高中数学必修1集合讲义(知识点+例题)

第一章:集合讲义（知识点+例题精讲）

1聚焦“集合”双基

一、“集合”基础知识

(一)集合的含义

1．集合的含义是一个描述性的，我们可以理解为一些对象组成的总体就构成集合，其中构成集合的每一个对象称为集合的元素．所以只要把对象看成整体就可以构成集合．

2．集合的元素的三个特性

(1)确定性：对于一个集合中每一个元素都可以判断该元素是不是集合中的元素．如“2017年中国效益较好的大型企业”就不能构成集合，因为“2017年中国效益较好的大型企业”中的对象是不确定的，效益较好和大型企业都没有明确的标准，无法判断一些企业是否属于这个范围．

(2)互异性：互异性是指集合中的元素必须是互不相同的．如集合{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，而不能写成{－2，－2}．

(3)无序性：对于一个集合中的元素无先后顺序，只要构成两个集合的元素一样，这两个集合就是相等的．

(二)集合的表示

1．列举法：列举法是将集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合．用列举法表示集合时，首先要注意集合中元素的基本形式．例如：集合{1,2}与{(1,2)}是两个完全不同的集合，{1,2}是由1,2这两个元素所构成的集合，{(1,2)}是以一个实数对(1,2)为元素构成的集合．另外，用列举法表示由许多元素或无限个元素组成的集合时，要注意充分体现元素间的规律，在花括号内列举出部分元素，其余的元素用省略号表示．例如：所有正整数构成的集合可记为{1,2,3,4，…，n，…}．

2．描述法：它是指用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法．具体可这样表示：在花括号“{}”内先写上表示这个集合元素(代表元素)的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．它的一般表示形式为{x∈A|p(x)}，竖线前的x就是代表元素．对于描述法中的代表元素应注意以下两点：

(1)应写清楚该集合中的代表元素．如集合{x|2≤x≤4}不能写成{2≤x≤4}，因为这样少了代表元素．

(2)竖线后边应对代表元素的取值有准确的表示，比如下面的表示方法是错误的：{(x，y)|(－1,0)}，事实上，它应表示为{(x，y)|x＝－1，y＝0}，或表示为{(－1,0)}．

(三)集合间的基本关系

1．空集是不含任何元素的集合，它虽然不含任何元素，但这样的集合是客观存在的．由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在研究集合问题时，空集还是很活跃的，一不小心就会出错．如满足B?A，就要分B＝?和B≠?进行研究．

2．子集可以理解为集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则A是B的子集．比如任何一个整数都是有理数，也就是说整数集是有理数集的子集，可以表示为：Z?Q.但不要理解为A是B中部分元素组成的集合，因为A＝?时，A也是B的子集，还有A＝B时，A也是B的子集．

3．真子集可以从两方面理解：一是集合A是集合B的子集，二是集合B中至少有一个元素不属于集合A.如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3,4,5,6}，由于6∈B，但6?A，且有A?B，则集合A是集合B的真子集．

4．若两个集合互相包含，即A?B，且A?B，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. (四)集合的基本运算

1．并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B. 符号表示：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．

相关结论：A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.

A∪B中的元素就是把集合A，B中所有元素并在一起构成的集合，要注意集合间元素的互异性，对于既属于集合A又属于集合B的元素只能出现一次．

2．交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B. 符号表示：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

相关结论：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.

A∩B中的任何元素都是集合A和B的公共元素，当集合A，B没有公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝?.

3．补集：由全集U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，表示为?U A，实际上?U A＝{x|x∈U，且x?A}．补集的概念是在全集中定义的，是由属于全集U但不属于集合A的所有元素构成，集合A和它的补集?U A都是集合U的子集，且A∩(?U A)＝?，A∪(?U A)＝U，全集不同，则集合A的补集也不同．

二、盘点解集合问题的基本方法

(一)列举法

对于一些有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来．

例1 设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N等于()

A．{2,4} B．{1,2,4} C．{2,4,8} D．{1,2,8}

解析因为N＝{x|x是2的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，所以M∩N＝{2,4,8}．故选C.

答案 C

评注 对于元素易于列举的集合，通常是直接列举． (二)结构相似法 对于用描述法给出的若干集合，判断它们的关系时，可以把它们各自的属性化为结构相似的表达式．

例2 若集合A ＝??????x ?? x ＝m ＋16，m ∈Z ，B ＝??????x ?? x ＝n 2－13，n ∈Z ，C ＝??????x ??

x ＝p 2＋16，p ∈Z ，则A ，B ，C 之间的关系是( )

A ．A ＝

B ＝C

B ．A B ＝

C C ．A B C

D ．B C A

解析 集合A 中，x ＝6m 6＋16，m ∈Z

；集合B 中，x ＝3(n －1)6＋16，n ∈Z ；集合C 中，x ＝3p 6

＋16

，p ∈Z .不难判断A B ＝C . 答案 B

(三)数轴法

当集合中的元素与不等式相关时，借助于数轴进行运算具有简明的直观效果．

例3 设集合A ＝{x |－1＜x －a ＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A ∩B ＝?，则实数a 的取值范围是( )

A ．0≤a ≤6

B ．a ≤2或a ≥4

C ．a ≤0或a ≥6

D ．2≤a ≤4

解析 由－1＜x －a ＜1，得a －1＜x ＜a ＋1.

