电磁场与电磁波 第三版之6

电磁场与电磁波课件 例题讲解

第 6 章 讨论。

时变电磁场

静电场和恒定电流的磁场各自独立存在， 静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开

在时变电磁场中， 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函

数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场 变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁 与磁场相互依存，构成统一的电磁场。 与磁场相互依存，构成统一的电磁场。

英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、 英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、 麦克斯韦提出位移电流假说

恒定场、 恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组 概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。 概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。

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6.1

法拉弟电磁感应定律

当穿过导体的磁通发生变化时，回路中会产生感应电流， 当穿过导体的磁通发生变化时，回路中会产生感应电流，这表明回路中感应 了电动势。这就是法拉弟电磁感应定律。 了电动势。这就是法拉弟电磁感应定律。 电磁感应定律

εin =

dΦ dt

负号表示感应电流产生的磁 场总是阻碍原磁场的变化6.1.1感生电动势的参考方向 图6.1.1感生电动势的参考方向

电动势是非保守电场沿闭合路径的积分， 电动势是非保守电场沿闭合路径的积分，回路中出现感应 电动势， 电动势，表明导体内出现感应电场

εin = ∫ Ein dl = c

dΦ dt

上式对磁场中的任意回路都成立。 上式对磁场中的任意回路都成立。

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设空间还存在静止电荷产生的静电场E 设空间还存在静止电荷产生的静电场Ec,则总电场E = Ein + Ec

沿任意闭合路径的积分

∫ E dl = ∫ Ein dl + ∫ Ec dl = ∫ Ein dl = c c c c

d Φ (静电场Ec沿任意闭 静电场E dt 合路径的积分为零) 合路径的积分为零)

磁通Φ = ∫ B dSs

则

∫ E dl = c

d B dS dt ∫ s

(6.1.4)

磁通的变化： 磁通的变化：或由磁场随时间的变化引起 或由回路运动引起 上式是法拉弟电磁感应定律的积分形式

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将上式写为微分形式

∫ E dl = c

d B B dS = ∫ dS (设回路静止，磁通的变化由磁场随时间变化引起) 设回路静止，磁通的变化由磁场随时间变化引起) ∫ dt s t s

由斯托克斯定理

∫ E dl = ∫ ( × E) dS故c s

B × E + dS = 0 ∫ t s

上式对任意回路所围面积都成立， 上式对任意回路所围面积都成立，故被积函数为零×E = B t

(6.1.5)

上式是法拉弟电磁感应定律的微分形式

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6.2●

位移电流

恒定磁场中的安培环路定律应用于时变场时的矛盾 与导线交链， 作闭合曲线 c 与导线交链，根据安培环路定律 经过S 经过S1面cS2

∫ H dl = ic

S1

经过S 经过S2面

i

∫ H dl = 0c

麦克斯韦提出位移电流假说： ● 麦克斯韦提出位移电流假说：在电容器两极板之间存在另一种电 相等。 流，其值与传导电流i相等。 构成的闭合曲面，应用电流连续原理， S1和S2构成的闭合曲面，应用电流连续原理，有dq dt

∫ J dS = s

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q为极板上的电荷量。由高斯定理 为极板上的电荷量。

∫ D dS = qs

则

∫ J dS = 式中s

dq D = ∫ dS = ∫ J d dS dt t s s

Jd =

D t

(6.2.3)——位移电流密度 6.2.3) 位移电流密度

设想S 上有位移电流流过，并考虑S 的面元方向， 设想S2上有位移电流流过，并考虑S2的面元方向，得

∫

S1

J dS =

∫

s2

J d d S (对上述两个不同的面S1和S2,得到相同的积分结果) 得到相同的积分结果) 对上述两个不同的面S

一般情况下，空间可能同时存在真实电流和位移电流， 一般情况下，空间可能同时存在真实电流和位移电流，则安培环路定理为

∫

c

H dl =

∫

S

D J+ t

dS

(6.2.4)——安培定环路定理的积分形式 6.2.4) 安培定环路定理的积分形式

由斯托克斯定理

∫

c

H dl =

∫ ( × H ) dSS

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式(6.2.4)可写为 (6.2.4)可写为×H = J + D t

