAsin400评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

[补充练习]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c （答案：1：2：3）

Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式：

asinAsinBsinC或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

?b?c?a?b?c?k?k?0?；

sinA?sinB?sinC

第2课时 课题: §1.1.2

余弦定理

●教学目标

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 ●教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程

Ⅰ.课题导入 C 如图1．1-4，在?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和?C，求边c b a

A c B

(图1．1-4)

Ⅱ.讲授新课 [探索研究]

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A

?????????????????如图1．1-5，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，则 b c

c?c?c?a?ba?b??????? ?ab?b??2a??b C a B ??2a??2 ?a?b?2a?b从而 c2?a2?b2?2abcosC (图1．1-5)

?2??????????2bccos A同理可证 a2?b2?c2?b2?a2?c2?2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

c2?a2?b2?2abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2?c2?a2 cosA?2bc

a2?c2?b2 cosB?2acb2?a2?c2 cosC?2ba[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析]

例1．在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?600，求b及A ⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB

=(23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos450 =12?(6?2)2?43(3?1) =8 ∴b?22.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

cosA?b2?c2?a2(22)2?(6?2)2?(23)2⑵解法一：∵12bc?2?22?(6?2)?2,

∴A?600.

解法二：∵sinA?a23bsinB?22?sin450, 又∵6?2＞2.4?1.4?3.8,

23＜2?1.8?3.6,

∴a＜c，即00＜A＜900,

∴A?600.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形 解：由余弦定理的推论得：

b2?c2A??a2cos2bc

22

?87.8?161.7?134.622?87.8?161.7

?0.5543,

A?56020?；

c2?a2?b2cosB?

2ca

134.62?161.72?87.82 ?2?134.6?161.7?0.8398, B?32053?；

? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)[补充练习]在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200）

Ⅳ.课时小结

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

第3课时 课题: §1．1．3

解三角形的进一步讨论

●教学目标

知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 ●教学重点

在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 ●教学难点

正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

思考：在?ABC中，已知a?22cm，b?25cm，A?1330，解三角形。

Ⅱ.讲授新课 [探索研究]

b,A，讨论三角形解的情况 例1．在?ABC中，已知a,分析：先由sinB?则C?1800?(A?B) 从而c?bsinA可进一步求出B； aasinC A1．当A为钝角或直角时，必须a?b才能有且只有一解；否则无解。 2．当A为锐角时，

如果a≥b，那么只有一解；

如果a?b，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若a?bsinA，则有两解； （2）若a?bsinA，则只有一解； （3）若a?bsinA，则无解。

（以上解答过程详见课本第9?10页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 bsinA?a?b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 [随堂练习1]

（1）在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，试判断此三角形的解的情况。

（2）在?ABC中，若a?1，c?1，?C?400，则符合题意的b的值有_____个。 2（3）在?ABC中，a?xcm，b?2cm，?B?450，如果利用正弦定理解三角形有两解， 求x的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2?x?22）

例2．在?ABC中，已知a?7，b?5，c?3，判断?ABC的类型。 分析：由余弦定理可知

a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形a2?b2?c2?A是钝角??ABC是钝角三角形 a2?b2?c2?A是锐角??ABC是锐角三角形（注意：A是锐角??ABC是锐角三角形）

解：?72?52?32，即a2?b2?c2， ∴?ABC是钝角三角形。

[随堂练习2]

（1）在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，判断?ABC的类型。

（2）已知?ABC满足条件acosA?bcosB，判断?ABC的类型。

（答案：（1）?ABC是钝角三角形；（2）?ABC是等腰或直角三角形） 例3．在?ABC中，A?600，b?1，面积为

分析：可利用三角形面积定理S?absinC?acsinB?bcsinA以及正弦定理

a?b?c3，求的值

sinA?sinB?sinC2121212asinA?bsinB?csinC?a?b?c

sinA?sinB?sinC13解：由S?bcsinA?得c?2，

22则a2?b2?c2?2bccosA=3，即a?3，

从而

a?b?ca??2

sinA?sinB?sinCsinAⅢ.课堂练习

（1）在?ABC中，若a?55，b?16，且此三角形的面积S?2203，求角C

（2）在?ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S?