∵a ＋1>a －1，∴A ≠?.

如图，可知a ＋1≤1或a －1≥5.所以a ≤0或a ≥6.

答案 C

评注 不等式型集合的交集、并集和补集通常可以借助数轴来解，解题时注意验证区间端点是否符合题意．

(四)Venn 图法

借助Venn 图的直观显示，常可使集合问题化难为易．

例4 已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(?U B )∩A ＝{9}，则A 等于( )

A ．{1,3}

B ．{3,7,9}

C ．{3,5,9}

D ．{3,9}

解析如图，因为A∩B＝{3}，所以3∈A.又因为(?U B)∩A＝{9}，所以9

∈A.

(五)取特殊值法

对于以选择题出现的集合的交、并、补运算问题，根据选择题的特点(有且仅有一个正确)，对集合中的未知数或参数取特殊值进行解答是一种行之有效的方法．

例5 设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x＜1}，则M∩N等于()

A．{x|1＜x＜2} B．{x|－2＜x＜1}

C．{x|1＜x≤2} D．{x|－2≤x＜1}

答案 D

2集合的基本关系与运算

一、子集——集合问题的核心

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作：A?B或B?A.当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A?B或B?A.

例1 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|(x－a)·(x2－1)＝0}，当a为何值时，A?B?

分析集合A，B都是用“描述法”表示的方程的解集，为了比较A和B的关系，先考虑将A和B进行化简．

解易得集合A＝{1,2}．当a＝1或a＝－1时，B＝{－1,1}，此时A?B；当a≠1且a≠－1时，B＝{－1,1，a}．要使A?B，则a＝2.

故当a＝2时，A?B.

二、交集——两集合间的“且运算”

由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，其中关键词为“且”．

例2 设全集U＝Z，集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2－x＝0}，则A∩(?U B)＝________.

分析先求出集合B，再按集合相关运算法则求解．

解析因为B＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，

所以A ∩(?U B )＝{－1,2}．

答案 {－1,2}

三、并集——两集合间的“或运算”

由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集，记为A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }，其中关键词为“或”．

例3 若全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＝y ＋1，y ∈A }，求A ∪B .

分析 欲求A ∪B ，先对B 进行化简．

解 因为y ∈A ，即－1＜y ＜2，且x ＝y ＋1，

所以0＜x ＜3，即B ＝{x |0＜x ＜3}．

所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}．

四、补集——全集对子集的“差运算”

一般地，设U 是一个集合，A 是U 的一个子集，即A ?U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集U 中的补集，记为?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U 且x ?A }，可以理解为全集对子集的差集．

例4 设全集U ＝{2,9，a 2＋2a －3}，集合A ＝{|2a －1|,2}，且?U A ＝{5}，求实数a 的值． 解 因为U ＝{2,9，a 2＋2a －3}，?U A ＝{5}，

所以a 2＋2a －3＝5.解得a ＝2或a ＝－4.

若a ＝2，则U ＝{2,9,5}，A ＝{2,3}，不合题意；

若a ＝－4，则U ＝{2,9,5}，A ＝{2,9}，符合题意．

故a ＝－4.

五、等集——一个集合的两种表示

例5 已知集合M ＝{2，a ，b }与集合N ＝{2a,2，b 2}是同一个集合，求a 、b .

分析 此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的性质建立关系式．

解 两个集合为同一个集合，则这两个集合的元素完全相同且与元素的顺序无关，于是

????? a ＝2a ，b ＝b 2或?????

a ＝

b 2，b ＝2a .

解之，得????? a ＝0，b ＝1或????? a ＝0，b ＝0或??? a ＝14，b ＝12.

又当a ＝0，b ＝0时，不满足互异性，应该舍去．

因此????? a ＝0，b ＝1或??? a ＝14，b ＝12.

评注 解决集合相等的问题，易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.

3集合中的数形结合思想

数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和Venn图法．

例1 已知全集为U，U＝{a|a∈N＋且a≤9}，且(?U A)∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}，(?U A)∩(?U B)＝{4,6,8}，试确定集合A，B.

分析若能将题设条件中所给出的各个集合中的元素，都能在Venn图上表示出来，那么所要确定的集合A，B中的元素，将会从Venn图上一目了然地得出．

解将已知条件中的集合

U＝{a|a∈N＋且a≤9}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

，

(?U A)∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}

由Venn图可以直观地得出

A＝{2,3,5,7}，

B＝{1,2,9}．

例2 某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生有67人，学唱歌的学生有45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌，人数有21人，那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？

解设只学舞蹈的学生有x人，只学唱歌的学生有y人，既学舞蹈又学唱歌的学生有z人，

Venn图如图．

??

?

??x＋z＝67，

y＋z＝45，

x＋y＋z＝79，

解得

??

?

??x＝34，

y＝12，

z＝33，

所以同时学舞蹈和唱歌的有33人．

例3 已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a画出数轴分析，如图所示．

由图知要使B?A，需2a≥1或a＋1≤－1，

即a≥1

2

或a≤－2.

又∵a<1，∴实数a的取值范围是(－∞，－2]∪????

1

2

，1.

集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．

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