(6.2.5)——安培定环路定理的微分形式 6.2.5) 安培定环路定理的微分形式

关于电流 传导电流：带电粒子在电场的作用下的定向运动。 ● 传导电流：带电粒子在电场的作用下的定向运动。 ● 位移电流：具有磁效应，可以产生磁场。但与带电粒子的定向运动无关。 位移电流：具有磁效应，可以产生磁场。但与带电粒子的定向运动无关。 海水的电导率为4S/m 相对介电常数为81 4S/m, 81, 例 6.2.1 海水的电导率为4S/m,相对介电常数为81,求频率为 Hz时 位移电流与传导电流的比值。 1MHz时，位移电流与传导电流的比值。 Hz 解：设电场随时间作正弦变化，表示为 设电场随时间作正弦变化， 则位移电流密度为 其幅值为 传导电流的幅值为J cm = γ E m = 4 E mE = e x E m cos ω t

Jd =

D = e xω ε 0ε r E m sin ω t t

J dm = ω ε 0ε r E m = 4.5 × 10 3 E m

故

J dm = 1.125 × 10 3 J cm

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6.3微分形式×H = J + D t B ×E = t

麦克斯韦方程积分形式D ) dS t

∫

c

H dl =

∫

s

(J +s

第一方程 第二方程 第三方程 第四方程

∫

c

E dl = ∫

B = 0D = ρ讨论

∫ B dSs

B dS t

=0

∫

s

D dS = q

麦克斯韦第一方程 ——推广的全电流定律，表明传导电流和变化的电场都能产 推广的全电流定律 推广的全电流定律， 生磁场； 生磁场； 麦克斯韦第二方程 ——推广的电磁感应定律, 表明变化的磁场能产生电场； 推广的电磁感应定律 推广的电磁感应定律, 表明变化的磁场能产生电场； 麦克斯韦第

三方程 ——磁通连续性原理，表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲 磁通连续性原理， 磁通连续性原理 表明磁场是无源场, 线； 高斯定律， 麦克斯韦第四方程 ——高斯定律，表明电荷以发散的方式产生电场。 高斯定律 表明电荷以发散的方式产生电场。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。 是时变场的两种特殊形式 电流连续性方程可由麦氏方程导出。 电流连续性方程可由麦氏方程导出。 可由麦氏方程导出

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静态场和恒定场 静态场和 微分形式×H = J

积分形式

∫

c

H dl =

∫

s

J dS

×E = 0

∫

c

E dl = 0

B = 0D = ρ 电流连续性方程 由×H = J +

∫ B dSs

=0

∫

s

D dS = q

两边取散度 ( × H 0

D t

)=

D J + t D = J + t

即 J +

ρ = 0 t

(电流连续性方程) 电流连续性方程)

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麦氏方程的限定形式和非限定形式 用E、D、B、H四个场量写出的方程称为麦氏方程的非限定形式。 四个场量写出的方程称为麦氏方程的非限定形式。 对于线性各向同性媒质， 对于线性各向同性媒质，有本构关系D = ε E = ε 0ε r E B = H = 0 rH J = γE

用E、H二个场量写出的方程称为麦氏方程的限定形式。 二个场量写出的方程称为麦氏方程的限定形式。 微分形式×H = γE +ε

积分形式E t

∫

c

H dl =

× E =

H t

∫

E ) dS ∫s t H E dl = ∫ dS c s t (γ E + εs

H = 0 ε E = ρ

∫∫s

H dS = 0

ε E dS = q

麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的总规律。 麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的总规律。