（答案：（1）600或1200；（2）450）

Ⅳ.课时小结

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。

a2?b2?c24，求角C

Ⅴ.课后作业

（1）在?ABC中，已知b?4，c?10，B?300，试判断此三角形的解的情况。

（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。

（3）在?ABC中，A?600，a?1，b?c?2，判断?ABC的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x2?7x?6?0的根， 求这个三角形的面积。

第4课时 课题: §2.2

解三角形应用举例

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 ●教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 1、[复习旧知]

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ Ⅱ.讲授新课

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

[例题讲解]

(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B两点的距离(精确到0.1m)

启发提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。 解：根据正弦定理，得

AC AB =

sin?ACBsin?ABCAB =

ACsin?ACB

sin?ABCsin?ABC = 55sin?ACB

=

55sin75? sin(180??51??75?) = 55sin75?

sin54? ≈ 65.7(m)

答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30?，灯塔B在观察站C南偏东60?，则A、B之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：2a km

例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得?BCA=?，

? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，应用正弦定理得

AC = BC =

asin(???) =

sin[180??(?????)]asin? = sin[180??(?????)]

asin(???) sin(?????)asin? sin(?????)计算出AC和BC后，再在?ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB =

AC2?BC2?2AC?BCcos?

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得?BCA=60?，?ACD=30?，

?CDB=45?，?BDA =60?

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。 Ⅳ.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

课题: §2.2解三角形应用举例

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题 ●教学重点

结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题 ●教学难点

能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解]

例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。

分析：求AB长的关键是先求AE，在?ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。

解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是?、?，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在?ACD中，根据正弦定理可得

AC =

asin? sin(???)AB = AE + h = ACsin?+ h

=

asin?sin? + h sin(???)例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角?=54?40?，在塔底C处测得A处的俯角?=50?1?。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在?ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？ 生：需求出BD边。 师：那如何求BD边呢？

生：可首先求出AB边，再根据?BAD=?求得。

解:在?ABC中, ?BCA=90?+?,?ABC =90?-?,?BAC=?- ?,?BAD =?.根据正弦定理,

BCAB = ?sin(???)sin(90??)BCsin(90???)BCcos? 所以 AB ==

sin(???)sin(???)解Rt?ABD中,得 BD =ABsin?BAD=将测量数据代入上式,得

BCcos?sin?

sin(???)27.3cos50?1?sin54?40? BD = ????sin(5440?501)27.3cos50?1?sin54?40? =

sin4?39? ≈177 (m)

CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)

答:山的高度约为150米.

师：有没有别的解法呢？

例5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15?的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25?的方向上,仰角为8?,求此山的高度CD.

师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ 生：在?BCD中

师：在?BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？ 生：BC边

解:在?ABC中, ?A=15?,?C= 25?-15?=10?,根据正弦定理,

BCAB = , sinAsinCABsinA5sin15? BC ==

sin10?sinC ≈ 7.4524(km)

CD=BC?tan?DBC≈BC?tan8?≈1047(m)

答:山的高度约为1047米 Ⅴ.课后作业

1、 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30?，

测得塔基B的俯角为45?，则塔AB的高度为多少m？ 答案：20+

203(m) 3

课题: §2.2解三角形应用举例

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 ●教学重点

能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 ●教学难点

灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [范例讲解]

例6、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75?的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32?的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1?,距离精确到0.01n mile)

学生看图思考并讲述解题思路

教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角?ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角?CAB。 解：在?ABC中，?ABC=180?- 75?+ 32?=137?，根据余弦定理，

AC=AB2?BC2?2AB?BC?cos?ABC =67.52?54.02?2?67.5?54.0?cos137? ≈113.15 根据正弦定理,

BCAC = sin?CABsin?ABC54.0sin137?BCsin?ABCsin?CAB = = ≈0.3255,

113.15AC所以 ?CAB =19.0?, 75?- ?CAB =56.0?

答:此船应该沿北偏东56.1?的方向航行,需要航行113.15n mile

补充例1、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为?，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2?，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4?，求?的大小和建筑物AE的高。

师：请大家根据题意画出方位图。 生：上台板演方位图（上图）

教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在?ACD中， AC=BC=30， AD=DC=103，

?ADC =180?-4?， ?103=

sin2?30 。

sin(180??4?) 因为 sin4?=2sin2?cos2?

? cos2?=

3,得 2?=30? 2? ?=15?，

?在Rt?ADE中，AE=ADsin60?=15

答：所求角?为15?，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 Rt?ACE中,(103+ x)2 + h2=302 在 Rt?ADE中,x2+h2=(103)2 两式相减，得x=53,h=15

?在 Rt?ACE中,tan2?=?2?=30?,?=15?

h103?x=

3 3 答：所求角?为15?，建筑物高度为15m

解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得

?BAC=?， ?CAD=2?，

AC = BC =30m , AD = CD =103m 在Rt?ACE中，sin2?=在Rt?ADE中，sin4?=

x --------- ① 304103, --------- ②

②?① 得 cos2?=

3,2?=30?,?=15?，AE=ADsin60?=15 2答：所求角?为15?，建筑物高度为15m

补充例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45?相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75?的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。 解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,

?ACB=75?+45?=120?

?(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2?9?10xcos120? 93?化简得32x2-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)

216所以BC = 10x =15,AB =14x =21,

353BCsin120?15又因为sin?BAC === ?2AB1421??BAC =38?13?,或?BAC =141?47?（钝角不合题意，舍去）， ?38?13?+45?=83?13?

答：巡逻艇应该沿北偏东83?13?方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.

Ⅳ.课时小结

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 Ⅴ.课后作业

2、我舰在敌岛A南偏西50?相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西10?的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）

第7课时 课题: §2.2

解三角形应用举例

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 ●教学重点

推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 ●教学难点

利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境]

师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在

?ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和

角表示？ 生：ha=bsinC=csinB

hb=csinA=asinC hc=asinB=bsinaA

1ah,应用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，21可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？

211生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB

22师：根据以前学过的三角形面积公式S=

师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的

面积呢？

生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解]

例7、在?ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5?; （2）已知B=62.7?,C=65.8?,b=3.16cm;

（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。 解：（1）应用S= S=

1acsinB，得 21?14.8?23.5?sin148.5?≈90.9(cm2) 2b sinB(2)根据正弦定理，

=

c sinC c = bsinC

sinBS =

11bcsinA = b2sinCsinA 22sinBA = 180?-(B + C)= 180?-(62.7?+ 65.8?)=51.5?

sin65.8?sin51.5?12 S = ?3.16?≈4.0(cm2) ?sin62.72(3)根据余弦定理的推论，得

c2?a2?b2cosB =

2ca38.72?41.42?27.32 =

2?38.7?41.4 ≈0.7697 sinB =

1?cos2B≈1?0.76972≈0.6384

应用S=S ≈

1acsinB，得 21?41.4?38.7?0.6384≈511.4(cm2) 2例8、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？

师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，

c2?a2?b2cosB=

2ca1272?682?882 =≈0.7532

2?127?68sinB=1?0.75322?0.6578

1acsinB 21 S ≈?68?127?0.6578≈2840.38(m2)

2应用S=

答：这个区域的面积是2840.38m2。 例3、在?ABC中，求证：

a2?b2sin2A?sin2B?; （1）22csinC（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明

证明：（1）根据正弦定理，可设

a = b = c = k

sinAsinBsinC显然 k?0，所以

a2?b2k2sin2A?k2sin2B? 左边= 222cksinCsin2A?sin2B ==右边

sin2C

（2）根据余弦定理的推论，

b2?c2?a2a2?b2?c2c2?a2?b2 右边=2(bc+ca+ab)

2bc2ca2ab

=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左边

变式练习1：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c=63,求a及?ABC的面积S 提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。 答案：a=6,S=93;a=12,S=183

变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状， （1） acosA = bcosB （2） sinC =

sinA?sinB

cosA?cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” （1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。

生1：（余弦定理）得

b2?c2?a2c2?a2?b2a?=b?

2bc2ca?c2(a2?b2)?a4?b4=(a2?b2)(a2?b2) ?a2?b2或c2?a2?b2

?根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：（正弦定理）得 sinAcosA=sinBcosB,

?sin2A=sin2B, ?2A=2B, ?A=B

?根据边的关系易得是等腰三角形

师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？

生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180?，A+B=90? (2)（解略）直角三角形

第8课时(复习课) 一．教学重点

1. 理解正弦定理及余弦定理的推导证明过程，能够熟练运用正、余弦定理解三角形。 2. 根据实际情况设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、余弦定理解

决实际问题 3. 灵活运用正、余弦定理进行边角转化求角度、判断三角形形状等有关三角形的问题。 二．教学难点：①正、余弦定理的推导证明，应用定理解三角形。②设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、余弦定理解决实际问题，③在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题。进行边角转化 三．教学过程

1.本章知识结构框图 知两角及一边解三角形

用

正知两边及其中一边所

解

弦三

角

形

知三边求三角

用余弦知道两边及这两边解三角形的应用举例 两点间距离的测量 物体高度的测量 角度的测量 2、例题讲解：

例1．在?ABC中，已知B?45?，C?60?，c?1。试求最长边的长度。

例2．在?ABC中，已知a:b:c?3:7:2，试判断此角形的形状并求出最大角与最小角的和。

例3．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C、D，已知?ABC为边长等于a的正三角形，当目标出现于B时，测得?CDB?45?，?BCD?75?，试求炮击目标的距离AB。

三、巩固练习

1．在?ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4试试判断此角形的形状并求出最小角。

2．在?ABC中，a,b,c分别是A，B，C的对边，且

（1）求角B的大小；（2）若b?13,a?c?4，求a的值。

3．a,b,c分别是?ABC的三边，若a2?c2?b2?3ac，则角B为-------度。

4．测一塔（底不可到达）的高度，测量者在远处向塔前进，在A处测得塔顶C的仰角40?，再前进20米到B点，这时测得C的仰角为60?，试求此塔的高度CD。

DBCAcosBb ?cosC2a?c

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