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6.4一、H的边界条件

时变电磁场的边界条件

nH1t

将积分形式麦氏第一方程用于边界面上的闭 合回路， 合回路，并考虑高阶小量 h 。

12s

l

H1

∫ H dl = ∫ J dS + ∫c s

D dS t s

H2 H2t

hJs

与恒定磁场相比较

∫ H dl = ∫ J dSc s

二、E的边界条件 同样的分析可得时变场中E 同样的分析可得时变场中E的边 界条件与静电场时的形式相同， 界条件与静电场时的形式相同， 即 n × ( E1 E 2 ) = 0 分界面上电场强度 的切向分量连续

当 h → 0 该积分为零 因此，时变场中H 因此，时变场中H的边界条件与恒定磁场时的 形式相同， 形式相同，即

n × (H 1 H 2 ) = J s

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三、B的边界条件

四、D的边界条件

与恒定磁场相同

与静电场相同

B1 n B 2 n = 0表示为矢量形式

D1 n D 2 n = σ表示为矢量形式

n (B 1 B 2 ) = 0分界面上磁感应强 度的法向分量连续

n (D1 D 2 ) = σ

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两种特殊情况 两种无耗媒质的分界面 ( J s = 0

σ =0 )H 1t H 2 t = 0

n × (H1 H 2 ) = 0 n × ( E1 E 2 ) = 0 n (B1 B 2 ) = 0 n (D1 D 2 ) = 0

或

E 1t E 2 t = 0 B1 n B 2 n = 0

D1 n D 2 n = 0

理想介质和理

想导体的分界面 ( E 2 = 0, D 2 = 0, B 2 = 0, H 2 = 0 )n × H1 = J s

H 1t = J s

n × E1 = 0

n B1 = 0n D1 = σ

或

E1t = E 2 t = 0

B1 n = B 2 n = 0

D 1n = σ

例 6.4.1 场强度为

在两导体平板(z=0和z=d)之间的空气中传播的电磁波， 在两导体平板(z=0和z=d)之间的空气中传播的电磁波，已知其电π E = e y E 0 sin z c os (ω t k x x ) d

式中k 常数。 式中kx常数。

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试求：(1 ;(2 试求：(1)磁场强度H;(2)两导体表面上的面电流密度Js。 :( z 取如图所示的坐标。 解： (1)取如图所示的坐标。由

d

× E = 0x

o图6.4.1 两导体平板截面图

得

H t

e x

E E H + ez = 0 z x t

H =

π π π E 0 e x ∫ cos z cos (ω t k x x ) dt + e z ∫ k x sin z sin (ω t k x x ) dt 0 d d d π k π π = ex E 0 cos z sin (ω t k x x ) + e z x E 0 sin z cos (ω t k x x ) ω 0d ω0 d d 1

故

(2)导体表面电流存在于两导体相向的面

Js

z=0

= n×H = ez × H = eyz=0

Js

z=d

= n×H = e z × H = eyz=d

π E sin (ω t k x x ) ω 0d 0

π E sin (ω t k x x ) ω 0d 0

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6.5

坡印廷定理和坡印廷矢量

电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印亭定理； 坡印亭定理； 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律 坡印亭定理 坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。 坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。

坡印廷定理 由麦氏第一、 由麦氏第一、第二方程×H = J +

得

D t

×E =

B t

H ( × E ) E ( × H

)=

H E

B D E J E t t

其中

B H t ( H ) = H t 1 = ( H H 2 t 1 2 = H t 2

)

D t (ε E ) = E t 1 = (ε E E ) 2 t 1 = εE2 t 2

E J = γ E2

电磁场与电磁波课件 例题讲解

于是得H ( × E ) E ( × H

)=

1 εE t 2

2

+

1 H 2

2

γE

2

( 6 .5 .1 )

利用矢量恒等式(6.5.1)可写为有 6.5.1)可写为有

( E× H ) = H ( × E ) E ( × H )

(E × H

)=

1 εE t 2

2

+

1 H 2

2

γE

2

在时变场中总电磁能量密度为 1 1 w = we + wm = ε E 2 + H 2 2 2 w (E × H) = pτ 于是得 t 取体积分， 取体积分，并应用散度定理得

单位体积损耗的的焦耳热为

pτ = γ E2

∫ (E × H) dS =S

dW +P τ dt

坡印廷定理

单位时间穿过闭合 面s进入体积的电 磁场能量

体积内单位时间电场 能量和磁场能量的增 加

单位时间体积内变 为焦耳热的电磁能 量

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坡印廷矢量定义坡印廷矢量

S = E× H

W/m2

表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量， 表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称 为功率流密度， 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。 为功率流密度，S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。 已知同轴电缆内外半径分别为a和

外加直流电压U,求由电源 例 6.5.1 已知同轴电缆内外半径分别为 和b,外加直流电压 求由电源 向负载传送的能量。设电缆的内外导体均为理想导体，。 向负载传送的能量。设电缆的内外导体均为理想导体，。 理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。 解： 理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。 电场强度 磁场强度

U E= eρ ρ ln( b / a )H = I 2 πρ eφ图6.5.1 同轴线

坡印廷矢量

U I S = E×H = ez ρ ln( b / a ) 2πρ

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单位时间内流入内外导体间的横截面A 单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 b UI P = ∫ S dA = ∫ 2πρdρ = UI A a 2πρ 2 ln b / a 这表明： 这表明： 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。 例 6.5.2 导线半径为a, 求导线损耗的能量。 导线半径为 ，长为 l ,电导率为 γ ,求导线损耗的能量。 解：思路： I → E , H → S → P 思路： 设 电场强度 磁场强度o

导体内

E=H =

J

γ

=

I ez πa2γ

I ρ eφ 2π a 2

图6.5.2 计算导线损耗的量

以导体表面为闭合面， 以导体表面为闭合面，则导体吸收的功率为

P = ∫ ( E × H ) dS = ∫SS

I I l a( e ρ ) 2πadl e ρ = I 2 2 = I 2 R πa γ πa 2γ 2πa 2

表明，导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。 表明，导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。

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6.6

波动方程

考虑均匀无耗媒质的无源区域 (γ = 0, J = 0, ρ = 0 ) 麦氏方程为E t H 两边取旋度 × E = × × E = ( × H ) t t H = 0 E = 0 ×H =ε

得

( E ) E = ( × H ) t2

将矢量恒等式 ××E =( E) 2E同理

得

2E E ε 2 = 0 t2

2H H ε =0 2 t2

电场E 电场E的波动方程

磁场H 磁场H的波动方程

电磁场与电磁波课件 例题讲解

式中 2 为拉普拉斯算符，在直角坐标系中 为拉普拉斯算符，2 2 2 = 2 + 2 + 2 x y z2

而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程 波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程2Ex 2Ex 2Ex 2Ex + + ε =0 x 2 y 2 z 2 t 2

2E y

+ + ε =0 x 2 y 2 z 2 t 2 2Ez 2Ez 2Ez 2Ez + + ε =0 x 2 y 2 z 2 t 2

2E y

2E y

2E y

波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。 波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。 电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程。 电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程。

6.7

动态矢量位和标量位

静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。 静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。 时变场中也可

引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。 时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。

电磁场与电磁波课件 例题讲解

由麦氏第三方程 B = 0 ,可令B = ×A

由麦氏第二方程

于是 即

B = ( × A ) t t A ×E + =0 t ×E = E+ A = t A t

E =

动态标量位 式中A称为动态矢量位，简称矢量位(Wb/m)。 称为动态标量位，简称标量位(V)。 式中A称为动态矢量位，简称矢量位(Wb/m)。 称为动态标量位，简称标量位(V)。 动态矢量位 已知矢位A和标位可求相应的磁场和电场。 已知矢位A和标位可求相应的磁场和电场。

矢位和标位由源决定。其满足的方程讨论如下。 矢位和标位由源决定。其满足的方程讨论如下。 由麦氏第四方程E =

A ρ = t ε ρ 2 + ( A ) = t ε

ρ ε

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h6r1.html